Перегляд вихідного коду сторінки Біноміальний коефіцієнт

[[Файл:Pascal's triangle 5.svg|right|thumb|200px|Біноміальні коефіцієнти розташовані у вигляді [[Трикутник Паскаля|трикутника Паскаля]].]]
[[Файл:Binomial_theorem_visualisation.svg|альт=Візуалізація біноміальних коефіцієнтів до 4 степеня|міні|229x229пкс|Візуалізація біноміальних коефіцієнтів до 4 степеня]]
'''Біноміальні коефіцієнти'''&nbsp;— коефіцієнти в розкладі <math>\ (1+x)^n</math> по степенях <math>\ x</math> (так званий [[біном Ньютона]]):
: <math>(1+x)^n = {n\choose 0} + {n\choose 1}x + {n\choose 2}x^2 + \cdots  + {n\choose n}x^n = \sum_{k=0}^n {n\choose k} x^k.</math>

Біноміальний коефіцієнт є узагальненням кількості [[Комбінація (комбінаторика)|невпорядкованих виборів]] <math>C^k_n</math>, що визначена тільки для невід'ємних [[цілі числа|цілих чисел]] <math>n</math>, <math>k</math>, тобто <math>\ n+1\in\N</math> та <math>\ k+1\in\N.</math>
У явному вигляді для <math>0\leq k \leq n</math>:
: <math>{n\choose k} = C^k_n = \frac{n!}{k!\;(n-k)!}</math>,
де <math>n!</math> та <math>k!</math>&nbsp;— [[факторіал]]и чисел <math>n</math> і <math>k</math>.

== Явні формули ==
Обчислюючи коефіцієнти в розкладі <math>(1+x)^n</math> у степеневий ряд, можна отримати явні формули для біноміальних коефіцієнтів <math>\textstyle\binom{n}{k}</math>.

Для всіх дійсних чисел ''n'' і цілих чисел ''k'':

: <math>\binom{n}{k}=\begin{cases} 
\frac{n(n-1)(n-2)\cdot\ldots\cdot(n-k+1)}{k!}, & k\geqslant 0,\\
0, & k<0,
\end{cases}</math>

де <math>k!</math> позначає [[факторіал]] числа ''k''.

Для невід'ємних цілих ''n'' і ''k'' також справедливі формули:

: <math>\binom{n}{k} = \begin{cases}
\frac{n!}{k!(n-k)!}, & 0\leqslant k\leqslant n,\\
0, & k>n. 
\end{cases}</math>

Для цілих від'ємних показників коефіцієнти розкладу бінома <math>(1+x)^{-n}</math> рівні

: <math>\binom{-n}{k} = \begin{cases}
(-1)^k\cdot\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}, & k\geqslant 0,\\
0, & k<0. 
\end{cases}</math>

== Трикутник Паскаля ==
{{Докладніше|Трикутник Паскаля}}
Тотожність <math>{n\choose k}={n-1\choose k-1} + {n-1\choose k}</math>
дозволяє розташувати біноміальні коефіцієнти для невід'ємних <math>n</math>, <math>k</math> у вигляді трикутника Паскаля, в якому кожне число рівне сумі двох, що стоять на рядок вище:

: <math>\begin{matrix}
n=0: &   &   &   &   & 1 &   &   &   &\\
n=1: &   &   &   & 1 &   & 1 &   &   &\\
n=2: &   &   & 1 &   & 2 &   & 1 &   &\\
n=3: &   & 1 &   & 3 &   & 3 &   & 1 &\\
n=4: & 1 &   & 4 &   & 6 &   & 4 &   & 1\\
\vdots &   & \vdots  &  & \vdots &   & \vdots &   & \vdots &
\end{matrix}</math>

Трикутна таблиця, запропонована [[Паскаль Блез|Паскалем]] в «Трактаті про арифметичний трикутник» ([[1654]]), відрізняється від описаної тут поворотом на 45°.
Таблиці для зображення біноміальних коефіцієнтів були відомі й раніше.

== Властивості ==

=== Твірні функції ===
Для фіксованого значення ''n'' [[Генератриса|твірною функцією послідовності]] біноміальних коефіцієнтів <math>\tbinom{n}{0},\;\tbinom{n}{1},\;\tbinom{n}{2},</math> … є

: <math>\sum_{k=0}^{\infty} \binom{n}{k} x^k = (1+x)^n.</math>

Для фіксованого значення ''k'' твірною функцією послідовності коефіцієнтів <math>\tbinom{0}{k},\;\tbinom{1}{k},\;\tbinom{2}{k},</math> … є
: <math>\sum_n \binom{n}{k} y^n = \frac{y^k}{(1-y)^{k+1}}</math>.

