Перегляд вихідного коду сторінки Баєсове висновування

{{Баєсова статистика}}

'''Ба́єсове висно́вування'''<ref>{{cite book|title=[[Ілюзія Бога]]|first=Річард|last=Докінз|authorlink=Річард Докінз|others=Переклад з англійської: [[Цимбал Тарас Володимирович|Тарас Цимбал]]|publisher=КСД|location=Харків|year=2018|origyear=2006|ISBN=978‑617‑12‑5700‑9|page=58}}</ref><ref>{{cite book|title=MBA в домашніх умовах: шпаргалки бізнес-практика|first=Джон|last=Кауфман|others=Переклад з англійської: Євгеній Кузнєцов|edition=2|publisher=[[Наш Формат]]|location=Київ|year=2018|origyear=2010|ISBN=978-617-7552-53-5}}</ref> ({{lang-en|Bayesian inference}})&nbsp;— це метод [[Статистичне висновування|статистичного висновування]], за яким для уточнення ймовірності гіпотези при отриманні додаткових {{нп|Свідчення|свідчень||Evidence}} або [[Інформація|інформації]] застосовують [[правило Баєса]]. Баєсове висновування є важливим прийомом у [[Статистика|статистиці]], особливо в [[Математична статистика|математичній]]. Баєсове уточнення є особливо важливим у [[Послідовний аналіз|динамічному аналізі послідовностей даних]]. Баєсове висновування знайшло застосування в широкому діапазоні галузей, включно із [[Наука|наукою]], [[Інженерія|інженерією]], [[Філософія|філософією]], [[Медицина|медициною]], [[спорт]]ом та [[право]]м. У філософії [[Теорія рішень|теорії рішень]] баєсове висновування тісно пов'язано із суб'єктивною ймовірністю, що її часто називають «[[Баєсова ймовірність|баєсовою ймовірністю]]».
<!--
; тим не менш, не-баєсові правила уточнення є сумісними з раціональністю, згідно філософів {{Не перекладено|Ян Хакінг|Яна Хакінга||Ian Hacking}} та {{Не перекладено|Бас ван Фрасен|Баса ван Фрасена||Bas van Fraassen}}.<ref>Stanford encyclopedia of philosophy; Bayesian Epistemology; http://plato.stanford.edu/entries/epistemology-bayesian</ref><ref>Gillies, Donald (2000); «Philosophical Theories of Probability»; Routledge; Chapter 4 «The subjective theory»</ref>
-->

== Введення до правила Баєса ==
[[Файл:Bayes theorem visualisation ukr.svg|lang=uk|thumb|300px|Геометричне унаочнення теореми Баєса. Значення 2, 3, 6 та 9 у таблиці задають відносну вагу кожних з відповідних умов та випадків. Фігури позначають клітинки таблиці, залучені до кожного з показників, де ймовірність є затемненою часткою фігури. Це показує, що ''P'' (''A'' <nowiki>|</nowiki>''B'' )&nbsp;''P'' (''B'' ) = ''P'' (''B'' <nowiki>|</nowiki>''A'' )&nbsp;''P'' (''A'' ), тобто, ''P'' (''A'' <nowiki>|</nowiki>''B'' ) = {{ндріб|''P'' (''B'' <nowiki>|</nowiki>''A'' )&nbsp;''P'' (''A'' )|''P'' (''B'' )}}. Схожі міркування може бути застосовано, щоби показати, що ''P'' (Ā<nowiki>|</nowiki>''B'' ) = {{ндріб|''P'' (''B'' <nowiki>|</nowiki>Ā) ''P'' (Ā)|''P'' (''B'' )}} і так далі.]]
{{Головна|Теорема Баєса}}
{{Див. також|Баєсова ймовірність}}

=== Формальне тлумачення ===

Баєсове висновування виводить [[Апостеріорна ймовірність|апостеріорну ймовірність]] як [[Умовивід|логічний наслідок]] двох [[Антецедент|передумов]], [[Апріорна ймовірність|апріорної ймовірності]] та «[[Функція правдоподібності|функції правдоподібності]]», виведеної зі [[Статистична модель|статистичної моделі]] спостережуваних даних. Баєсове висновування обчислює апостеріорну ймовірність відповідно до [[Теорема Баєса|теореми Баєса]]:
: <math>P(H\mid E) = \frac{P(E\mid H) \cdot P(H)}{P(E)}</math>
де
* <math>\textstyle \mid </math> позначає «подія [[Умовна ймовірність|за умови]]» (таким чином, <math display="inline">\textstyle (A\mid B) </math> означає ''A за умови B'').
* <math>\textstyle H</math> означає будь-яку ''гіпотезу'' ({{lang-en|hypothesis}}), на чию ймовірність можуть вплинути {{Не перекладено|Експериментальні дані|дані||Experimental data}} (що називаються нижче ''свідченням''). Часто існують конкуруючі гіпотези, і задача полягає у визначенні того, яка з них є найімовірнішою.
* <math>\textstyle P(H)</math>, ''[[апріорна ймовірність]]'', є оцінкою ймовірності гіпотези <math>\textstyle H</math> ''до'' спостереження даних <math>\textstyle E</math>, поточного свідчення.
* ''свідчення'' ({{lang-en|evidence}}) <math>\textstyle E</math> відповідає новим даним, що не використовувалися при обчисленні апріорної ймовірності.
* <math>\textstyle P(H\mid E)</math>, ''[[апостеріорна ймовірність]]'', є ймовірністю <math>\textstyle H</math> ''за умови'' <math>\textstyle E</math>, тобто, ''після'' спостереження <math>\textstyle E</math>. Вона є тим, що ми хочемо знати: ймовірністю гіпотези ''за умови'' отриманого свідчення.
* <math>\textstyle P(E\mid H)</math> є ймовірністю спостереження <math>\textstyle E</math> ''за умови'' <math>\textstyle H</math>, і її називають ''[[Функція правдоподібності|правдоподібністю]]''. Як функція від <math>\textstyle E</math> при незмінній <math>\textstyle H</math>, вона вказує на сумісність свідчення з даною гіпотезою. Функція правдоподібності є функцією від свідчення, <math>\textstyle E</math>, тоді як апостеріорна ймовірність є функцією від гіпотези, <math>\textstyle H</math>.
* <math>\textstyle P(E)</math> іноді називають [[Відособлена правдоподібність|відособленою правдоподібністю]], або «свідченням моделі». Цей множник є однаковим для всіх можливих гіпотез, що розглядаються (що очевидно з того факту, що гіпотеза <math>\textstyle H</math> ніде не з'являється в цьому позначенні, на відміну від усіх інших множників), тож цей множник не входить до визначення відносних ймовірностей різних гіпотез.

Для різних значень <math>\textstyle H</math> на значення <math>\textstyle P(H\mid E)</math> впливають лише множники <math>\textstyle P(H)</math> та <math>\textstyle P(E\mid H)</math>, обидва в чисельнику,&nbsp;— апостеріорна ймовірність гіпотези є пропорційною її апріорній ймовірності (притаманній їй правдоподібності) та новоотриманій правдоподібності (її сумісності з новим спостереженим свідченням).

Правило Баєса також може бути записано наступним чином:
: <math>P(H\mid E) = \frac{P(E\mid H)}{P(E)} \cdot P(H)</math>
де множник <math>\textstyle \frac{P(E\mid H)}{P(E)}</math> можна інтерпретувати як вплив <math>E</math> на ймовірність <math>H</math>.

=== Альтернативи баєсовому уточненню ===

Баєсове уточнення широко застосовується та є обчислювально зручним. Однак, це не єдине правило уточнення, що може вважатися раціональним.

