Перегляд вихідного коду сторінки Вибірковий розподіл

'''Вибірковий розподіл''' або '''розподіл скінченних вибірок''' у [[Статистика|статистиці]]&nbsp;— це [[розподіл імовірності]] заданої [[Статистика (математика)|статистики]], що базується на [[Випадкова вибірка|випадковій вибірці]]. Вибіркові розподіли важливі у статистиці, бо вони забезпечують значне спрощення на шляху до [[Статистичне висновування|статистичного висновування]]. А саме, вони дозволяють аналітичним міркуванням ґрунтуватися на вибірковому розподілі статистики, а не на [[Спільний розподіл|спільному розподілі ймовірності]] всіх окремих значень вибірки.

== Вступ ==

'''Вибірковий розподіл''' статистики&nbsp;— це [[Розподіл ймовірностей|розподіл]] цієї статистики, що розглядається як [[випадкова змінна]], що виводиться з [[Випадкова вибірка|випадкової вибірки]] розміру <math>n</math>. Його можна розглядати як розподіл статистики для ''всіх можливих вибірок з цієї ж [[Генеральна сукупність|генеральної сукупності]]'', що мають заданий розмір вибірки. Вибірковий розподіл залежить від [[Розподіл ймовірностей|розподілу]], що лежить в основі генеральної сукупності, статистики, що розглядається, залученої процедури відбору, та використовуваного розміру вибірки. Часто існує значний інтерес, чи може вибірковий розподіл бути наближено {{Нп|Асимптотичний розподіл|асимптотичним розподілом||Asymptotic distribution}}, що відповідає граничному випадку або коли прямує до нескінченності кількість випадкових вибірок скінченного розміру, що відбираються з нескінченної генеральної сукупності та використовуються для отримання розподілу, або коли з цієї ж генеральної сукупності береться лише одна «вибірка» з розміром, що дорівнює нескінченності.

Наприклад, розгляньмо [[Нормальний розподіл|нормальну]] генеральну сукупність із середнім значенням <math>\mu</math> та дисперсією <math>\sigma^2</math>. Припустімо, що ми багаторазово беремо вибірки заданого розміру з цієї сукупності та обчислюємо [[середнє арифметичне]] <math>\scriptstyle \bar x</math> для кожної з них&nbsp;— цю статистика називають [[Вибіркове середнє|вибірковим середнім]]. Розподіл цих середніх, або усереднень, називають «вибірковим розподілом вибіркового середнього». Цей розподіл є нормальним <math>\scriptstyle \mathcal{N}(\mu,\, \sigma^2/n)</math> (''n'' є розміром вибірки), оскільки генеральна сукупність, що лежить в його основі, є нормальною, хоча вибіркові розподіли можуть також часто бути близькими до нормального навіть коли розподіл генеральної сукупності таким не є (див. [[центральна гранична теорема]]). Альтернативою вибірковому середньому є вибіркова [[Медіана (статистика)|медіана]]. При обчисленні з тієї ж самої генеральної сукупності вона має інший вибірковий розподіл, ніж у вибіркового середнього, і зазвичай не є нормальною (але може бути близькою до цього для великих розмірів вибірки).

Середнє значення вибірки з генеральної сукупності, що має нормальний розподіл, є прикладом простої статистики, що береться з однієї з найпростіших [[Генеральна сукупність|статистичних генеральних сукупностей]]. Формули для інших статистик та інших генеральних сукупностей є складнішими, і часто вони не існують у [[Вираз замкненого вигляду|замкненому вигляді]]. В таких випадках вибіркові розподіли можна наближувати за допомогою [[Метод Монте-Карло|симуляцій Монте-Карло]],{{sfn|Mooney|1999|p=2}} [[Статистичний бутстреп|статистичного бутстрепу]] або теорії {{Нп|Асимптотичний розподіл|асимптотичного розподілу||Asymptotic distribution}}.

== Стандартна похибка ==

[[Стандартне відхилення]] вибіркового розподілу [[Статистика (математика)|статистики]] називають [[Стандартна похибка|стандартною похибкою]] цієї величини. Для випадку, коли статистика це середнє значення вибірки і вибірки некорельовані, стандартна похибка це

: <math>\sigma_{\bar x} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math>

де <math>\sigma</math> це стандартна похибка розподілу цієї величини [[Генеральна сукупність|генеральної сукупності]], а <math>n</math> це розмір вибірки (кількість елементів у вибірці).

Важливим наслідком цієї формули є те, що для досягнення половини (1/2) похибки вимірювання розмір вибірки має бути збільшено вчетверо (помножено на 4). При проєктуванні статистичних досліджень, у яких витрати є чинником, це може відігравати свою роль у розумінні компромісу між витратами та вигодами.

Якщо статистика це сума вибірки, і вибірки некорельовані, стандартна похибка це
: <math>\sigma_{\Sigma x} = \sigma\sqrt{n}</math>
де, знов, <math>\sigma</math> це стандартна похибка розподілу цієї величини генеральної сукупності, а <math>n</math> це розмір вибірки (кількість елементів у вибірці).

