Перегляд вихідного коду сторінки Вартість грошей у часі

'''Вартість грошей у часі'''&nbsp;— базова концепція [[Фінансова математика|фінансової математики]], метод порівняння двох чи більше грошових величин з різних моментів часу. Ця концепція використовується у тій чи іншій формі в більшості фінансових розрахунків, нп., при обчисленні відсотків з [[Депозитний вклад|депозиту]], розрахунку [[кредит (фінанси)|кредитних платежів]], обчисленні вартості [[цінні папери|цінних паперів]] та ін. Концепція базується на спостереженні, що одна гривня (чи інша [[грошова одиниця]]) сьогодні вартує більше ніж одна гривня за рік. Залежно від ситуації цей факт може бути наслідком однієї чи кількох причин:
* знецінення грошей з приводу [[інфляція|інфляції]],
* можливість досягнення прибутку (інвестування грошей доступних сьогодні),
* [[ризик]] неотримання грошей у майбутньому,
* надання переваги споживанню тепер над споживанням у майбутньому чи схильність до [[ліквідність|ліквідності]] у випадку підприємницької діяльності.  
Незалежно від причин, зміна вартості грошей у часі описується за допомогою [[процентна ставка|процентної ставки]] з застосуванням найчастіше [[складні відсотки|складних відсотків]].<ref>{{cite web|url=http://www.investopedia.com/articles/03/082703.asp|title=Understanding the Time Value of Money|first=Shauna|last=Carther|date=3 грудня 2003}}</ref> 
У найпростішому варіанті метод зводиться до обчислення [[приведена вартість|приведеної]]<ref>{{cite web|url=http://www.investopedia.com/terms/p/presentvalue.asp|title=Present Value - PV|first=Investopedia|last=Staff|date=25 листопада 2003}}</ref><ref>{{cite web|url=http://www.getobjects.com/Components/Finance/TVM/pva.html|title=Present Value of an Annuity}}</ref><ref>{{cite web|url=http://www.investopedia.com/terms/p/perpetuity.asp|title=Perpetuity|first=Investopedia|last=Staff|date=24 листопада 2003}}</ref> та [[майбутня вартість|майбутньої вартості]] окремого платежу, [[ануїтет]]у чи іншого [[грошовий потік|грошового потоку]].<ref>{{cite web|url=http://www.investopedia.com/terms/f/futurevalue.asp|title=Future Value - FV|first=Investopedia|last=Staff|date=23 листопада 2003}}</ref> У більш загальному варіанті&nbsp;— актуалізація грошової суми відомої в один момент часу на будь-який інший момент часу в майбутньому чи минулому.

== Приведена вартість ==
* Приведена вартість майбутньої (за <math>n</math> періодів) грошової суми  <math>FV</math> при процентній ставці <math>i</math>
::<math>  PV   \,=\,\frac{FV}{(1+i)^n} </math>
* Приведена вартість звичайного [[ануїтет]]у (постнумерандо) зі сталою величиною платежу <math>A</math>
::<math>PV \,=\,A\cdot\frac{1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}</math>
: У випадку ануїтету пренумерандо результат треба домножити на <math>(1+i)</math>
* Приведена вартість довічного ануїтету (постнумерандо) зі сталою величиною платежу <math>A</math>
::<math>PV \,=\,\frac Ai</math>
* Приведена вартість довільного [[грошовий потік|грошового потоку]] <math> CF_0, CF_1, ... , CF_n </math>
::<math>PV \,=\,\sum_{j=0}^n \frac{CF_j}{(1+i)^j}</math>
: називається його [[чиста поточна вартість|чистою поточною вартістю]].

=== Приклад 1. Приведена вартість платежу ===
Приведена вартість 1000 гривень, які повинні бути виплачені за рік, при відсотковій ставці 12% становить
:<math>  PV \,= \,\frac{1000}{(1+0,12)}\,= \,\frac{1000}{1,12}\,=\,892,86 </math> гривні.
Натомість, привдена вартість 1000 гривень, які повинні бути виплачені за 3 роки, при тій же відсотковій ставці становить
:<math>  PV \,=\,\frac{1000}{(1+0,12)^3}\,=\,\frac{1000}{1,40493}\,=\,711,78 </math> гривні.

=== Приклад 2. Приведена вартість ануїтету ===
Максимальний кредит який протягом двох років може сплатити особа при щомісячних платежах 1000 гривень, річній номінальній ставці 15% та щомісячній капіталізації є приведеною вартістю ануїтету. Кількість платежів становить 24, місячна процентна ставка 15%/12=1,25%. Закладаючи, що перший платіж відбудеться за місяць після надання кредиту (ануїтет постнумерандо): 
:<math>PV \,=\,1000\cdot\frac{1-\left(1+0,0125\right)^{-24}}{0,0125} \,=\,1000\cdot 20,62423 \,=\, 20624,23</math> гривні.

== Майбутня вартість ==
* Майбутня вартість сьогоднішньої грошової суми  <math>PV</math> за <math>n</math> періодів при процентній ставці <math>i</math>
::<math>  FV \,=\, PV \cdot (1+i)^n </math>
* Майбутня вартість звичайного ануїтету (постнумерандо) зі сталою величиною платежу <math>A</math>
::<math>FV \,=\,A\cdot\frac{\left(1+i\right)^n-1}{i}</math>
: У випадку ануїтету пренумерандо результат треба домножити на <math>(1+i)</math>
* Майбутня вартість довільного [[грошовий потік|грошового потоку]] <math> CF_0, CF_1, ... , CF_n </math>
::<math>FV \,=\,\sum_{j=0}^n CF_j(1+i)^{n-j}</math>

