Перегляд вихідного коду сторінки Вейвлет

{{Без виносок|дата=червень 2023}}
[[Файл:CardinalBSplineWaveletOfOrder5.png|міні|Приклад вейвлет-функції, амплітуда якої локалізована навколо значення 4,5 та затухає за межами деякого інтервалу]]
'''Вейвлети'''&nbsp;— це родина математичних функцій, яка допомагає аналізувати частотні компоненти сигналів (функцій залежних від часу), методами схожими на [[перетворення Фур'є]]&nbsp;— [[Вейвлет-перетворення]]. Вейвлети надають [[ортогональний базис]], який також має частотну характеристику, але на відміну від нескінчених коливань [[Гармонічне коливання|осциляторних функцій]] для перетворення Фур'є, коливання вейвлетів локалізовані в просторі. Це означає що амплітуда (енергія) сконцентрована на скінченому інтервалі, та швидко затухає за межами визначеної інтервалу, або області у випадку багатовимірних функції.

== Етимологія ==
Слово вейвлет походить від французького ''ondelette''&nbsp;— маленька хвиля, яке перекладено англійською як wavelet (англ. wave&nbsp;— хвиля, та зменшувального суфіксу -let). Термін впроваджений французьким геофізиком Жаном Морле (Jean Morlet) та разом з Алексом Гросманом (Alex Grossmann), та використовується з 50х років в геофізиці<ref>{{cite journal|last1=Ricker|first1=Norman|year=1953|title=Wavelet Contraction, Wavelet Expansion, and the Control of Seismic Resolution|url=https://archive.org/details/sim_geophysics_1953-10_18_4/page/n22|journal=Geophysics|volume=18|issue=4|pages=769–792|bibcode=1953Geop...18..769R|doi=10.1190/1.1437927}}</ref>.Таким чином можна перекласти як хвилька, тобто маленька хвиля. І хоча деякі мови перекладають це слово, як наприклад іспанське Ondícula або польське Falki, в інших мовах використовують транслітерацію слова вейвлет.

== Застосування вейвлет-перетворень ==

Частотна локалізація функції зводиться до понять гладкості та кількості зникаючих моментів. Вейвлет-перетворення звичайно поділяють на [[дискретне вейвлет-перетворення]] (DWT) та [[неперервне вейвлет-перетворення]] (CWT).

Дискретне вейвлет-перетворення (DWT) звичайно використовується для [[кодування сигналів]], у той час як CWT для [[аналіз сигналів|аналізу сигналів]]. Саме тому, DWT широко застосовується в інженерній справі і комп'ютерних науках, а CWT у наукових дослідженнях фізичних процесів. Вейвлет-перетворення в наш час{{коли}} взяті на озброєння для величезної кількості різнопланових застосувань, нерідко заміняючи звичайне [[перетворення Фур'є]] у багатьох прикладних задачах. Ця зміна [[парадигма|парадигми]] спостерігається в багатьох галузях фізики, включаючи [[молекулярна динаміка|молекулярну динаміку]], [[астрофізика|астрофізику]], [[квантова механіка|квантовій механіці]], [[геофізика|геофізиці]], [[оптика|оптиці]], [[механіка рідини|механіці рідини]] та у багатьох інших областях, включаючи [[обробка зображень|обробку зображень]], аналізу кров'яного тиску, пульсу та [[ЕКГ]], аналіз [[ДНК]], дослідження [[білок|білків]], вивчення [[клімат]]у, загальну [[обробка сигналів|обробку сигналів]], [[розпізнавання мови]], [[комп'ютерна графіка|комп'ютерну графіку]] і [[мультифрактальний аналіз]]. Таке широке використання вейвлет-перетворень забезпечується можливістю побудувати на їх основі методи, що потребуватимуть ''O(N)'' операцій, на противагу методів Фур'є-перетворень, де кількість операцій не менша за ''O(NlogN).''

== Історія ==
До розроблення вейвлетів призвели декілька незалежних шляхів міркувань, що почалися з робіт [[Хаар Альфред|Хаара]], який на початку двадцятого століття поставив запитання:
{{цитата|«Чи існує інша ортонормальна система <math>h_0(x), h_1(x), ..., h_n(x),...</math> функцій, визначених на проміжку [0, 1], таких, що довільну функцію <math>f(x) \in C[0, 1]</math> можна розвинути у суму вигляду <math><f, h_0>h_0(x) +  ... + <f, h_n>h_n(x) + ...</math>, і що вона буде збіжною до <math>f(x)</math> єдиним чином на [0, 1]?»}}
Як виявилося таких систем можна побудувати нескінченну кількість.

