Перегляд вихідного коду сторінки Випадковий процес

{{Otheruses|Процес}}
[[Файл:BMonSphere.jpg|міні|Комп'ютерно змодельована реалізація процесу Вінера або процесу Броунівського руху на поверхню кулі. Вінерівський процес вважається найбільш вивченим і це базовий випадковий процес у теорії ймовірності.<ref name="doob1953stochasticP46to47"/><ref name="RogersWilliams2000page1"/><ref name="Steele2012page29"/>]]

'''Випадко́вий проце́с''' ({{lang-en|stochastic process}})&nbsp;— важливе поняття сучасної [[теорія ймовірностей|теорії ймовірностей]]. Є певним узагальненням поняття [[випадкова величина]], а саме&nbsp;— це випадкова величина, що змінюється з [[час]]ом (іншими словами: випадкова величина, що залежить від змінної величини, яку називають ''час'', або іншими словами&nbsp;— це набір випадкових величин, параметризованих величиною ''T''&nbsp;— ''часом'').

Розрізняють випадкові процеси з дискретним і неперервним часом.<ref>[[Скороход Анатолій Володимирович|Скороход А. В.]] Лекції з теорії випадкових процесів&nbsp;— Київ, Либідь, 1990</ref>

Випадкові процеси широко застосовуються в багатьох галузях науки і техніки. Теорія випадкових процесів має велике значення для сучасної фінансової та [[Актуарій|актуарної]] математики.

== Формальне означення ==

Нехай <math>(\Omega, \mathcal A, \mathbf P)</math>&nbsp;— ймовірнісний простір; <math>(\mathbb{R}^n, \mathcal{B})</math>&nbsp;— [[вимірний простір]]; ''t''&nbsp;— параметр, сукупність значень якого, <math>\ T</math> є, в загальному випадку, довільною множиною; <math>\ \omega \in \Omega</math>&nbsp;— [[елементарна подія]].

''Випадковою функцією'' <math>\ \zeta (t, \omega)</math>, <math>t \in T</math>, називають вимірне відображення <math>\ \zeta :\; \Omega \to \mathbb{R}^n</math> простору елементарних подій <math>\ \Omega</math> в <math>\ \mathbb{R}^n</math>, що залежить від параметру ''t''.

Якщо <math>\ T = [a, b]</math>&nbsp;— відрізок [[числова вісь|числової осі]], а параметр ''t'' інтерпретувати як час, то замість терміну «випадкова функція» використовують термін «'''випадковий процес'''».<ref>{{cite book|title=Случайные процессы|editor-first1=В. С.|editor-last1=Зарубин|editor-first2=А. П.|editor-last2=Крищенко|year=1999|location=Москва|publisher=МГТУ им. Н. Э. Баумана|isbn=5-7038-1270-4}} {{ref-ru}}</ref>

== Введення ==

=== Огляд ===

Наукові дослідження в галузі [[теорія випадкових процесів|теорії випадкових процесів]] та її застосувань проводяться по всьому світу. Протягом останніх років інтенсивно розвивалися фрактальні моделі фінансових ринків, в основі яких лежить явище статистичної самоподібності коливань вартості цінних паперів. Подібні моделі використовують такий випадковий процес, як [[дробовий броунівський рух]] та побудовані на ньому стохастичні числення.

У [[Теорія ймовірностей|теорії ймовірності]] та суміжних областях, '''стохастичний''' або '''випадковий процес''' це математичний об'єкт який зазвичай визначають як сукупність [[Випадкова величина|випадкових величин]]. Історично склалося так, що випадкові змінні були пов'язані з набором цифр які, як правило, розглядалися як моменти в часі, даючи тлумачення стохастичному процесу, який представляє числові значення деякої системи яка [[Випадковість|випадковим чином]] змінюється з плином [[час]]у. Наприклад, зростання [[Бактерії|бактеріальної]] популяції, [[електричний струм]] коливається у зв'язку з [[Тепловий шум|тепловим шумом]] або рухом [[газ]]ових [[Молекула|молекул]].<ref name="doob1953stochasticP46to47">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=7Bu8jgEACAAJ|title=Stochastipoic processes|last=Joseph L. Doob|year=1990|publisher=Wiley|page=46 and 47|accessdate=14 травня 2017|archive-date=20 листопада 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20171120031137/https://books.google.com/books?id=7Bu8jgEACAAJ}}</ref><ref name="Parzen1999">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=0mB2CQAAQBAJ|title=Stochastic Processes|last=Emanuel Parzen|date=17 червня 2015|publisher=Courier Dover Publications|page=7 and 8|isbn=978-0-486-79688-8|accessdate=14 травня 2017|archive-date=20 листопада 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20171120031137/https://books.google.com/books?id=0mB2CQAAQBAJ}}</ref><ref name="GikhmanSkorokhod1969page1">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=q0lo91imeD0C|title=Introduction to the Theory of Random Processes|last=Iosif Ilyich Gikhman|last2=Anatoly Vladimirovich Skorokhod|year=1969|publisher=Courier Corporation|page=1|isbn=978-0-486-69387-3|accessdate=14 травня 2017|archive-date=30 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200530215513/https://books.google.com/books?id=q0lo91imeD0C}}</ref> Випадкові процеси широко застосовуються як [[Математична модель|математичні моделі]] систем та явищ, які з'являються, змінюються у випадковому порядку. Вони знаходять своє застосування в багатьох дисциплінах, включаючи такі [[Наука|науки]], такі як [[біологія]],<ref name="Bressloff2014">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=SwZYBAAAQBAJ|title=Stochastic Processes in Cell Biology|last=Paul C. Bressloff|date=22 серпня 2014|publisher=Springer|isbn=978-3-319-08488-6|accessdate=14 травня 2017|archive-date=30 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200530215508/https://books.google.com/books?id=SwZYBAAAQBAJ}}</ref> [[хімія]],<ref name="Kampen2011">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=N6II-6HlPxEC|title=Stochastic Processes in Physics and Chemistry|last=N.G. Van Kampen|date=30 серпня 2011|publisher=Elsevier|isbn=978-0-08-047536-3|accessdate=14 травня 2017|archive-date=30 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200530194414/https://books.google.com/books?id=N6II-6HlPxEC}}</ref> [[екологія]],<ref name="LandeEngen2003">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=6KClauq8OekC|title=Stochastic Population Dynamics in Ecology and Conservation|last=Russell Lande|last2=Steinar Engen|last3=Bernt-Erik Sæther|year=2003|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-852525-7|accessdate=14 травня 2017|archive-date=28 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200528011352/https://books.google.com/books?id=6KClauq8OekC}}</ref> [[Нейронаука|неврологія]],<ref name="LaingLord2010">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=RaYSDAAAQBAJ|title=Stochastic Methods in Neuroscience|last=Carlo Laing|last2=Gabriel J Lord|year=2010|publisher=OUP Oxford|isbn=978-0-19-923507-0|accessdate=14 травня 2017|archive-date=27 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200527122504/https://books.google.com/books?id=RaYSDAAAQBAJ}}</ref> і [[фізика]]<ref name="PaulBaschnagel2013">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=OWANAAAAQBAJ|title=Stochastic Processes: From Physics to Finance|last=Wolfgang Paul|last2=Jörg Baschnagel|date=11 липня 2013|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-319-00327-6|accessdate=14 травня 2017|archive-date=30 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200530135058/https://books.google.com/books?id=OWANAAAAQBAJ}}</ref>, а також [[Технологія|технологій]] і [[Інженерія|технічних]] галузях, таких як [[обробка зображень]], [[обробка сигналів]],<ref name="Dougherty1999">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=ePxDAQAAIAAJ|title=Random processes for image and signal processing|last=Edward R. Dougherty|year=1999|publisher=SPIE Optical Engineering Press|isbn=978-0-8194-2513-3|accessdate=14 травня 2017|archive-date=29 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200529124253/https://books.google.com/books?id=ePxDAQAAIAAJ}}</ref> [[теорія інформації]],<ref name="CoverThomas2012page71">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=VWq5GG6ycxMC=PT16|title=Elements of Information Theory|last=Thomas M. Cover|last2=Joy A. Thomas|date=28 листопада 2012|publisher=John Wiley & Sons|page=71|isbn=978-1-118-58577-1|accessdate=14 травня 2017|archive-date=29 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200529103016/https://books.google.com/books?id=VWq5GG6ycxMC=PT16}}</ref> [[інформатика]],<ref name="Baron2015">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=CwQZCwAAQBAJ|title=Probability and Statistics for Computer Scientists, Second Edition|last=Michael Baron|date=15 вересня 2015|publisher=CRC Press|page=131|isbn=978-1-4987-6060-7|accessdate=14 травня 2017|archive-date=29 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200529201001/https://books.google.com/books?id=CwQZCwAAQBAJ}}</ref> [[криптографія]]<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=ddsrGdsgN9sC&pg=PA269|title=Introduction to Modern Cryptography: Principles and Protocols|last=Jonathan Katz|last2=Yehuda Lindell|date=2007-08-31|publisher=CRC Press|page=26|isbn=978-1-58488-586-3|accessdate=14 травня 2017|archive-date=27 квітня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200427144454/https://books.google.com/books?id=ddsrGdsgN9sC&pg=PA269}}</ref> і [[Телекомунікації|телекомунікацій]].<ref name="BaccelliBlaszczyszyn2009">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=H3ZkTN2pYS4C|title=Stochastic Geometry and Wireless Networks|last=François Baccelli|last2=Bartlomiej Blaszczyszyn|year=2009|publisher=Now Publishers Inc|isbn=978-1-60198-264-3|accessdate=14 травня 2017|archive-date=30 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200530194418/https://books.google.com/books?id=H3ZkTN2pYS4C}}</ref> Крім того, випадкові зміни у [[Фінансовий ринок|фінансових ринках]] спонукали широке використання стохастичних процесів у фінансах.<ref name="Steele2001">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=H06xzeRQgV4C|title=Stochastic Calculus and Financial Applications|last=J. Michael Steele|year=2001|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-95016-7|accessdate=14 травня 2017|archive-date=30 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200530210653/https://books.google.com/books?id=H06xzeRQgV4C}}</ref><ref name="MusielaRutkowski2006">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=iojEts9YAxIC|title=Martingale Methods in Financial Modelling|last=Marek Musiela|last2=Marek Rutkowski|date=21 січня 2006|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-540-26653-2|accessdate=14 травня 2017|archive-date=27 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200527114340/https://books.google.com/books?id=iojEts9YAxIC}}</ref><ref name="Shreve2004">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=O8kD1NwQBsQC|title=Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models|last=Steven E. Shreve|date=3 червня 2004|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-40101-0|accessdate=14 травня 2017|archive-date=28 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200528234355/https://books.google.com/books?id=O8kD1NwQBsQC}}</ref>

