Перегляд вихідного коду сторінки Білінійна форма

'''Біліні́йна фо́рма''' (''білінійний функціонал, білінійна функція'') — це таке [[відображення]] [[декартів добуток множин|декартового квадрата]] [[Векторний простір|векторного простору]] <math> V</math> в [[скаляр]]не [[поле (алгебра)|поле]] <math> F</math>, що є [[лінійне відображення|лінійним]] за кожним зі своїх аргументів:
:<math> B: V\times V\to F,</math>

скалярне поле — це, зазвичай, [[дійсні числа]] <math>R</math> чи [[комплексні числа]] <math>\Complex</math>.

*<math> B(\boldsymbol{u} + \boldsymbol{u'},\boldsymbol{v}) = B(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}) + B(\boldsymbol{u'},\boldsymbol{v}),</math>
*<math> B(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v} + \boldsymbol{v'}) = B(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}) + B(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v'}),</math>
*<math> B(\lambda \boldsymbol{u},\boldsymbol{v}) = B(\boldsymbol{u}, \lambda \boldsymbol{v}) = \lambda\,B(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}).</math>

Білінійна форма <math> B(\boldsymbol{v},\boldsymbol{u})</math> називається спряженою до форми <math> B(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v})</math> і позначається <math> B^*</math>.

Для випадку комплексних чисел цікавішими є [[півторалінійна форма|півторалінійні форми]], що є подібними до білінійних, але є ''спряжено-лінійними'' за одним з аргументів.

[[Скалярний добуток]] на <math>{\mathbb{R}}^{n}</math> є прикладом білінійної форми.<ref>{{Cite web|date=2021-01-16|title=Chapter 3. Bilinear forms — Lecture notes for MA1212|url=https://www.maths.tcd.ie/~pete/ma1212/chapter3.pdf|accessdate=6 травня 2021|archive-date=22 січня 2021|archive-url=https://web.archive.org/web/20210122053836/https://www.maths.tcd.ie/~pete/ma1212/chapter3.pdf}}</ref>.

Означення білінійної форми можна розширити на [[Модуль над кільцем|модулі]] над [[Кільце (алгебра)|кільцем]], де [[Лінійне відображення|лінійне відображення]] замінюється {{нп|гомоморфізм модулів|гомоморфізмом модулів||Module homomorphism}}.

Якщо <math>\mathbb{K}</math> — поле [[Комплексне число|комплексних чисел]] <math>\mathbb{C}</math>, тоді часто більш цікавими об'єктами є [[Півторалінійна форма|півторалінійні форми]], які подібні до білінійних форм, але за одним з аргументів є {{нп|лінійна спряженість|лінійно-спряженими||Antilinear map}}.
== Координатне представлення ==
Нехай <math>V\cong \mathbb{K}^{n}</math> — <math>n</math>-[[Розмірність простору|вимірний]] векторний простір з [[Базис (математика)|базисом]] <math>\{\boldsymbol{e}_{1},\dots,\boldsymbol{e}_{n}\}</math>.

Матрицю <math>A</math> розмірності <math>(n\times n)</math>, елементи якої визначаються як <math> A_{ij}=B(\boldsymbol{e}_{i},\boldsymbol{e}_{j})</math>, називають '''матрицею білінійної форми''' у базисі <math>\{\boldsymbol{e}_{1},\dots,\boldsymbol{e}_{n}\}</math>.

*Якщо <math>(n\times 1)</math> — матриця <math>x</math> представляє вектор <math>\boldsymbol v</math> у цьому базисі, аналогічно <math>y</math> відповідає іншому вектору <math>\boldsymbol w</math>, то
:<math>B(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w})=\boldsymbol{x}^{\rm T}A\boldsymbol{y}=\sum_{i,j=1}^{n} x_{i}a_{ij}y_{j},</math>
де <math> A</math> — [[квадратна матриця]] з елементами <math> a_{ij}=B(e_i, e_j)</math>.