{{Не перекладено|Ян Хакінг|||Ian Hacking}} зауважив, що традиційні аргументи {{Не перекладено|Голландська система ставок|голландської системи ставок||Dutch book}} не визначали використання саме баєсового уточнення: вони залишили відкритою можливість, що не-баєсові правила уточнення можуть обходити голландську систему ставок. Хакінг написав:<ref>

Hacking (1967, Section 3, p. 316), Hacking (1988, p. 124) {{ref-en}}

</ref>

{{Цитата|Й ані аргумент голландської системи ставок, ані жоден інший в арсеналі доказів ймовірнісних аксіом [[Персоналізм|персоналістів]] не тягне за собою динамічного припущення. Жоден не тягне за собою баєсовизму. Тому персоналістові потрібно, щоби динамічне припущення було баєсовим. Це є правда, що в послідовності персоналіст може відмовитися від байєсової моделі навчання на досвіді. Сіль може втратити свій смак.
{{oq|en|And neither the Dutch book argument nor any other in the personalist arsenal of proofs of the probability axioms entails the dynamic assumption. Not one entails Bayesianism. So the personalist requires the dynamic assumption to be Bayesian. It is true that in consistency a personalist could abandon the Bayesian model of learning from experience. Salt could lose its savour.}}
}}

Дійсно, існують не-баєсові правила уточнення, що також обходять голландську систему ставок (як обговорюється в літературі про «кінематику ймовірностей») після публікації правила {{Не перекладено|Річард Джефрі|Річарда Джефрі||Richard Jeffrey}}, що застосовує правило Баєса до випадку, коли свідченню самому встановлюється ймовірність.<ref>{{cite web
 |url=http://plato.stanford.edu/entries/bayes-theorem/
 |title=Bayes' Theorem (Stanford Encyclopedia of Philosophy)
 |publisher=Plato.stanford.edu
 |date=
 |accessdate=2014-01-05
 |archive-date=28 квітня 2019
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190428200338/https://plato.stanford.edu/entries/bayes-theorem/
 }} {{ref-en}}</ref> Додаткові гіпотези, необхідні для однозначної вимоги баєсового уточнення, було визнано значними, складними та незадовільними.<ref>

{{Не перекладено|Бас ван Фрасен|van Fraassen, B.||Bas van Fraassen}} (1989) ''Laws and Symmetry'', Oxford University Press. {{ISBN|0-19-824860-1}} {{ref-en}}

</ref>

== Формальний опис баєсового висновування ==

=== Позначення ===
* <math>x</math>, точка даних у загальному сенсі. Фактично це може бути [[Багатовимірна випадкова величина|вектор значень]].
* <math>\theta</math>, [[параметр]] [[Розподіл ймовірностей|розподілу]] точки даних, тобто, <math>x \sim p(x \mid \theta)</math>. Фактично це може бути [[Багатовимірна випадкова величина|вектор параметрів]].
* <math>\alpha</math>, [[гіперпараметр]] розподілу параметра, тобто, <math>\theta \sim p(\theta \mid \alpha)</math>. Фактично це може бути [[Багатовимірна випадкова величина|вектор гіперпараметрів]].
* <math>\mathbf{X}</math> є вибіркою, набором <math>n</math> спостережуваних точок даних, тобто, <math>x_1,\ldots,x_n</math>.
* <math>\tilde{x}</math>, нова точка даних, чий розподіл потрібно передбачити.

=== Баєсове висновування ===

* [[Апріорний розподіл]]&nbsp;— це розподіл параметра (параметрів) до будь-якого спостереження даних, тобто <math>p(\theta \mid \alpha)</math>.
* Визначити апріорний розподіл може бути не так легко. У даному випадку ми можемо скористатися {{Не перекладено|Апріорний розподіл Джеффріса|апріорним розподілом Джеффріса||Jeffreys prior}}, щоби отримати апостеріорний розподіл перед уточненням його подальшими спостереженнями.

* [[Вибірковий розподіл]]&nbsp;— це розподіл спостережуваних даних в залежності від його параметрів, тобто, <math>p(\mathbf{X} \mid \theta)</math>. Його також називають [[Функція правдоподібності|функцією правдоподібності]] ({{lang-en|likelihood function}}), особливо коли розглядають його як функцію від параметра (параметрів), що іноді записується як <math>\operatorname{L}(\theta  \mid \mathbf{X}) = p(\mathbf{X} \mid \theta)</math>.
* [[Відособлена правдоподібність]] (що іноді також називають ''свідченням'')&nbsp;— це розподіл спостережуваних даних, [[Відособлений розподіл|відособлений]] за параметром (параметрами), тобто, <math>p(\mathbf{X} \mid \alpha) = \int p(\mathbf{X} \mid \theta) p(\theta \mid \alpha) \operatorname{d}\!\theta</math>.
* [[Апостеріорний розподіл]]&nbsp;— це розподіл параметра (параметрів) після взяття до уваги спостережуваних даних. Він визначається за [[Правило Баєса|правилом Баєса]], що формує серцевину баєсового висновування:
: <math>p(\theta \mid \mathbf{X},\alpha) = \frac{p(\mathbf{X} \mid \theta) p(\theta \mid \alpha)}{p(\mathbf{X} \mid \alpha)} \propto p(\mathbf{X} \mid \theta) p(\theta \mid \alpha)</math>

Зауважте, що словами це виражається як «апостеріорне є пропорційним апріорному, помноженому на правдоподібність», або іноді як «апостеріорне = правдоподібність на апріорне, відносно свідчення».

=== Баєсове передбачування ===

* {{Не перекладено|Апостеріорний передбачуваний розподіл|||Posterior predictive distribution}}&nbsp;— це розподіл нової точки даних, відособлений за апостеріорним:
: <math>p(\tilde{x} \mid \mathbf{X},\alpha) = \int p(\tilde{x} \mid \theta) p(\theta \mid \mathbf{X},\alpha) \operatorname{d}\!\theta</math>
* {{Не перекладено|Апріорний передбачуваний розподіл|||Prior predictive distribution}}&nbsp;— це розподіл нової точки даних, відособлений за апріорним:
: <math>p(\tilde{x} \mid \alpha) = \int p(\tilde{x} \mid \theta) p(\theta \mid \alpha) \operatorname{d}\!\theta</math>

Баєсова теорія передбачає використання апостеріорного передбачуваного розподілу для {{Не перекладено|Передбачувальне висновування|передбачувального висновування||Predictive inference}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Predictive inference]] (→ [[:en:Statistical inference#Prediction]]) перекладена як [[Індуктивна статистика]], хоча хотіли [[Передбачувальне висновування]] (SashkoR0B0T)-->, тобто, для [[передбачування]] розподілу ймовірностей нової, ще не спостережуваної точки даних. Тобто, замість фіксованої точки, як передбачення повертається розподіл ймовірностей над можливими точками. Лише в цьому випадку є повний апостеріорний розподіл параметра (параметрів), що використовуються. Для порівняння, передбачування у [[Частотне висновування|частотній статистиці]] часто полягає у знаходженні оптимальної точкової оцінки параметра (параметрів)&nbsp;— наприклад, [[Метод максимальної правдоподібності|методом максимальної правдоподібності]] або [[Оцінка апостеріорного максимуму|оцінки апостеріорного максимуму]]&nbsp;— і наступному підставленні цієї оцінки до формули розподілу точки даних. Це має той недолік, що воно не враховує жодної невизначеності у значенні параметра, і відтак недооцінюватиме [[Дисперсія випадкової величини|дисперсію]] передбачуваного розподілу.