Вивчення явища, в свою чергу, спровокувало вивчення нових випадкових процесів. Прикладами таких випадкових процесів вважають [[Вінерівський процес]] або [[Броунівський рух]],{{Efn|The term ''Brownian motion'' can refer to the physical process, also known as ''Brownian movement'', and the stochastic process, a mathematical object, but to avoid ambiguity this article uses the terms ''Brownian motion process'' or ''Wiener process'' for the latter in a style similar to, for example, Gikham and Skorokhod<ref name="GikhmanSkorokhod1969">{{cite book|author1=Iosif Ilyich Gikhman|author2=Anatoly Vladimirovich Skorokhod|title=Introduction to the Theory of Random Processes|url=https://books.google.com/books?id=yJyLzG7N7r8C|year=1969|publisher=Courier Corporation|isbn=978-0-486-69387-3|accessdate=14 травня 2017|archive-date=27 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200527122501/https://books.google.com/books?id=yJyLzG7N7r8C}}</ref> or Rosenblatt.<ref name="Rosenblatt1962">{{cite book|author=Murray Rosenblatt|title=Random Processes|url=https://books.google.com/books?id=5-lQAAAAMAAJ|year=1962|publisher=Oxford University Press|accessdate=14 травня 2017|archive-date=18 серпня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200818182344/https://books.google.com/books?id=5-lQAAAAMAAJ}}</ref>}},який використовувався [[Луї Башельє]] для вивчення зміни цін на [[Паризька біржа|Паризькій фондовій біржі]],<ref name="JarrowProtter2004">{{cite journal|last1=Jarrow|first1=Robert|last2=Protter|first2=Philip|title=A short history of stochastic integration and mathematical finance: the early years, 1880–1970|year=2004|pages=75–80|issn=0749-2170|doi=10.1214/lnms/1196285381}}</ref> і [[Пуассонівський процес]], який використовувався А.&nbsp;К.&nbsp;Ерланген, щоб вивчити кількість телефонних дзвінків, які відбуваються в певний період часу.<ref name="Stirzaker2000">{{cite journal|last1=Stirzaker|first1=David|title=Advice to Hedgehogs, or, Constants Can Vary|journal=The Mathematical Gazette|volume=84|issue=500|year=2000|pages=197|issn=0025-5572|doi=10.2307/3621649}}</ref> ці дві стохастичні процеси є найбільш важливими і відіграють центральну роль у теорії випадкових процесів,<ref name="doob1953stochasticP46to47"/><ref name="Parzen1999"/><ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=c_3UBwAAQBAJ|title=Random Point Processes in Time and Space|last=Donald L. Snyder|last2=Michael I. Miller|date=6 грудня 2012|publisher=Springer Science & Business Media|page=32|isbn=978-1-4612-3166-0|accessdate=14 травня 2017|archive-date=20 листопада 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20171120031137/https://books.google.com/books?id=c_3UBwAAQBAJ}}</ref> і були виявлені неодноразово і незалежно, як до, так і після Башельє і Ерланга, в різних умовах і країнах.<ref name="GuttorpThorarinsdottir2012">{{cite journal|last1=Guttorp|first1=Peter|last2=Thorarinsdottir|first2=Thordis L.|title=What Happened to Discrete Chaos, the Quenouille Process, and the Sharp Markov Property? Some History of Stochastic Point Processes|journal=International Statistical Review|volume=80|issue=2|year=2012|pages=253–268|issn=0306-7734|doi=10.1111/j.1751-5823.2012.00181.x}}</ref>

