Перегляд вихідного коду сторінки Визначник

[[Файл:Determinant-triangles.png|right|thumb|160px|Визначник матриці 3х3]]
'''Визна́чник''' або '''детерміна́нт'''&nbsp;— це функція від [[квадратна матриця|квадратної матриці]], яка набуває [[скаляр]]них значень. Він характеризує багато властивостей матриці та [[лінійне відображення|лінійного відображення]], визначеного цією матрицею.

Якщо елементами матриці є числа, то її визна́чник&nbsp;— також число. Зокрема, визна́чник може бути функціональним або, взагалі, належати якомусь [[комутативне кільце|комутативному кільцю]], якщо матриця складається з елементів цього кільця.

Визна́чник квадратної матриці розміру <math>\ n\times n</math> можна визначити декількома [[логічна еквівалентність|еквівалентними]] способами: через [[формула Лейбніца для визначників|формулу Лейбніца]], як суму добутків елементів матриці так, що в кожному із добутків є рівно по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпця, та кожному добутку приписується знак плюс чи мінус, в залежності від парності [[перестановка|перестановки]] номерів; через [[теорема Лапласа|розклад Лапласа]], як [[лінійна комбінація|лінійну комбінацію]] [[мінор матриці|мінорів]] <math>(n-1)</math>-го порядку; як добуток всіх [[власні вектори та власні значення|власних чисел]] матриці; як нормовану знакозмінну [[мультилінійна функція|полілінійну функцію]] від [[вектор (математика)|векторів]]-стовпців матриці.

Визначники зустрічаються у багатьох розділах [[математика|математики]]. Матриці часто використовуються для представлення коефіцієнтів [[система лінійних алгебраїчних рівнянь|систем лінійних рівнянь]], і за допомогою [[метод Крамера|методу Крамера]] визначники цих матриць можуть бути використані для знаходження розв'язків цих систем. Також визначники використовуються для знаходження [[характеристичний поліном|характеристичного полінома]] матриці, коренями якого є власні числа цієї матриці. У [[геометрія|геометрії]] визначник матриці характеризує орієнтоване «розтягнення» або «стиснення» багатовимірного [[евклідів простір|евклідового простору]] після перетворення лінійного відображення, визначеного цією матрицею. У [[математичний аналіз|математичному аналізі]] використовується при заміні змінних для обчислення [[багатократний інтеграл|кратного інтегралу]].

== Історія ==
Історично визначники використовувалися до введення матриць&nbsp;— спочатку визначник визначався як властивість [[система лінійних алгебраїчних рівнянь|системи лінійних рівнянь]]. Визначник «визначає», чи має система єдиний розв’язок (що відбувається коли визначник відмінний від нуля). У цьому сенсі визначники вперше були використані в давньокитайському підручнику з математики «[[Математика в дев'яти книгах]]». У [[Європа|Європі]] [[Джироламо Кардано]] у своїй роботі 1545 року виводить розв'язок системи двох лінійних рівнянь, який має вирази, схожі на визначники.<ref>{{Citation|editor1-last=Grattan-Guinness|editor1-first=I.|title=Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences|volume=1|year=2003|isbn=9780801873966|publisher=Johns Hopkins University Press}}</ref>

Власне поняття визначника походить з робіт [[Секі Такакадзу]] (1683 р.) та [[Готфрід Вільгельм Лейбніц|Лейбніца]] (1693 р.).<ref>Cajori, F. [https://archive.org/details/ahistorymathema02cajogoog/page/n94 ''A History of Mathematics'' p.&nbsp;80]</ref><ref name="Campbell">Campbell, H: ''Linear Algebra With Applications'', с. 111–112. Appleton Century Crofts, 1971</ref><ref>{{Citation|last=Eves|first=Howard|title=An introduction to the history of mathematics|edition=6|publisher=Saunders College Publishing|year=1990|isbn=0-03-029558-0|mr=1104435}}</ref><ref>A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory at: {{cite web |url=http://darkwing.uoregon.edu/~vitulli/441.sp04/LinAlgHistory.html |title=A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory |access-date=2012-01-24 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20120910034016/http://darkwing.uoregon.edu/~vitulli/441.sp04/LinAlgHistory.html |archive-date=2012-09-10}}</ref> У 1750 році [[Габрієль Крамер]] сформулював [[Метод Крамера|своє правило]] без доведення.<ref>{{Citation|last=Cramer|first=Gabriel|author-link=Габрієль Крамер|title=Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques|year=1750|doi=10.3931/e-rara-4048|location=Genève|publisher=Frères Cramer & Cl. Philibert}}</ref><ref name="Kleiner">{{Citation|last=Kleiner|first=Israel|editor1-first=Israel|editor1-last=Kleiner|title=A history of abstract algebra|year=2007|publisher=Birkhäuser|isbn=978-0-8176-4684-4|mr=2347309|doi=10.1007/978-0-8176-4685-1}}</ref> Крамера і, також, [[Етьєн Безу| Безу]] (1779 р.) до визначників привели питання про [[Плоска крива|плоскі криві]], що проходять через заданий набір точок.<ref>{{Citation|last=Bourbaki|first=Nicolas|title=Elements of the history of mathematics|publisher=Springer|year=1994|isbn=3-540-19376-6|doi=10.1007/978-3-642-61693-8}}</ref>

