Перегляд вихідного коду сторінки Векторний потенціал електромагнітного поля

{{Фізична величина|розмірність=MLT<sup>−2</sup>I<sup>−1</sup>|SI=[[Тесла (одиниця вимірювання)|Тл]]<math>\,\cdot\,</math>м|СГС=[[Гаус (одиниця вимірювання)|Гс]]<math>\,\cdot\,</math>см|примітки=[[Векторна величина]]|символи=<math>\vec A</math>}}

'''Ве́кторний потенціа́л електромагні́тного по́ля''', '''A''' (вектор-потенціал, магнітний потенціал)&nbsp;— в [[Класична електродинаміка|електродинаміці]], [[векторний потенціал]], [[Ротор (математика)|ротор]] якого дорівнює [[Магнітна індукція|магнітній індукції]]:

: <math> \mathbf B = \operatorname{rot} \mathbf A = \nabla \times \mathbf A.</math>

Визначається з точністю до градієнта довільної скалярної функції <math>\nabla\psi</math>. Вимірюється в [[Тесла (одиниця вимірювання)|Тл]]<math>\cdot</math>м (SI) або [[Гаус (одиниця вимірювання)|Гс]]<math>\cdot</math>см (СГС).

Вектор-потенціал є просторовою компонентою [[4-вектор]]а [[Електромагнітний потенціал|електромагнітного потенціалу]].

== Рівняння Максвелла ==
Одним із способів запису [[Рівняння Максвелла|рівнянь Максвелла]] є формулювання в термінах векторного та скалярного потенціалів.

При цьому рівняння <math>\operatorname{div} \mathbf B = 0</math> задовольняється автоматично.

Підстановка виразу для <math>\mathbf A</math> в

: <math>\operatorname{rot}\mathbf E = - \frac{\partial \mathbf B}{\partial t}</math>

приводить до рівняння

: <math>\operatorname{rot} \left( \mathbf E + \frac{\partial \mathbf A}{\partial t} \right) = 0,</math>

згідно з яким, так само як і в [[Електростатика|електростатиці,]] вводиться скалярний потенціал. Однак тепер у <math>\mathbf E</math> роблять внесок і скалярний, і векторний потенціали:

: <math>\mathbf E = - \operatorname{grad}\; \varphi - \frac{\partial \mathbf A}{\partial t}.</math>

З рівняння <math>\operatorname{rot} \mathbf H = \mathbf j + \frac{\partial \mathbf D}{\partial t}</math> випливає

: <math>\operatorname{rot}\; \operatorname{rot} \mathbf A = \mu_0 \mathbf j + \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial}{\partial t} \left(-\operatorname{grad}\;\varphi - \frac{\partial \mathbf A}{\partial t} \right).</math>

Використовуючи рівність <math>\operatorname{rot}\; \operatorname{rot} \mathbf A = \operatorname{grad}\;\operatorname{div}\mathbf A - \nabla^2\mathbf A</math>, рівняння для векторного та скалярного потенціалів можна записати у вигляді

: <math>\Delta \mathbf A - \operatorname{grad} \left(\operatorname{div}\mathbf A + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \varphi}{\partial t} \right) - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf A}{\partial t^2} = -\mu_0 \mathbf j, </math>

: <math>\Delta \varphi + \frac{\partial}{\partial t} \operatorname{div} \mathbf A = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}.</math>

=== Вектор-потенціал і магнітний потік ===
Відповідно до [[Теорема Стокса|теореми Стокса]], [[магнітний потік]] <math>\Phi</math> через контур <math>L</math> легко виразити через [[Циркуляція векторного поля|циркуляцію]] векторного потенціалу <math>\mathbf{A}</math> за цим контуром:

: <math>\Phi = \oint\limits_L \mathbf{A} \cdot \mathbf{dl}.</math>

== Калібрування векторного потенціалу ==
{{Докладніше|Калібрування векторного потенціалу}}
Легко переконатися, що перетворення