*Якщо <math>\{\boldsymbol{f}_{1},\dots,\boldsymbol{f}_{n}\}</math>  деякий інший базис в <math> V</math>, де <math> S</math> — [[невироджена матриця]], то
:<math>\boldsymbol{f}_{j}=\sum_{i=1}^{n} S_{i,j}\boldsymbol{e}_{i}.</math>

Тоді при переході до нового базису матриця білінійної форми зміниться на [[конгруентні матриці|конгруентну матрицю]]:
:<math> A' =S^{T} A S.</math>

==Відображення у спряжений простір==
Будь-яка білінійна форма <math>B</math> на просторі <math>V</math> визначає пару лінійних відображень з простору <math>V</math> у [[Спряжений простір|спряжений до нього простір]] <math>V^{\ast}</math>. Визначимо <math>B_{1},B_{2}\colon V\rightarrow V^{\ast}</math> як
:<math>B_{1}(\boldsymbol{v})(\boldsymbol{w})=B(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}),</math>
:<math>B_{2}(\boldsymbol{v})(\boldsymbol{w})=B(\boldsymbol{w}, \boldsymbol{v}).</math>
Часто ці відображення позначається як
:<math>B_{1}(\boldsymbol{v})=B(\boldsymbol{v}, \cdot),</math>
:<math>B_{2}(\boldsymbol{v})=B(\cdot, \boldsymbol{v}),</math>
де <math>(\cdot)</math> вказує на слот, в який потрібно помістити аргумент результуючого [[Лінійна форма|лінійного функціоналу]] (див. [[Каррінг (інформатика)|каррінг]]).

Для [[Скінченновимірний простір|скінченновимірного]] [[Векторний простір|векторного простору]] <math>V</math>, якщо будь-яке з відображень <math>B_{1}</math> або <math>B_{2}</math> є ізоморфізмом, то тоді обидва вони є ізоморфізмами, і білінійну форму <math>B</math> називають {{нп|Вироджена білінійна форма|невиродженою||Degenerate bilinear form}}. Більш точніше, для скінченновимірного векторного простору невиродженість означає, що кожен ненульовий елемент нетривіально поєднується з якимсь іншим елементом:
:<math>B(x,y)=0\,</math> для усіх <math>y \in V</math> передбачає, що <math>\boldsymbol{x}=0</math> i
:<math>B(x,y)=0\,</math> для усіх <math>x \in V</math> передбачає, що <math>\boldsymbol{y}=0.</math>

Відповідне поняття для модуля над комутативним кільцем полягає в тому, що білінійна форма є '''унімодулярною''', якщо відображення <math>V\rightarrow V^{\ast}</math> є ізоморфізмом. Нехай задано скінченний породжений  модуль над комутативним кільцем, утворення пар може бути ін'єктивним (отже, "невиродженим" у наведеному вище розумінні), але не унімодулярним. Наприклад, для цілих чисел утворення пар <math>B(x,y)=2xy</math> є невиродженим, але неунімодулярним, оскільки індуковане відображення з <math>V={\mathbb Z}</math> на <math>V^{\ast}={\mathbb Z}</math> є множенням на 2.

Якщо простір <math>V</math>  — скінченновимірний, тоді можна ототожнювати простір <math>V</math> з двічі спряженим простором <math>V^{\ast\ast}</math>. Можна показати, що відображення <math>B_{2}</math> є {{нп|Транспонування лінійних відображень|транспонуванням||Transpose of a linear map}} лінійного відображення <math>B_{1}</math> (якщо простір <math>V</math> [[Нескінченновимірний простір|нескінченновимірний]], то <math>B_{2}</math> — транспонування <math>B_{1}</math>, обмежене образом простору <math>V</math> у просторі <math>V^{\ast\ast}</math>). Для заданого відображення <math>B</math> можна визначити транспоноване до нього через білінійну форму наступним чином
:<math>{}^{\rm t}B(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w})=B(\boldsymbol{w}, \boldsymbol{v}).</math>

'''Лівий''' і '''правий радикали''' білінійної форми <math>B</math> є [[Ядро (алгебра)|ядрами]] відображень <math>B_{1}</math> і <math>B_{2}</math>, відповідно;{{sfn|Jacobson|2009|page=346}} вони є векторами, ортогональними до всього простору зліва та справа.{{sfn|Zhelobenko|2006|page=11}}

Якщо простір <math>V</math> — скінченновимірний, тоді [[Ранг (лінійна алгебра)|ранг]] відображення <math>B_{1}</math> дорівнює рангу відображення <math>B_{2}</math>. Якщо це значення дорівнює <math>\dim V</math>, тоді відображення <math>B_{1}</math> і <math>B_{2}</math> є лінійними ізоморфізмами з простору <math>V</math> у простір <math>V^{\ast}</math>. У цьому випадку білінійна форма <math>B</math> є невиродженою. За {{нп|Теорема про ранг ядра|теоремою про ранг ядра||Rank–nullity theorem}} це еквівалентно умові, що лівий та правий радикали будуть тривіальними. Для скінченновимірних просторів це часто приймається як означення невиродженості:
:'''Означення:''' Відображення <math>B</math> є '''невиродженим''', якщо з умови <math>B(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}) =0</math>, яка виконується для всіх <math>\boldsymbol{w}</math>, випливає, що <math>\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}</math>.

