Перегляд вихідного коду сторінки Бета-розподіл

{{Otheruses|Бета}}
{{Розподіл ймовірностей|
  name       =Бета-розподіл|
  type       =pmf|
pdf_image  =[[Файл:Beta distribution pdf.svg|325px|[[Густина імовірності]]]]|
cdf_image  =[[Файл:Beta distribution cdf.svg|325px|Функція розподілу]]|
parameters =<math>\alpha > 0</math> <br /><math>\beta > 0</math> |
  support    =<math>x \in [0, 1]\!</math>|
  pdf        =<math>\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\!</math>|
  cdf        =<math>I_x(\alpha,\beta)\!</math>|
  mean       =<math>\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\!</math>|
  median     =|
  mode       =<math>\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\!</math> для <math>\alpha>1, \beta>1</math>|
  variance   =<math>\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\!</math>|
  skewness   =<math>\frac{2\,(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}</math>|
  kurtosis   =<math>6\,\frac{\alpha^3-\alpha^2(2\beta-1)+\beta^2(\beta+1)-2\alpha\beta(\beta+2)}
{\alpha \beta (\alpha+\beta+2) (\alpha+\beta+3)}\!</math>|
  entropy    =|
  mgf        =<math>1  +\sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{r=0}^{k} \frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right) \frac{t^k}{k!}</math>|
  char       =<math>{}_1F_1(\alpha; \alpha+\beta; i\,t)\!</math>|
  fisher     =<math>\begin{bmatrix} \operatorname{var}[\ln X] &\operatorname{cov}[\ln X, \ln(1-X)] \\ \operatorname{cov}[\ln X, \ln(1-X)] & \operatorname{var}[\ln (1-X)]\end{bmatrix}</math>|
}}
'''Бе́та-розпо́діл''' в [[Теорія імовірностей|теорії імовірностей]] та [[Статистика|статистиці]]&nbsp;— двопараметрична сім'я [[Абсолютно неперервний розподіл|абсолютно неперервних розподілів]].

== Означення ==

Нехай [[розподіл]] [[Випадкова величина|випадкової величини]] <math>X</math>
задаєтся [[Густина імовірності|густиною ймовірності]] <math>f_X</math>,
що має вигляд:
: <math>f_X(x) = \frac{1}{\mathrm{B}(\alpha, \beta)}\, x^{\alpha - 1}
(1-x)^{\beta - 1}</math>,
де
* <math>\alpha, \beta > 0</math> довільні фіксовані параметри, і
* <math>\mathrm{B}(\alpha,\beta) = \int\limits_0^1 x^{\alpha - 1} (1-x)^{\beta -
1}\, dx</math>&nbsp;— [[бета-функція]].
Тоді випадкова величина <math>X</math> має бета-розподіл. Пишуть: <math>X
\sim \mathrm{B}(\alpha,\beta)</math>.

== Форма графіка ==

Форма [[Графік функції|графіка]] густини ймовірності бета-розподілу залежить від
вибору параметрів <math>\alpha</math> і <math>\beta</math>.

* <math>\alpha < 1,\ \beta < 1</math>&nbsp;— графік [[Опукла функція|опуклий]] і прямує до [[Нескінченність|нескінченності]] на границях (червона крива);
* <math>\alpha < 1,\ \beta \geq 1</math> чи <math>\alpha = 1,\ \beta > 1</math>&nbsp;— графік [[Монотонна функція|строго спадний]] (синя крива)
** <math>\alpha = 1,\ \beta > 2</math>&nbsp;— графік строго опуклий;
** <math>\alpha = 1,\ \beta = 2</math>&nbsp;— графік є прямою лінією;
** <math>\alpha = 1,\ 1 < \beta < 2</math>&nbsp;— графік [[Ввігнута функція|строго
ввігнутий]];
* <math>\alpha = 1,\ \beta = 1</math> графік збігається з графіком густини [[Неперервний рівномірний розподіл|стандартного неперервного рівномірного розподілу]];
* <math>\alpha = 1,\ \beta < 1</math> або <math>\alpha > 1,\ \beta \leq 1</math>&nbsp;— графік строго зростаючий (зелена крива);
** <math>\alpha > 2,\ \beta = 1</math>&nbsp;— графік строго опуклий;
** <math>\alpha = 2,\ \beta = 1</math>&nbsp;— графік є прямою линією;
** <math>1 < \alpha < 2,\ \beta = 1</math>&nbsp;— графік строго ввігнутий;
* <math>\alpha > 1,\ \beta > 1</math>&nbsp;— график [[Унімодальність|унімодальний]] (пурпурова та чорна криві)

У випадку, коли <math>\alpha = \beta</math>, густина ймовірності симетична
відносно <math>1/2</math> (червона та пурпурова криві), то
: <math>f_X(x-1/2) = f_X(x+1/2),\; x\in [0,1/2]</math>.