Термін '''випадкова функція''' також використовується для позначення стохастичного або випадкового процесу<ref name="GusakKukush2010page21">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=8Nzn51YTbX4C&pg=PA1|title=Theory of Stochastic Processes: With Applications to Financial Mathematics and Risk Theory|last=Dmytro Gusak|last2=Alexander Kukush|last3=Alexey Kulik|last4=Yuliya Mishura|last5=Andrey Pilipenko|date=10 липня 2010|publisher=Springer Science & Business Media|page=21|isbn=978-0-387-87862-1|accessdate=14 травня 2017|archive-date=8 листопада 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20201108072148/https://books.google.com/books?id=8Nzn51YTbX4C&pg=PA1}}</ref><ref name="Skorokhod2005page42">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=dQkYMjRK3fYC|title=Basic Principles and Applications of Probability Theory|last=Valeriy Skorokhod|date=5 грудня 2005|publisher=Springer Science & Business Media|page=42|isbn=978-3-540-26312-8|accessdate=14 травня 2017|archive-date=23 березня 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20170323172037/https://books.google.com/books?id=dQkYMjRK3fYC}}</ref>, тому що стохастичний процес можна інтерпретувати як випадковий елемент в функціональному просторі.<ref name="Lamperti1977page1">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=Pd4cvgAACAAJ|title=Stochastic processes: a survey of the mathematical theory|last=John Lamperti|year=1977|publisher=Springer-Verlag|pages=1– 2|isbn=978-3-540-90275-1|accessdate=14 травня 2017|archive-date=23 березня 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20170323133602/https://books.google.com/books?id=Pd4cvgAACAAJ}}</ref> у плані ''випадкового процесу'' і ''випадкового процесу'' використовуються як синоніми, часто без конкретного математичного простору для набору індексів випадкових величин.<ref name="Kallenberg2002page24">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=L6fhXh13OyMC|title=Foundations of Modern Probability|last=Olav Kallenberg|date=8 січня 2002|publisher=Springer Science & Business Media|pages=24–25|isbn=978-0-387-95313-7|accessdate=14 травня 2017|archive-date=29 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200529093658/https://books.google.com/books?id=L6fhXh13OyMC}}</ref><ref name="ChaumontYor2012">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=1dcqV9mtQloC&pg=PR4|title=Exercises in Probability: A Guided Tour from Measure Theory to Random Processes, Via Conditioning|last=Loïc Chaumont|last2=Marc Yor|date=19 липня 2012|publisher=Cambridge University Press|page=175|isbn=978-1-107-60655-5|accessdate=14 травня 2017|archive-date=27 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200527132542/https://books.google.com/books?id=1dcqV9mtQloC&pg=PR4}}</ref>, але часто ці два терміни використовуються, коли випадкові величини індексуються [[Цілі числа|цілими числами]] або [[Проміжок|інтервалом]] на дійсній прямій. Якщо випадкові величини індексуються на [[Декартова система координат|Декартовій площині]] або на [[Евклідів простір|Евклідовому просторі]], то набір випадкових величин зазвичай називають випадковим полем.<ref name="AdlerTaylor2009page7">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=R5BGvQ3ejloC|title=Random Fields and Geometry|last=Robert J. Adler|last2=Jonathan E. Taylor|date=29 січня 2009|publisher=Springer Science & Business Media|pages=7–8|isbn=978-0-387-48116-6|accessdate=14 травня 2017|archive-date=30 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200530112811/https://books.google.com/books?id=R5BGvQ3ejloC}}</ref> Значення випадкового процесу не завжди є цифрами і можуть бути векторами або іншими математичними об'єктами.

На основі властивостей випадкових процесів, їх можна розділити на різні категорії, які включають в себе [[Випадкове блукання|випадкові блукання]],<ref name="LawlerLimic2010">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=UBQdwAZDeOEC|title=Random Walk: A Modern Introduction|last=Gregory F. Lawler|last2=Vlada Limic|date=24 червня 2010|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-139-48876-1|accessdate=14 травня 2017|archive-date=28 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200528172751/https://books.google.com/books?id=UBQdwAZDeOEC}}</ref> [[мартингал]]и,<ref name="Williams1991">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=e9saZ0YSi-AC|title=Probability with Martingales|last=David Williams|date=14 лютого 1991|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-40605-5|accessdate=14 травня 2017|archive-date=28 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200528014848/https://books.google.com/books?id=e9saZ0YSi-AC}}</ref> [[Ланцюги Маркова|Марківські процеси]],<ref name="RogersWilliams2000">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=W0ydAgAAQBAJ&pg=PA1|title=Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations|last=L. C. G. Rogers|last2=David Williams|date=13 квітня 2000|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-107-71749-7|accessdate=14 травня 2017|archive-date=29 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200529230600/https://books.google.com/books?id=W0ydAgAAQBAJ&pg=PA1}}</ref> [[процес Леві]],<ref name="ApplebaumBook2004">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=q7eDUjdJxIkC|title=Lévy Processes and Stochastic Calculus|last=David Applebaum|date=5 липня 2004|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-83263-2|accessdate=14 травня 2017|archive-date=28 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200528160417/https://books.google.com/books?id=q7eDUjdJxIkC}}</ref> [[Гауссівський процес|Гауссівські процесів]],<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=03m2UxI-UYMC|title=Lectures on Gaussian Processes|last=Mikhail Lifshits|date=2012-01-11|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-642-24939-6|accessdate=14 травня 2017|archive-date=27 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200527032446/https://books.google.com/books?id=03m2UxI-UYMC}}</ref> і випадкові поля,<ref name="Adler2010">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=ryejJmJAj28C&pg=PA1|title=The Geometry of Random Fields|last=Robert J. Adler|date=28 січня 2010|publisher=SIAM|isbn=978-0-89871-693-1|accessdate=14 травня 2017|archive-date=28 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200528184535/https://books.google.com/books?id=ryejJmJAj28C&pg=PA1}}</ref> [[Теорія відновлення|відновлення процесів]] і розгалужених процесів.<ref name="KarlinTaylor2012">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=dSDxjX9nmmMC|title=A First Course in Stochastic Processes|last=Samuel Karlin|last2=Howard E. Taylor|date=2 грудня 2012|publisher=Academic Press|isbn=978-0-08-057041-9|accessdate=14 травня 2017|archive-date=23 березня 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20170323132708/https://books.google.com/books?id=dSDxjX9nmmMC}}</ref> Вивчення випадкових процесів вимагає математичних знань та методів [[Імовірність|ймовірностей]], [[Обчислення|матаналізу]], [[Лінійна алгебра|лінійної алгебри]], [[Теорія множин|теорії множин]] і [[Топологія|топології]]<ref name="Hajek2015">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=Owy0BgAAQBAJ|title=Random Processes for Engineers|last=Bruce Hajek|date=12 березня 2015|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-316-24124-0|accessdate=14 травня 2017|archive-date=23 березня 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20170323134957/https://books.google.com/books?id=Owy0BgAAQBAJ}}</ref><ref name="LatoucheRamaswami1999">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=Kan2ki8jqzgC|title=Introduction to Matrix Analytic Methods in Stochastic Modeling|last=G. Latouche|last2=V. Ramaswami|date=1 січня 1999|publisher=SIAM|isbn=978-0-89871-425-8|accessdate=14 травня 2017|archive-date=28 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200528134440/https://books.google.com/books?id=Kan2ki8jqzgC}}</ref><ref name="DaleyVere-Jones2007">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=nPENXKw5kwcC|title=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure|last=D.J. Daley|last2=David Vere-Jones|date=12 листопада 2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-21337-8|accessdate=14 травня 2017|archive-date=29 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200529051529/https://books.google.com/books?id=nPENXKw5kwcC}}</ref>, а також галузі [[Математичний аналіз|математичного аналізу]], такі як аналіз, [[Міра множини|теорія множин]], [[Аналіз Фур'є|Фур'є-аналіз]] та [[Функціональний аналіз|функціонального аналізу]].<ref name="Billingsley2008">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=QyXqOXyxEeIC|title=Probability and Measure|last=Patrick Billingsley|date=4 серпня 2008|publisher=Wiley India Pvt. Limited|isbn=978-81-265-1771-8|accessdate=14 травня 2017|archive-date=30 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200530014317/https://books.google.com/books?id=QyXqOXyxEeIC}}</ref><ref name="Brémaud2014">{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=dP2JBAAAQBAJ&pg=PA1|title=Fourier Analysis and Stochastic Processes|date=16 вересня 2014|publisher=Springer|isbn=978-3-319-09590-5|author=Pierre Brémaud|accessdate=14 травня 2017|archive-date=30 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200530215512/https://books.google.com/books?id=dP2JBAAAQBAJ&pg=PA1}}</ref><ref name="Bobrowski2005">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=q7dR3d5nqaUC|title=Functional Analysis for Probability and Stochastic Processes: An Introduction|last=Adam Bobrowski|date=11 серпня 2005|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-83166-6|accessdate=14 травня 2017|archive-date=29 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200529103019/https://books.google.com/books?id=q7dR3d5nqaUC}}</ref> Теорія випадкових процесів є важливим внеском у математику<ref name="Applebaum2004">{{cite journal|last1=Applebaum|first1=David|title=Lévy processes: From probability to finance and quantum groups|journal=Notices of the AMS|volume=51|issue=11|year=2004|pages=1336–1347}}</ref> і вона продовжує бути актуальною темою дослідження, як для теоретичних основ і додатків.<ref name="BlathImkeller2011">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=CyK6KAjwdYkC|title=Surveys in Stochastic Processes|last=Jochen Blath|last2=Peter Imkeller|last3=Sylvie Rœlly|year=2011|publisher=European Mathematical Society|isbn=978-3-03719-072-2|accessdate=14 травня 2017|archive-date=29 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200529103015/https://books.google.com/books?id=CyK6KAjwdYkC}}</ref><ref name="Talagrand2014">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=tfa5BAAAQBAJ&pg=PR4|title=Upper and Lower Bounds for Stochastic Processes: Modern Methods and Classical Problems|last=Michel Talagrand|date=12 лютого 2014|publisher=Springer Science & Business Media|pages=4–|isbn=978-3-642-54075-2|accessdate=14 травня 2017|archive-date=29 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200529230612/https://books.google.com/books?id=tfa5BAAAQBAJ&pg=PR4}}</ref><ref name="Bressloff2014VII">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=SwZYBAAAQBAJ&pg=PA1|title=Stochastic Processes in Cell Biology|last=Paul C. Bressloff|date=22 серпня 2014|publisher=Springer|pages=vii–ix|isbn=978-3-319-08488-6|accessdate=14 травня 2017|archive-date=26 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200526201516/https://books.google.com/books?id=SwZYBAAAQBAJ&pg=PA1}}</ref>