Для будь-якого лінійного відображення <math>A\colon V \rightarrow V^{\ast}</math> можна отримати білінійну форму <math>B</math> у просторі <math>V</math> як
:<math>B(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w})=A(\boldsymbol{v})(\boldsymbol{w}).</math>
Ця форма буде невиродженою тоді і лише тоді, коли відображення <math>A</math> є ізоморфізмом.

Якщо простір <math>V</math> є [[Нескінченновимірний простір|скінченновимірним]] тоді, відносно деякого базису простору <math>V</math>, білінійна форма є виродженою тоді і тільки тоді, коли [[Визначник|визначник]] відповідної матриці дорівнює нулю. Аналогічно, невиродженою формою є форма для якої визначник асоційованої матриці ненульовий (матриця є [[Невироджена матриця|несингулярною]]). Ці твердження не залежать від вибраного базису. Для модуля над комутативним кільцем унімодулярна форма є формою, для якої визначник асоційованої матриці дорівнює [[Оборотний елемент|одиниці]] (наприклад, 1), що і обґрунтовує термінологію. Зауважимо, що форма, визначник якої не дорівнює нулю, але не є одиницею, буде невиродженою, але не унімодулярною, наприклад, форма <math>B(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=2xy</math> над полем цілих чисел.

== Симетрична, кососиметрична та знакозмінна форми ==
Визначаємо білінійну форму як
*{{нп|Симетрична |симетричну|en|Symmetric bilinear form}}, якщо <math>B(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w})=B(\boldsymbol{w},\boldsymbol{v})</math> для всіх <math>\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in V</math>;
*{{нп|Знакозмінна багатолінійна форма|знакозмінну||Alternating multilinear forms}}, якщо <math>B(\boldsymbol{v},\boldsymbol{v})=0</math> для всіх <math>\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in V</math>;
*'''кососиметричну''', якщо <math>B(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w})=-B(\boldsymbol{w},\boldsymbol{v})</math> для всіх <math>\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in V</math>.
:'''Твердження:''' Будь-яка знакозмінна форма є кососиметричною.
:'''Доведення:''' Це можна побачити, розписавши <math>B(\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}; \boldsymbol{v}+\boldsymbol{w})</math>.
Якщо [[Характеристика (алгебра)|характеристика]] поля <math>\mathbb{K}</math> не дорівнює 2, то справедливо і зворотне твердження: кожна кососиметрична форма є знакозмінною. Однак, якщо <math>\operatorname{char}(\mathbb{K})=2</math>, то кососиметрична форма є такою ж як симетрична форма, і існують симетричні/кососиметричні форми, які не є знакозмінними.

Білінійна форма є симетричною (відповідно, кососиметричною) [[Тоді й лише тоді|тоді і лише тоді]], коли її координатна матриця (відносно будь-якого базису) є [[Симетрична матриця|симетричною]] (відповідно, [[Кососиметрична матриця|кососиметричною]]). Білінійна форма є знакозмінною тоді і тільки тоді, коли її координатна матриця є кососиметричною, а діагональні елементи дорівнюють нулю (це випливає з кососиметричності при <math>\operatorname{char}(\mathbb{K})\neq2</math>).

