Перегляд вихідного коду сторінки Біноміальний ряд

<noinclude>{{сирий переклад|en|дата=1 березня 2024}}</noinclude>
'''Біноміальний ряд''' це [[Ряд Тейлора|ряд Маклорена]] для [[Функція (математика)|функції]] <math>f(x)=(1+x)^{\alpha}</math>, де <math>\alpha \in \mathbb {C}</math> і <math>|x| < 1</math> . Біноміальний ряд є узагальненням полінома, який отримується зі співвідношення для [[Біном Ньютона|біноміальної формули]], наприклад, <math>(1+x)^{n}</math> для цілого невід'ємного числа <math>n</math>. 

У явній формі записується так:{{NumBlk|:|<math>\begin{align}
	(1+x)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }\;{\binom {\alpha }{k}}\;x ^{k}=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha - 2)}{3!}}x^{3}+\cdots.
\end{align}</math>|{{EquationRef|1}}}}де коефіцієнти [[степеневий ряд|степеневого ряду]] у правій частині виражаються через [[Біноміальний коефіцієнт#Явні формули|(узагальнені) біноміальні коефіцієнти]] <math>{\binom {\alpha }{k}}:={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}}.</math> 

== Збіжність ==

=== Умови [[Абсолютна збіжність|збіжності]] ===
Збіжність залежить від значень комплексних чисел <math>\alpha</math> і <math>x</math>. Точніше:

# Якщо <math>|x| < 1</math>, то ряд збігається [[Абсолютна збіжність|абсолютно]] для будь-якого комплексного числа <math>\alpha</math>.
# Якщо <math>|x| = 1</math>, то ряд збігається абсолютно [[тоді й лише тоді]], коли або <math>\operatorname{Re}(\alpha ) > 0</math>, або <math>\alpha = 0</math>, де <math>\operatorname{Re}( \alpha )</math>&nbsp;— [[Комплексне число|дійсна частина]] числа~<math>\alpha</math>.
# Якщо <math>|x| = 1</math> і <math>x\neq-1</math>, то ряд збігається тоді й лише тоді, коли <math>\operatorname{Re}( \alpha )>-1</math>.
# Якщо <math>x = -1</math>, то ряд збігається тоді й лише тоді, коли <math>\operatorname{Re}( \alpha ) > 0</math> або <math>\alpha = 0</math>.
# Якщо <math>|x| > 1</math>, то ряд [[Розбіжний ряд|розбігається]], окрім випадків, коли <math>\alpha</math> є невід'ємним цілим числом, у цьому випадку ряд є скінченною сумою.

Зокрема, якщо <math>\alpha</math> не є цілим невід'ємним числом, ситуація на межі [[Радіус збіжності|кругу збіжності]], <math>|x| = 1</math>, визначається наступним чином:

* Якщо <math>\operatorname{Re}( \alpha ) > 0</math>, то ряд збігається абсолютно.
* Якщо <math>-1 < \operatorname{Re}( \alpha ) \leq 0</math>, то ряд [[Умовна збіжність|умовно]] збігається, якщо <math>x \neq -1</math>, і розбігається, якщо <math>x = -1</math>.
* Якщо <math>\operatorname{Re}( \alpha ) \leq -1</math>, то ряд розбігається.

=== Тотожності, які будуть використані в доведенні ===
Для будь-якого комплексного числа <math>\alpha</math> виконується наступне:

: <math>{\alpha \choose 0}=1,</math>
{{NumBlk|:|<math> {\alpha \choose k+1} = {\alpha\choose k} \frac{\alpha-k}{k+1},  </math>|{{EquationRef|2}}}}{{NumBlk|:|<math> {\alpha \choose k-1}+{\alpha\choose k}={\alpha +1 \choose k}. </math>|{{EquationRef|3}}}}За умови, що <math>\alpha</math> є невід'ємним цілим числом (у цьому випадку біноміальні коефіцієнти перетворюються у нуль, якщо <math>k</math> більше ніж <math>\alpha</math>), корисне є наступне [[Асимптотичний аналіз|асимптотичне]] співвідношення для біноміальних коефіцієнтів у [[Нотація Ландау|нотації Ландау]]:{{NumBlk|:|<math> {\alpha \choose k}=\frac {(-1)^{k}}{\Gamma (-\alpha )k^ {1+\alpha }} (1+o(1 )), \quad\text{при }k\to\infty. </math>|{{EquationRef|4}}}}Це, по суті, еквівалентно означенню Ейлера для [[Гамма-функція|гамма-функції]]:

: <math>\Gamma (z)=\lim _{k\to \infty}{\frac {k!\;k^{z}}{z\;(z+1)\cdots(z+k)}}, </math>

і відразу передбачає більш грубі оцінки:{{NumBlk|:|<math> \frac {m}{k^{1+\operatorname{Re} \alpha }}\leq \left|{\alpha \choose k}\right|\leq \frac {M} {k^{1+\operatorname{Re} \alpha}}, </math>|{{EquationRef|5}}}}для деяких додатних констант <math>m</math> і <math>M</math>.