(У деяких випадках частотна статистика може обходити цю проблему. Наприклад, коли [[Довірчий інтервал|довірчі]] та {{Не перекладено|Передбачуваний інтервал|передбачувані інтервали||Prediction interval}} у частотній статистиці будуються з [[Нормальний розподіл|нормального розподілу]] з невідомим [[Середнє значення|середнім значенням]] та [[Дисперсія випадкової величини|дисперсією]], вони будуються з використанням [[t-розподіл Стьюдента|''t''-розподілу Стьюдента]]. Це дає правильну оцінку дисперсії завдяки тому факту, що (1)&nbsp;середнє значення випадкових величин із нормальним розподілом також має нормальний розподіл; (2)&nbsp;передбачуваний розподіл точки даних з нормальним розподілом та невідомими середнім значенням та дисперсією при використанні [[Спряжений апріорний розподіл|спряжених]] або [[Неінформативний апріорний розподіл|неінформативних апріорних розподілів]] має ''t''-розподіл Стьюдента. Однак, у [[Баєсова статистика|баєсовій статистиці]] апостеріорний передбачуваний розподіл може завжди визначатися точно&nbsp;— чи, принаймні, з довільним рівнем точності, при застосуванні [[Чисельні методи|чисельних методів]].)

Зауважте, що обидва типи передбачуваних розподілів мають вигляд {{Не перекладено|Складний розподіл ймовірності|складного розподілу ймовірності||Compound probability distribution}} (так само, як і [[відособлена правдоподібність]]). Справді, якщо апріорний розподіл є [[Спряжений апріорний розподіл|спряженим апріорним розподілом]], і, отже, апріорний та апостеріорний розподіли походять із одного сімейства, то можна легко переконатися, що як апріорний, так і апостеріорний передбачувані розподіли також походять з одного й того ж сімейства складних розподілів. Різниця лише в тім, що апостеріорний передбачуваний розподіл використовує уточнені значення гіперпараметрів (застосовуючи баєсові правила уточнення, наведені у статті про [[спряжений апріорний розподіл]]), тоді як апріорний передбачуваний розподіл використовує значення гіперпараметрів, що фігурують в апріорному розподілі.

== Висновування над взаємовиключними вичерпними можливими значеннями ==

Якщо свідчення використовується для одночасного уточнення переконань над набором взаємовиключних вичерпних можливих значень, то баєсове висновування можна розглядати як таке, що діє над розподілом цих переконань у цілому.

=== Загальне формулювання ===
[[Файл:Bayesian inference event space.svg|thumb|Схема, що ілюструє простір подій <math>\Omega</math> у загальному формулюванні баєсового висновування. І хоча ця схема показує дискретні моделі та події, безперервний випадок може бути візуалізовано так само, з використанням щільностей ймовірностей.]]

Припустімо, що процес породжує [[Незалежні однаково розподілені випадкові величини|незалежні однаково розподілені]] події ({{lang-en|events}}) <math>E_n</math>, але розподіл ймовірностей є невідомим. Нехай простір подій <math>\Omega</math> представляє поточний стан переконань для цього процесу. Кожну модель представляють подією <math>M_m</math>. Для визначення моделей вказують умовні ймовірності <math>P(E_n \mid M_m)</math>. <math>P(M_m)</math> є мірою переконання в <math>M_m</math>. Перед першим кроком висновування <math>\{P(M_m)\}</math> є набором ''початкових апріорних ймовірностей''. Вони повинні в сумі давати 1, а в іншому можуть бути довільними.

Припустімо, що ми спостерігали, що процес породив <math>\textstyle E \in \{E_n\}</math>. Для кожної <math>M \in \{M_m\}</math> апріорна <math>P(M)</math> уточнюється до апостеріорної <math>P(M \mid E)</math>. З [[Теорема Баєса|теореми Баєса]]:<ref>{{Cite book
 |first1=Andrew
 |last1=Gelman
 |first2=John B.
 |last2=Carlin
 |first3=Hal S.
 |last3=Stern
 |first4=David B.
 |last4=Dunson
 |first5=Aki
 |last5=Vehtari
 |first6=Donald B.
 |last6=Rubin
 |title=Bayesian Data Analysis
 |year=2013
 |edition=III
 |publisher=[[CRC Press]]
 |url=https://books.google.com.ua/books?id=eSHSBQAAQBAJ&printsec=frontcover
 |isbn=978-1439840955
 |accessdate=26 червня 2015
 |archive-date=26 червня 2015
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150626172720/https://books.google.com.ua/books?id=eSHSBQAAQBAJ&printsec=frontcover
 }} {{ref-en}}</ref>

: <math>P(M \mid E) = \frac{P(E \mid M)}{\sum_m {P(E \mid M_m) P(M_m)}} \cdot P(M)</math>

Після спостереження подальших свідчень цю процедуру може бути повторено.

=== Кілька спостережень ===

Для послідовності [[Незалежні однаково розподілені випадкові величини|незалежних однаково розподілених]] спостережень <math>\mathbf{E} = (e_1, \dots, e_n)</math> за допомогою [[Математична індукція|індукції]] може бути показано, що повторне застосування наведеного вище еквівалентне

: <math>P(M \mid \mathbf{E}) = \frac{P(\mathbf{E} \mid M)}{\sum_m {P(\mathbf{E} \mid M_m) P(M_m)}} \cdot P(M)</math>

де

: <math>P(\mathbf{E} \mid M) = \prod_k{P(e_k \mid M)}.</math>

<!-- Може бути інформативніше, якщо запропонувати конкретний приклад: e1/M, e2/M, … може бути показано як .05/4, .061/4, .033/4. Потім показати фактичні розрахунки з використанням цих трьох членів у підсумовуванні. -->

Для послідовності, в якій умовну незалежність спостережень гарантовано бути не може, Рейчел Бонд, Ян-Хуей Хе та Томас Ормерод<ref name=Bond2018>{{Cite journal|last=Bond|first=Rachael L.|last2=He|first2=Yang-Hui|last3=Ormerod|first3=Thomas C.|date=2018|title=A quantum framework for likelihood ratios|url=http://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0219749918500028|journal={{нп|International Journal of Quantum Information}}|volume=16|issue=01|pages=1850002|arxiv=1508.00936|doi=10.1142/s0219749918500028|issn=0219-7499|via=|bibcode=2018IJQI…1650002B|accessdate=13 липня 2018|archive-date=4 жовтня 2021|archive-url=https://web.archive.org/web/20211004114058/https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0219749918500028}} {{ref-en}}</ref> показали з [[Квантова механіка|квантової механіки]], що

: <math>P(M_\alpha | E_1 \cap E_2 \ldots \cap E_m)= 
\frac{ 
\sum\limits_{i,j} 
\sqrt{E_{i \alpha} E_{j\alpha}} c_{ij}^\alpha 
} 
{ 
\sum\limits_{i,j,\beta} 
\sqrt{E_{i \beta} E_{j\beta}} c_{ij}^\beta 
}</math>

отже,

: <math>P(M_1|E_1 \cap E_2) =\frac{\frac{P(E_1|M_1) P(E_2|M_1)}{P(E_1|M_2) P(E_2|M_2)}+P(E_1|M_1)+P(E_2|M_1)} 
{ 
\frac{P(E_1|M_1) P(E_2|M_1)}{P(E_1|M_2) P(E_2|M_2)}+P(E_1|M_1)+P(E_2|M_1) + 
\frac{P(E_1|M_2) P(E_2|M_2)}{P(E_1|M_1) P(E_2|M_1)}+P(E_1|M_2)+P(E_2|M_2) 
}</math>

=== Параметричне формулювання ===

При параметризації простору моделей переконання в усіх моделях можуть уточнюватися за один крок. Розподіл переконань над простором моделей може розглядатися як розподіл переконань над простором параметрів. [[Розподіл ймовірностей|Розподіли]] в цьому розділі виражаються як безперервні, представлені [[Густина імовірності|густинами імовірності]], як це й є у звичайній ситуації. Тим не менше, ця методика є так само застосовною й до дискретних розподілів.