У 1772 році [[П'єр-Симон Лаплас|Лаплас]] довів [[теорема Лапласа|теорему про розклад визначника у суму добутків мінорів]]. <ref>{{Citation|last=Laplace|first=Pierre-Simon, de|author-link=П'єр-Симон Лаплас|title=Recherches sur le calcul intégral et sur le systéme du monde|journal=Histoire de l'Académie Royale des Sciences|location=Paris|year=1772|issue=seconde partie|pages=267–376|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k77596b/f374}}</ref><ref>Muir, Sir Thomas, ''The Theory of Determinants in the historical Order of Development'' [Лондон, Англія: Macmillan and Co., Ltd., 1906]</ref>

Слово «детермінант» ввів [[Карл Фрідріх Гаусс|Гаусс]] (1801 р.) (Лаплас використовував слово «результант»), хоча він їм називав [[дискримінант]] [[однорідний многочлен|алгебраїчної форми]].<ref name="Kleiner" /> У нинішньому значенні його використав [[Оґюстен-Луї Коші]], також він узагальнив і спростив те, що тоді було відомо про визначники, ввів нові позначення та представив свої напрацювання в [[Інститут Франції|Інституті Франції]] 30 листопада 1812 року.<ref>Походження математичних термінів: http://jeff560.tripod.com/d.html</ref><ref>Історія матриць та визначників: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Matrices_and_determinants.html</ref><ref name="Campbell" /> У 1841 році [[Артур Кейлі]] ввів сучасне позначення визначника через вертикальні риски.<ref>{{Citation|last=Cayley|first=Arthur|title=On a theorem in the geometry of position|journal=Cambridge Mathematical Journal|volume=2|pages=267–271|year=1841}}</ref><ref>{{Citation|last=Cajori|first=Florian|title=A history of mathematical notations: Including Vol. I. Notations in elementary mathematics; Vol. II. Notations mainly in higher mathematics, Reprint of the 1928 and 1929 originals|publisher=Dover|year=1993|isbn=0-486-67766-4|mr=3363427}}</ref>

== Означення ==
Існує кілька рівносильних визначень визначника квадратної матриці.

Нехай ''A''&nbsp;— [[квадратна матриця]] розміру <math>\ n\times n</math>. Запишемо її наступним чином:
:<math>A = \begin{pmatrix}
  a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
  a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\
   \vdots &  \vdots & \ddots &  \vdots \\
  a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n}
\end{pmatrix}.</math>

Елементи цієї матриці можуть бути [[дійсне число|дійсними]] чи [[комплексне число|комплексними]] числами або, взагалі, з довільного [[комутативне кільце|комутативного кільця]].

=== Означення через перестановки ===
'''Визначником''' матриці ''A'' називається
{{center|<math>\sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sign}(\sigma) a_{1, \sigma(1)} \cdot a_{2, \sigma(2)} \cdot \ldots \cdot a_{n, \sigma(n)}.</math>}}

Тут <math>S_{n}</math>&nbsp;— [[симетрична група]] на множині <math>\{1, \ldots, n\}</math>, і, відповідно, сума береться по всім [[перестановка]]м з цієї групи, через <math>\operatorname{sign}</math> позначено [[знак перестановки|знак]] (або парність) перестановки, який дорівнює 1 чи −1 залежно від парності числа інверсій в ній.

Позначення: <math>\det(A)</math>, <math>\det A</math>, <math>\vert A \vert</math>, також його можна позначити подібно до матриці, записавши вертикальні риски замість дужок:
:<math>\begin{vmatrix}
  a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
  a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\
   \vdots &  \vdots & \ddots &  \vdots \\
  a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n}
\end{vmatrix}.</math>

Кількість доданків у сумі дорівнює <math>n!</math> і номери рядка та стовпця елементів матриці, що входять в один добуток, не повторюються.