Формулу ({{EquationNote|2}}) для узагальненого біноміального коефіцієнта можна переписати у вигляді{{NumBlk|:|<math> {\alpha \choose k}=\prod_{j=1}^k\left(\frac {\alpha +1}{j}-1\right). </math>|{{EquationRef|6}}}}

=== Доведення ===
Щоб довести властивості (1) і (5), будемо застосовувати [[Ознака д'Аламбера|ознаку Даламбера]] та використовувати формулу ({{EquationNote|2}}), щоб показати, що завжди, якщо <math>\alpha</math> не є цілим невід'ємним числом, [[радіус збіжності]] дорівнює рівно 1. Властивість (2) випливає з формули ({{EquationNote|5}}) з використанням ознаки порівняння із p-рядом[[Ознаки збіжності#Ознака збіжності узагальнених гармонічних рядів|p-рядом]]

: <math> \sum _{k=1}^{\infty } \frac {1}{k^{p}}, </math>

де <math>p=1+\operatorname{Re} \alpha</math>. Щоб довести властивість (3), спочатку використаємо формулу ({{EquationNote|3}}), щоб отримати{{NumBlk|:|<math>(1+x)\sum _{k=0}^{n}\;{\alpha \choose k}\;x^{k}=\sum _{k=0}^{n}\;{\alpha +1 \choose k}\;x^{k}+{\alpha \choose n}\;x^{n+1}, </math>|{{EquationRef|7}}}}а потім знову використаємо властивість (2) і формулу ({{EquationNote|5}}), щоб довести збіжність правої частини, коли <math> \operatorname{Re} \alpha >-1</math>. З іншого боку, знову за формулою ({{EquationNote|5}}), ряд не збігається, якщо <math>|x|=1</math> і <math>\operatorname{Re} \alpha \leq -1</math>. Крім того, можна помітити, що для всіх <math>j</math>, <math display="inline"> \left|\frac{\alpha +1}{j}-1\right|\geq 1-\frac{\operatorname{Re} \alpha +1}{j} \geq 1</math>. Таким чином, за формулою ({{EquationNote|6}}), для всіх <math display="inline"> k, \left|{\alpha \choose  k} \right| \ge 1 </math>. Це завершує доведення властивості (3). Для доведення властивості (4) використовуємо тотожність ({{EquationNote|7}}), яка була описана вище, для <math>x=-1</math> і <math>\alpha -1</math> замість <math>\alpha</math>, разом із формулою~({{EquationNote|4}}), щоб отримати

: <math>\sum _{k=0}^{n} {\alpha \choose k} (-1)^{k}={\alpha -1 \choose n} (-1)^{n}=\frac {1}{\Gamma (-\alpha +1)n^{\alpha }}(1+o(1)),\quad \text{якщо } n\to \infty.</math>

Властивість (4) тепер випливає з асимптотичної поведінки послідовності <math>n^{-\alpha }=\mathrm{e}^{-\alpha \log(n)}</math> (Звичайно <math> \left|\mathrm{e}^{-\alpha \log n}\right|=\mathrm{e}^{-\operatorname{Re} \alpha  \log n}</math> збігається до <math>0</math>, якщо <math>\operatorname{Re} \alpha >0</math> та розбігається до <math>+\infty</math>, якщо <math>\operatorname{Re} \alpha <0</math>. Якщо <math>\operatorname{Re} \alpha =0</math>, тоді <math>n^{-\alpha }=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\operatorname {Im} \alpha \log n}</math> збігається тоді й лише тоді, коли послідовність <math>\operatorname {Im} \alpha \log n</math> збігається <math>\operatorname{mod} 2\pi </math>, що, звичайно, вірно, якщо <math>\alpha =0</math>, але невірно, якщо <math>\operatorname {Im} \alpha \neq 0</math>: в останньому випадку послідовність збігається <math>\operatorname{mod} 2\pi </math>, з огляду на те, що <math>\log n</math> розбігається і <math>\log(n+1)-\log n</math> збігається до нуля).