Нехай вектор <math>\mathbf{\theta}</math> охоплює простір параметрів. Нехай початковим апріорним розподілом над <math>\mathbf{\theta}</math> буде <math>p(\mathbf{\theta} \mid \mathbf{\alpha})</math>, де <math>\mathbf{\alpha}</math> є набором параметрів самого апріорного розподілу, або ''[[Гіперпараметр|гіперпараметрів]]''. Нехай <math>\mathbf{E} = (e_1, \dots, e_n)</math> буде послідовністю [[Незалежні однаково розподілені випадкові величини|незалежних однаково розподілених]] спостережень подій, де всі <math>e_i</math> розподілено як <math>p(e \mid \mathbf{\theta})</math> для деякого <math>\mathbf{\theta}</math>. Для отримання апостеріорного розподілу над <math>\mathbf{\theta}</math> застосовується [[теорема Баєса]]:

: <math>
\begin{align}
p(\mathbf{\theta} \mid \mathbf{E},\mathbf{\alpha}) &= \frac{p(\mathbf{E} \mid \mathbf{\theta},\mathbf{\alpha})}{p(\mathbf{E} \mid \mathbf{\alpha})} \cdot p(\mathbf{\theta}\mid\mathbf{\alpha}) \\
&= \frac{p(\mathbf{E} \mid \mathbf{\theta},\mathbf{\alpha})}{\int p(\mathbf{E}|\mathbf{\theta},\mathbf{\alpha}) p(\mathbf{\theta} \mid \mathbf{\alpha}) \, d\mathbf{\theta}} \cdot p(\mathbf{\theta} \mid \mathbf{\alpha})
\end{align}
</math>

де

: <math>p(\mathbf{E} \mid \mathbf{\theta},\mathbf{\alpha}) = \prod_k p(e_k \mid \mathbf{\theta})</math>

== Математичні властивості ==

=== Інтерпретація множника ===

<math>\textstyle \frac{P(E \mid M)}{P(E)} > 1 \Rightarrow \textstyle P(E \mid M) > P(E)</math>. Тобто, якщо модель була вірною, то свідчення буде правдоподібнішим, ніж передбачено поточним станом переконання. Зворотня ситуація веде до зменшення переконання. Якщо переконання не змінюється, то <math>\textstyle \frac{P(E \mid M)}{P(E)} = 1 \Rightarrow \textstyle P(E \mid M) = P(E)</math>. Тобто, свідчення не залежить від моделі. Якщо модель була вірною, то свідчення буде правдоподібним рівно настільки, наскільки передбачено поточним станом переконання.

=== Правило Кромвеля ===
{{Докладніше1|{{Не перекладено|Правило Кромвеля|||Cromwell's rule}}}}

Якщо <math>P(M)=0</math>, то <math>P(M \mid E)=0</math>. Якщо <math>P(M)=1</math>, то <math>P(M|E)=1</math>. Це може інтерпретуватися так, що категоричні переконання є нечутливими до контр-доказів.

Перше випливає безпосередньо з теореми Баєса. Друге може бути виведено застосуванням першого правила до події «не <math>M</math>» замість «<math>M</math>», що дасть «якщо <math>1 - P(M)=0</math>, то <math>1 - P(M \mid E)=0</math>», з чого результат випливатиме безпосередньо.

=== Асимптотична поведінка апостеріорного розподілу ===

Розгляньмо поведінку розподілу переконання у процесі його уточнення велику кількість разів [[Незалежні однаково розподілені випадкові величини|незалежними однаково розподіленими]] пробами. Для достатньо гарних апріорних ймовірностей {{Не перекладено|Теорема Бернштайна — фон Мізеса|теорема Бернштайна — фон Мізеса|de|Satz von Bernstein-von-Mises}} дає те, що на границі нескінченних проб апостеріорний розподіл збігається до [[Нормальний розподіл|нормального]], незалежно від початкового апріорного розподілу, за певних умов, вперше окреслених та суворо доведених {{Не перекладено|Джозеф Дуб|Джозефом Дубом||Joseph L. Doob}} 1948 року, а саме, якщо випадкова змінна у міркуваннях має скінченний [[імовірнісний простір]]. Загальніші результати було отримано пізніше статистиком {{Не перекладено|Девід Фрідмен|Девідом Фрідменом||David A. Freedman (statistician)}}, який опублікував у двох плідних дослідницьких працях 1963<ref>{{cite journal|last1=Freedman|first1=DA|title=On the asymptotic behavior of Bayes' estimates in the discrete case.|journal=The Annals of Mathematical Statistics|date=1963|pages=1386–1403|jstor=2238346}} {{ref-en}}</ref> та 1965<ref>{{cite journal|last1=Freedman|first1=DA|title=On the asymptotic behavior of Bayes estimates in the discrete case II|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematical-statistics_1965-04_36_2/page/454|journal=The Annals of Mathematical Statistics|date=1965|volume=36|issue=2|pages=454–456|jstor=2238150}} {{ref-en}}</ref> років, коли і за яких обставин гарантується асимптотична поведінка апостеріорного розподілу. Його праця 1963 року, як і праця Дуба 1949 року, розглядає скінченний випадок, і приходить до задовільного результату. Однак, якщо випадкова змінна має нескінченний, але [[Зліченна множина|зліченний]] [[імовірнісний простір]] (тобто, відповідає [[Гральні кубики|гральній кістці]] з нескінченною кількістю граней), то праця 1965 року демонструє, що для [[Щільна множина|щільної]] підмножини апріорних ймовірностей {{Не перекладено|Теорема Бернштайна — фон Мізеса|теорема Бернштайна — фон Мізеса|de|Satz von Bernstein-von-Mises}} не є застосовною. В цьому випадку асимптотичного збігання [[майже напевно]] немає. Пізніше у 1980-х та 1990-х роках {{Не перекладено|Девід Фрідмен|||David A. Freedman (statistician)}} та {{Не перекладено|Персі Діаконіс|||Persi Diaconis}} продовжили працювати над випадком нескінченних зліченних імовірнісних просторів.<ref>Larry Wasserman et alia, JASA 2000. {{ref-en}}</ref> Підсумовуючи, для подолання впливу початкового вибору може бути замало проб, і, особливо у випадку великих (але скінченних) систем, збігання може бути дуже повільним.

=== Спряжені апріорні розподіли ===
{{Докладніше1|[[Спряжений апріорний розподіл]]}}

У параметризованій формі часто вважається, що апріорний розподіл належить до сімейства розподілів, що називається [[Спряжений апріорний розподіл|спряженими апріорними розподілами]]. Корисність спряженого апріорного розподілу полягає в тім, що відповідний апостеріорний розподіл належатиме до того ж сімейства, і його обчислення може бути виражено у [[Вираз замкненого вигляду|замкненому вигляді]].

=== Оцінки параметрів та передбачень ===

Часто потрібно використовувати апостеріорний розподіл для оцінювання параметра або змінної. Кілька методів баєсового оцінювання вибирають [[Центральна тенденція|вимірювання центральної тенденції]] з апостеріорного розподілу.