== Загальний випадок ==
Обчислення приведеної та майбутньої базуються на умовних початковому та кінцевому моментах аналізу вартості грошей.
Узагальнюючи, якщо в момент <math>t_0</math> відома сума грошей <math>V(t_0)</math>, то вартість грошей в довільному моменті <math>t</math> можна обчислити за формулою
: <math>V(t)\,=\,V(t_0)\cdot(1+r)^{t-t_0}</math>,
де <math>r</math> — річна [[ефективна процентна ставка]]. Метод абстрагується від періодичності капіталізації відсотків, [[Показникова функція|експоненційний]] ріст вартості є неперервним в часі. Різниця <math>t-t_0</math>&nbsp;— це час (кількість років), який минув від моменту <math>t_0</math> до моменту <math>t</math>. Якщо ця різниця додатня, то актуалізаця вартості грошей відбувається на пізніший момент, а якщо від'ємна&nbsp;— на раніший момент ([[дисконтування]]).

Якщо грошові суми <math>V_1(t_1)</math> і <math>V_2(t_2)</math> мають однакову вартість, то при <math>t_1\ \ne\ t_2</math> відповідна процентна ставка визначається за формулою
: <math>r\,=\,\left(\frac{V_2(t_2)}{V_1(t_1)}\right)^\frac 1{t_2-t_1}-1</math>

'''Властивості:'''
* '''Адитивність:''' якщо в момент <math>t_0</math> грошова сума складається з двох частин:
:: <math>V(t_0)\,=\,V_1(t_0) + V_2(t_0)</math>,
: і вартість обох складових змінюється за однаковою відсотковою ставкою <math>r</math>, то вартість суми змінюється за цією ж відсотковою ставкою і, в довільний момент <math>t</math>, величина <math>V(t)</math> дорівнює сумі величин <math>V_1(t)</math> та <math>V_2(t)</math>. 
: Доведення зводиться до простого перетворення 
:: <math>V(t)\,=\,V(t_0)\cdot(1+r)^{t-t_0}\,=\,(V_1(t_0) + V_2(t_0))\cdot(1+r)^{t-t_0} \,=\, 
        V_1(t_0)\cdot(1+r)^{t-t_0} + V_2(t_0)\cdot(1+r)^{t-t_0}\,=\,V_1(t) + V_2(t)</math>.
*'''Незалежність від моменту відліку:''' результат не залежить від того чи  актуалізація відбувається безпосередньо з моменту <math>t_0</math> на момент <math>t</math>, чи через проміжний пункт <math>t_1</math>. Це виникає з властивості показникової функції:
:: <math>V(t_1)\,=\,V(t_0)\cdot(1+r)^{t_1-t_0}</math>,
:отже
::<math>
   V(t_0)\cdot(1+r)^{t-t_0}\,=\,V(t_0)\cdot(1+r)^{(t_1-t_0)+(t-t_1)}\,=
   \,V(t_0)\cdot(1+r)^{t-t_1}\cdot(1+r)^{t_1-t_0}\,=\,V(t_1)\cdot(1+r)^{t-t_1}
</math>
:Порівняння лівої і правої частини доводить наявність властивості.

=== Приклад. Сплата кредиту ===
Кредит 20 тисяч євро під 12% річних буде сплачено двома платежами: за півтора року та за 2,5 року від моменту надання кредиту. Перший платіж буде рівний 15 тисяч євро. Величину другого платежу можна визначити аналізуючи зміну вартості грошей в часі. Вартість <math>K(t)</math> суми кредиту у будь-який момент часу <math>t</math> повинна бути рівна сумі вартостей платежів <math>R_1(t)</math> та <math>R_2(t)</math> у цей момент часу: 
: <math>K(t)\,=\,R_1(t) + R_2(t)</math>.
Приймаючи момент надання кредиту за початок відліку часу та актуалізуючи суму кредиту та перший платіж на момент другого платежу <math>t=2,5</math>:
: <math>K(2,5)\,=\,K(0)\cdot(1+r)^{2,5-0}\,=\,20000\cdot(1+0,12)^{2,5}\,=\,26550,64</math> євро,
: <math>R_1(2,5)\,=\,R_1(1,5)\cdot(1+r)^{2,5-1,5}\,=\,15000\cdot(1+0,12)\,=\,16800,00</math> євро,
отримаємо другий платіж
: <math>R_2(2,5)\,=\,K(2,5) - R_1(2,5)\,=\, 26550,64-16800,00 \,=\,9750,64</math> євро.

== Неперервна капіталізація ==
Зміна вартості грошей у часі з застосуванням складних відсотків з неперервною капіталізацією є особливо зручною в теоретичних застосуваннях які вимагають обчислення швидкості зміни, тобто, обчислення похідної за часом. Якщо відсоткова ставка при неперервній капіталізації <math>r_c</math> та ефективна відсоткова ставка <math>r</math> пов'язані співвідношенням 
:<math>e^{r_c}\,=\,1+r</math>,
то фомулу актуалізації вартості капіталу можна записати у вигляді
:<math>V(t)\,=\,V(t_0)\cdot e^{r_c(t-t_0)}</math>.
Наприклад,
* приведена вартість майбутньої (за <math>n</math> періодів) грошової суми  <math>FV</math> 
::<math>  PV \,=\,\frac{FV}{e^{nr_c}} </math>,
* майбутня вартість сьогоднішньої грошової суми  <math>PV</math> за <math>n</math> періодів
::<math>  FV \,=\, PV \cdot e^{nr_c} </math>.
Оскільки варіант з неперервною капіталізацією є тільки іншою формою запису зміни вартості грошей у часі, то автоматично володіє властивостями адитивності та незалежності від моменту відліку.

== Примітки ==
{{reflist}}

[[Категорія:Фінансова математика]]
[[Категорія:Гроші]]