== Підсумовування біноміального ряду ==
Звичайний спосіб обчислення суми біноміального ряду полягає в наступному. Почленно [[Похідна|продиференціювавши]] біноміальний ряд в межах радіуса збіжності <math>|x| < 1</math> і використавши формули ({{EquationNote|1}}), отримаємо, що сума ряду є [[Аналітична функція|аналітичною функцією]], яка є розв'язком [[Звичайні диференціальні рівняння|звичайного диференціального рівняння]] <math>(1 + x)u'(x)-\alpha u(x)=0</math> з {{нп|Початкова умова|початковою умовою||Initial condition}} <math>u(0)=1</math>. Єдиним розв'язком цієї задачі є функція <math>u(x)=(1 + x)^{\alpha}</math>. Дійсно, використавши [[інтегрувальний множник]] <math>(1 + x)^{-\alpha-1}</math>, отримаємо

: <math>	0=(1+x)^{-\alpha }u'(x)-\alpha (1+x)^{-\alpha -1}u(x)=\big[(1+x)^{-\alpha }u(x)\big]'.</math>

Отже, функція <math>(1 + x)^{-\alpha}u(x)</math> є константою, яка, згідно з початковою умовою, дорівнює~1. Тобто <math>u(x)=(1 + x )^{\alpha}</math> є сумою біноміального ряду для <math>| x | < 1</math>. Рівність поширюється на <math>|x| = 1</math> завжди, коли ряд збігається, як наслідок [[Теорема Абеля (аналіз)|теореми Абеля]] та [[Неперервна функція|неперервності]] функції <math>(1 + x )^{\alpha}</math>.

== Від'ємний біноміальний ряд ==
Із біноміальним рядом тісно пов'язаний ''від'ємний біноміальний ряд'', визначений [[Ряд Тейлора|рядом Маклорена]] для функції <math>g(x)=(1-x)^{-\alpha }</math>, де <math>\alpha \in \mathbb {C}</math> і <math>|x|<1</math>. 

Формулу ряда можна записати як:

: <math>\begin{align}
\frac {1}{(1-x)^{\alpha }}&=\sum _{k=0}^{\infty }\;{\frac {g^{(k)}(0)}{k!}} x^{k}\\
&=1+\alpha x+\frac {\alpha (\alpha +1)}{2!}x^{2}+\frac {\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)}{3!}x^{3}+\cdots,
\end{align}</math>

Де [[Мультимножина|мультимножинний коефіцієнт]]:

: <math>\left(\!\!{\alpha \choose k}\!\!\right):={\alpha +k-1 \choose k}={\frac {\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)\cdots (\alpha +k-1)}{k!}} .</math>


== Спеціальні випадки ==
Якщо <math>\alpha</math>  - невід'ємне [[Цілі числа|ціле]] число <math>n</math>, то член <math>x^{n+1}</math> і всі наступні члени ряду дорівнюють <math>0</math>, оскільки кожен добуток містить множник <math>(n-n)</math>. 

В такому випадку, у цьому випадку ряд скінченний, а коефіцієнти представлляють собою алгебраїчну [[Біном Ньютона|біноміальну формулу]] коефіцієнтів.

<math>{n\choose k} = C^k_n = \frac{n!}{k!\;(n-k)!}</math>


Якщо <math>\alpha</math> є натуральним числом, то очевидними є кілька спеціальних послідовностей. 

У випадку, якщо <math>\alpha = 1</math> , то отримаємо ряд <math>1 + x + x^2 + x^3 +\cdots</math>, де коефіцієнт кожного члена ряду дорівнює 1. 

У випадку <math>\alpha= 2</math> отримаємо ряд <math>1 + 2 x + 3 x^2 + 4 x^3 +\cdots </math>, який має натуральні числа як коефіцієнти. 

У випадку <math>\alpha = 3</math> отримаємо ряд <math>1 + 3 x + 6 x^2 + 10 x^3 +\cdots </math>, який має [[Трикутне число|трикутні числа]] як коефіцієнти. 

У випадку <math>\alpha = 4</math> отримаємо ряд <math>1 + 4 x + 10 x^2 + 20 x^3 +\cdots </math>, який має [[тетраедричні числа]] як коефіцієнти, і аналогічно для вищих наткральних значень <math>\alpha</math>.