Двовимірною твірною функцією біноміальних коефіцієнтів <math>\tbinom{n}{k}</math> для цілих <math>n,k</math> є

: <math>\sum_{n,k} \binom{n}{k} x^k y^n = \frac{1}{1-y-xy},</math> або <math>\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k y^n = \frac{1}{1-y-xy}.</math>

=== Подільність ===
Із [[Теорема Люка|теореми Люка]] випливає, що:

* коефіцієнт <math>\textstyle \binom{n}{k}</math> непарний <math>\iff</math> в [[Двійкова система числення|двійкового запису]] числа ''k'' одиниці не стоять у тих розрядах, де в числі ''n'' стоять нулі;
* коефіцієнт <math>\textstyle \binom{n}{k}</math> [[Подільність|не кратний]] [[Просте число|простому число]] ''p'' <math>\iff</math> при записі числа ''k'' в [[Позиційна система числення|системі числення з основою]] ''p'', всі розряди не перевищують відповідних розрядів числа ''n'';
* у послідовності біноміальних коефіцієнтів <math>\textstyle \binom{n}{0},\;\binom{n}{1},\;\ldots,\;\binom{n}{n}</math>:
** всі числа не кратні заданому простому ''p'' <math>\iff</math> число <math>n</math> можна подати у вигляді <math>mp^k-1</math>, де натуральне число <math>m < p</math>;
** всі числа, крім першого й останнього, кратні даному простому ''p'' <math>\iff</math> <math>n=p^k</math>;
** кількість непарних чисел дорівнює степеню двійки, показник якої дорівнює кількості одиниць у двійковому записі числа ''n'';
** парних і непарних чисел не може бути порівну;
** кількість чисел, не кратних простому ''p'', дорівнює <math>(a_1+1)*\dots*(a_m+1)</math>, де числа <math>a_1,\;\ldots,a_m</math>&nbsp;— розряди ''p''-кового запису числа ''n''; а число <math>\textstyle m=\lfloor\log_p{n}\rfloor + 1,</math> де <math>\lfloor\cdot\rfloor</math>&nbsp;— [[Ціла частина числа|функція «підлоги»]]&nbsp;— це довжина даного запису.

=== Тотожності ===
# <math>{n\choose k} = {n-1\choose k-1} + {n-1\choose k}</math>
# <math>{n\choose k} = \frac{n}{n-k}{n-1\choose k}</math>
# <math>{n\choose 0} + {n\choose 1} + \cdots + {n\choose n} = 2^n</math>
# <math>{n\choose 0} + {n\choose 2} + \cdots + {n\choose 2\lfloor n/2\rfloor} = 2^{n-1}</math>
# <math>{n\choose 0}^2 + {n\choose 1}^2 + \cdots + {n\choose n}^2 = {2n\choose n}</math>
# <math>\sum_{k=0}^n{r\choose m+k}{s\choose n-k}={r+s\choose m+n}</math> (згортка [[Александр-Теофіл Вандермонд|Вандермонда]])

=== Біном Ньютона і наслідки ===
* <math>{n\choose 0}+{n\choose 1}+\ldots+{n\choose n}=2^n,</math> де <math>n\in\mathbb{N}.</math>
* <math>\sum_{i+j=m}\binom{n}{j}\binom{n}{i}(-1)^j=
\begin{cases}
\binom{n}{m/2}, & \text{якщо} \ m\equiv 0\pmod{2},\\
0, & \text{якщо}\ m\equiv 1\pmod{2}.
\end{cases}
</math>
* <math>\sum_{j=k}^{n} \binom{n}{j} (-1)^j = (-1)^k \binom{n-1}{k-1}.</math>
* <math>{n\choose 0}-{n\choose 1}+\ldots+(-1)^n{n\choose n}=0,</math> де <math>n\in\mathbb{N}.</math>
* Сильніша тотожність: <math>{n\choose 0}+{n\choose 2}+\ldots+{n\choose 2\lfloor n/2\rfloor}=2^{n-1},</math> де <math>n\in\mathbb{N}.</math>
* <math>\sum_{k=-a}^{a}(-1)^{k}{2a\choose k+a}^3 =\frac{(3a)!}{(a!)^3},</math>