* У 1909 році Хаар запропонував найпростіший розв'язок і тим самим поклав початок до теорії вейвлетів.
* З 1955 Важливий внесок в теорію принесли такі вчені як Морле, Гроссман які сформулювали те що зараз відоме як [[неперервне вейвлет-перетворення]] (CWT).
* 1983 [[Олаф Штромберг|Жан Олаф-Штромберґ]] (Stromberg) та [[Ів Мейєр|Мейєру]] (Yves Meyer) визначили та працювали над дискретними вейвлетами.
* 1988 [[Інгрід Добеші]] розробила родину функцій на [[Компактний простір|компактному]] [[Носій функції|носії]].
* 1985-89 [[Стефан Маллат]] (Stephane Georges Mallat), спеціаліст з обробки зображень, узагальнив вже існуючі теоретичні розробки: а) [[квадратурний дзеркальний фільтр]] (quadrature mirror filter) для цифрової телефонії; б) [[пірамідальний алгоритм Бурта-Аделсона]] (Burt Adelson), який використовувався для обробки зображень та в) ортонормальний вейвлет базис Штромберґа та Мейера. Маллат розробив [[багаторозкладний аналіз]] (multiresolution analysis).
* 1991 [[Наталі Делпрат]] (Nathalie Delprat) надала часово-частотну інтерпретацію CWT (1991)
* 1991 [[Ньюланд Девід|Девід Ньюланд]] розробив [[гармонійне вейвлет-перетворення]] та багато інших.

== Приклади, види базисів ==
Найпростіша родина вейвлетів, що демонструє основні властивості, такі як ділляція (масштабування), трансляція(зсув), та затухання за межами інтервалу (взагалі компактність носія за визначенням) є [[Гаарів вейвлет|система функцій Хаара]].

Система будується починаючи з базисної функції <math>h(x)=1</math> на [0,1/2) та −1 на [1/2,1), і 0 всюди крім [0, 1).
Для <math>n \ge 1</math> запишемо <math>n=2^j + k, j \ge 0, 0 \le k < 2^j</math>, і визначимо <math>h_n(x)=2^{j/2}h(2^j - k)</math>. Носієм <math>h_n(x)</math> буде інтервал <math>I_n = [k2^{-j}, (k+1)2^{-j}]</math>, що входить до [0, 1), коли <math>0 \le k \le 2^j</math>. Для завершення довизначимо <math>h_0(x)=1</math> на [0, 1). Тепер побудований ряд <math>h_0(x), h_1(x), ..., h_n(x), ...</math> це ортонормальний базис (іноді кажуть Гільбертів базис) в <math>L_2[0,1]</math>. Апроксимація функції <math>f(x)</math> послідовністю <math>S_n(f)(x) = <f, h_0>h_0(x)+ ... +<f, h_n>h_n(x)</math>&nbsp;— це класична апроксимація неперервної функції.

{|border=1
|[[Файл:H1wiki.png|міні|Базисна функція]]
|[[Файл:H2wiki.png|міні|Ортогональна функція]]
|[[Файл:H3wiki.png|міні|Ділляція (стистення) ортогональної функція]]
|[[Файл:H4wiki.png|міні|Трансляція (зсув) ортогональної функція]]
|}
Можна виділити дві основні операції над вихідною функцією:
* трансляція (зсув)&nbsp;— <math>W(2x) \rightarrow W(2x-1)</math>
* диляція (стискання, масштабування) <math>W(x) \rightarrow W(2x)</math>.
На шляху до сучасних побудов теорії хвильок варто відзначити роботи радянського математика [[Лузін Микола Миколайович|Лузіна]] (30-ті роки), які були продовжені [[Вейсс Гвідо|Гвідо Вейссом]] (Guido Weiss) та [[Куафман Роналд|Роналдом Куафманом]] (Ronald R. Coifman) у 60-ті&nbsp;— 80-ті. Їхній підхід використовувався для обробки сиґналів, і оснований на атомарних функціях. Сьогодні цей напрям розвивають учні [[Рвачев Володимир Логвінович|В.&nbsp;Л.&nbsp;Рвачева]] (Харків).