Для одновимірних задач існує унікальна медіана для практичних безперервних задач. Апостеріорна медіана є привабливою як [[Робастність у статистиці|робастний оцінювач]].<ref>

{{cite book
 |title=Pitman's measure of closeness: A comparison of statistical estimators
<!--
 |first=Pranab K.
 |last=Sen
 |authorlink1=Pranab K. Sen
-->
 |author={{Не перекладено|Парнаб Сен|Sen, Pranab K.||Pranab K. Sen}}
 |first2=J. P.
 |last2=Keating
 |first3=R. L.
 |last3=Mason
 |publisher=SIAM
 |location=Philadelphia
 |year=1993
 |mr=
 |ref=harv
}} {{ref-en}}

</ref>

Якщо для апостеріорного розподілу існує скінченне середнє значення, тоді апостеріорне середнє є методом оцінювання.<ref>{{Cite journal|last=Choudhuri|first=Nidhan|last2=Ghosal|first2=Subhashis|last3=Roy|first3=Anindya|date=2005-01-01|title=Bayesian Methods for Function Estimation|url=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169716105250137|journal=Handbook of Statistics|series=Bayesian Thinking|volume=25|pages=373–414|doi=10.1016/s0169-7161(05)25013-7|accessdate=13 липня 2018|archive-date=12 липня 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20170712161836/http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169716105250137}} {{ref-en}}</ref>

: <math>\tilde \theta = \operatorname{E}[\theta] = \int \theta \, p(\theta \mid \mathbf{X},\alpha) \, d\theta</math>

Взяття значення із найбільшою ймовірністю визначає [[Оцінка апостеріорного максимуму|оцінки апостеріорного максимуму]] ({{lang-en|maximum a posteriori, MAP}}):<ref>{{Cite web|url=https://www.probabilitycourse.com/chapter9/9_1_2_MAP_estimation.php|title=Maximum A Posteriori (MAP) Estimation|website=www.probabilitycourse.com|language=en|access-date=2017-06-02|archive-date=14 липня 2018|archive-url=https://web.archive.org/web/20180714023451/https://www.probabilitycourse.com/chapter9/9_1_2_MAP_estimation.php}} {{ref-en}}</ref>

: <math>\{ \theta_{\text{MAP}}\} \subset \arg \max_\theta p(\theta \mid \mathbf{X},\alpha) .</math>

Існують приклади, в яких не досягається жодного максимуму, і в такому випадку множина оцінок апостеріорного максимуму є [[Порожня множина|порожньою]].

Існують інші методи оцінювання, що мінімізують апостеріорний ''[[ризик]]'' (очікувані апостеріорні втрати) відносно [[Функція втрат|функції втрат]], і вони становлять інтерес для статистичної [[Теорія рішень|теорії рішень]] з використанням [[Вибірковий розподіл|вибіркового розподілу]] («частотна статистика»).<ref>{{Cite web|url=http://www.cogsci.ucsd.edu/~ajyu/Teaching/Tutorials/bayes_dt.pdf|title=Introduction to Bayesian Decision Theory|last=Yu|first=Angela|date=|website=cogsci.ucsd.edu/|archive-url=https://web.archive.org/web/20130228060536/http://www.cogsci.ucsd.edu/~ajyu/Teaching/Tutorials/bayes_dt.pdf|archive-date=28 лютого 2013|dead-url=yes|access-date=}} {{ref-en}}</ref>

{{Не перекладено|Апостеріорний передбачуваний розподіл|||Posterior predictive distribution}} нового спостереження <math>\tilde{x}</math> (що є незалежним від попередніх спостережень) визначається як

: <math>p(\tilde{x}|\mathbf{X},\alpha) = \int p(\tilde{x},\theta \mid \mathbf{X},\alpha) \, d\theta = \int p(\tilde{x} \mid \theta) p(\theta \mid \mathbf{X},\alpha) \, d\theta .</math>

== Приклади ==

=== Ймовірність гіпотези ===

Припустімо, є дві повні чаші коржиків. Чаша №&nbsp;1 містить 10 шоколадних коржиків, і 30 звичайних, тоді як чаша №&nbsp;2 містить по 20 кожних. Наш друг Петро обирає випадкову чашу, й витягає з неї випадковий коржик. Ми можемо припустити, що немає жодних підстав вважати, що Петро віддає перевагу якійсь із чаш, і аналогічно з коржиками. Коржик виявляється звичайним. Якою є ймовірність того, що Петро взяв його з чаші №&nbsp;1?

Інтуїтивно здається ясним, що відповідь повинна бути більшою за половину, оскільки простих коржиків у чаші №&nbsp;1 більше. А точну відповідь дає теорема Баєса. Нехай <math>H_1</math> відповідає чаші №&nbsp;1, а <math>H_2</math>&nbsp;— чаші №&nbsp;2.
Дано, що з точки зору Петра вони є ідентичними, отже, <math>P(H_1)=P(H_2)</math>, і в сумі вони повинні давати 1, тому обидва дорівнюють 0.5.
Подія <math>E</math> є спостереженням звичайного коржика. Із вмісту чаш нам відомо, що <math>P(E \mid H_1) = 30/40 = 0.75</math> і <math>P(E \mid H_2) = 20/40 = 0.5</math>. Формула Баєса відтак дає

: <math>\begin{align} P(H_1 \mid E) &= \frac{P(E \mid H_1)\,P(H_1)}{P(E \mid H_1)\,P(H_1)\;+\;P(E \mid H_2)\,P(H_2)} \\  \\  \ & = \frac{0.75 \times 0.5}{0.75 \times 0.5 + 0.5 \times 0.5} \\  \\  \ & = 0.6 \end{align}
</math>

До того, як ми побачили коржик, ймовірність, яку ми призначили виборові Петром чаші №&nbsp;1, була апріорною ймовірністю, <math>P(H_1)</math>, що дорівнювала 0.5. Після спостереження того коржика ми мусимо переглянути ймовірність до <math>P(H_1 \mid E)</math>, що дорівнює 0.6.

=== Здійснення передбачування ===

[[Файл:Bayesian inference archaeology example.jpg|thumb|Приклад результатів для археологічного прикладу. Цю симуляцію було згенеровано з використанням c=15.2.]]

[[Археологія|Археолог]] працює на розкопках поселення припусти́мо середньовічного періоду, між XI та XVI століттями. Тим не менш, залишається не ясним, коли саме протягом цього періоду поселення було заселеним. Знайдено уламки кераміки, деякі з них глазуровані, і деякі розписні. Очікується, що якщо поселення було заселеним протягом раннього середньовіччя, то 1&nbsp;% кераміки буде глазурованим, і 50&nbsp;% його поверхні буде розписано, тоді як якщо воно було заселеним пізнього середньовіччя, то 81&nbsp;% буде глазурованим, і 5&nbsp;% його площі буде розписано. Наскільки впевненим може бути археолог у даті заселення у процесі викопування уламків?

Необхідно обчислювати міру переконання у безперервній змінній <math>C</math> (століття), маючи дискретний набір подій <math>\{GD,G \bar D, \bar G D, \bar G \bar D\}</math> (де <math>G</math>&nbsp;— глазурованість, а <math>D</math>&nbsp;— наявність розпису) як свідчення. Припускаючи лінійну зміну глазурованості та розпису протягом часу та те, що ці змінні є незалежними,

: <math>P(E=GD \mid C=c) = (0.01 + \frac{0.81-0.01}{16-11}(c-11))(0.5 - \frac{0.5-0.05}{16-11}(c-11))</math>
: <math>P(E=G \bar D \mid C=c) = (0.01 + \frac{0.81-0.01}{16-11}(c-11))(0.5 + \frac{0.5-0.05}{16-11}(c-11))</math>
: <math>P(E=\bar G D \mid C=c) = ((1-0.01) - \frac{0.81-0.01}{16-11}(c-11))(0.5 - \frac{0.5-0.05}{16-11}(c-11))</math>
: <math>P(E=\bar G \bar D \mid C=c) = ((1-0.01) - \frac{0.81-0.01}{16-11}(c-11))(0.5 + \frac{0.5-0.05}{16-11}(c-11))</math>

Припустімо, що апріорним є [[неперервний рівномірний розподіл]] <math>\textstyle f_C(c) = 0.2</math>, і що проби є [[Незалежні однаково розподілені випадкові величини|незалежними однаково розподіленими]]. Коли виявляється новий уламок типу <math>e</math>, застосовується теорема Баєса для уточнення міри переконання у кожному <math>c</math>:

<math>f_C(c \mid E=e) = \frac{P(E=e \mid C=c)}{P(E=e)}f_C(c) = \frac{P(E=e \mid C=c)}{\int_{11}^{16}{P(E=e \mid C=c)f_C(c)dc}}f_C(c)</math>