Білінійна форма є симетричною тоді і лише тоді, коли відображення <math>B_{1}, B_{2}\colon V\rightarrow V^{\ast}</math> рівні (<math>B_{1}(\boldsymbol{v})=B_{2}(\boldsymbol{v})</math>), і кососиметричною  тоді і лише тоді, коли вони протилежні за знаком ((<math>B_{1}(\boldsymbol{v})=-B_{2}(\boldsymbol{v})</math>). Якщо <math>\operatorname{char}(\mathbb{K})\neq2</math>, то білінійну форму можна розкласти на симетричну та кососиметричну частини наступним чином:
:<math>B^{+}=\frac{1}{2}(B+{}^{\rm t}B), \quad B^{-}=\frac{1}{2}(B-{}^{\rm t}B),</math>
де <math>{}^{\rm t}B</math> — відображення транспоноване до <math>B</math> (визначене вище).
:<math> B^{\pm} = \frac{1}{2} (B \pm B^*) \quad \to \quad B = B^{+} + B^{-}</math>
:*Симетрична білінійна форма називається '''додатновизначеною''' ('''від'ємновизначеною'''), якщо <math>\forall x\neq 0</math>: <math>B(x,x)>0</math> або <math>B(x,x)<0</math>.

Додатновизначена білінійна форма задовільняє всі [[аксіома|аксіоми]] [[скалярний добуток|скалярного добутку]].

== Симетрична білінійна форма ==
Симетричні білінійні форми тісно пов'язані з [[квадратична форма|квадратичними формами]].

Симетричну білінійну форму A(x,y), називають '''полярною''' до квадратичної форми A(x,x). Матриця білінійної форми збігається з матрицею полярної до неї квадратичної форми в тому ж базисі.

* Маючи білінійну форму <math> B</math> (не обов'язково симетричну), отримаємо квадратичну форму як:
:<math> Q(\boldsymbol{u}) = B(\boldsymbol{u},\boldsymbol{u}).</math>
* І навпаки, маючи квадратичну форму <math> Q</math>, використавши [[правило паралелограма]], отримаємо '''асоційовану''' з нею симетричну білінійну форму:
:<math>B(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}) = \frac14\left(Q(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}) - Q(\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v})\right).</math>
=== Закон інерції ===
{{main|Закон інерції Сильвестра}}

==Похідна квадратична форма==
Для будь-якої білінійної форми <math>B\colon V\times V\rightarrow \mathbb{K}</math> існує асоційована [[Квадратична форма|квадратична форма]] <math>Q\colon V\rightarrow \mathbb{K}</math>, визначена як <math>Q\colon V\rightarrow \mathbb{K}\colon \boldsymbol{v}\mapsto B(\boldsymbol{v},\boldsymbol{v})</math>.

Якщо <math>\operatorname{char}(\mathbb{K})\neq 2</math>, то квадратична форма <math>Q</math> визначається симетричною частиною білінійної форми <math>B</math> і не залежить від антисиметричної частини. У цьому випадку існує взаємнооднозначна відповідність між симетричною частиною білінійної форми та квадратичною формою, і є сенс говорити про симетричну білінійну форму асоційовану з квадратичною формою.

Якщо <math>\operatorname{char}(\mathbb{K})=2</math> і <math>\dim V >1</math>, то такої відповідності між квадратичними формами та симетричними білінійними формами немає.

==Рефлексивність та ортогональність==
'''Означення''': Білінійна форма <math>B\colon V\times V\rightarrow \mathbb{K}</math> називається '''рефлексивною''', якщо із <math>B(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w})=0</math> випливає, що і <math>B(\boldsymbol{w},\boldsymbol{v})=0</math> для всіх <math>\boldsymbol{w},\boldsymbol{v} \in V</math>.

'''Означення''': Нехай <math>B\colon V\times V\rightarrow \mathbb{K}</math> — рефлексивна білінійна форма. Вектори <math>\boldsymbol{v}</math>, <math>\boldsymbol{w}</math> простору <math>V</math> є '''ортогональними відносно <math>B</math>''', якщо <math>B(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w})=0</math>.

Білінійна форма <math>B</math> є рефлексивною тоді і лише тоді, коли вона симетрична або кососиметрична.{{sfn|Grove|1997}} За відсутності рефлексивності нам доводиться розрізняти ліву та праву ортогональність. У рефлексивному просторі лівий і правий радикали співпадають і називаються '''ядром''' або '''радикалом''' білінійної форми: підпростір усіх векторів, ортогональних з будь-яким іншим вектором. Вектор <math>\boldsymbol{v}</math> з матричним представленням <math>x</math> знаходиться в радикалі білінійної форми з матричним представленням <math>A</math>, тоді і тільки тоді, коли <math>Ax=0 \Leftrightarrow x^{\top}A =0</math>. Радикал — це завжди підпростір простору<math>V</math>. Він тривіальний тоді і тільки тоді, коли матриця <math>A</math> невироджена, і, отже, тоді і тільки тоді, коли білінійна форма є невиродженою.