а в загальнішому вигляді

: <math>\sum_{k=-a}^a(-1)^k{a+b\choose a+k} {b+c\choose b+k}{c+a\choose c+k} = \frac{(a+b+c)!}{a!\,b!\,c!}.</math>

=== Згортка Вандермонда і наслідки ===

* <math>\sum_{k}{r\choose m+k}{s\choose n-k}={r+s\choose m+n}</math> ('''згортка [[Александр-Теофіл Вандермонд|Вандермонда]]'''), де <math>m, n\in\mathbb{Z}, </math> а <math>r, s \in\mathbb{R}. </math>

Це тотожність виходить обчисленням коефіцієнта при <math>x^{m+n}</math> у розкладі <math>(1+x)^{r} (1+x)^{s}</math> з урахуванням тотожності <math>(1+x)^{r+s}=(1+x)^r(1+x)^s.</math> Сума береться за всіма цілими <math>k</math>, для яких <math>\textstyle{r\choose m+k}{s\choose n-k}\ne0.</math> Для довільних дійсних <math>r</math>, <math>s</math> число ненульових доданків у сумі буде скінченним.

* <math>{n\choose 0}{a\choose a}-{n\choose 1}{a+1\choose a}+\ldots+(-1)^n{n\choose n}{a+n\choose a}=(-1)^n{a\choose n}</math>.
* загальніша тотожність: <math>\sum_{i=0}^{p} (-1)^i{p\choose i}\prod_{m=1}^{n} {i+s_m\choose s_m} =0</math>, якщо <math>\sum_{m=1}^n{s_m} <p </math>.
* <math>{n\choose 0}^2+{n\choose 1}^2+\ldots+{n\choose n}^2={2n\choose n}.</math>

=== Інші тотожності ===

* <math>\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{k}{n \choose k}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = H_n</math>&nbsp;— ''n''- е [[гармонічне число]].
* [[Мультисекція ряду]] <math>(1+x)^n</math> дає тотожність, що виражає суму біноміальних коефіцієнтів із довільним кроком ''s'' і зміщенням ''t'' <math>(0\leqslant t<s)</math> у вигляді скінченної суми з ''s'' доданків:

: <math>\binom{n}{t}+\binom{n}{t+s}+\binom{n}{t+2s}+\ldots=\frac{1}{s}\sum_{j=0}^{s-1}\left(2\cos\frac{\pi j}{s}\right)^n\cos\frac{\pi(n-2t)j}{s}.</math>

* Виконуються рівності<ref name="example">{{Cite web|url=https://habr.com/ru/post/530098/|title=Четырёхмерные таблицы в комбинаторике — два странных способа посчитать сочетания|website=|publisher=[[habr.com]]|date=2020-11-30|accessdate=2021-03-27|archive-date=25 жовтня 2021|archive-url=https://web.archive.org/web/20211025234309/https://habr.com/ru/post/530098/}}</ref>:

: <math>\begin{alignat}{2} \binom{n}{3}&=\frac{n(n-1)(n-2)}{\color{Green}2}-\sum_{i=2}^{n-1}{(n-i)(n-i+1)}= \\
&=n(n-1)(n-2)-\sum_{i=2}^{n-1}{(n-i)({\color{Green}2}n-i+1)}= \\
&=3\binom{n}{3}-2\binom{n}{3}; \\ \end{alignat}</math>
: <math>\begin{alignat}{2} \binom{n}{4}&=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{\color{Green}2}-\sum_{i=3}^{n-1}{(n-i)\left(n(n-1)-\sum_{i_0=1}^{i-2}i_0\right)}= \\
&=n(n-1)(n-2)(n-3)-\sum_{i=3}^{n-1}{(n-i)\left({\color{Green}2}n(n-1)-\sum_{i_0=1}^{i-2}i_0\right)}= \\
&=24\binom{n}{4}-23\binom{n}{4}; \\ \end{alignat}</math>
: <math>\begin{alignat}{2} \binom{n}{5}&=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{\color{Green}2}- \\
&-\sum_{i=4}^{n-1}{(n-i)\left(n(n-1)(n-2)-\sum_{i_0=1}^{i-3}\sum_{i_1=1}^{i_0}i_1\right)}= \\
&=n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)-\\
&-\sum_{i=4}^{n-1}{(n-i)\left({\color{Green}2}n(n-1)(n-2)-\sum_{i_0=1}^{i-3}\sum_{i_1=1}^{i_0}i_1\right)}= \\
&=120\binom{n}{5}-119\binom{n}{5}.\end{alignat}</math>