Вчені визначили вейвлет як набір функцій, породжених однією «материнською» функцією <math>\psi (x)</math>. <math>\psi _{(a,b)}(x) = a^{-\frac{n}{2}}\psi (\frac{x-b}{a}), a > 0, b \in R^n</math>. Для функції <math>f(x)</math> ці хвилькі <math>\psi _{(a,b)}</math> відіграють роль ортонормованого базису, хвилькові коефіцієнти визначаються як <math>W(a,b) = <f, \psi _{(a,b))}></math>. Гроссманн та Морле дали наступне визначення: вейвлет це функція <math>\psi \in L_2 (R^n)</math>, претворення Фур'є якої <math>\bar{\psi } (x)</math> задовольняє умові<math>\int_{0}^{\infty } |\bar{\psi } (t \rho ) |^2 \frac{dt}{t} = 1, \rho \in R^n</math> майже всюди.
 За ними вейвлет&nbsp;— це функція <math>\psi \in L_2 (R^n)</math>, така, що <math>2^{\frac{j}{2}}\psi (2^j x - k), j, k \in Z</math> утворює ортонормальний базис у <math>L_2</math>.

Найголовніший крок належить [[Інгрід Добеші]] (Ingrid Daubechies). У [[1988]] році вийшла її стаття, де вперше розглядається сімейство ортонормованих систем в <math>L_2</math> з важливими особливостями:
# кожна система породжується масштабною функцією <math>\phi (x)</math> за допомогою трансляції та диляції;
# кожен елемент даної системи має компактний носій і неперервний, або може бути вибраний досить гладкий (до певного порядку) шляхом зміни масштабу. Носії базисних функцій стають тим менші чим більший індекс j;
# існують швидкі алгоритми для обчислень коефіцієнтів розкладу певної функції. Називається&nbsp;— дискретне вейвлет-перетворення від функції до вейвлет коефіцієнтів розкладу. Цей [[алгоритм]] має складність порядку ''O(N)'';
# Класичне [[дискретне перетворення Фур'є]] та косинус перетворення з'являються як частинний випадок дискретного вейвлет-перетворення (DWT)
# дискретне вейвлет-перетворення може бути розпаралелене.

=== Хвильки Добеші ===
Масштабна функція і відповідна хвилькова функція задовольняють
# масштабному рівнянню (scaling equation) <math>\phi (x) := \sum_{k=0}^{2g-1}a_k \phi (2x-k)</math>;
# відповідному хвильковому рівнянню (wavelet equation) <math>\psi (x) := \sum_{k=0}^{2g-1}b_k \phi (2x-k)</math> ,
де коефіцієнти масштабного рівняння <math>a_k</math> повинні задовольняти лінійній та квадратичній умовам <math>\sum a_k = 2, \sum a_k a_{k+2l} = 2\delta (l, 0)</math>, і де <math>b_k := (-1)^{k+1} a_{2g-1-k}</math>. Функції <math>\phi</math> та <math>\psi</math> задані на інтервалі [0, 2g-1] і утворюють трансляцією та диляцією вейвлет систему.
Однією з властивостей технонології хвильок (вейвлет) є можливість вибрати систему коефіцієнтів, найбільш адаптовану до даної проблеми. Добеші у своїй роботі визначила сімейство хвилькових (вейвлет) систем, які мають максимальну кількість зникаючих моментів <math>\int x^{l} \psi (x) dx = 0, l = 0, ..., g-1</math>. Так коли <math>g=2</math> можна явно знайти коефіцієнти <math>\{ a_n \}_{n=\bar{o,3}}</math>: <math>\{ \frac{1+\sqrt{3}}{4}, \frac{3+\sqrt{3}}{4}, \frac{3 -\sqrt{3}}{4}, \frac{1-\sqrt{3}}{4}\}</math>.
Задавати вейвлет систему можна різним чином. Поширення набуло таке задання <math>\phi _k (x):=\phi (x-k)</math>, <math>\psi _{jk} (x) := 2^{\frac{j}{2}}\psi (2^j x - k), j \ge 0 </math>. (Зазвичай система об'єднана з масштабними коефіцієнтами.)
Вейвлет розвинення: <math>f(x)=\sum_{k} f_k \phi _k (x) + \sum_{j,k} f_{jk} \psi _{jk}(x)</math>, де <math>f_k = \int f(x) \phi _{k}(x) dx </math>, <math>f_{jk} = \int f(x) \psi _{jk}(x) dx </math>.