Нехай <math>W</math> є підпростором. Визначимо ''[[Ортогональне доповнення|ортогональне доповнення]]''{{sfn|Adkins|Weintraub|1992|page=359}} як
:<math>W^{\bot}=\left\{\boldsymbol{v}\mid B(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w})=0 \ \forall\boldsymbol{w}\in W \right\}.</math>
Для невироджених білінійної форми на скінченномірному просторі відображення <math>V/W\rightarrow W^{\bot}</math> є [[Бієкція|бієкцією]] і розмірність ортогонального доповнення <math>W^{\bot}</math> дорівнює <math>\dim V -\dim W</math>.

==Різні простори==
Більша частина теорії доступна для [[Білінійне відображення|білінійного відображення]] з двох векторних просторів над тим самим базовим полем у це поле
:<math>B\colon \ V\times V\rightarrow \mathbb{K}.</math>

Тут все ще маємо індуковані лінійні відображення з простору <math>V</math> у простір <math>W^{\ast}</math> і з простору <math>W</math> у простір <math>V^{\ast}</math>. Може трапитися так, що ці відображення є ізоморфізмами; припускаючи скінченновимірність, якщо одне є ізоморфізмом, інше також має бути ізоморфізмом. Коли це відбувається, білінійну форму <math>B</math> називають '''досконалим утворюванням пар'''.

У випадку скінченних розмірностей це еквівалентно тому, що утворювання пар  є невиродженим (простори обов'язково мають однакові розмірності). Для модулів (замість векторних просторів), подібно до того як зараз, невироджена форма є слабшою за унімодулярну форму, невироджене утворювання пар є слабшим поняттям ніж досконале утворювання пар. Утворювання пар може бути невиродженим, не будучи досконалим. Наприклад, <math>\mathbb Z\times \mathbb Z\rightarrow \mathbb Z</math> вигляду <math>(x,y)\mapsto 2xy</math> є невиродженим, але індукується множення на 2 при відображенні <math>\mathbb Z\rightarrow \mathbb Z^{\ast}</math>.

Термінологія змінюється при розгляді різних білінійних форм.
Наприклад, Ф. Різ Харві обговорює "вісім видів внутрішнього добутку".{{sfn|Harvey|1990|page=22}} Для їх визначення він використовує діагональні матриці <math>A_{ij}</math>, що мають лише <math>+1</math> або <math>-1</math> для ненульових елементів. Деякі з "внутрішніх добутків" є [[Симплектичний простір|симплектичними формами]], а деякі — [[Півторалінійна форма|півторалінійними формами]] або [[Півторалінійна форма|ермітовими формами]]. Замість загального поля <math>\mathbb K</math> розлядаються поля дійсних чисел <math>\mathbb{R}</math>, комплексних чисел <math>\mathbb{C}</math> і [[Кватерніони|кватерніонів]] <math>\mathbb{H}</math>. Білінійна форма
:<math>\sum_{k=1}^{p} x_{k}y_{k}-\sum_{k=p+1}^{n} x_{k}y_{k}</math>
називається '''дійсним симетричним випадком''' і позначається як <math>\mathbb{R}(p,q)</math>, де <math>p+q=n</math>. Потім він формулює зв'язок із традиційною термінологією.{{sfn|Harvey|1990|page=23}}

Деякі дійсні симетричні випадки дуже важливі.

Додатно визначений випадок <math>\mathbb{R}(n,0)</math> називається ''евклідовим простором'', тоді як випадок одного мінуса, <math>\mathbb{R}(n-1,1)</math> — ''простором Лоренца''. 

Якщо <math>n=4</math>, то простір Лоренца також називають [[Простір Мінковського|''простором Мінковського'']] або ''простором-часом Мінковського''.

Частинний випадок <math>\mathbb{R}(p,p)</math> будемо називати ''розщепленим випадком''.