: <math>\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} + \nabla \psi,</math>
: <math>\varphi \rightarrow \varphi - \frac{\partial\psi}{\partial t},</math>

де <math>\psi</math>&nbsp;— довільна [[скаляр]]на функція координат і часу, не змінюють рівнянь Максвелла ([[калібрувальна інваріантність]], за [[Теорема Нетер|теоремою Нетер]] їй відповідає [[закон збереження електричного заряду]]). Для зручності розв'язання цих рівнянь накладають додаткову штучну умову, яка називається [[Калібрування векторного потенціалу|калібруванням потенціалу]]. При розв'язуванні різних задач зручнішим буває те чи інше калібрування. Набули поширення два&nbsp;— калібрування Кулона та калібрування Лоренца.

=== Калібрування Кулона ===
Калібруванням Кулона називають вираз:

: <math>\operatorname{div}\mathbf A = 0.</math>

Це калібрування зручне для розгляду [[Магнітостатика|магнітостатичних]] задач (зі сталими в часі струмами).

=== Калібрування Лоренца ===
Калібруванням Лоренца називають умову рівності нулю [[4-дивергенція|4-дивергенції]] потенціалу (СІ):

: <math>\nabla_{\mu} A_{\mu} = \operatorname{div}\mathbf A+\frac{1}{c}\frac{\partial \varphi}{\partial t} = 0.</math>

У цьому випадку рівняння переписуються у вигляді [[Оператор д'Аламбера|даламбертіанів]]:

: <math>\square \mathbf A \equiv \Delta \mathbf A - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} = -\mu_0 \mathbf j,</math>
: <math>\square \varphi \equiv \Delta \varphi - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2} = - \frac{\rho}{\varepsilon_0}.</math>

Рівняння, записані в такому вигляді, зручніше використовувати для розв'язання нестаціонарних задач.

== Фізичний зміст векторного потенціалу ==
Зазвичай вважається, що векторний потенціал&nbsp;— величина, яка не має безпосереднього фізичного змісту і вводиться лише для зручності викладок. Однак вдалося поставити експерименти, які показали, що векторний потенціал доступний для безпосереднього вимірювання. Подібно до того, як [[електростатичний потенціал]] пов'язаний із поняттям [[Енергія|енергії]], векторний потенціал виявляє тісний зв'язок з поняттям [[Імпульс (механіка)|імпульсу]].

=== Зміщення квантовомеханічної фази ===
Вплив магнітного поля на рух квантової частинки спричиняє зміщення фази<ref>{{Книга
|автор = Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М.
|заголовок = Фейнмановские лекции по физике
|місце = М.
|видавництво = Мир
|рік = 1966
|том = 6
|сторінок = 344
}}</ref><ref>{{Книга
|автор = Фейнман Р., Хибс А.
|заголовок = Квантовая механика и интегралы по траекториям
|місце = М.
|видавництво = Мир
|рік = 1968
|сторінок = 382
}}</ref>:

: <math>\Delta \varphi_H = \frac{e}{\hbar c}\int_{S}^{} (\mathbf{A},\;d\mathbf{l}),</math>

де <math>e</math>&nbsp;— [[Елементарний електричний заряд|заряд електрона]], <math>c </math>&nbsp;— [[швидкість світла]] у вакуумі, <math>\hbar</math>&nbsp;— [[Стала Планка|зведена стала Планка]], <math>\mathbf{A}</math>&nbsp;— векторний потенціал магнітного поля та <math>d\mathbf{l} </math>&nbsp;— елемент траєкторії руху частинки.

При цьому зміщення фази виникає й тоді, коли частинка проходить ділянками, в яких <math>\mathbf B = 0</math>, не дорівнює нулю тільки <math>\mathbf A</math>. Наприклад, це відбувається при спостереженні [[Ефект Ааронова — Бома|ефекту Ааронова&nbsp;— Бома]]<ref>{{Стаття|author=Aharonov, Y. and D. Bohm|title=Significance of electromagnetic potentials in quantum theory|видання=Phys. Rev.|date=1959|том=115}}</ref>.