=== Приклади базисів ===
* вейвлет Хаара
* вейвлет Добеши
* вейвлет Гаусса
* вейвлет Мейера (Meyer wavelet)
* вейвлет Морле (Morlet wavelet)
* вейвлет [[Еміль Леонар Матьє|Матьє]]
* вейвлет Пауля
* вейвлет Ріклера (Ricker wavelet, MHat від англ. Мексиканський капелюх))
* вейвлет Койфмана (Ronald Coifman)&nbsp;— койфлет
* вейвлет Шеннона

== Зв'язки теорії вейвлетів ==
Теорія вейвлетів зв'язана з декількома іншими напрямами. Усі вейвлет-перетворення можуть розглядатися як різновид [[часово-частотне представлення|часово-частотного представлення]] і, отже відноситься до предмета [[гармонійний аналіз|гармонійного аналізу]]. Дискретне вейвлет-перетворення може розглядатися як різновид фільтра [[скінченна імпульсна відповідь|скінченної імпульсної відповіді]]. Вейвлети, що утворюють CWT підкоряються [[принцип невизначеності|принципу невизначеності]] [[Гейзенберг Вернер|Гейзенберга]] і відповідно базис дискретного вейвлета також може розглядатися в контексті інших форм принципу невизначеності.

{|border=1
|скейлінг-функції <math>\phi</math> і вейвлет <math>\psi</math>
|[[Файл:Daubechies4-functions.svg|240px]]
|[[Файл:Daubechies12-functions.png|240px]]
|[[Файл:Daubechies20-functions.png|240px]]
|-
|амплітуда частотного спектру
|[[Файл:Daubechies4-spectrum.svg|240px]]
|[[Файл:Daubechies12-spectrum.png|240px]]
|[[Файл:Daubechies20-spectrum.png|240px]]
|}

== Див. також ==
* [[Простір масштабів]]

== Література ==
* {{книга
|автор        = Капшій О. В., Коваль О. І., [[Русин Богдан Павлович|Русин Б.&nbsp;П.]]
|заголовок    = Вейвлет-перетворення у компресії та попередній обробці зображень 
|місто        = [[Львів]]
|видавництво  = Сполом
|рік          = 2008
|сторінок     = 206
}}
* {{книга
|автор        = Блаттер К.
|заголовок    = Вейвлет-анализ. Основы теории
|рік          = 2006
|видавництво  = Техносфера
|місто        = {{Comment|М.|Москва}}
|сторінок     = 280
}}
* {{книга
|автор        = Добеши И.
|заголовок    = Десять лекций по вейвлетам
|рік          = 2001
|видавництво  = РХД
|місто        = Ижевск
|сторінок     = 464
}}
* {{книга
|автор        = Малла С.
|заголовок    = Вэйвлеты в обработке сигналов
|рік          = 2005
|видавництво  = Мир
|місто        = {{Comment|М.|Москва}}
|сторінок     = 672
}}
* {{книга
|автор        = Смоленцев Н. К.
|заголовок    = Введение в теорию вейвлетов
|рік          = 2010
|видавництво  = РХД
|місто        = Ижевск
|сторінок     = 292
}}
* {{книга
|автор        = Чуи К.
|заголовок    = Введение в вэйвлеты
|рік          = 2001
|видавництво  = Мир
|місто        = {{Comment|М.|Москва}}
|сторінок     = 412
}}

== Примітки ==
{{reflist}}

== Посилання ==
* [http://www.wavelet.org Wavelet Digest] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200929144242/http://www.wavelet.org/ |date=29 вересня 2020 }}
* [https://web.archive.org/web/20040210231301/http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html The Wavelet Tutorial by Polikar]
* [http://www.autex.spb.ru/cgi-bin/download.cgi?wvlt_tutorial{{Недоступне посилання|date=березень 2019 |bot=InternetArchiveBot }} Роби Поликар Введение в Вейвлет-преообразование]{{Недоступне посилання|date=жовтня 2019 |bot=InternetArchiveBot }}&nbsp;— 59 с.&nbsp;— Для тих, хто добре зрозумів ДПФ
* [http://padabum.com/x.php?id=32473 J. Lewalle&nbsp;— Введение в анализ данных с применением непрерывного вейвлет-преобразования] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20141022132807/http://padabum.com/x.php?id=32473 |date=22 жовтня 2014 }}&nbsp;— 29 с.&nbsp;— Для тих, хто добре зрозумів роботу Робі Поликара «Введение в Вейвлет-преообразование»

{{Мало джерел|дата=червень 2023}}

{{Статистика|аналіз}}

[[Категорія:Чисельні методи]]
[[Категорія:Цифрові обчислення]]
[[Категорія:Цифрова обробка сигналів]]
[[Категорія:Вейвлети|*]]