=== Рекурентне означення ===
# Якщо <math>n = 1</math>, тобто <math>A = \begin{pmatrix}a_{1,1}\end{pmatrix}</math>, то '''визначником''' матриці ''A'' називається <math>\det A = a_{1,1}</math>.
# Якщо <math>n > 1</math>, то '''визначником''' матриці ''A'' називається <math>\det A = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} a_{1,k} \det A_{1,k}</math>, де через <math>A_{1,k}</math> позначено квадратну матрицю <math>(n-1)</math>-го порядку, отриману з матриці <math>A</math> видаленням першого рядка та ''k''-го стовпця.

Якщо використовується інше означення, то вказане вище є теоремою, яка називається [[теорема Лапласа|розкладом Лапласа]]. Дане визначення базується на розкладі вздовж першого рядка, також, еквівалентно визначник можна визначити на основі розкладання вздовж довільного рядка або стовпця.

=== Аксіоматичне означення ===
'''Визначником''' порядку ''n'' над комутативним кільцем ''R'' називається функція <math>\det</math>, яка визначена на множині <math>M_n(R)</math> усіх квадратних матриць
порядку ''n'' із коефіцієнтами з ''R'', набуває значень у ''R'' i задовольняє такі умови:
# функція <math>\det</math> є [[мультилінійна функція|полілінійною функцією]] від набору векторів-стовпців матриці;
# функція <math>\det</math> є знакозмінною, тобто значення <math>\det</math> змінює свій знак на протилежний, якщо два різні стовпці матриці поміняти місцями;
# функція <math>\det</math> є нормованою, тобто значення <math>\det</math> від [[одинична матриця|одиничної матриці]] <math>I_{n}</math> дорівнює ''1''.

== Властивості ==

# Якщо помножити якийсь рядок (стовпець) на константу ''a'', то визначник також помножиться на ''a''.
# Якщо у матриці поміняти місцями будь-які два рядки (стовпці), то знак визначника зміниться на протилежний.
# При додаванні до будь-якого рядка (стовпця) [[лінійна комбінація|лінійної комбінації]] кількох інших рядків (стовпців) визначник не зміниться.
# У матриці з двома однаковими/пропорційними рядками (стовпцями) або з нульовим рядком, визначник дорівнює нулю.
# Всі властивості визначників, що стосуються рядків, так само справедливі і для стовпців.
# Визначник [[трикутна матриця|трикутної матриці]] дорівнює добутку елементів на [[головна діагональ|діагоналі]].
# Визначник квадратної матриці дорівнює добутку всіх її [[власні вектори та власні значення|власних чисел]].
# [[Теорема Лапласа]]: визначник квадратної матриці дорівнює сумі добутків елементів деякого рядка на відповідні їм [[алгебраїчне доповнення|алгебраїчні доповнення]].
# Теорема[[Лема про фальшивий розклад| про фальшивий розклад]]: сума добутків елементів деякого рядка на [[алгебраїчне доповнення|алгебраїчні доповнення]] відповідних елементів паралельного рядка дорівнює нулю.
# Визначник [[обернена матриця|оберненої матриці]] дорівнює величині, оберненій визначнику початкової матриці: <math>\det(A^{-1}) = \det(A)^{-1}.</math>
# [[Транспонована матриця|Транспонування]] матриці не змінює значення її визначника: <math>\det(A^T) = \det(A).</math>
# Визначник є [[однорідна функція|однорідною функцією]], тобто для квадратної матриці ''A'' порядку ''n'' і довільної константи ''c'' виконується: <math>\det(c A) = c^n \det A.</math>
# Визначник добутку матриць дорівнює добутку визначників цих матриць: <math>\det(AB) = \det(A)\det(B).</math>

=== Визначникова тотожність Сильвестра ===
[[Визначникова тотожність Сильвестра]] стверджує, що для матриці ''A'' розміру {{nowrap|''m'' × ''n''}} і матриці ''B'' розміру {{nowrap|''n'' × ''m''}} (так що ''A'' і ''B'' мають розмірності, що дозволяють їм бути помноженими в будь-якому порядку) справедлива наступна рівність:

:<math>\det(I_\mathit{m} + AB) = \det (I_\mathit{n} + BA)</math>,

де ''I''<sub>''m''</sub> і ''I''<sub>''n''</sub> це {{nowrap|''m'' × ''m''}} і {{nowrap|''n'' × ''n''}} одиничні матриці, відповідно.