=== Узагальнений імпульс ===
Під час руху частки в електромагнітному полі повний імпульс <math>\mathbf{P}</math> дорівнює не просто <math>\mathbf{p} = \frac{m\mathbf{v}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}</math>, а <math>\mathbf{p} + q\mathbf{A}</math>. Отже, під час руху частинки в суто магнітному полі зберігається саме ця величина. Очевидна аналогія з повною енергією частинки <math>E = T + U = \frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}} + q\varphi</math>, яку можна вважати сумою [[Кінетична енергія|кінетичної]] та [[Потенціальна енергія|потенціальної]] енергій.

=== Імпульс частинки за швидкого вимкнення магнітного поля ===
Якщо заряджена частинка міститься поблизу джерела магнітного поля, яке в певний момент часу швидко вимикають, то вона набуває додаткового імпульсу. <math>\Delta \mathbf{p} = q\mathbf{A}</math> навіть у тому випадку, якщо <math>\mathbf{B}</math> в точці розташування частинки дорівнювало нулю (наприклад, зовні соленоїда). Зокрема, якщо частинка до вимкнення поля перебувала в спокої, вона починає рух із імпульсом, рівним <math>q\mathbf{A}</math>. Таким чином, ми отримуємо можливість безпосередньо виміряти векторний потенціал у макроскопічній системі.

{{Доведення1|title = Виведення|
При зміні векторного потенціалу виникає електричне поле:
: <math>\mathbf E = - \frac{\partial \mathbf A}{\partial t}.</math>

Запишемо другий закон Ньютона в узагальненій формі:
: <math>\frac{d \mathbf p}{d t} = \mathbf F,</math>
: <math>\frac{d \mathbf p}{d t} = q \mathbf E + q [\mathbf v \times \mathbf B] = - q \frac{\partial \mathbf A}{\partial t} + q [\mathbf v \times [\nabla \times \mathbf A]].</math>

Якщо поле вимикається досить швидко і швидкість частинки невелика, то
: <math>\frac{\partial \mathbf A}{\partial t} \gg [\mathbf v \times [\nabla \times \mathbf A]],</math>
а частинна похідна за часом практично збігається з повною:
: <math>\frac{d \mathbf A}{d t} = \frac{\partial \mathbf A}{\partial t} + (\mathbf v \cdot \nabla) \mathbf A \approx \frac{\partial \mathbf A}{\partial t}.</math>

Тому маємо:
: <math>\frac{d \mathbf p}{d t} = - q \frac{d \mathbf A}{d t}.</math>

Інтегруємо за часом:
: <math>\mathbf{p}' - \mathbf{p} = - q (\mathbf{A}' - \mathbf{A}).</math>

Оскільки <math>\mathbf{A}' = 0</math>, отримуємо <math>\Delta \mathbf{p} = q\mathbf{A}.</math>
}}

== Одиниці вимірювання ==
У системі [[Міжнародна система одиниць (SI)|SI]] [[Одиниця вимірювання|одиницею]] векторного потенціалу є [[Вебер (одиниця вимірювання)|вебер]] на [[метр]] (Вб/м, [[Розмірність фізичної величини|розмірність]]&nbsp;— [[Вольт|В]]·[[Секунда|с]]/[[Метр|м]] = [[Кілограм|кг]]·[[Метр|м]]·[[Секунда|с]]<sup>−2</sup>·[[Ампер|А]]<sup>−1</sup>).

== Див. також ==
* [[Електростатичний потенціал]]
* [[Соленоїд]]
* [[Рівняння Максвелла|Вектор Герца]]
* [[Калібрування векторного потенціалу]]

== Примітки ==
{{Reflist}}

== Література ==
* {{Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Теория поля}}
* ''Савельев И. В.'' Курс физики. Т.2. Электричество и магнетизм. Волна. Оптика.— 1982.— 496 с.
{{Бібліоінформація}}
[[Категорія:Магнетизм]]
[[Категорія:Електродинаміка]]
[[Категорія:Потенціал]]