Від'ємний біноміальний ряд включає випадок [[Геометричний ряд|геометричного ряду]], тобто [[Степеневий ряд|степеневого ряду]]<ref>{{citation|url=https://maa.org/sites/default/files/0002989008055.di011924.01p0005u.pdf|title=The geometric series in calculus|author=George Andrews|journal=The American Mathematical Monthly|volume=105|issue=1|pages=36-40|doi=10.1080/00029890.1998.12004846|year=2018}}</ref><math display="block">\frac {1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}</math>(це від'ємний біноміальний ряд, якщо <math>\alpha =1</math>, що збігається у крузі <math> |x|<1</math>), та в більш загальному випадку, ряди, отримані диференціюванням геометричних степеневих рядів: <math display="block">\frac{1}{(1-x)^{n}}=\frac{1}{(n-1)!}\frac{\mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{d}x^{n-1}}\frac {1}{1-x},</math>

де <math>\alpha =n</math>&nbsp;— натуральне число.<ref>{{citation|first=Konrad|last=Knopp|title=Theory and applications of infinite series|year=1944|publisher=Blackie and Son}}, §&nbsp;22.</ref>

== Історія ==
Перші результати щодо біноміальних рядів для показників, відмінних від натуральних чисел, були дані [[Ісаак Ньютон|Ісааком Ньютоном]] під час дослідження [[Площа|площ]], утворених під певними кривими. [[Джон Валліс|Джон Уолліс]] спирався на цю роботу, розглядаючи вирази у формі <math>y = (1 - x^2)^m </math>, де <math>m</math>&nbsp;— дріб. Він показав, що послідовні коефіцієнти <math>c_k</math> від <math>(-x^2)^k</math> можна знайти шляхом множення попереднього коефіцієнта на <math>\frac{m - ( k - 1)}{k}</math> (як у випадку цілих степенів), тим самим неявно даючи формулу для цих коефіцієнтів. Він явно представив наступні випадки{{efn|{{sfn|Coolidge|1949}}Насправді цей підхід дає всі непостійні члени з від'ємним знаком, що не є правильним для другого рівняння; треба припустити, що це помилка транскрипції.}}

: <math>(1-x^{2})^{1/2}=1-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{8}}-{\frac {x^{6}}{16}}-\cdots,</math>
: <math>(1-x^{2})^{3/2}=1-{\frac {3x^{2}}{2}}+{\frac {3x^{4}}{8}}+{\frac {x^{6}}{16}}+\cdots,</math>
: <math>(1-x^{2})^{1/3}=1-{\frac {x^{2}}{3}}-{\frac {x^{4}}{9}}-{\frac {5x^{6}}{81}}-\cdots.</math>

Тому біноміальний ряд іноді називають [[Біном Ньютона|біноміальною теоремою Ньютона]]. Ньютон не наводив жодних доведень і не говорив чітко про природу цього ряду. Пізніше, у 1826 році, [[Нільс Генрік Абель|Нільс Хенрік Абель]] обговорював цю тему в статті, опублікованій у ''{{нп|Журнар Крелла|Журналі Крелла||Crelle's Journal}}'', зокрема розглядаючи питання збіжності.{{sfn|Abel|1826}}

== Див. також ==
* [[Біном Ньютона]]
* [[Біноміальний коефіцієнт]]

== Виноски ==

=== Примітки ===
{{notelist}}

=== Джерела ===
{{reflist|20em}}

== Література ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Citation|first=Niels|last=Abel|author-link=Niels Henrik Abel|title=Recherches sur la série 1 + (''m''/1)x + (''m''(''m'' − 1)/1.2)x{{sup|2}} + (''m''(''m'' − 1)(''m'' − 2)/1.2.3)''x''{{sup|3}} + …|journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik|volume=1|issue=|year=1826|pages=311–339|id=|url=http://www.bibnum.education.fr/mathématiques/algébre/niels-abel-et-les-critères-de-convergence}}
* {{citation|jstor=2305028|title=The Story of the Binomial Theorem|first=J. L.|last=Coolidge|journal=The American Mathematical Monthly|volume=56|issue=3|pages=147–157|year=1949|doi=10.2307/2305028}}

== Посилання ==
* {{MathWorld|urlname=BinomialSeries}}
* {{MathWorld|urlname=BinomialTheorem|title=Біноміальна теорема}}
* {{PlanetMath|urlname=binomialformula}}
* {{SpringerEOM|author-first=Е. Д.|author-last=Соломенцев|title=Binomial series}}
* {{cite web|url=https://www.quantamagazine.org/how-isaac-newton-discovered-the-binomial-power-series-20220831/|title=Як Ісаак Ньютон відкрив біноміальний степеневий ряд|date=Серпень 31, 2022}}

[[Категорія:Комплексний аналіз]]
[[Категорія:Факторіали і біноміальні коефіцієнти]]
[[Категорія:Ряди]]