З цієї тотожності випливають наступні наслідки:
{{ordered list
| list-style-type=decimal
| Для вектор-стовпця ''c'' і вектор-рядка ''r'', які складаються з ''m'' компонент буде:
:<math>\det(I_{m} + cr) = 1 + rc.</math>
| Більш загально,<ref>Доведення можна знайти на сторінці http://www.ee.ic.ac.uk/hp/staff/dmb/matrix/proof003.html</ref> для кожної оборотної матриці ''X'' порядку ''m'' буде:
:<math>\det(X + AB) = \det(X) \det(I_{n} + B X^{-1} A).</math>
| Для вектор-стовпця і вектор-рядка, зазначених вище, також буде:
:<math>\det(X + cr) = \det(X) \det(I_{1} + r X^{-1} c) = \det(X) + r X^{*} c,</math>
де <math>X^{*}</math>&nbsp;— [[союзна матриця]] до ''X''.
}}

== Обчислення ==
[[Файл:Determinant 2x2.svg|thumb|right|75px|Схема обчислення визначника матриці 2×2.]]
=== Визначник 2×2 матриці ===
Визначник квадратної матриці другого порядку обчислюється за формулою, яка безпосередньо випливає з означення через перестановки:
:<math>\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}.</math>

[[Файл:Schema sarrus-regel.png|thumb|right|200px|[[Правило Саррюса]] схематично.]]
=== Визначник 3×3 матриці ===
Визначник квадратної матриці третього порядку обчислюється за [[правило Саррюса|правилом Саррюса]]:
:<math>\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}.</math>

Правило Саррюса&nbsp;— це мнемоніка, при якій запис визначника розширюється дописуванням з правої сторони перших двох його стовпців і, як показано на ілюстрації, добутки елементів вздовж "червоних стрілок" додаються після чого віднімаються добутки елементів вздовж "синіх стрілок". Ця схема не переноситься квадратні матриці вищих порядків.

Для знаходження визначників високого порядку застосовуються принципово інші методи (насамперед, [[метод Гаусса]]), що вимагають
значно меншої кількості арифметичних операцій (<math>O(n^3)</math> замість <math>n!</math>).

=== Визначник n×n матриці ===
У випадку матриць вищого порядку для обчислення їх визначників можна використовувати [[теорема Лапласа|розклад Лапласа]].

Також визначник матриці можна обчислити за допомогою [[метод Гаусса#Розрахунок визначника|методу Гаусса]], який ґрунтується на тому, що визначник [[трикутна матриця|трикутної матриці]] дорівнює добутку всіх її діагональних елементів і будь-яку матрицю можна звести до трикутної матриці [[елементарні перетворення матриці|елементарними перетвореннями]], пам’ятаючи, що ці перетворення мають наступний вплив на визначник:
{{ordered list
| list-style-type=decimal
| Додавання рядка (стовпця), помноженого на константу, до іншого рядка (стовпця) не змінює значення визначника.
| Множення рядка (стовпця) на константу множить значення визначника на цю константу.
| При мінянні місцями двох рядків (стовпців) змінюється знак визначника на протилежний.
}}

==== Обчислення через методи розкладу ====
Деякі методи обчислюють визначник, записуючи матрицю як добуток матриць, визначники яких можна легше обчислити. Такі методи називають методами розкладу. До таких методів відносяться [[LU-розклад матриці|LU-розклад]], [[QR-розклад матриці|QR-розклад]] або [[розклад Холецького]] для [[додатноозначена матриця|додатно визначених матриць]].

Наприклад, LU-розклад виражає квадратну матрицю ''A'' як добуток <math>A = PLU</math>, де ''P''&nbsp;— [[матриця перестановки]], яка має по одній одиниці у кожному стовпці, а в інші елементи&nbsp;— нулі, ''L''&nbsp;— нижньотрикутна матриця і ''U''&nbsp;— верхньотрикутна матриця. Визначники двох трикутних матриць ''L'' і ''U'' дорівнюють відповідним добуткам їх діагональних елементів. Визначник ''P''&nbsp;— це знак відповідної [[перестановка|перестановки]] ''π''. Звідси <math>\det(A) = \operatorname{sign}(\pi) \det(L) \det(U).</math>

