Перегляд вихідного коду сторінки Вираз замкненої форми

'''Вираз замкненого вигляду''' або '''аналітичний розв'язок''' ({{lang-en|closed-form expression}}&nbsp;— ''вираз у замкненій формі'')&nbsp;— [[Вираз (математика)|математичний вираз]] зі скінченним числом стандартних операцій.

== Приклад: корені многочленів ==
Розв'язки будь-якого [[Квадратне рівняння|квадратного рівняння]] з [[Комплексне число|комплексними]] [[коефіцієнт]]ами можна виразити аналітично через [[додавання]], [[віднімання]], [[множення]], [[ділення]] і добування [[Квадратний корінь|квадратного кореня]], кожне з яких є [[Елементарні функції|елементарною функцією]]. Наприклад, квадратне рівняння

: <math>ax^2+bx+c=0,</math>

піддається обробці, оскільки його розв'язки можна виразити аналітично, тобто в термінах елементарних функцій:

: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.</math>

Так само розв'язки рівнянь третього та четвертого степенів можна виразити за допомогою арифметичних операцій, квадратних коренів та [[Корінь (математика)|коренів {{Mvar|n}}-го]] степеня. Проте існують [[рівняння п'ятого степеня]] без аналітичних розв'язків, наприклад {{Math|1=''x''<sup>5</sup>&nbsp;−&nbsp;''x''&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;0}} (див. [[Теорема Абеля — Руффіні|теорему Абеля&nbsp;— Руффіні]]).

Вивчення існування замкнутих форм у [[Нуль функції|коренів многочленів]] є початковою мотивацією і одним із головних досягнень [[Теорія Галуа|теорії Галуа]].

== Альтернативні визначення ==
Змінення визначення «стандартної операції» зі включенням додаткових функцій може змінити набір рівнянь з розв'язками в замкнутій формі. Багатьох [[Функція розподілу ймовірностей|кумулятивних функцій розподілу]] не можна виразити аналітично, якщо не вважати стандартними [[спеціальні функції]], такі як [[функція помилок]] або [[гамма-функція]]. Рівняння п'ятого степеня можна розв'язати, якщо включити загальні [[Гіпергеометрична функція|гіпергеометричні функції]], хоча розв'язок надто складний алгебрично, щоб бути корисним. Для багатьох практичних застосувань цілком розумно вважати стандартними гамма-функцію та інші спеціальні функції, оскільки їх чисельні реалізації широко доступні.

== Аналітичний вираз ==
'''Аналітичний вираз''' (також відомий як '''вираз у аналітичній формі''' або '''аналітична формула''')&nbsp;— математичний вираз, побудований із використанням стандартних операцій, які легко обчислювати. Подібно до виразів замкненої форми, набір стандартних дозволених функцій може змінюватись, залежно від контексту, але завжди включає [[Арифметика|основні арифметичні операції]] (додавання, віднімання, множення та ділення), [[піднесення до степеня]] з дійсним показником (включно з добуванням [[Корінь (математика)|кореня {{Math|''n''}}-го степеня]]), логарифми та [[тригонометричні функції]].

Однак, клас виразів, які вважають аналітичними, як правило, ширший, ніж клас виразів замкненої форми. Зокрема, зазвичай допускають [[спеціальні функції]], такі як [[функції Бесселя]] і [[гамма-функція]], а також часто допускають [[Ряд (математика)|нескінченні ряди]] та [[Ланцюговий дріб|неперервні дроби]]. З іншого боку, [[Границя послідовності|границі]] взагалі та [[інтеграл]]и зокрема зазвичай виключають.

Якщо аналітичний вираз включає лише алгебричні операції (додавання, віднімання, множення, ділення й піднесення до степеня з раціональним показником) і раціональні сталі, його конкретніше називають [[Алгебраїчний вираз|алгебричним виразом]].

== Порівняння різних класів виразів ==
Вирази замкненої форми є важливим підкласом аналітичних виразів, які містять обмежену чи необмежену кількість застосувань відомих функцій. На відміну від ширших аналітичних виразів, вирази замкненої форми не включають [[Ряд (математика)|нескінченних рядів]] або [[Ланцюговий дріб|неперервних дробів]]; не включають [[інтеграл]]ів чи [[Границя послідовності|границь]]. Дійсно, за [[Теорема Веєрштрасса — Стоуна|теоремою Веєрштрасса&nbsp;— Стоуна]] будь-яку [[Неперервна функція|неперервну функцію]] на [[Одиничний інтервал|одиничному інтервалі]] можна виразити як границю многочленів, тому будь-який клас функцій, що містять многочлени, замкнений відносно границь, обов'язково включатиме всі неперервні функції.

Так само кажуть, що [[рівняння]] або [[система рівнянь]] мають розв'язок '''замкненої форми''' [[Тоді й лише тоді|тоді й тільки тоді]], коли принаймні один [[Розв'язання рівнянь|розв'язок]] можна подати у вигляді виразу замкненої форми; і кажуть, що воно має '''аналітичний розв'язок''' тоді й лише тоді, коли хоча б один розв'язок можна подати у вигляді аналітичного виразу. Існує тонка відмінність між «''функцією'' замкненої форми» і «''числом'' замкненої форми» при обговоренні «розв'язку замкненої форми», яку обговорено в {{Harvard citation|Chow|1999}} і нижче. Замкнений чи аналітичний розв'язок іноді називають '''явним розв'язком'''.

== Робота з виразами незамкненої форми ==

=== Перетворення на вирази замкненої форми ===
Вираз:<math display="block">f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x}{2^n}</math>не має замкненої форми, оскільки підсумовування включає нескінченне число елементарних операцій. Однак підсумовуванням геометричного ряду цей вираз можна подати в замкнутому вигляді<ref>{{Cite web|url=http://www.riskglossary.com/link/closed_form_solution.htm|title=Numerical Solution, Closed-Form Solution|last=Holton|first=Glyn|archiveurl=https://web.archive.org/web/20120204082706/http://www.riskglossary.com/link/closed_form_solution.htm|archivedate=2012-02-04|accessdate=2012-12-31}}</ref>:<math display="block">f(x) = 2x.</math>

=== Диференціальна теорія Галуа ===
{{Докладніше|Диференціальна теорія Галуа}}
Інтеграл виразу замкненої форми сам собою можна або не можна подати у вигляді виразу замкненої форми. Це дослідження називають [[Диференціальна теорія Галуа|диференціальною теорією Галуа]] за аналогією з алгебричною теорією Галуа.

== Примітки ==
{{Reflist}}
{{Бібліоінформація}}
[[Категорія:Алгебра]]
[[Категорія:Спеціальні функції]]