Перегляд вихідного коду сторінки Впорядковане поле

'''Впорядковане поле'''&nbsp;— [[Поле (алгебра)|алгебраїчне поле]], для всіх елементів якого визначено [[лінійний порядок]], узгоджений з операціями поля. Найважливішими прикладами є поля [[Раціональне число|раціональних]] і [[Дійсне число|дійсних чисел]]. Термін вперше запропонував [[Еміль Артін]] у 1927 році.

== Визначення ==
Нехай <math> F</math>&nbsp;— [[Поле (алгебра)|алгебраїчне поле]], для його елементів визначено [[лінійний порядок]] <math>\leqslant </math> (менше або дорівнює) і виконуються властивості:

# Узгодженість із додаванням: якщо <math> x \leqslant y </math>, то для будь-якого''z'': <math> ~ x + z \leqslant y + z </math>.
# Узгодженість із множенням: якщо <math> ~ 0 \leqslant x </math> і <math> ~ 0 \leqslant y </math>, то <math> 0 \leqslant xy </math>.

Тоді поле <math> F</math> із визначеним порядком <math>\leqslant </math> називається впорядкованим полем. Елементи поля більші від нуля називаються ''додатними'', а менші нуля&nbsp;— ''від'ємними''.

=== Конструктивна побудова порядку ===
Один із способів визначити в полі ''F'' [[лінійний порядок]] — виділити в ньому ''підмножину додатних чисел P'', замкнуту щодо додавання і множення і для якої три підмножини <math> P </math>, нуль і <math>-P </math> не перетинаються і разом утворюють [[розбиття множини|розбиття]] всього поля.

Нехай таку множину ''P'' виділено. Позначимо <math> P_0 = P \cup \{0 \} </math> (ця [[множина]] теж замкнута щодо додавання і множення) і визначимо лінійний порядок у ''F'':
: <math> x \leqslant y </math>, якщо <math> y - x \in P_0 </math>
Всі наведені вище аксіоми порядку тоді виконані.

== Деякі властивості ==
* Кожен елемент впорядкованого поля відноситься до однієї й лише однієї з трьох категорій: додатні елементи, від'ємні елементи, нуль. Якщо <math> x </math> додатний, то <math> -x </math> від'ємний, і навпаки.
* У будь-якому впорядкованому полі <math> 1 > 0 </math> і квадрат будь-якого ненульового елемента є додатним.
* Однотипні нерівності можна додавати:
: Якщо <math> x \leqslant y </math> і <math> x '\leqslant y' </math>, то <math> ~ x + x '\leqslant y + y' </math>.
* Нерівності можна множити на додатні елементи:
: Якщо <math> x \leqslant y </math> і <math> c \geqslant 0 </math>, то <math> ~ cx \leqslant cy </math>.
* [[Характеристика (алгебра)|Характеристика]] упорядкованого поля завжди дорівнює нулю. Тому [[скінченне поле]] не може бути впорядкованим.
* Поле допускає впорядкування [[Тоді й лише тоді|тоді і тільки тоді]], коли <math> -1 </math> не може бути представлена як сума квадратів елементів поля. Поля, що задовольняють цю властивість називаються '''формально дійсними полями'''. Зокрема ця властивість показує, що поле [[комплексні числа|комплексних чисел]] не може бути впорядкованим.
* Найменшим впорядкованим полем є поле [[Раціональне число|раціональних чисел]], яке може бути впорядковано тільки одним способом. Тобто [[Ізоморфізм|ізоморфне]] йому ''раціональне поле'' міститься як підполе в будь-якому іншому впорядкованому полі. Якщо у полі не існує елемента більшого, ніж всі елементи раціонального поля, поле називається [[Аксіома Архімеда|архімедовим]].

== Підполя і розширення полів ==
* Підполе впорядкованого поля успадковує батьківський порядок і, отже, теж є впорядкованим полем.
* [[Розширення поля|Розширення]] ''E'' впорядкованого поля ''k'' називається впорядкованим, якщо ''E'' — впорядковане поле, для якого k є впорядкованим підполем. Ця властивість має місце в тому і тільки в тому випадку, коли -1 не може бути подана в вигляді суми елементів виду <math>\lambda x^2,\,</math> де <math>\lambda \in k, \, x \in E, \, 0 \leqslant \lambda.</math>

Впорядковане поле називається дійсно замкнутим, якщо для нього не існує впорядкованих розширень, що не рівні самому полю. Порядок дійсно замкнутого поля завжди є єдиним. Еквівалентними є наступні властивості впорядкованого поля k: 
# поле ''k'' є дійсно замкнутим,
# розширення ''k(i)'', де i<sup>2</sup> = -1 є [[алгебраїчно замкнуте поле|алгебраїчно замкнутим]]
# кожен додатний елемент з ''k'' є квадратом і кожен [[многочлен]] непарного степеня над k має корінь у ''k''.

Кожне формально дійсне поле має дійсно замкнуте впорядковане [[Алгебричне розширення|алгебраїчне розширення]].

Якщо ''k''&nbsp;— впорядковане поле, то можна дати традиційне визначення [[фундаментальна послідовність|фундаментальної послідовності]]. Сукупність фундаментальних послідовностей при належному ототожненні і визначенні операцій перетворюється на впорядковане розширення поля ''k''. Якщо ''k'' — архімедове поле, то це розширення є [[ізоморфізм|ізоморфним]] полю дійсних чисел.

== Приклади ==
* [[Раціональні числа]]
* [[Дійсні числа]]
* Дійсні [[алгебраїчні числа]]
* Поле дійсних [[Раціональна функція|раціональних функцій]]: <math> ~ \frac {p (x)} {q (x)} \, </math>, де <math> ~ p (x), q ( x) </math> — [[многочлен]] и, <math> ~ q (x) \ne 0 </math>. Впорядкуємо його наступним чином.
** Дійсні константи (як многочлени нульового порядку) впорядковані традиційним чином.
** Нехай <math> p (x) = p_0 x ^ n + \dots </math>, <math> q (x) = q_0 x ^ m + \dots \, </math> Будемо вважати, що дріб <math> \frac {p (x)} {q (x)}> 0 \, </math>, якщо <math> \frac {p_0} {q_0}> 0 \, </math>.
** З визначення випливає, що многочлен <math> p (x) = x </math> є більшим, ніж будь-яка константа, тобто [[аксіома Архімеда]] для цього поля не виконується, поле є архімедовим.
* [[Нестандартний аналіз|Гіпердійсні числа]] — ще один приклад неархімедового поля.

== Див. також ==
* [[Аксіома Архімеда]]
* [[Впорядкована група]]

== Джерела ==
* {{Бурбаки.Алгебра.ч2}}
* {{Ван.дер.Варден.Алгебра}}
* {{Ленг.Алгебра}}
* Фукс Л., ''Частично упорядоченные алгебраические системы, пер. с англ.,'' М., 1965.

{{Теорія порядку}}

[[Категорія:Впорядковані групи]]
[[Категорія:Теорія полів]]