На графіку зображено комп'ютерну [[Симуляція|симуляцію]] зміни переконання в процесі викопування 50 уламків. У цій симуляції поселення було заселено близько 1420 року, або <math>c=15.2</math>. За допомогою обчислення площі під відповідною частиною цього графіка для 50 проб археолог може стверджувати, що практично немає шансів, що це поселення було заселеним в XI та XII століттях, близько 1&nbsp;% складає шанс того, що воно було заселеним протягом XIII століття, 63&nbsp;% шансів протягом XIV століття та 36&nbsp;% протягом XV століття. Зауважте, що {{Не перекладено|Теорема Бернштайна — фон Мізеса|теорема Бернштайна — фон Мізеса|de|Satz von Bernstein-von-Mises}} стверджує, що тут має місце асимптотичне збігання до «справжнього» розподілу, оскільки [[ймовірнісний простір]], що відповідає дискретному наборові подій <math>\{GD,G \bar D, \bar G D, \bar G \bar D\}</math>, є скінченним (див. вище розділ про [[#Асимптотична поведінка апостеріорного розподілу|асимптотичну поведінку апостеріорного розподілу]]).

== У частотній статистиці та теорії рішень ==

Обґрунтування використання баєсового висновування в [[Теорія рішень|теорії рішень]] було зроблено [[Абрахам Вальд|Абрахамом Вальдом]], який довів, що будь-яка унікальна баєсова процедура є {{Не перекладено|Прийнятне правило рішення|прийнятною||Admissible decision rule}}. І навпаки, кожна {{Не перекладено|Прийнятне правило рішення|прийнятна||Admissible decision rule}} статистична процедура є або баєсовою процедурою, або границею баєсових процедур.<ref name="Bickel & Doksum 2001, page 32">Bickel & Doksum (2001, p. 32) {{ref-en}}</ref>

Валд охарактеризував прийнятні процедури як баєсові процедури (та границі баєсових процедур), зробивши баєсів формалізм центральною методикою в таких галузях [[Частотне висновування|частотного висновування]] як [[Теорія оцінювання|оцінювання параметрів]], [[Перевірка статистичних гіпотез|перевірка гіпотез]] та обчислення [[Довірчий інтервал|довірчих інтервалів]].<ref>

{{cite journal
 |doi=10.1214/aoms/1177700051
 |author={{Не перекладено|Джек Кіфер|Kiefer, J.||Jack Kiefer (statistician)}}
 |author2=Schwartz, R.
 |title=Admissible Bayes Character of T<sup>2</sup>-, R<sup>2</sup>-, and Other Fully Invariant Tests for Multivariate Normal Problems
 |url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematical-statistics_1965-04_36_2/page/n382
 |journal=Annals of Mathematical Statistics
 |volume=36
 |year=1965
 |pages=747–770
}} {{ref-en}}
</ref><ref>

{{cite journal
 |doi= 10.1214/aoms/1177697822
 |author=Schwartz, R.
 |title=Invariant Proper Bayes Tests for Exponential Families
 |url= https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematical-statistics_1969-02_40_1/page/270
 |journal=Annals of Mathematical Statistics
 |volume=40
 |year=1969
 |pages=270–283
}} {{ref-en}}

</ref><ref>

{{cite journal
 |doi=10.1214/aos/1176345877
 |author1=Hwang, J. T.
 |author2=Casella, George
 |lastauthoramp=yes
 |title=Minimax Confidence Sets for the Mean of a Multivariate Normal Distribution
 |journal=Annals of Statistics
 |volume=10
 |pages=868–881
 |year=1982
 |url=http://ecommons.cornell.edu/bitstream/1813/32852/1/BU-750-M.pdf
}} {{ref-en}}

</ref> Наприклад:

{{Цитата|За певних умов усі прийнятні процедури є або баєсовими процедурами, або границями баєсових процедур (у різних сенсах). Ці видатні результати, принаймні в їх оригінальному вигляді, належать по суті Валдові. Вони корисні, бо властивість баєсовості аналізувати простіше, ніж властивість прийнятності.<ref name="Bickel & Doksum 2001, page 32"/>
{{oq|en|Under some conditions, all admissible procedures are either Bayes procedures or limits of Bayes procedures (in various senses). These remarkable results, at least in their original form, are due essentially to Wald. They are useful because the property of being Bayes is easier to analyze than admissibility.}}
}}

{{Цитата|У теорії рішень досить загальний метод доведення прийнятності полягає у демонстрації того, що процедура є унікальним баєсовим розв'язком.<ref>

{{cite book
 |author={{Не перекладено|Еріх Леман|Lehmann, Erich||Erich Leo Lehmann}}
 |title=Testing Statistical Hypotheses
 |edition=Second
 |year=1986}} (див. с. 309 розділу 6.7 «Admissibilty» та с. 17–18 розділу 1.8 «Complete Classes» {{ref-en}}

</ref>
{{oq|en|In decision theory, a quite general method for proving admissibility consists in exhibiting a procedure as a unique Bayes solution.}}
}}

{{Цитата|У перших розділах цієї праці апріорні розподіли зі скінченним носієм та відповідні баєсові процедури застосовувалися для запроваджування деяких з головних теорем, пов'язаних із порівнянням експериментів. Баєсові процедури по відношенню до загальніших апріорних розподілів відіграли дуже важливу роль у розвитку статистики, включно з її асимптотичною теорією.<ref name="Le Cam">

{{cite book
 |author={{Не перекладено|Люсьєн Ле Кам|Le Cam, Lucien||Lucien Le Cam}}
 |title=Asymptotic Methods in Statistical Decision Theory
 |year=1986
 |publisher=Springer-Verlag
 |isbn=0-387-96307-3
}} (з розділу «12 Posterior Distributions and Bayes Solutions», с. 324) {{ref-en}}

</ref>
{{oq|en|In the first chapters of this work, prior distributions with finite support and the corresponding Bayes procedures were used to establish some of the main theorems relating to the comparison of experiments. Bayes procedures with respect to more general prior distributions have played a very important role in the development of statistics, including its asymptotic theory.}}
}}

{{Цитата|Існує багато задач, де побіжний погляд на апостеріорні розподіли, за підхожих апріорних, негайно дає цікаву інформацію. Цього методу також важко уникнути у послідовному аналізі.<ref name="Le Cam" />
{{oq|en|There are many problems where a glance at posterior distributions, for suitable priors, yields immediately interesting information. Also, this technique can hardly be avoided in sequential analysis.}}
}}

{{Цитата|Корисним фактом є те, що баєсове правило рішення, отримане взяттям належного апріорного розподілу над усім простором параметрів, мусить бути прийнятним<ref>

{{cite book
 |author={{Не перекладено|Девід Кокс (статистик)|Cox, D. R.||David R. Cox}}
 |author2=Hinkley, D.V
 |title=Theoretical Statistics
 |year=1974
 |publisher=Chapman and Hall
 |isbn=0-04-121537-0
}} с. 432 {{ref-en}}

</ref>
{{oq|en|A useful fact is that any Bayes decision rule obtained by taking a proper prior over the whole parameter space must be admissible}}
}}

{{Цитата|Важливим напрямком дослідження у розвитку ідей прийнятності був напрямок звичайних процедур теорії вибірок, і було отримано багато цікавих результатів.<ref>

{{cite book
 |author={{Не перекладено|Девід Кокс (статистик)|Cox, D. R.||David R. Cox}}
 |author2=Hinkley, D. V.
 |title=Theoretical Statistics
 |year=1974
 |publisher=Chapman and Hall
 |isbn=0-04-121537-0
}} с. 433 {{ref-en}}

</ref>
{{oq|en|An important area of investigation in the development of admissibility ideas has been that of conventional sampling-theory procedures, and many interesting results have been obtained.}}
}}