== Моменти ==

[[Математичне сподівання]] та [[дисперсія випадкової величини]] <math>X</math>,
що має бета-розподіл, мають такий вигляд:
: <math>\mathbb{E}[X] = \frac{\alpha}{\alpha+\beta} </math>,
: <math>\mathrm{D}[X] = \frac{\alpha
\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}</math>.

== Зв'язок з іншими розподілами ==
Стандартний неперервний [[рівномірний розподіл]] є окремим випадком бета-розподілу:
: <math>\mathrm{U}[0,1] \equiv \mathrm{B}(1,1)</math>
<math>X,Y</math>&nbsp;— [[Незалежність (імовірність)|незалежні]] [[гамма-розподіл]]ені випадкові величини, причому <math>X
\sim \mathrm{\Gamma}(\alpha,1)</math>, а <math>Y \sim
\mathrm{\Gamma}(\beta,1)</math>, то
: <math>\frac{X}{X+Y} \sim \mathrm{B}(\alpha, \beta)</math>


=== Апріорний розподіл Голдейна ===
[[Файл:Beta distribution for alpha and beta approaching zero - J. Rodal.png|thumb|<math>B(0,0)</math>: густина ймовірності апріорного розподілу Голдейна демонструє повну відсутність апріорної інформації про випадкову величину, де ми навіть не знаємо чи є можливим провести експеримент який дав би позитивний чи негативний резульат. Коли α, β → 0, розподіл наближається до [[Розподіл Бернуллі|розподілу Бернуллі]] в якому вся густина розподілу сконцентрована на кінцях, в 0 і 1, у вигляді [[Дельта-функція Дірака|дельта-функції Дірака]], і нульова між ними. ]]

Розподіл B(0,0) запропонував [[Джон Бердон Сандерсон Голдейн]],<ref>{{cite journal|last=Haldane|first=J.B.S.|title=A note on inverse probability|journal=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society|year=1932|volume=28|pages=55–61|url=http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?aid=1733860|doi=10.1017/s0305004100010495|accessdate=20 червня 2017|archive-date=23 червня 2015|archive-url=https://web.archive.org/web/20150623184319/http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?aid=1733860}}</ref> який зауважив що [[апріорна ймовірність]] що представляє повну непевність повинна бути пропорційною до ''p''<sup>−1</sup>(1−''p'')<sup>−1</sup>. Функцію ''p''<sup>−1</sup>(1−''p'')<sup>−1</sup> можна розглядати як границю бета розподілу в якому обидва параметри наближаються до нуля, α, β → 0. Таким чином, ''p''<sup>−1</sup>(1−''p'')<sup>−1</sup> розділена на бета-функцію наближається до двоточкового [[Розподіл Бернуллі|розподілу Бернуллі]] в якому вся густина розподілу сконцентрована на кінцях, в 0 і 1, у вигляді [[Дельта-функція Дірака|дельта-функції Дірака]], і нульова між ними. Це приклад розподілу ймовірностей для підкидання монети, якщо одна сторона - нуль, а інша - 1. <!--The Haldane prior probability distribution Beta(0,0) is an "[[improper prior]]" because its integration (from 0 to 1) fails to strictly converge to 1 due to the [[Dirac delta function]] singularities at each end. However, this is not an issue for computing posterior probabilities unless the sample size is very small.  Furthermore, Zellner<ref name=Zellner>{{cite book|last=Zellner |first=Arnold|title=An Introduction to Bayesian Inference in Econometrics|year=1971|publisher=Wiley-Interscience|isbn=978-0471169376}}</ref> points out that on the [[log-odds]] scale, (the [[logit]] transformation ln(''p''/1−''p'')), the Haldane prior is the uniformly flat prior. The fact that a uniform prior probability on the [[logit]] transformed variable ln(''p''/1−''p'') (with domain (-∞, ∞)) is equivalent to the Haldane prior on the domain [0, 1] was pointed out by [[Harold Jeffreys]] in the first edition (1939) of his book Theory of Probability (<ref name=Jeffreys/> p.&nbsp;123).  Jeffreys writes "Certainly if we take the Bayes-Laplace rule right up to the extremes we are led to results that do not correspond to anybody's way of thinking. The (Haldane) rule d''x''/(''x''(1−''x'')) goes too far the other way.  It would lead to the conclusion that if a sample is of one type with respect to some property there is a probability 1 that the whole population is of that type."  The fact that "uniform" depends on the parametrization, led Jeffreys to seek a form of prior that would be invariant under different parametrizations.-->
{{section-stub|дата=червень 2017}}


{{Перекласти|en|Beta distribution}}

== Примітки ==
{{reflist}}

== Посилання ==
{{Без джерел|дата=вересень 2015}}

{{Список розподілів ймовірності}}


{{Statistics-stub}}

[[Категорія:Неперервні розподіли|Бета]]
[[Категорія:Факторіали і біноміальні коефіцієнти]]
[[Категорія:Спряжені апріорні розподіли]]
[[Категорія:Розподіли експоненційного сімейства]]