==== Конденсація Доджосона ====
{{main|{{не перекладено|Конденсація Доджосона|Конденсація Доджосона|en|Dodgson condensation}}}}
Конденсація Доджосона&nbsp;— це метод, суть якого полягає у зменшення матриці спеціальним чином до матриці порядку 1, єдиний елементом якої є шуканий визначник.<ref>{{стаття| автор=C. L. Dodgson | назва=Condensation of Determinants, Being a New and Brief Method for Computing their Arithmetical Values | посилання=http://www.gutenberg.org/files/37354/37354-pdf.pdf | видання=Proceedings of the Royal Society of London | рік=1866-1867 | том=15 | сторінки=150–155 }}</ref>

== Геометричне значення ==
[[Файл:Area parallellogram as determinant.svg|210px|thumb|right|Площа [[паралелограм]]а є модулем визначника матриці 2×2 із векторів його сторін.]]
Якщо елементи квадратної матриці ''A'' другого порядку є дійсними числами, то її можна використати для представлення двох лінійних відображень: перше відображає вектори [[стандартний базис|стандартного базису]] у стовпці ''A'', а друге відображає їх у рядки цієї матриці. У будь-якому випадку [[образ відображення|образи]] базисних векторів утворюють [[паралелограм]], який являється для відображення образом [[одиничний квадрат|одиничного квадрата]]. Паралелограм, визначений стовпцями наведеної вище матриці, має вершини з координатами {{math|(0, 0)}}, {{math|(''a'', ''b'')}}, {{math|(''a'' + ''c'', ''b'' + ''d'')}} і {{math|(''c'', ''d'')}}, як показано на супровідній ілюстрації.

Абсолютне значення {{math|''ad'' − ''bc''}} є площею паралелограма, і, таким чином, представляє коефіцієнт, на який множаться площі при перетворені відображенням, визначеним матрицею ''A''. Паралелограм, утворений рядками ''A'', загалом є іншим паралелограмом, але оскільки визначник не змінюється при транспонуванні матриці, то площа буде однаковою.

Абсолютне значення визначника разом зі знаком є [[орієнтована площа|''орієнтованою'' площею]] паралелограма. Орієнтована площа така ж, як і звичайна [[площа]], за винятком того, що вона є від’ємною, коли кут від першого до другого вектора, що визначає паралелограм, повертається за годинниковою стрілкою, що протилежно напрямку, який отримується при одиничній матриці.

Щоб показати, що {{math|''ad'' − ''bc''}} є орієнтованою площею, можна розглянути матрицю, яка складається з двох векторів-стовпців {{math|1=''u'' = (''a'', ''b'')<sup>T</sup>}} і {{math|1=''v'' = (''c'', ''d'')<sup>T</sup>}}, що представляють сторони паралелограма. Орієнтована площа цього паралелограма може бути виражена як {{math|{{!}}''u''{{!}} {{!}}''v''{{!}} sin ''θ''}}, де ''θ''&nbsp;— кут між векторами ''u'' і ''v'', утворений обертанням проти годинникової стрілки. Завдяки [[тригонометричні функції|синусу]] це вже орієнтована площа, з іншого боку її можна виразити через [[тригонометричні функції|косинус]] кута ''θ&prime;'' між {{math|1=''u''<sup>⊥</sup> = (−''b'', ''a'')<sup>T</sup>}} і ''v'' як {{math|{{!}}''u''<sup>⊥</sup>{{!}} {{!}}''v''{{!}} cos ''θ&prime;''}}. Отриманий вираз є [[скалярний добуток|скалярним добутком]] векторів {{math|''u''<sup>⊥</sup>}} і ''v'', який дорівнює {{math|''ad'' − ''bc''}}.

[[Файл:Determinant parallelepiped.svg|210px|right|thumb|Об’єм цього [[паралелепіпед]]а є модулем визначника матриці 3×3 із векторів його сторін {{math|''r''<sub>1</sub>}}, {{math|''r''<sub>2</sub>}} і {{math|''r''<sub>3</sub>}}.]]
Якщо дійсну матрицю ''A'' розміру {{math|''n'' × ''n''}} записати у вигляді векторів-стовпців, тобто <math>A = \left(\begin{array}{c|c|c|c} \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 & \cdots & \mathbf{a}_n\end{array}\right)</math>, то
:<math>
  A\begin{pmatrix}1 \\ 0\\ \vdots \\0\end{pmatrix} = \mathbf{a}_1, \quad
  A\begin{pmatrix}0 \\ 1\\ \vdots \\0\end{pmatrix} = \mathbf{a}_2, \quad
                                                           \ldots, \quad
  A\begin{pmatrix}0 \\0 \\ \vdots \\1\end{pmatrix} = \mathbf{a}_n.
</math>