Звідки випливає:

: <math>\binom{n}{3}=\frac{\sum\limits_{i=2}^{n-1}{(n-i)(2n-i+1)}}{2}=\frac{\sum\limits_{i=2}^{n-1}{(n-i)\left(2A_n^1-\binom{i-1}{1}\right)}}{2};</math>
: <math>\binom{n}{4}=\frac{\sum\limits_{i=3}^{n-1}{(n-i)\left(2n(n-1)-\sum\limits_{i_0=1}^{i-2}i_0\right)}}{23}=\frac{\sum\limits_{i=3}^{n-1}{(n-i)\left(2A_n^2-\binom{i-1}{2}\right)}}{23};</math>
: <math>\begin{alignat}{2} &\binom{n}{5}=\frac{\sum\limits_{i=4}^{n-1}{(n-i)\left(2n(n-1)(n-2)-\sum\limits_{i_0=1}^{i-3}\sum\limits_{i_1=1}^{i_0}i_1\right)}}{119}= \\
&=\frac{\sum\limits_{i=4}^{n-1}{(n-i)\left(2A_n^3-\binom{i-1}{3}\right)}}{119}; \\ \end{alignat}</math>
: <math>\binom{n}{k}=\frac{\sum\limits_{i=k-1}^{n-1}{(n-i)\left(2A_n^{k-2}-\binom{i-1}{k-2}\right)}}{k!-1},</math>

де <math>A_n^k</math>&nbsp;— кількість [[Розміщення (комбінаторика)|розміщень]] із ''n'' по ''k''.

=== Матричні співвідношення ===
Якщо взяти квадратну матрицю, відрахувавши ''N'' елементів по катетах трикутника Паскаля і повернувши матрицю на будь-який з чотирьох кутів, то [[Визначник|детермінант]] цих чотирьох матриць дорівнює ±1 за будь-якого ''N'', причому детермінант матриці з вершиною трикутника у верхньому лівому куті дорівнює 1.

У матриці <math>\begin{bmatrix}\tbinom{i+j}{i}\end{bmatrix}</math> числа на діагоналі <math>i + j = const</math> повторюють числа рядків трикутника Паскаля <math>(i, j = 0,1,\ldots)</math>. Її можна розкласти в добуток двох строго діагональних матриць: нижньотрикутної та одержуваної з неї транспонуванням. А саме:

: <math>\begin{bmatrix}\binom{i+j}{i}\end{bmatrix} = UU^T,</math>

де <math>U=\begin{bmatrix}\tbinom{i}{j}\end{bmatrix}</math>. Обернена матриця до <math>U</math> має вигляд:

: <math> U^{-1}=\begin{bmatrix}(-1)^{i+j}\binom{i}{j}\end{bmatrix}.</math>

Таким чином, матрицю, обернену до <math>\begin{bmatrix}\tbinom{i+j}{i}\end{bmatrix}</math>, можна розкласти в добуток двох строго діагональних матриць: перша матриця&nbsp;— верхньотрикутна, а друга виходить з першої транспонуванням, що дозволяє дати явний вираз для обернених елементів:

: <math>\begin{bmatrix}\binom{i+j}{i}\end{bmatrix}^{-1}_{m,n}=\sum_{k=0}^{p}(-1)^{m+n}\binom{k}{m}\binom{k}{n}</math>, де ''i'', ''j'', ''m'', ''n'' = 0..''p''.

Елементи оберненої матриці змінюються за зміни її розміру і, на відміну від матриці <math>\begin{bmatrix}\tbinom{i+j}{i}\end{bmatrix}</math>, недостатньо приписати новий рядок і стовпець. Стовпець ''j'' матриці <math>\begin{bmatrix}\tbinom{i+j}{i}\end{bmatrix}</math> є многочленом степеня ''j'' за аргументом ''i'', отже, перші p стовпців утворюють повний базис у просторі векторів довжини ''p''+1, чиї координати можна інтерполювати многочленом степеня рівного або меншого ніж ''p''-1. Нижній рядок матриці <math>\begin{bmatrix}\binom{i+j}{i}\end{bmatrix}^{-1}_{m,n}</math> ортогональний до будь-якого такого вектора.