Стохастичний або випадковий процес можна визначити як сукупність випадкових величин, яка індексується за деяким математичним набором, це означає, що кожна випадкова величина стохастичного процесу однозначно асоціюється з елементом в наборі.<ref name="Parzen1999"/><ref name="GikhmanSkorokhod1969page1"/> Набір, що використовується для індексації випадкових величин, називається набір індексів. Історично, набір індексів був деякою [[Підмножина|підмножиною]] з реальної лінії, такої як [[натуральні числа]], що дають набору індексів інтерпретацію в часі.<ref name="doob1953stochasticP46to47"/> Кожна випадкова величина в колекції приймає значення з того ж математичного простору відомого як '''[[Простір станів (теорія керування)|простір станів]]'''. У цьому стані простір може бути, наприклад, як число, лінія або <math>n</math>-мірний Евклідовий простір.<ref name="doob1953stochasticP46to47"/><ref name="GikhmanSkorokhod1969page1"/> '''Приріст'''&nbsp;— це сума, яку стохастичний процес змінює між двома значеннями індексу, часто інтерпретується як дві точки в часі.<ref name="KarlinTaylor2012page27"/><ref name="Applebaum2004page1337">{{cite journal|last1=Applebaum|first1=David|title=Lévy processes: From probability to finance and quantum groups|journal=Notices of the AMS|volume=51|issue=11|year=2004|page=1337}}</ref> Стохастичний процес може мати багато випадків, через свою хаотичність, і єдиний результат випадкового процесу називається, серед інших імен, '''приклад функції''' або '''реалізація'''.<ref name="Lamperti1977page1"/><ref name="RogersWilliams2000page121b">{{cite book|author1=L. C. G. Rogers|author2=David Williams|title=Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations|url=https://books.google.com/books?id=W0ydAgAAQBAJ&pg=PA1|date=13 квітня 2000|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-107-71749-7|pages=121–124|accessdate=14 травня 2017|archive-date=29 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200529230600/https://books.google.com/books?id=W0ydAgAAQBAJ&pg=PA1}}</ref>

[[Файл:Wiener_process_3d.png|праворуч|міні|'''Приклад функції''' або '''реалізація''', серед інших термінів, тривимірний Вінерівський процес або Броунівський рух часу 0 ≤ t ≤ 2. Множина індексів цього випадкового процесу є невід'ємними числами, у той час як його простір- тривимірний Евклідовий простір.]]

=== Класифікація ===

Стохастичний процес може бути класифікований по-різному, наприклад, за його простором, його набором індексів, або залежністю між випадковими величинами. Один з найпоширеніших способів класифікації є [[Потужність множини|потужність]] множини індексів і стан простору.<ref name="Florescu2014page294"/><ref name="KarlinTaylor2012page26">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=dSDxjX9nmmMC|title=A First Course in Stochastic Processes|last=Samuel Karlin|last2=Howard E. Taylor|date=2 грудня 2012|publisher=Academic Press|page=26|isbn=978-0-08-057041-9|accessdate=14 травня 2017|archive-date=23 березня 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20170323132708/https://books.google.com/books?id=dSDxjX9nmmMC}}</ref><ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=c_3UBwAAQBAJ|title=Random Point Processes in Time and Space|last=Donald L. Snyder|last2=Michael I. Miller|date=6 грудня 2012|publisher=Springer Science & Business Media|page=24 and 25|isbn=978-1-4612-3166-0|accessdate=14 травня 2017|archive-date=20 листопада 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20171120031137/https://books.google.com/books?id=c_3UBwAAQBAJ}}</ref>

Якщо множина індексів випадкового процесу, що інтерпретується як час, має кінцеве або зчисленне число елементів, наприклад множина цілих або натуральних чисел, то кажуть, що випадковий процес '''дискретний в часі'''.<ref name="Billingsley2008page482"/><ref name="Borovkov2013page527">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=hRk_AAAAQBAJ|title=Probability Theory|last=Alexander A. Borovkov|date=22 червня 2013|publisher=Springer Science & Business Media|page=527|isbn=978-1-4471-5201-9|accessdate=14 травня 2017|archive-date=29 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200529230607/https://books.google.com/books?id=hRk_AAAAQBAJ}}</ref> Якщо множина індексів це деякий інтервал на дійсній прямій, то час вважається '''безперервним'''. Два типи випадкових процесів відповідно називаються '''дискретний за часом''' і '''безперервний за часом, випадкові процеси'''.<ref name="KarlinTaylor2012page27"/><ref name="Brémaud2014page120"/><ref name="Rosenthal2006page177">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=am1IDQAAQBAJ|title=A First Look at Rigorous Probability Theory|last=Jeffrey S Rosenthal|date=14 листопада 2006|publisher=World Scientific Publishing Co Inc|pages=177–178|isbn=978-981-310-165-4|accessdate=14 травня 2017|archive-date=29 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200529144001/https://books.google.com/books?id=am1IDQAAQBAJ}}</ref> Випадкові процеси з дискретним часом вважаються більш легкими для вивчення, тому що неперервні за часом процеси вимагають більш складних математичних методів і знань, зокрема через те що множина індексів незліченна.<ref name="KloedenPlaten2013page63">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=r9r6CAAAQBAJ=PA1|title=Numerical Solution of Stochastic Differential Equations|last=Peter E. Kloeden|last2=Eckhard Platen|date=17 квітня 2013|publisher=Springer Science & Business Media|page=63|isbn=978-3-662-12616-5|accessdate=14 травня 2017|archive-date=29 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200529051537/https://books.google.com/books?id=r9r6CAAAQBAJ=PA1}}</ref><ref name="Khoshnevisan2006page153">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=XADpBwAAQBAJ|title=Multiparameter Processes: An Introduction to Random Fields|last=Davar Khoshnevisan|date=10 квітня 2006|publisher=Springer Science & Business Media|pages=153–155|isbn=978-0-387-21631-7|accessdate=14 травня 2017|archive-date=29 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200529125033/https://books.google.com/books?id=XADpBwAAQBAJ}}</ref> Якщо множина індексів числа, або деяка їх підмножина, то випадковий процес можна назвати '''випадковою послідовністю'''.<ref name="Borovkov2013page527"/>