Це означає, що лінійна функція, визначена матрицею ''A'', відображає одиничний [[гіперкуб|''n''-куб]] у ''n''-вимірний [[паралелотоп]], побудований на векторах {{math| ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, …, ''a''<sub>n</sub>}}, тобто у множину <math>P = \left\{c_1 \mathbf{a}_1 + \cdots + c_n\mathbf{a}_n \mid 0 \leq c_i\leq 1, \ i = \overline{1,n}\right\}.</math>

Визначник матриці ''A'' дає орієнтовний ''n''-вимірний об’єм цього паралелетопа, і, таким чином, описує коефіцієнт, на який множаться ''n''-вимірні об’єми при перетворені відображенням, визначеним матрицею ''A''. (Знак показує, чи перетворення зберігає або змінює орієнтацію.) Зокрема, якщо визначник дорівнює нулю, то цей паралелотоп має нульовий ''n''-вимірний об’єм і не є повністю ''n''-вимірним, що вказує на те, що розмірність образу лінійного відображення, визначеного матрицею ''A'', менша за ''n''. Це означає, що це відображення не є ані [[сюр'єкція|сюр'єкцією]], ані [[ін'єкція|ін'єкцією]].

== Спеціальні види визначників ==
* [[Якобіан|Визначник Якобі (Якобіан)]]
* [[Визначник Вронського|Визначник Вронського (Вронськіан)]]
* [[Визначник Вандермонда]]
* [[Визначник Грама]]
* [[Визначник Слейтера]]

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
* [[Теорія матриць]]
* [[Слід матриці]]
* [[Ранг матриці]]
* [[Мінор матриці]]
* [[Блочна матриця#Визначник блочної матриці|Визначник блочної матриці]]
* [[Матриця Коші]]

== Джерела ==
* {{книга
 |автор          = Безущак О. О., Ганюшкін О. Г., Кочубінська Є. А 
 |частина        = 
 |заголовок      = Навчальний посібник з лінійної алгебри
 |посилання      = https://mechmat.knu.ua/wp-content/uploads/2019/11/linear-algebra.pdf
 |видання        = 
 |відповідальний = 
 |місце          = Київ
 |видавництво    = ВПЦ "Київський університет"
 |рік            = 2019
 |том            = 
 |сторінки       = 
 |сторінок       = 224
 |isbn           = 
 |ref            = 
}}
* {{книга
 |автор          = Курдаченко Л. А., [[Кириченко Володимир Васильович|Кириченко В. В.]], Семко М. М.
 |частина        = 
 |заголовок      = Вибрані розділи алгебри та теорії чисел
 |посилання      = https://mechmat.knu.ua/wp-content/uploads/2020/03/posibnyk-kyrychenko.pdf
 |видання        = 
 |відповідальний = 
 |місце          = Київ
 |видавництво    = Ін-т математики НАН України
 |рік            = 2005
 |том            = 
 |сторінки       = 
 |сторінок       = 208
 |isbn           = 
 |ref            = 
}}
* {{Гантмахер.Теорія матриць}}
* [https://www.britannica.com/science/determinant-mathematics Determinant (MATHEMATICS)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180304060151/https://www.britannica.com/science/determinant-mathematics |date=4 березня 2018 }}&nbsp;// [[Британська енциклопедія|«Encyclopaedia Britannica»]] {{ref-en}}
* {{Клепко_ВМ|частина=Визначники|сторінки= 13-15}}
* [https://www.mathros.net.ua/obchyslennja-vyznachnykiv-vysokyh-porjadkiv-za-shemoju-rozkladu-vyznachnyka-po-rjadku-chy-stovpci.html Визначник матриці (формули, властивості, приклади) - Mathros.net.ua]
* {{книга
 |автор          = [[Шилов Георгій Євгенович|G. E. Shilov]]
 |частина        = 
 |заголовок      = Linear Algebra
 |посилання      = 
 |видання        = 
 |відповідальний = 
 |місце          = New York
 |видавництво    = Dover Publications
 |рік            = 1977
 |том            = 
 |сторінки       = 
 |сторінок       = 387
 |isbn           = 978-0486635187
 |ref            = 
}}
* {{Golub.Loan.Matrix Computations}}

== Примітки ==
{{reflist}}

{{Лінійна алгебра}}

[[Категорія:Визначники]] 
[[Категорія:Теорія матриць]]
[[Категорія:Математична термінологія]]
[[Категорія:1683 у науці]]