: <math>\begin{bmatrix}\binom{i+j}{i}\end{bmatrix}^{-1}_{p,n}=\sum_{k=0}^{p}(-1)^{p+n}\binom{k}{p}\binom{k}{n} = (-1)^{p+n}\binom{p}{n}</math>

: <math>\sum_{n=0}^{p}(-1)^{p+n}\binom{p}{n}{P}_{a}(n) = 0</math> при <math>a<p</math>, де <math>{P}_{a}(n)</math> многочлен степеня <math>a</math>.

Якщо довільний вектор довжини <math>p+1</math> можна інтерполювати многочленом степеня <math>i < p</math>, то скалярний добуток з рядками <math>i+1, i+2, \dots, p</math> (нумерація з 0) матриці <math>\begin{bmatrix}\binom{i+j}{i}\end{bmatrix}^{-1}_{m,n}</math> дорівнює нулю. Використовуючи тотожність вище і рівність одиниці скалярного добутку нижнього рядка матриці <math>\begin{bmatrix}\binom{i+j}{i}\end{bmatrix}^{-1}_{m,n}</math> на останній стовпець матриці <math>\begin{bmatrix}\tbinom{i+j}{i}\end{bmatrix}</math>, маємо:

: <math>\sum_{n=0}^{p}(-1)^{p+n}\binom{p}{n}{n}^{p} = p!.</math>

Для показника, більшого від ''p'', можна задати рекурентну формулу:

: <math>\sum_{n=0}^{p}(-1)^{p+n}\binom{p}{n}{n}^{p+a} = p!{P}_{2a}(p)={f}_{a}(p),</math>

де многочлен

: <math>{P}_{2a+2}(p) = \sum_{x=1}^{p} x{P}_{2a}(x);\quad a\geqslant 0;\quad {P}_{0}(p)=1.</math>

Для доведення спершу доводиться тотожність:

: <math>{f}_{a}(p+1)=\sum_{x=0}^{a} {(p+1)}^{x+1}{f}_{a-x}(p).</math>

Якщо потрібно знайти формулу не для всіх показників степеня, то

: <math>{P}_{2a}(p) = \frac{p}{{2}^{a}}\binom{p+a}{a}{Q}_{a-1}(p);\quad a>0.</math>

Старший коефіцієнт <math> {Q}_{a-1}(p)</math> дорівнює 1, щоб знайти інші коефіцієнти, знадобиться <math>a-1</math> значень:

: <math> {Q}_{a-1}(p)=p(p+1){T}_{a-3}(p)</math> для <math>a\equiv 1\pmod{2}; a\geqslant 3.</math>

=== Цілозначні многочлени ===
Біноміальні коефіцієнти <math>\tbinom{x}{0}=1, \tbinom{x}{1}=x, \tbinom{x}{2}=\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{x}{2},</math> … є ''цілозначними'' [[многочлен]]ами від <math>x</math>, тобто, набувають цілих значень за цілих значень <math>x,</math>&nbsp;— це неважко зрозуміти, наприклад, за трикутником Паскаля. Більш того, вони утворюють базис цілозначних многочленів, у якому всі цілозначні многочлени виражаються як [[Лінійна комбінація|лінійні комбінації]] з цілими коефіцієнтами<ref>{{Книга
|автор = Прасолов В. В.
|частина = Глава 12. Целозначные многочлены
|заголовок = Многочлены
|місце = М.
|видавництво = [[МЦНМО]]
|рік = 1999, 2001, 2003
|посилання = http://inis.jinr.ru/sl/vol2/Mathematics/Алгебра/Прасолов,_Многочлены,2001.pdf
|назва = 
|archivedate = 21 січня 2022
|archiveurl = https://web.archive.org/web/20220121053620/http://inis.jinr.ru/sl/vol2/Mathematics/Алгебра/Прасолов,_Многочлены,2001.pdf
}}</ref>.

Разом з тим, стандартний базис <math>1, x, x^2,</math> … не дозволяє виразити всіх цілочисельних многочленів, якщо використовувати тільки цілі коефіцієнти, оскільки вже <math>\tbinom{x}{2}=\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{x}{2}</math> має дробові коефіцієнти при степенях <math>x</math>.