== Приклади ==

{| class="wikitable"
|-
! Генеральна сукупність || [[Статистика (математика)|Статистика]] || Вибірковий розподіл
|-
| [[Нормальний розподіл|Нормальна]]: <math>\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)</math>
| Вибіркове середнє <math>\bar X</math> з вибірок розміру ''n''
| <math>\bar X \sim \mathcal{N}\Big(\mu,\, \frac{\sigma^2}{n} \Big)</math> або (якщо дисперсія не відома): <math>\bar X \sim \mathcal{T}\Big(\mu,\, \frac{S^2}{n} \Big)</math>, де <math>S</math> є стандартним відхиленням вибірки, а <math>\mathcal{T}</math> є [[t-розподіл Стьюдента|''t''-розподілом Стьюдента]].
|-
| [[Розподіл Бернуллі|Бернуллі]]: <math>\operatorname{Bernoulli}(p)</math>
| Проста пропорція «успішних проб» <math>\bar X</math>
| [[Біноміальний розподіл|<math>n \bar X \sim \operatorname{Binomial}(n, p)</math>]]
|-
| Дві незалежні нормальні сукупності:<br>
<math>\mathcal{N}(\mu_1, \sigma_1^2)</math> &nbsp;and&nbsp; <math>\mathcal{N}(\mu_2, \sigma_2^2)</math>
| Різниця між вибірковими середніми, <math>\bar X_1 - \bar X_2</math>
| <math>\bar X_1 - \bar X_2 \sim \mathcal{N}\! \left(\mu_1 - \mu_2,\, \frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2} \right)</math>
|-
| Абсолютно безперервний розподіл ''F'' із густиною ''ƒ''
| [[Медіана (статистика)|Медіана]] <math>X_{(k)}</math> з вибірки розміром ''n'' = 2''k'' − 1, де вибірку впорядковано від <math>X_{(1)}</math> до <math>X_{(n)}</math>
| <math>f_{X_{(k)}}(x) = \frac{(2k-1)!}{(k-1)!^2}f(x)\Big(F(x)(1-F(x))\Big)^{k-1}</math>
|-
| Довільний розподіл із [[Функція розподілу ймовірностей|функцією розподілу]] ''F'' 
| [[Екстремум|Максимум]] <math>M=\max\ X_k</math> з випадкової вибірки розміру ''n''
| <math>F_M(x) = P(M\le x) = \prod P(X_k\le x)= \left(F(x)\right)^n</math>
|}

== Статистичне висновування ==

У теорії [[Статистичне висновування|статистичного висновування]] ідея [[Достатня статистика|достатньої статистики]] пропонує основу для такого вибору [[Статистика (математика)|статистики]] (як функції від точок даних вибірки), що жодна інформація не втрачається при заміні повного ймовірнісного опису вибірки вибірковим розподілом обраної статистики.

У [[Частотне висновування|частотному висновуванні]], наприклад, у створенні [[Перевірка статистичних гіпотез|перевірки статистичних гіпотез]] або [[Довірчий інтервал|довірчих інтервалів]] доступність вибіркового розподілу статистики (або його наближення у вигляді {{Нп|Асимптотичний розподіл|асимптотичного розподілу||Asymptotic distribution}}) може давати готове формулювання таких процедур, тоді як створення процедур починаючи зі [[Спільний розподіл|спільного розподілу]] вибірки було би не таким очевидним.

У [[Баєсове висновування|баєсовому висновуванні]], коли доступний вибірковий розподіл статистики, можна розглядати заміну кінцевого виходу таких процедур, зокрема [[Умовний розподіл|умовних розподілів]] будь-яких невідомих величин при заданих даних вибірки, [[Умовний розподіл|умовними розподілами]] будь-яких невідомих величин при заданих вибіркових статистиках. Такі процедури залучатимуть вибірковий розподіл цих статистик. Результати будуть ідентичними за умови, що обрані статистики будуть спільно достатніми.

{{refimprove|дата=жовтень 2015}}

== Примітки ==
{{Примітки}}

== Джерела ==

* {{cite book|last=Mooney|first=Christopher Z.|title=Monte Carlo simulation|year=1999|publisher=Sage|location=Thousand Oaks, Calif.|isbn=9780803959439|edition=|url=https://books.google.com/books?id=xQRgh4z_5acC|ref=harv|accessdate=5 жовтня 2015|archive-date=25 жовтня 2015|archive-url=https://web.archive.org/web/20151025052251/https://books.google.com/books?id=xQRgh4z_5acC}} {{ref-en}}
* Merberg, A. and S.J. Miller (2008). "The Sample Distribution of the Median". ''Course Notes for Math 162: Mathematical Statistics'', on the web at http://web.williams.edu/Mathematics/sjmiller/public_html/BrownClasses/162/Handouts/MedianThm04.pdf {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150218165655/http://web.williams.edu/Mathematics/sjmiller/public_html/BrownClasses/162/Handouts/MedianThm04.pdf |date=18 лютого 2015 }}, pgs 1–9. {{ref-en}}

== Посилання ==
* [http://www.indiana.edu/~jkkteach/ExcelSampler/ Генерація вибіркових розподілів в Excel] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080517023217/http://www.indiana.edu/~jkkteach/ExcelSampler/ |date=17 травня 2008 }} {{ref-en}}
* [http://demonstrations.wolfram.com/StatisticsAssociatedWithNormalSamples/ Демонстрація ''Mathematica'', що показує вибірковий розподіл різних статистик (наприклад, Σ''x''²) для нормальної генеральної вибірки] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20151006201817/http://demonstrations.wolfram.com/StatisticsAssociatedWithNormalSamples/ |date=6 жовтня 2015 }} {{ref-en}}

{{Статистика|висновування}}

[[Категорія:Статистичне висновування]]
[[Категорія:Відбір вибірки (статистика)]]