Якщо простір є простором цілих або натуральних чисел, то випадковий процес називається '''дискретним''' або '''цілочисельним випадковим процесом'''. Якщо простір є раціональним, то випадковий процес називається '''процесом з безперервним простором станів'''. Якщо простір є <math>n</math>-мірним Евклідовим простором, то випадковий процес називається <math>n</math>-'''вимірний векторний процес''' або <math>n</math>-'''векторний процес'''.<ref name="Florescu2014page294"/><ref name="KarlinTaylor2012page26"/>

== Приклади випадкових процесів ==

=== Процес Бернуллі ===

Одним з найпростіших випадкових процесів є [[процес Бернуллі]],<ref name="Florescu2014page293"/> який являє собою послідовність [[Незалежні однаково розподілені випадкові величини|незалежних і однаково розподілених]] випадкових величин, де кожна випадкова величина приймає значення з імовірністю, скажімо, <math>p</math> і нульове значення з імовірністю <math>1-p</math>. Цей процес можна порівняти з підкиданням монети, де ймовірність отримання аверсу (лицьової сторони монети) <math>p</math> і його значення дорівнює одиниці, а значення реверса(зворотної сторони монети) дорівнює нулю.<ref name="Florescu2014page301">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=Z5xEBQAAQBAJ&pg=PR22|title=Probability and Stochastic Processes|last=Ionut Florescu|date=7 листопада 2014|publisher=John Wiley & Sons|page=301|isbn=978-1-118-59320-2|accessdate=14 травня 2017|archive-date=23 березня 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20170323153417/https://books.google.com/books?id=Z5xEBQAAQBAJ&pg=PR22}}</ref> Іншими словами, процес Бернуллі&nbsp;— це послідовність випадкових величин Бернуллі,<ref name="BertsekasTsitsiklis2002page273">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=bcHaAAAAMAAJ|title=Introduction to Probability|last=Dimitri P. Bertsekas|last2=John N. Tsitsiklis|year=2002|publisher=Athena Scientific|page=273|isbn=978-1-886529-40-3|accessdate=14 травня 2017|archive-date=30 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200530085348/https://books.google.com/books?id=bcHaAAAAMAAJ}}</ref> де кожне підкидання монети&nbsp;— це випробовування Бернуллі.<ref name="Ibe2013page11">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=DUqaAAAAQBAJ&pg=PT10|title=Elements of Random Walk and Diffusion Processes|last=Oliver C. Ibe|date=29 серпня 2013|publisher=John Wiley & Sons|page=11|isbn=978-1-118-61793-9|accessdate=14 травня 2017|archive-date=27 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200527045922/https://books.google.com/books?id=DUqaAAAAQBAJ&pg=PT10}}</ref>

=== Випадкове блукання ===

[[Випадкове блукання|Випадкові блукання]]&nbsp;— це стохастичні процеси, які зазвичай визначаються як суми випадкових величин або випадкових векторів в Евклідовому просторі, тому вони є процесами, які змінюються в дискретному часі.<ref name="Klenke2013page347">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=aqURswEACAAJ|title=Probability Theory: A Comprehensive Course|last=Achim Klenke|date=30 вересня 2013|publisher=Springer|pages=347|isbn=978-1-4471-5362-7|accessdate=14 травня 2017|archive-date=29 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200529103013/https://books.google.com/books?id=aqURswEACAAJ}}</ref><ref name="LawlerLimic2010page1">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=UBQdwAZDeOEC|title=Random Walk: A Modern Introduction|last=Gregory F. Lawler|last2=Vlada Limic|date=24 червня 2010|publisher=Cambridge University Press|page=1|isbn=978-1-139-48876-1|accessdate=14 травня 2017|archive-date=28 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200528172751/https://books.google.com/books?id=UBQdwAZDeOEC}}</ref><ref name="Kallenberg2002page136">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=L6fhXh13OyMC|title=Foundations of Modern Probability|last=Olav Kallenberg|date=8 січня 2002|publisher=Springer Science & Business Media|page=136|isbn=978-0-387-95313-7|accessdate=14 травня 2017|archive-date=29 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200529093658/https://books.google.com/books?id=L6fhXh13OyMC}}</ref><ref name="Florescu2014page383">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=Z5xEBQAAQBAJ&pg=PR22|title=Probability and Stochastic Processes|last=Ionut Florescu|date=7 листопада 2014|publisher=John Wiley & Sons|page=383|isbn=978-1-118-59320-2|accessdate=14 травня 2017|archive-date=23 березня 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20170323153417/https://books.google.com/books?id=Z5xEBQAAQBAJ&pg=PR22}}</ref><ref name="Durrett2010page277">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=evbGTPhuvSoC|title=Probability: Theory and Examples|last=Rick Durrett|date=30 серпня 2010|publisher=Cambridge University Press|page=277|isbn=978-1-139-49113-6|accessdate=14 травня 2017|archive-date=29 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200529103018/https://books.google.com/books?id=evbGTPhuvSoC}}</ref> Але деякі також використовують цей термін для позначення процесів, які змінюються в безперервному часу,<ref name="Weiss2006page1">{{cite journal|last1=Weiss|first1=George H.|title=Random Walks|year=2006|doi=10.1002/0471667196.ess2180.pub2|page=1}}</ref> зокрема, Вінерівський процес, використовуваний в області фінансів, що призвело до деякої плутанини, що в результаті його критики.<ref name="Spanos1999page454">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=G0_HxBubGAwC|title=Probability Theory and Statistical Inference: Econometric Modeling with Observational Data|last=Aris Spanos|date=2 вересня 1999|publisher=Cambridge University Press|page=454|isbn=978-0-521-42408-0|accessdate=14 травня 2017|archive-date=29 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200529124251/https://books.google.com/books?id=G0_HxBubGAwC}}</ref> Є й інші різні типи випадкових блукань, визначені так, що їх простором можуть бути й інші математичні об'єкти, такі як грати і групи, і взагалі вони сильно вивчені і мають багато застосувань у різних дисциплінах.<ref name="Weiss2006page1"/><ref name="Klebaner2005page81">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=JYzW0uqQxB0C|title=Introduction to Stochastic Calculus with Applications|last=Fima C. Klebaner|year=2005|publisher=Imperial College Press|page=81|isbn=978-1-86094-555-7|accessdate=14 травня 2017|archive-date=28 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200528160411/https://books.google.com/books?id=JYzW0uqQxB0C}}</ref>

