Перегляд вихідного коду сторінки Верхня і нижня границі

[[Image:LimSup.svg|right|thumb|300px| Верхня границя (limsup) і нижня границя (liminf)]]
В [[математичний аналіз|математичному аналізі]] '''верхня і нижня границі''' визначаються для [[числова послідовність|числових послідовностей]] чи [[функція (математика)|функцій]] і використовуються при їх вивченні. На відміну від звичайної [[границя|границі]], верхня і нижня границі завжди існують (хоч і можуть бути рівними [[нескінченність|нескінченності]]). Для нижньої границі послідовності <math>\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}</math> використовуються позначення <math>\varliminf_{n \to \infty} x_n</math> (поширене в українській і російській літературі) і <math>\liminf_{n \to \infty} x_n</math> (поширеніше в західній літературі). Для верхньої границі відповідні позначення мають вигляд <math>\varlimsup_{n \to \infty} x_n</math> і <math>\limsup_{n \to \infty} x_n.</math>

== Визначення  ==

=== Визначення для послідовностей ===

Нижню границю послідовності можна визначити:

:<math>\varliminf_{n \to \infty} x_n := \lim_{n\to\infty}\Big(\inf_{m\geq n}x_m\Big)</math>

або

:<math>\varliminf_{n \to \infty} x_n := \sup_{n\geq 0}\,\inf_{m\geq n}x_m=\sup\{\,\inf\{\,x_m:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.</math>

Подібним чином верхня границя послідовності (''x''<sub>''n''</sub>) визначається

:<math>\limsup_{n\to\infty}x_n := \lim_{n\to\infty}\Big(\sup_{m\geq n}x_m\Big)</math>

або

:<math>\limsup_{n\to\infty}x_n := \inf_{n\geq 0}\,\sup_{m\geq n}x_m=\inf\{\,\sup\{\,x_m:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.</math>

=== Визначення для функцій ===
Нехай дано [[дійсне число|дійсну]] функцію <math>f:I\to \R,</math>  де <math>I \subset \R,</math> і ξ — [[гранична точка|граничну точку]] ''I'', тоді верхню і нижню границю функції в точці ξ можна визначити:

:<math>\varlimsup_{x\to\xi} f(x)=\inf_{a>0} \sup f((\xi-a,\xi+a) \cap I),</math>
:<math>\varliminf_{x\to\xi} f(x)=\sup_{a>0} \inf f((\xi-a,\xi+a) \cap I).</math>

Аналогічно можна визначити односторонні границі функції в точці:

:<math>\varlimsup_{x\to\xi+} f(x)=\inf_{a>0} \sup f((\xi,\xi+a) \cap I),</math>
:<math>\varliminf_{x\to\xi+} f(x)=\sup_{a>0} \inf f((\xi,\xi+a) \cap I),</math>
:<math>\varlimsup_{x\to\xi-} f(x)=\inf_{a>0} \sup f((\xi-a,\xi) \cap I),</math>
:<math>\varliminf_{x\to\xi-} f(x)=\sup_{a>0} \inf f((\xi-a,\xi) \cap I).</math>

=== Визначення для послідовності множин ===

Нехай Ω — деяка [[множина]], ''(A<sub>n</sub>)'' — послідовність її [[підмножина|підмножин]]. Тоді верхня і нижня границі  цієї послідовності визначаються за формулами:
:<math>\varliminf_{n\rightarrow\infty} A_n={\bigcup_{n=1}^\infty}\left({\bigcap_{m=n}^\infty}A_m\right)
</math>
і
:<math>\varlimsup_{n\rightarrow\infty} A_n={\bigcap_{n=1}^\infty}\left({\bigcup_{m=n}^\infty}A_m\right).</math> 

== Приклади ==

* <math>\varliminf_{n \to \infty} \frac{1}{n} = \varlimsup_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0</math>

* <math>\varliminf_{n \to \infty} \left( -1 \right)^n = -1</math>

* <math>\varlimsup_{n \to \infty} \left( -1 \right)^n = +1</math>

== Властивості ==

* У будь-якої послідовності існують верхня і нижня границі, що належать множині <math>\R\cup\lbrace-\infty,+\infty\rbrace. </math> 
* [[Числова послідовність]] <math>~\{x_n\}</math> збігається до <math>~a</math> [[тоді і тільки тоді]], коли <math>\varliminf_{n\rightarrow\infty}x_{n}=\varlimsup_{n\rightarrow\infty}x_{n}=a</math>.
* Для будь-якого наперед узятого додатного числа <math>~\varepsilon</math> всі елементи обмеженої числової послідовності <math>\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}</math>, починаючи з деякого номера, залежного від <math>~\varepsilon</math>, лежать усередині [[Інтервал (математика)|інтервалу]] <math>\left(\varliminf_{n \to \infty} x_n - \varepsilon, \varlimsup_{n \to \infty} x_n + \varepsilon \right)</math>.
* Якщо за межами інтервалу <math>\left( a, b \right)</math> лежить лише скінченна кількість елементів обмеженої числової послідовності <math>\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}</math>, то інтервал <math>\left(\varliminf_{n \to \infty} x_n, \varlimsup_{n \to \infty} x_n \right)</math> міститься в інтервалі <math>\left( a, b \right)</math>.
*Виконуються нерівності:
*<math>\inf_n x_n \leq \liminf_{n \to \infty} x_n \leq \limsup_{n \to \infty} x_n \leq \sup_n x_n </math>
*<math>\varlimsup_{n \to \infty} (a_n + b_n) \leq \varlimsup_{n \to \infty}(a_n) + \varlimsup_{n \to \infty}(b_n).</math>
:<math>\varliminf_{n \to \infty}(a_n) + \varliminf_{n \to \infty}(b_n) \leq \varliminf_{n \to \infty} (a_n + b_n).</math> 

== Див. також ==
* [[Верхня та нижня межа]]
* [[Інфімум та супремум]]

== Джерела ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Банах.Диференціальне та інтегральне числення}}
* {{Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1}}
* {{Дороговцев.Математичний аналіз.ч1}}

[[Категорія:Границі]]