==Зв'язок з тензорним добутком==
Згідно [[Універсальна властивість|універсальної властивості]] [[Тензорний добуток|тензорного добутку]] існує канонічна відповідність між білінійними формами у просторі <math>V</math> і лінійними відображеннями <math>V\otimes V \rightarrow \mathbb{K}</math>. Якщо <math>B</math> є білінійною формою у просторі <math>V</math>, то відповідне лінійне відображення визначається як
:<math>\boldsymbol{v}\otimes \boldsymbol{w}\mapsto B(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}).</math>
В іншому напрямку, якщо <math>F\colon V\otimes V \rightarrow \mathbb{K}</math> є лінійним відображенням, то відповідна білінійна форма задається композицією <math>F</math> з білінійним відображенням <math>V\times V\rightarrow V \otimes V</math>, яка відображає <math>(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w})</math> у <math>\boldsymbol{v}\otimes \boldsymbol{w}</math>.

Множина всіх лінійних відображень <math>V\otimes V \rightarrow \mathbb{K}</math> є [[Спряжений простір|спряженим простором]] для <math>V\otimes V </math>, тому білінійні форми можна розглядати як елементи простору <math>(V \otimes V)^{\ast}</math>, який (для скінченновимірного простору <math>V</math>) канонічно ізоморфний простору <math>V^{\ast}\otimes V^{\ast}</math>.

Так само симетричні білінійні форми можна розглядати як елементи з <math>{\rm Sym}^{2}(V^{\ast})</math> (друга {{нп|Симетрична степінь|симетрична степінь||Symmetric power}} простору <math>V^{\ast}</math>), і знакозмінні білінійні форм як елементи з <math>\wedge^{2}V^{\ast}</math> (друга [[Зовнішня алгебра|зовнішня степінь]] простору <math>V^{\ast}</math>).

==На нормованих векторних просторах==
:'''Означення:''' Білінійна форма на [[Нормований простір|нормованому векторному просторі]] <math>(V, ||\cdot||)</math> є '''обмеженою''', якщо існує константа <math>C</math>, що для всіх <math>\boldsymbol{u},\boldsymbol{v} \in V</math>
:<math>B(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v})\leq C||\boldsymbol{u}|| ||\boldsymbol{v}||.</math>
:'''Означення:''' Білінійна форма на нормованому векторному просторі <math>(V, ||\cdot||)</math> є '''еліптичною''', або {{нп|Коерцитивна функція|коерцитивною||Coercive function}}, якщо існує константа <math>c>0</math>, така, що для всіх <math>\boldsymbol{u} \in V</math>
:<math>B(\boldsymbol{u},\boldsymbol{u})\geq c||\boldsymbol{u}||^{2}.</math>

==Узагальнення на модулі==
Нехай задано [[Кільце (алгебра)|кільце]] <math>R</math> і правий [[Модуль над кільцем|<math>R</math>-модуль]] <math>M</math> та його {{нп|Спряжений модуль|спряжений модуль||Dual module}} <math>M^{\ast}</math>, відображення <math>B\colon M\times M\rightarrow \mathbb{K}</math> називається '''білінійною формою''', якщо
:<math>B(u+v,x)=B(u,x)+B(v,x),</math>
:<math>B(u,x+y)=B(u,x)+B(u,y),</math>
:<math>B(\alpha x,x\beta)=\alpha B(u,x)\beta .</math>
для всіх <math>u,v \in M^{\ast}</math>, всіх <math>x, y \in M</math> і всіх <math>\alpha,\beta \in R</math>.

Відображення <math>(\cdot, \cdot)\colon M^{\ast}\times M \rightarrow R \colon (u, x)\mapsto u(x)</math> відоме як {{нп|Природне утворювання пар|природне утворювання пар||Dual system}}, яке також називають '''канонічною білінійною формою''' на <math>M^{\ast}\times M</math>{{sfn|Bourbaki|1970|page=233}}.

Лінійне відображення <math>S\colon M^{\ast} \rightarrow M^{\ast}\colon u\mapsto S(u)</math> індукує білінійну форму <math>B\colon M^{\ast}\times M \rightarrow R \colon (u, x)\mapsto (S(u), x)</math>, а лінійне відображення <math>T\colon M\rightarrow M \colon x\mapsto T(x)</math> індукує білінійну форму <math>B\colon M^{\ast}\times M \rightarrow R \colon (u, x)\mapsto (u, T(x))</math>.

І навпаки, білінійна форма <math>B\colon M^{\ast}\times M \rightarrow R</math> індукує <math>R</math>-лінійні відображення <math>S\colon M^{\ast} \rightarrow M^{\ast}\colon u\mapsto (x\mapsto B(u, x))</math> і <math>T^{'}\colon M\rightarrow M^{\ast\ast}\colon x\mapsto (u\mapsto B(u, x))</math>. Тут <math>M^{\ast\ast}</math> позначає [[Спряжений простір|подвійний спряжений]] модуль для модуля <math>M</math>.

