Перегляд вихідного коду сторінки Бінарна операція

{{Otheruses|Операція}}
{{unibox}}'''Біна́рна опера́ція''' (''двомісна операція'') — це [[математика|математичне]] правило комбінування двох [[Елемент (математика)|елементів]] (які називаються [[операнд]]ами), для отримання іншого елемента. Формально, це [[Операція (математика)|операція]] [[Арність|арності]] 2 (див. [[Арність|Містність операції]]).

== Визначення ==
Бінарною операцією на [[множина|множині]] <math>\,S</math> є [[функція (математика)|відображення]] [[декартів добуток|декартового добутку]] <math>\,S \times S</math> в множину <math>\,S</math>:

:<math>\,f \colon S \times S \rightarrow S.</math>

Бінарні операції часто записують за допомогою [[Інфіксна нотація|інфікса]], наприклад, ''a * b'', ''a + b'', ''a • b'', замість функціонального запису ''f''(''a, b'').

Іноді елементи просто пишуть одне за одним без інфікса: ''ab''.

Бінарні операції є наріжним каменем [[алгебрична структура|алгебричних структур]], що їх вивчають в [[абстрактна алгебра|абстрактній алгебрі]].

Бінарні операції входять в означення таких структур, як [[група (математика)|групи]], [[моноїд]]и, [[напівгрупа|напівгрупи]], [[кільце (алгебра)|кільця]], [[поле (алгебра)|поля]] тощо. 

За визначенням: [[магма (алгебра)|магма]] є множиною з довільною бінарною операцією на ній.

== Типи бінарних операцій ==

Багато бінарних операцій, що становлять інтерес, є [[комутативність|комутативними]] чи [[асоціативність|асоціативними]]. Багато з них також мають [[нейтральний елемент]] та [[обернений елемент|обернені елементи]].

Типовими прикладами таких бінарних операцій є додавання (+) і множення (*) чисел та матриць.

Прикладами некомутативних бінарних операцій є віднімання (-), ділення (/), піднесення до степеня (^), [[композиція функцій]].

Деякі операції мають властивість [[ідемпотентність|ідемпотентності]] чи [[дистрибутивність|дистрибутивності]].

== Приклади бінарних операцій ==
* [[Чотири арифметичні дії|арифметичні дії]] з числами: [[додавання]], [[віднімання]], [[множення]], [[ділення]];
* додавання, множення [[матриця (математика)|матриць]];
* [[об'єднання множин|об'єднання]] і [[перетин множин|перетин]] [[теорія множин|множин]];
* [[добуток графів]].

== Зовнішні бінарні операції ==

'''Зовнішня бінарна операція'''&nbsp;— це бінарна операція з <math>\,K \times S</math> в <math>\,S</math>.
Вона відрізняється від бінарної операції тим, що ''K'' не обов'язково є ''S'', її елементи беруться "зовні".

Прикладом зовнішньої бінарної операції є множення на [[скаляр]] в [[лінійна алгебра|лінійній алгебрі]]. В цьому випадку ''K'' є [[поле (алгебра)|полем]], а ''S''&nbsp;— [[векторний простір|векторним простором]] над цим полем.

Зовнішню бінарну операцію можна з іншого боку розглядати як [[групова дія|групову дію]]: ''K'' діє на ''S''.

== Див. також ==
* [[Арність]]
* [[Унарна операція]]
* [[Тернарна операція]]

== Література ==
* {{Завало.Курс алгебри}}
* {{Бурбаки.Алгебра.ч1}}
* {{Ван.дер.Варден.Алгебра}}
* {{Ленг.Алгебра}}

== Посилання ==
* Jessica K. Sklar. Pacific Lutheran University [https://ukrayinska.libretexts.org/Математика/Абстрактна_та_геометрична_алгебра/Абстрактна_алгебра_першого_семестру%3A_структурний_підхід_(Sklar)/02%3A_Групи/2.01%3A_Бінарні_операції_та_структури 2.1: Бінарні операції та структури]
* Жучок Ю.В. (2020) [https://repository.sspu.edu.ua/bitstream/123456789/9603/1/Zhuchok_Klasyfikatsiia.pdf Класифікація двоелементних допельнапівгруп]. Фізико-математична освіта. 2020. Випуск 3(25). Частина 2. С. 38-42. {{DOI|10.31110/2413-1571-2020-025-3-023}}
* {{MathWorld|title=Binary Operation|urlname=BinaryOperation}}
* [https://vue.gov.ua/Бінарна_операція Бінарна операція] // ВУЕ

{{Математична логіка}}

[[Категорія:Абстрактна алгебра]]
[[Категорія:Бінарні операції| ]]