Класичний приклад випадкового блукання відомий як ''проста випадкова прогулянка'', яка являє собою випадковий процес в дискретному часі з числами в просторі станів, і на основі процесу Бернуллі, де кожна іід Бернуллі змінна приймає позитивне або негативне значення. Іншими словами, просте випадкове блукання відбувається на цілих числах, і його значення збільшується на одиницю з імовірністю, скажімо, <math>p</math> або зменшується на негативне число з ймовірністю <math>1-p</math>, що індекс випадкового блукання&nbsp;— це натуральні числа, а його простір чисел&nbsp;— цілі числа. Якщо <math>p=0.5</math>, це випадкове блукання називається симетричним випадковим блуканням.<ref name="Gut2012page88">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=XDFA-n_M5hMC|title=Probability: A Graduate Course|last=Allan Gut|date=17 жовтня 2012|publisher=Springer Science & Business Media|page=88|isbn=978-1-4614-4708-5|accessdate=14 травня 2017|archive-date=28 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200528014856/https://books.google.com/books?id=XDFA-n_M5hMC}}</ref><ref name="GrimmettStirzaker2001page71">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=G3ig-0M4wSIC|title=Probability and Random Processes|last=Geoffrey Grimmett|last2=David Stirzaker|date=31 травня 2001|publisher=OUP Oxford|page=71|isbn=978-0-19-857222-0|accessdate=14 травня 2017|archive-date=29 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200529051534/https://books.google.com/books?id=G3ig-0M4wSIC}}</ref>

=== Вінерівський процес ===

Вінерівський процес є випадковим процесом з стаціонарними і незалежними приростами, які [[Нормальний розподіл|зазвичай розподіляються]] виходячи з розміру надбавок.<ref name="RogersWilliams2000page1">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=W0ydAgAAQBAJ&pg=PA1|title=Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations|last=L. C. G. Rogers|last2=David Williams|date=13 квітня 2000|publisher=Cambridge University Press|page=1|isbn=978-1-107-71749-7|accessdate=14 травня 2017|archive-date=29 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200529230600/https://books.google.com/books?id=W0ydAgAAQBAJ&pg=PA1}}</ref><ref name="Klebaner2005page56">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=JYzW0uqQxB0C|title=Introduction to Stochastic Calculus with Applications|last=Fima C. Klebaner|year=2005|publisher=Imperial College Press|page=56|isbn=978-1-86094-555-7|accessdate=14 травня 2017|archive-date=28 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200528160411/https://books.google.com/books?id=JYzW0uqQxB0C}}</ref> Вінерівський процес названий на честь [[Норберт Вінер|Норберта Вінера]], який довів його математичного існування, але цей процес також називають Броунівським рухом процес або Броунівський рух через його історичний зв'язок з моделлю Броунівського руху в рідинах.<ref name="Brush1968page1">{{cite journal|last1=Brush|first1=Stephen G.|title=A history of random processes|journal=Archive for History of Exact Sciences|volume=5|issue=1|year=1968|pages=1–2|issn=0003-9519|doi=10.1007/BF00328110}}</ref><ref name="Applebaum2004page1338">{{cite journal|last1=Applebaum|first1=David|title=Lévy processes: From probability to finance and quantum groups|journal=Notices of the AMS|volume=51|issue=11|year=2004|pages=1338}}</ref><ref name="GikhmanSkorokhod1969page21">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=yJyLzG7N7r8C&pg=PR2|title=Introduction to the Theory of Random Processes|last=Iosif Ilyich Gikhman|last2=Anatoly Vladimirovich Skorokhod|year=1969|publisher=Courier Corporation|page=21|isbn=978-0-486-69387-3|accessdate=14 травня 2017|archive-date=28 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200528171311/https://books.google.com/books?id=yJyLzG7N7r8C&pg=PR2}}</ref>

[[Файл:DriftedWienerProcess1D.svg|ліворуч|міні|Реалізація Вінерівського процесу (процеси Броунівського руху або) з дрифтом (blue) і без зміщення (red).]]

Відіграючи центральну роль у теорії ймовірності, Вінерівський процес часто вважається найбільш важливим і дослідженим стохастичним процесом, зі зв'язками з іншими випадковими процесами.,<ref name="doob1953stochasticP46to47"/><ref name="RogersWilliams2000page1"/><ref name="Steele2012page29">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=fsgkBAAAQBAJ&pg=PR4|title=Stochastic Calculus and Financial Applications|last=J. Michael Steele|date=6 грудня 2012|publisher=Springer Science & Business Media|page=29|isbn=978-1-4684-9305-4|accessdate=14 травня 2017|archive-date=29 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200529125045/https://books.google.com/books?id=fsgkBAAAQBAJ&pg=PR4}}</ref><ref name="Florescu2014page471">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=Z5xEBQAAQBAJ&pg=PR22|title=Probability and Stochastic Processes|last=Ionut Florescu|date=7 листопада 2014|publisher=John Wiley & Sons|page=471|isbn=978-1-118-59320-2|accessdate=14 травня 2017|archive-date=23 березня 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20170323153417/https://books.google.com/books?id=Z5xEBQAAQBAJ&pg=PR22}}</ref><ref name="KarlinTaylor2012page21">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=dSDxjX9nmmMC|title=A First Course in Stochastic Processes|last=Samuel Karlin|last2=Howard E. Taylor|date=2 грудня 2012|publisher=Academic Press|pages=21 and 22|isbn=978-0-08-057041-9|accessdate=14 травня 2017|archive-date=23 березня 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20170323132708/https://books.google.com/books?id=dSDxjX9nmmMC}}</ref><ref name="KaratzasShreve2014pageVIII">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=w0SgBQAAQBAJ&pg=PT5|title=Brownian Motion and Stochastic Calculus|last=Ioannis Karatzas|last2=Steven Shreve|year=1991|publisher=Springer|page=VIII|isbn=978-1-4612-0949-2|accessdate=14 травня 2017|archive-date=28 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200528184534/https://books.google.com/books?id=w0SgBQAAQBAJ&pg=PT5}}</ref><ref name="RevuzYor2013pageIX">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=OYbnCAAAQBAJ|title=Continuous Martingales and Brownian Motion|last=Daniel Revuz|last2=Marc Yor|date=9 березня 2013|publisher=Springer Science & Business Media|page=IX|isbn=978-3-662-06400-9|accessdate=14 травня 2017|archive-date=31 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200531014447/https://books.google.com/books?id=OYbnCAAAQBAJ}}</ref> Множина індексів і простір станів є невід'ємними числами і дійсними числами, відповідно.<ref name="Rosenthal2006page186">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=am1IDQAAQBAJ|title=A First Look at Rigorous Probability Theory|last=Jeffrey S Rosenthal|date=14 листопада 2006|publisher=World Scientific Publishing Co Inc|page=186|isbn=978-981-310-165-4|accessdate=14 травня 2017|archive-date=29 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200529144001/https://books.google.com/books?id=am1IDQAAQBAJ}}</ref> Але цей процес може бути визначений більш широко, так що його становий простір може бути <math>n</math>-мірним Евклідовим простором.<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=c_3UBwAAQBAJ|title=Random Point Processes in Time and Space|last=Donald L. Snyder|last2=Michael I. Miller|date=6 грудня 2012|publisher=Springer Science & Business Media|page=33|isbn=978-1-4612-3166-0|accessdate=14 травня 2017|archive-date=20 листопада 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20171120031137/https://books.google.com/books?id=c_3UBwAAQBAJ}}</ref> Якщо [[Середнє значення|значення]] будь-якого приросту дорівнює нулю, то результат Вінер або процес Броунівського руху має дрейф нуля. Якщо середнє значення інкременту для будь-яких двох точок по часу дорівнює різниці часу помноженій на деяку константу <math> \mu</math>, що є дійсним числом, то кажуть випадковий процес має дрейф <math> \mu</math>.<ref name="Steele2012page118">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=fsgkBAAAQBAJ&pg=PR4|title=Stochastic Calculus and Financial Applications|last=J. Michael Steele|date=6 грудня 2012|publisher=Springer Science & Business Media|page=118|isbn=978-1-4684-9305-4|accessdate=14 травня 2017|archive-date=29 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200529125045/https://books.google.com/books?id=fsgkBAAAQBAJ&pg=PR4}}</ref><ref name="KaratzasShreve2014page78">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=w0SgBQAAQBAJ&pg=PT5|title=Brownian Motion and Stochastic Calculus|last=Ioannis Karatzas|last2=Steven Shreve|year=1991|publisher=Springer|page=78|isbn=978-1-4612-0949-2|accessdate=14 травня 2017|archive-date=28 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200528184534/https://books.google.com/books?id=w0SgBQAAQBAJ&pg=PT5}}</ref>