== Див. також ==
* [[Білінійне відображення]]
* [[Білінійний оператор]]
* [[Передгільбертів простір|Простір із внутрішнім добутком (предгільбертовий простір)]]
* [[Лінійна форма]]
* {{нп|Полілінійна форма|Полілінійна форма||Multilinear form}}
* [[Квадратична форма]]
* [[Півторалінійна форма]]
* {{нп|Полярний простір|Полярний простір||Polar space}}

== Джерела ==
* {{Гантмахер.Теорія матриць}}
* {{Гельфанд.Линейная алгебра}}
* {{Ахієзер.Глазман.ТЛОвГП.т1}}
* {{citation | last1=Adkins | first1=William A. | last2=Weintraub | first2=Steven H. | year=1992 | title=Algebra: An Approach via Module Theory | series=Graduate Texts in Mathematics | volume=136 | publisher=[[Springer-Verlag]] | isbn=3-540-97839-9 | zbl=0768.00003  }}
* {{citation | last=Bourbaki | first=N. | year=1970 | title=Algebra | publisher=Springer }}
* {{citation | last=Grove | first=Larry C. | year=1997 | title=Groups and characters | publisher=Wiley-Interscience | isbn=978-0-471-16340-4}}
* {{citation | last1=Halmos | first1=Paul R.  | year=1974 | title=Finite-dimensional vector spaces | series=Undergraduate Texts in Mathematics| publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-90093-3 | zbl=0288.15002 }}
* {{citation | last1=Harvey | first1=F. Reese | year=1990 | title=Spinors and calibrations | chapter=Chapter 2: The Eight Types of Inner Product Spaces | pages=19–40 | publisher=Academic Press | isbn=0-12-329650-1 }}
* {{citation | last=Popov | first=V. L. | editor=Hazewinkel, M. | year=1987 | title=Bilinear form | url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Bilinear_form | encyclopedia=Encyclopedia of Mathematics | volume=1 | pages=390–392 | publisher=Kluwer Academic Publishers | accessdate=6 травня 2021 | archive-date=24 жовтня 2019 | archive-url=https://web.archive.org/web/20191024152436/https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Bilinear_form }}. Also: {{Google books|RVr5BwAAQBAJ|page=390}}
* {{citation | last=Jacobson | first=Nathan | year=2009 | title=Basic Algebra | volume=I | edition=2nd | isbn=978-0-486-47189-1 }}
* {{citation | last1=Milnor | first1=J. | first2=D. | last2=Husemoller | year=1973 | title=Symmetric Bilinear Forms | series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete | volume=73 | publisher=[[Springer-Verlag]] | isbn=3-540-06009-X | zbl=0292.10016 }}
* {{citation | last=Porteous | first=Ian R. |  year=1995 | title=Clifford Algebras and the Classical Groups | series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics | volume=50 | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-55177-9 }}
* {{citation | last=Shafarevich | first=I. R. | author2=A. O. Remizov | year=2012 | title=Linear Algebra and Geometry | publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] | url=https://www.springer.com/mathematics/algebra/book/978-3-642-30993-9 | isbn=978-3-642-30993-9 | accessdate=6 травня 2021 | archive-date=9 листопада 2014 | archive-url=https://web.archive.org/web/20141109210657/http://www.springer.com/mathematics/algebra/book/978-3-642-30993-9 }}
* {{citation | last=Shilov | first=Georgi E. | title=Linear Algebra | editor-last=Silverman | editor-first=Richard A. | year=1977 | publisher=Dover | isbn=0-486-63518-X}}
* {{citation | last=Zhelobenko | first=Dmitriĭ Petrovich | year=2006 | title=Principal Structures and Methods of Representation Theory | series=Translations of Mathematical Monographs | publisher=[[American Mathematical Society]] | isbn=0-8218-3731-1 }}
{{Commonscat|Bilinear forms}}
*{{springer|title=Bilinear form|id=p/b016250}}
*{{planetmath reference|id=1612|title=Bilinear form}}

== Примітки ==
{{reflist}}

[[Категорія:Білінійні форми| ]]
[[Категорія:Лінійна алгебра]]
[[Категорія:Багатолінійна алгебра]]