=== Обирання моделі ===
{{main|Баєсове обирання моделі}}
{{У планах|дата=липень 2018}}

== Застосування ==

=== Комп'ютерні застосування ===

Баєсове висновування має застосування в [[Штучний інтелект|штучному інтелекті]] та [[Експертні системи|експертних системах]]. Методики баєсового висновування були фундаментальною частиною методик комп'ютеризованого [[розпізнавання образів]] з кінця 1950-х років. Також існує й постійно зростає зв'язок між баєсовими методами та методиками [[Метод Монте-Карло|Монте Карло]] на основі симуляцій, оскільки складні моделі не можуть оброблюватися в замкненому вигляді баєсовим аналізом, тоді як структури [[Графова модель|графових моделей]] ''можуть'' уможливлювати ефективні симуляційні алгоритми, такі як {{Не перекладено|Вибірка за Ґіббсом|вибірка за Ґіббсом||Gibbs sampling}} та інші схеми [[Алгоритм Метрополіса — Гастінгса|алгоритму Метрополіса&nbsp;— Гастінгса]].<ref>

{{cite book
 |author=Jim Albert
 |year=2009
 |title= Bayesian Computation with R, Second edition
 |publisher=Springer
 |location=New York, Dordrecht, etc.
 |isbn= 978-0-387-92297-3
 |ref=harv
}} {{ref-en}}

</ref> З цих причин баєсове висновування нещодавно завоювало популярність серед спільноти [[Філогенетика|філогенетиків]]; деякі із застосувань дозволяють одночасно оцінювати багато демографічних та еволюційних параметрів.

Що стосується [[Задача класифікації|статистичної класифікації]], то баєсове висновування застосовувалося у нещодавні роки для розробки алгоритмів ідентифікації {{Не перекладено|Спам електронної пошти|спаму електронної пошти||Email spam}}. До застосунків, що використовують баєсове висновування для фільтрування спаму, належать {{Не перекладено|CRM114|||CRM114 (program)}}, {{Не перекладено|DSPAM||ru|DSPAM}}, {{Не перекладено|Bogofilter|||Bogofilter}}, [[SpamAssassin]], [[Mozilla]], XEAMS та інші. Класифікація спаму розглядається докладніше у статті про [[наївний баєсів класифікатор]].

{{Не перекладено|Теорія індуктивного висновування Соломонова|Індуктивне висновування Соломонова||Solomonoff's theory of inductive inference}} є теорією передбачування, що ґрунтується на спостереженнях; наприклад, передбачення наступного символу ґрунтується на заданій серії символів. Єдиним припущенням є те, що середовище слідує якомусь невідомому, проте обчислюваному розподілу ймовірності. Це є формальна індуктивна структура, що поєднує в собі два гарно вивчені принципи індуктивного висновування: баєсову статистику та [[Бритва Оккама|бритву Оккама]].<ref>Samuel Rathmanner та {{Не перекладено|Маркус Хютер|Marcus Hutter||Marcus Hutter}}. «A Philosophical Treatise of Universal Induction». ''Entropy'', 13(6):1076-1136, 2011. {{ref-en}}</ref>
Універсальна апріорна ймовірність Соломонова будь-якого префіксу ''p'' обчислюваної послідовності ''x''&nbsp;— це сума ймовірностей усіх програм (для універсального комп'ютера), що обчислюють щось, що починається з ''p''. При заданому деякому ''p'' та будь-якому обчислюваному але невідомому розподілі ймовірності, з якого вибирається ''x'', для передбачування ще небачених частин ''x'' оптимальним чином можуть використовуватися універсальний апріорний розподіл та теорема Баєса.<ref>[https://arxiv.org/pdf/0709.1516 «The Problem of Old Evidence»], in §&nbsp;5 of «On Universal Prediction and Bayesian Confirmation», M.&nbsp;Hutter&nbsp;— Theoretical Computer Science, 2007&nbsp;— Elsevier {{ref-en}}</ref><ref>[http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.186.8268&rep=rep1&type=pdf «Raymond J. Solomonoff»] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130730122300/http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.186.8268&rep=rep1&type=pdf |date=30 липня 2013 }}, Peter Gacs, Paul M.&nbsp;B. Vitanyi, 2011 cs.bu.edu {{ref-en}}</ref>

=== У залі суду ===

Баєсове висновування може застосовуватися [[присяжні|присяжними]], щоби послідовно накопичувати свідчення за та проти підсудного, і бачити, чи вони в сукупності відповідають їхньому особистому порогові «[[Розумний (обгрунтований) сумнів|поза розумним сумнівом]]».<ref>Dawid, A.&nbsp;P. та Mortera,&nbsp;J. (1996) «Coherent Analysis of Forensic Identification Evidence». ''{{Не перекладено|Journal of the Royal Statistical Society|||Journal of the Royal Statistical Society}}'', Series&nbsp;B, 58, 425—443. {{ref-en}}</ref><ref>Foreman, L.&nbsp;A.; Smith, A.&nbsp;F.&nbsp;M., та Evett, I.&nbsp;W. (1997). «Bayesian analysis of deoxyribonucleic acid profiling data in forensic identification applications (with discussion)». ''Journal of the Royal Statistical Society'', Series&nbsp;A, 160, 429—469. {{ref-en}}</ref><ref>Robertson, B. та Vignaux, G.&nbsp;A. (1995) ''Interpreting Evidence: Evaluating Forensic Science in the Courtroom''. John Wiley and Sons. Chichester. ISBN {{ISBN|978-0-471-96026-3}} {{ref-en}}</ref> Теорема Баєса застосовується послідовно до усіх представлених свідчень так, що апостеріорне переконання з однієї стадії стає апріорним для наступної. Баєсів підхід корисний тим, що він надає присяжному неупереджений раціональний механізм для поєднання свідчень. Пояснювати теорему Баєса присяжним може бути доречно у [[Правило Баєса|формі шансів]], оскільки {{Не перекладено|Шанси|шанси парі||Odds}} є зрозумілими ширшому загалові, аніж імовірності. Крім того, для присяжного може бути зрозумілішим {{Не перекладено|Азартні ігри та теорія інформації|логарифмічний підхід||Gambling and information theory}}, що замінює множення додаванням.

[[Файл:Ebits2c.png|thumb|256px|right|{{center|Додавання свідчень.}}]]

Якщо в існуванні злочину сумніву немає, а є лише в особі обвинуваченого, то радять як апріорний використовувати рівномірний розподіл над визначеною сукупністю.<ref>Dawid, A. P. (2001) [http://128.40.111.250/evidence/content/dawid-paper.pdf «Bayes' Theorem and Weighing Evidence by Juries»] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150701112146/http://128.40.111.250/evidence/content/dawid-paper.pdf |date=1 липня 2015 }} {{ref-en}}</ref> Наприклад, якщо 1&nbsp;000 людей могли скоїти цей злочин, то апріорною ймовірністю провинності буде 1/1000.