=== Процес Пуассона ===

[[Процес Пуассона]] або точковий процес Пуассона являє собою стохастичний процес, який має різні форми та визначення.<ref name="Tijms2003page1">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=eBeNngEACAAJ|title=A First Course in Stochastic Models|last=Henk C. Tijms|date=6 травня 2003|publisher=Wiley|pages=1 and 2|isbn=978-0-471-49881-0|accessdate=14 травня 2017|archive-date=29 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200529050213/https://books.google.com/books?id=eBeNngEACAAJ}}</ref><ref name="DaleyVere-Jones2006chap2">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=6Sv4BwAAQBAJ|title=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume I: Elementary Theory and Methods|last=D.J. Daley|last2=D. Vere-Jones|date=10 квітня 2006|publisher=Springer Science & Business Media|pages=19–36|isbn=978-0-387-21564-8|accessdate=14 травня 2017|archive-date=30 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200530234954/https://books.google.com/books?id=6Sv4BwAAQBAJ}}</ref> Його можна визначити як процес підрахунку голосів, що являє собою випадковий процес, який характеризує випадкову кількість точок або подій до якогось часу. Кількість точок процесу знаходяться в інтервалі від нуля до деякого заданого часу Пуассонівської випадкової величини, яка залежить від часу і деяких параметрів. Простір станів цього процесу є натуральним числом, а множина індексів&nbsp;— невід'ємним числом. Цей процес також називається Пуассонівським процесу підрахунку голосів, оскільки це може бути витлумачено як приклад процесу підрахунку голосів.<ref name="Tijms2003page1"/>

Якщо процес Пуассона визначається за допомогою однієї позитивної сталої, то процес називається однорідним процесом Пуассона.<ref name="Tijms2003page1"/><ref name="PinskyKarlin2011">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=PqUmjp7k1kEC|title=An Introduction to Stochastic Modeling|last=Mark A. Pinsky|last2=Samuel Karlin|year=2011|publisher=Academic Press|page=241|isbn=978-0-12-381416-6|accessdate=14 травня 2017|archive-date=31 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200531011210/https://books.google.com/books?id=PqUmjp7k1kEC}}</ref> Однорідний Пуассонівський процес (в безперервному часі) є членом важливих класів випадкових процесів, як Марківські процеси Леві.<ref name="Applebaum2004page1337"/>

=== Процеси Авторегресії та плаваючого середнього ===

Процеси Авторегресії та плаваючого середнього використовуються в моделюванні дискретних [[Емпірика|емпіричних]] даних [[Часовий ряд|часових рядів]], особливо в [[Економіка|економіці]]. Авторегресійна модель відноситься до стохастичної змінної в залежності від власного попереднього значення. Змінна середня модель відноситься до стохастичної змінної в залежності від поточних і минулих значень іід стохастичної змінної. Узагальнення включають [[Векторна авторегресія|векторну авторегресійну]] модель, яка передбачає моделювання більше однієї стохастичної змінної, і АРІМА модель, що включає обидва компоненти авторегресії та плаваючого середнього.

== Визначення ==

=== Стохастичний процес ===

Випадковий процес визначається як сімейство випадкових величин, визначених на загальному [[Ймовірнісний простір|ймовірнісному просторі]] <math>(\Omega, \mathcal{F}, P)</math>, де <math>\Omega</math> це [[Простір елементарних подій|зразок]] простору, <math>\mathcal{F}</math> це <math>\sigma</math>-[[Сигма-алгебра|Алгебра]] і <math>P</math>&nbsp;— це ймовірнісна міра, і випадкові величини, індексовані деяким набором <math>T</math>, всі приймають значення в однаковому математичному просторі <math>S</math>, який повинен бути [[Міра множини|вимірним]] щодо деяких <math>\Sigma</math> <math>\sigma</math>-алгебри.<ref name="Lamperti1977page1"/>

Іншими словами, для даних ймовірнісних просторів <math>(\Omega, \mathcal{F}, P)</math> і вимірних просторів <math>(S,\Sigma)</math>, стохастичний процес&nbsp;— це набір випадкових величин значення <math>S</math>, який може бути записаний як:<ref name="Florescu2014page293">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=Z5xEBQAAQBAJ&pg=PR22|title=Probability and Stochastic Processes|last=Ionut Florescu|date=7 листопада 2014|publisher=John Wiley & Sons|page=293|isbn=978-1-118-59320-2|accessdate=14 травня 2017|archive-date=23 березня 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20170323153417/https://books.google.com/books?id=Z5xEBQAAQBAJ&pg=PR22}}</ref>
: <math>\{X(t):t\in T \}.</math>
Історично, у багатьох задачах з галузі природничих наук точка {{mvar|t}} має значення часу, тоді {{mvar|X}} це випадкова змінна, яка представляє значення, що спостерігається протягом часу {{mvar|t}}.<ref name="Borovkov2013page528">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=hRk_AAAAQBAJ&pg|title=Probability Theory|last=Alexander A. Borovkov|date=22 червня 2013|publisher=Springer Science & Business Media|page=528|isbn=978-1-4471-5201-9|accessdate=14 травня 2017|archive-date=23 березня 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20170323175626/https://books.google.com/books?id=hRk_AAAAQBAJ&pg}}</ref> Стохастичний процес також може бути записаний як <math> \{X(t,\omega):t\in T \}</math>, щоб відобразити, що це насправді функція двох змінних, <math>t\in T</math> і <math>\omega\in \Omega</math>.<ref name="Lamperti1977page1"/><ref name="LindgrenRootzen2013page11">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=FYJFAQAAQBAJ&pg=PR1|title=Stationary Stochastic Processes for Scientists and Engineers|last=Georg Lindgren|last2=Holger Rootzen|last3=Maria Sandsten|date=11 жовтня 2013|publisher=CRC Press|pages=11|isbn=978-1-4665-8618-5|accessdate=14 травня 2017|archive-date=29 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200529124250/https://books.google.com/books?id=FYJFAQAAQBAJ&pg=PR1}}</ref>