Цей результат узагальнюється на многочлени багатьох змінних. А саме, якщо многочлен <math>R(x_1, \dots, x_m)</math> степеня <math>k</math> має дійсні коефіцієнти і набуває цілих значень за цілих значень змінних, то

: <math>R(x_1, \dots, x_m) = P\left(\binom{x_1}{1}, \dots, \binom{x_1}{k}, \dots, \binom{x_m}{1}, \dots, \binom{x_m}{k}\right),</math>

де <math>P</math>&nbsp;— многочлен із цілими коефіцієнтами.<ref>{{Книга
|автор = Ю. Матиясевич
|заголовок = Десятая проблема Гильберта
|видавництво = Наука
|рік = 1993
|сторінки = 20,185,194
}}</ref>

=== Асимптотика і оцінки ===
# <math>{2n\choose n}\sim \frac{2^{2n}}{\sqrt{\pi n}}</math>
# <math>\sum^{m}_{k=0}{n\choose k}\le \frac{n}{(n/2-m)^2}2^{n-3}</math> при <math>m\le n/2</math> ([[нерівність Чебишева]])
# <math>\sum^{m}_{k=0}{n\choose k}\le 2^{nH(m/n)}</math> ([[ентропійна оцінка]]), де <math>H(x)=-x\log_2x-(1-x)\log_2(1-x)</math>&nbsp;— [[ентропія]].
# <math>\sum^{n/2-\lambda}_{k=0}{n\choose k} \le 2^ne^{-2\lambda^2/n}</math> ([[нерівність Чернова]])

== Алгоритми обчислення ==
* Біноміальні коефіцієнти можуть бути обчислені за допомогою тотожності <math>{n\choose k}={n-1\choose k}+{n-1\choose k-1}</math>, якщо на кожному кроці зберігати значення <math>{n\choose k}</math> для <math>k=0,1,\dots,n</math>. Цей алгоритм особливо ефективний, якщо необхідно отримати всі значення <math>{n\choose k}</math> при фіксованому <math>n</math>. Алгоритм потребує <math>\ O(n)</math> пам'яті (<math>\ O(n^2)</math> для обчислення всієї таблиці) і <math>\ O(n^2)</math> часу.

* Інший спосіб ґрунтується на тотожності <math>{n\choose k}=\frac{n}{n-k}{n-1\choose k}</math>. Він дозволяє обчислити значення <math>{n\choose k}</math> при фіксованому <math>k</math>. Алгоритм потребує <math>\ O(1)</math> пам'яті і <math>\ O(n)</math> часу.

== Узагальнення ==
Оскільки для <math>\ n+1\in\N: \ n!=\Gamma (n+1)</math>, то значення біноміального коефіцієнта можна визначити для усіх комплексних чисел <math>\ n\in\C</math> та <math>\ k\in\C</math>:
: <math>{n\choose k} = \frac {\Gamma (n+1)} {\Gamma (k+1) \Gamma (n-k+1) }</math>

Явні формули для обчислення біноміальних коефіцієнтів для цілих чисел <math>\ n</math> та <math>\ k</math>:
: <math>{n\choose k} = \frac{n!}{k!\;(n-k)!}</math> для <math>0\leq k \leq n</math>;
: <math>{n\choose k} = 0</math> для <math>\ k<0</math> або <math>0\leq n < k</math>;
: <math>{n\choose k} = (-1)^k {-n+k-1\choose k}</math> для <math>n<0\leq k</math>.

Біноміальні коефіцієнти часто зустрічаються в [[комбінаторика|комбінаторних]] задачах і [[Теорія ймовірностей|теорії імовірностей]].

Узагальненням біноміального коефіцієнта є [[мультиноміальний коефіцієнт]].

== Генерація на C++ ==
<syntaxhighlight lang=cpp>
#include <iostream>
#include <string>

using namespace std;

void C(int n, int m, int startAt = 1, string s = "") {
	for (int i = startAt; i <= n - m + 1; i++) {
		if (1 == m)
			cout << s + (char)(i+'0') << endl;
		else
			C(n, m - 1, i + 1, s + (char)(i+'0'));
	}	
}

int main() {
	C(7, 3);
	
	return 0;
}</syntaxhighlight>

== Див. також ==
* [[Біном]]
* [[Гауссові біноміальні коефіцієнти]]
* [[Центральний біноміальний коефіцієнт]]
* [[Функція fusc]]

== Примітки ==
{{примітки|2}}

== Джерела ==
* {{Завало.Елементи аналізу. Алгебра многочленів.}}
{{Бібліоінформація}}
{{ВП-портали|Математика}}

[[Категорія:Факторіали і біноміальні коефіцієнти]]
[[Категорія:Цілочисельні послідовності]]
[[Категорія:Статті з прикладами коду мовою C++]]
[[Категорія:Операції над числами]]