=== Множина індексів ===
Набір <math>T</math> називається '''множиною індексів'''<ref name="Parzen1999"/><ref name="Florescu2014page294"/> стохастичного процесу. Часто цей набір підмножини реальної лінії, наприклад, [[натуральні числа]] або інтервали, які дають набору <math>T</math> інтерпретацію в часі.<ref name="doob1953stochasticP46to47"/> На додаток до цих наборів, множиною індексів <math>T</math> можуть бути й інші лінійно впорядковані множини або більш загальні математичні набори,<ref name="doob1953stochasticP46to47"/>
<ref name="Billingsley2008page482">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=QyXqOXyxEeIC|title=Probability and Measure|last=Patrick Billingsley|date=4 серпня 2008|publisher=Wiley India Pvt. Limited|page=482|isbn=978-81-265-1771-8|accessdate=14 травня 2017|archive-date=30 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200530014317/https://books.google.com/books?id=QyXqOXyxEeIC}}</ref> наприклад, в Декартовій площині <math>R^2</math> або <math>n</math>-мірному Евклідовому просторі, де елемент <math>t\in T</math> може являти собою точки в просторі.
<ref name="KarlinTaylor2012page27">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=dSDxjX9nmmMC|title=A First Course in Stochastic Processes|last=Samuel Karlin|last2=Howard E. Taylor|date=2 грудня 2012|publisher=Academic Press|page=27|isbn=978-0-08-057041-9}}</ref>
<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=c_3UBwAAQBAJ|title=Random Point Processes in Time and Space|last=Donald L. Snyder|last2=Michael I. Miller|date=6 грудня 2012|publisher=Springer Science & Business Media|page=25|isbn=978-1-4612-3166-0}}</ref>
<ref name="Skorokhod2005page104">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=dQkYMjRK3fYC|title=Basic Principles and Applications of Probability Theory|last=Valeriy Skorokhod|date=5 грудня 2005|publisher=Springer Science & Business Media|page=104|isbn=978-3-540-26312-8}}</ref>

=== Простір станів ===
Математичний простір <math>S</math> називається '''[[Простір станів (теорія керування)|простором станів]]''' стохастичного процесу. Цей математичний простір може бути цілим числом, раціональним числом, <math>n</math>-мірним Евклідовим простором, в комплексній площині або інших математичних просторах, в якому відображені різні значення, які стохастичний процес може зайняти.<ref name="doob1953stochasticP46to47"/><ref name="GikhmanSkorokhod1969page1"/><ref name="Lamperti1977page1"/>
<ref name="Florescu2014page294">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=Z5xEBQAAQBAJ&pg=PR22|title=Probability and Stochastic Processes|last=Ionut Florescu|date=7 листопада 2014|publisher=John Wiley & Sons|pages=294 and 295|isbn=978-1-118-59320-2|accessdate=14 травня 2017|archive-date=23 березня 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20170323153417/https://books.google.com/books?id=Z5xEBQAAQBAJ&pg=PR22}}</ref>
<ref name="Brémaud2014page120">{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=dP2JBAAAQBAJ&pg=PA1|title=Fourier Analysis and Stochastic Processes|date=16 вересня 2014|publisher=Springer|page=120|isbn=978-3-319-09590-5|author=Pierre Brémaud|accessdate=14 травня 2017|archive-date=30 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200530215512/https://books.google.com/books?id=dP2JBAAAQBAJ&pg=PA1}}</ref>

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
{{multicol}}
* [[Часовий ряд]]
* [[Ймовірність]]
* [[Випадкова величина]]
* [[Броунівський рух]]
* [[Вінеровий процес]]
{{multicol-break}}
* [[Гауссівський процес]]
* [[Стаціонарний процес]]
* [[Марківський процес]]
* [[Пуассонівський процес]]
* [[Інтерполяція випадкового процесу]]
{{multicol-end}}

== Коментарі ==
<references group="lower-alpha"/>

== Примітки ==
{{Примітки|2}}

== Література ==
* Основи теорії випадкових процесів: В 6-ти ч. Ч. 1 / Є.&nbsp;Ф.&nbsp;Царков, В.&nbsp;К.&nbsp;Ясинський ; Під заг. ред. Є.&nbsp;Ф.&nbsp;Царкова.&nbsp;— Чернівці: Зелена Буковина, 1999.&nbsp;— 296 c.&nbsp;— (Лекції з теорії стохастичного моделювання).
* Стохастичні динамічні системи із скінченною післядією: В 6-ти ч. Ч. 2 / М.&nbsp;Л.&nbsp;Свердан, Є.&nbsp;Ф.&nbsp;Царков, В.&nbsp;К.&nbsp;Ясинський ; Під заг. ред. Є.&nbsp;Ф.&nbsp;Царкова.&nbsp;— Чернівці: Зелена Буковина, 2000.&nbsp;— 557 c.&nbsp;— (Лекції з теорії стохастичного моделювання).
* Стійкість у стохастичному моделюванні складних динамічних систем: Монографія / М.&nbsp;Л.&nbsp;Свердан, Є.&nbsp;Ф.&nbsp;Царков, В.&nbsp;К.&nbsp;Ясинський.&nbsp;— Снятин: Над Прутом, 1996.&nbsp;— 448 c.
* Елементи теорії випадкових процесів: Навч. посіб. / Ю.&nbsp;К.&nbsp;Рудавський, П.&nbsp;П.&nbsp;Костробій, О.&nbsp;Ю.&nbsp;Лозинський, Д.&nbsp;В.&nbsp;Уханська; Нац. ун-т «Львів. політехніка».&nbsp;— Л., 2004.&nbsp;— 239 c.&nbsp;— Бібліогр.: 21 назва.
* {{cite book|url=https://books.google.com/books?id=ryejJmJAj28C&pg=PA263|title=The Geometry of Random Fields|publisher=SIAM|isbn=978-0-89871-693-1|author=Robert J. Adler|accessdate=14 травня 2017|archive-date=26 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200526224749/https://books.google.com/books?id=ryejJmJAj28C&pg=PA263}}
* {{cite book|url=https://books.google.com/books?id=R5BGvQ3ejloC|title=Random Fields and Geometry|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-48116-6|author1=Robert J. Adler|author2=Jonathan E. Taylor|accessdate=14 травня 2017|archive-date=30 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200530112811/https://books.google.com/books?id=R5BGvQ3ejloC}}
* {{cite book|url=https://books.google.com/books?id=jrPVBwAAQBAJ|title=Markov Chains: Gibbs Fields, Monte Carlo Simulation, and Queues|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4757-3124-8|author=Pierre Brémaud|accessdate=14 травня 2017|archive-date=23 березня 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20170323160437/https://books.google.com/books?id=jrPVBwAAQBAJ}}
* {{cite book|url=https://books.google.com/books?id=dP2JBAAAQBAJ&pg=PA1|title=Fourier Analysis and Stochastic Processes|publisher=Springer|isbn=978-3-319-09590-5|author=Pierre Brémaud|accessdate=14 травня 2017|archive-date=30 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200530215512/https://books.google.com/books?id=dP2JBAAAQBAJ&pg=PA1}}
* {{cite book|url=https://books.google.com/books?id=NrsrAAAAYAAJ|title=Stochastic processes|publisher=Wiley|author=[[Джозеф Лео Дуб|Joseph L. Doob]]|accessdate=14 травня 2017|archive-date=30 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200530135048/https://books.google.com/books?id=NrsrAAAAYAAJ}}
* {{cite book|url=https://books.google.com/books?id=pOQy6-qnVx8C|title=A History of Probability and Statistics and Their Applications before 1750|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-471-72517-6|author=Anders Hald|accessdate=14 травня 2017|archive-date=29 травня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200529200958/https://books.google.com/books?id=pOQy6-qnVx8C}}

{{статистика|state=collapsed}}
{{refimprove|дата=лютий 2017}}
{{помилки|дата=травень 2017}}
{{stat-stub}}

[[Категорія:Випадкові процеси| ]]
[[Категорія:Теорія ймовірностей]]
[[Категорія:Теорія випадкових процесів]]
[[Категорія:Стохастичні моделі]]
[[Категорія:Типи статистичних даних]]