Використання теореми Баєса присяжними є дискусійним. У Сполученому Королівстві [[судовий експерт]] захисту пояснив теорему Баєса суду присяжних у справі ''{{Не перекладено|Регіна проти Деніса Джона Адамса|Р проти Адамса||Regina versus Denis John Adams}}''. Суд присяжних визнав відповідача винним, але на це рішення було подано апеляцію на тій підставі, що не було надано засобів акумулювання свідчень для тих присяжних, що не хотіли використовувати теорему Баєса. Апеляційний суд залишив вирок у силі, але також зробив висновок, що

{{Цитата|Залучення до кримінального процесу теореми Баєса, або іншого подібного методу, занурює присяжних у невідповідні та непотрібні сфери теорії та складності, відхиляючи їх від притаманної їм задачі"
{{oq|en|To introduce Bayes' Theorem, or any similar method, into a criminal trial plunges the jury into inappropriate and unnecessary realms of theory and complexity, deflecting them from their proper task.}}
}}

Гарднер-Медвін<ref>Gardner-Medwin, A. (2005) «What Probability Should the Jury Address?». ''{{Не перекладено|Significance (журнал)|Significance||Significance (journal)}}'', 2 (1), March 2005 {{ref-en}}</ref> переконує, що критерієм, на якому повинен базуватися [[вирок]] у кримінальній справі, є ''не'' ймовірність провини, а швидше ''ймовірність свідчення за умови невинності відповідача'' (близька до [[Частотне висновування|частотного]] [[p-значення|''p''-значення]]). Він стверджує, що якщо апостеріорна ймовірність провини має обчислюватися за теоремою Баєса, то мусить бути відомою апріорна ймовірність провини. А вона залежатиме від сфери злочину, яка є незвичним свідченням для розгляду в кримінальній справі. Розгляньмо наступні три твердження:

: '''А''' Відомі факти та показання свідків могли би виникнути, якби відповідач був винним
: '''Б''' Відомі факти та показання свідків могли би виникнути, якби відповідач був невинним
: '''В''' Відповідач є винним.

Гарднер-Медвін стверджує, що для винесення обвинувального вироку суд присяжних повинен переконатися як в '''А''', так і в не-'''Б'''. З '''А''' та не-'''Б''' випливає істинність '''В''', але зворотнє не є вірним. Існує можливість, що вірними є '''Б''' та '''В''', але в цьому випадку він стверджує, що суд присяжних повинен винести виправдувальний вирок, незважаючи на те, що вони знають, що дозволяють звільнитися деяким винним людям. Див. також [[парадокс Ліндлі]].

=== Баєсова епістемологія ===

Баєсова [[епістемологія]] є рухом, що виступає за баєсове висновування як засіб обґрунтування правил індуктивної логіки.

[[Карл Поппер]] та {{Не перекладено|Девід Міллер (філософ)|Девід Міллер||David Miller (philosopher)}} відкинули нібито раціональність баєсовизму, тобто використання правила Баєса для здійснення епістемологічного висновування:<ref>David Miller: ''Critical Rationalism'' {{ref-en}}</ref> він схильний до того ж [[порочне коло|порочного кола]], що й будь-яка інша [[Обґрунтування|виправдовувальна]] епістемологія, оскільки спирається на те, що намагається виправдати. Відповідно до цієї точки зору, раціональна інтерпретація баєсового висновування бачитиме його лише як імовірнісну версію [[фальсифікаціонізм]]у, заперечуючи переконання, поширене серед баєсовистів, що висока правдоподібність, досягнута послідовністю баєсових уточнень, доводитиме гіпотезу поза розумним сумнівом, чи навіть із правдоподібністю, більшою за 0.

=== Інші ===

* [[Науковий метод]] іноді інтерпретують як застосування баєсового висновування. З цієї точки зору правило Баєса скеровує (або повинне скеровувати) уточнення ймовірностей [[Гіпотеза|гіпотези]] в залежності від нових спостережень або [[експеримент]]ів.<ref>Howson & Urbach (2005), Jaynes (2003) {{ref-en}}</ref> Баєсове висновування також було застосовувано Цаєм та ін. (2009) до задач {{нп|Стохастичне планування|стохастичного планування||Stochastic scheduling}} з неповною інформацією.<ref name="Cai et al. 2009">{{cite journal|last1=Cai|first1=X.Q.|last2=Wu|first2=X.Y.|last3=Zhou|first3=X.|title=Stochastic scheduling subject to breakdown-repeat breakdowns with incomplete information|journal=Operations Research|date=2009|volume=57|issue=5|pages=1236–1249}} {{ref-en}}</ref>
* {{Не перекладено|Теорія баєсового пошуку|||Bayesian search theory}} застосовується для пошуку загублених об'єктів.
* {{Не перекладено|Баєсове висновування у філогенетиці|||Bayesian inference in phylogeny}}
* {{Не перекладено|Баєсів інструмент для аналізу метилювання|||Bayesian tool for methylation analysis}}
* {{нп|Баєсові підходи до функції мозку|||Bayesian approaches to brain function}} досліджують мозок як баєсів механізм.
* Баєсове висновування в екологічних дослідженнях<ref>{{Cite journal|last=Ogle|first=Kiona|last2=Tucker|first2=Colin|last3=Cable|first3=Jessica M.|date=2014-01-01|title=Beyond simple linear mixing models: process-based isotope partitioning of ecological processes|url=http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1890/1051-0761-24.1.181/abstract|journal=Ecological Applications|language=en|volume=24|issue=1|pages=181–195|doi=10.1890/1051-0761-24.1.181|issn=1939-5582|accessdate=28 травня 2017|archive-date=15 липня 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20170715152815/http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1890/1051-0761-24.1.181/abstract}} {{ref-en}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Evaristo|first=Jaivime|last2=McDonnell|first2=Jeffrey J.|last3=Scholl|first3=Martha A.|last4=Bruijnzeel|first4=L. Adrian|last5=Chun|first5=Kwok P.|date=2016-01-01|title=Insights into plant water uptake from xylem-water isotope measurements in two tropical catchments with contrasting moisture conditions|url=http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/hyp.10841/abstract|journal=Hydrological Processes|language=en|pages=n/a–n/a|doi=10.1002/hyp.10841|issn=1099-1085|bibcode=2016HyPr...30.3210E|accessdate=28 травня 2017|archive-date=15 липня 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20170715152824/http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/hyp.10841/abstract}} {{ref-en}}</ref>
* Баєсове висновування застосовують для оцінювання параметрів у стохастичних хімічних кінетичних моделях<ref>{{Cite journal|last=Gupta|first=Ankur|last2=Rawlings|first2=James B.|date=2014-4|title=Comparison of Parameter Estimation Methods in Stochastic Chemical Kinetic Models: Examples in Systems Biology|journal=AIChE Journal|volume=60|issue=4|pages=1253–1268|doi=10.1002/aic.14409|issn=0001-1541|pmc=4946376|pmid=27429455}} {{ref-en}}</ref>

== Баєс та баєсове висновування ==

Задачею, розглянутою Баєсом у Пропозиції&nbsp;9 його «{{Не перекладено|Есе щодо розв'язання задачі у Доктрині шансів|||An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances}}», є апостеріорний розподіл параметра ''a'' (доля успішних спроб) [[Біноміальний розподіл|біноміального розподілу]].<ref>Glenn Shafer and Pearl, Judea, eds. (1988) ''Probabilistic Reasoning in Intelligent Systems'', San Mateo, CA: Morgan Kaufmann.</ref>

== Історія ==
{{Докладніше1|{{Не перекладено|Історія статистики#Баєсова статистика|Історія статистики § Баєсова статистика||History of statistics#Bayesian statistics}}}}

Термін ''баєсів'' стосується [[Томас Баєс|Томаса Баєса]] (1702—1761), який довів окремий випадок того, що зараз називають [[Теорема Баєса|теоремою Баєса]]. Однак, впровадив загальну версію цієї теореми та застосовував її для підходу до задач [[Небесна механіка|небесної механіки]], медичної статистики, [[Надійність (психометрія)|надійності]] та [[Юриспруденція|юриспруденції]] [[П'єр-Симон Лаплас]] (1749—1827).<ref>

{{cite book
 |first=Stephen M.
 |last=Stigler
 |year=1986
 |title=The History of Statistics
 |url=https://archive.org/details/historyofstatist00stig
 |publisher=Harvard University Press
 |chapter=Chapter 3
}} {{ref-en}}

</ref> Раннє баєсове висновування, що використовувало рівномірний апріорний розподіл згідно лапласового {{Не перекладено|Принцип недостатнього обґрунтування|принципу недостатнього обґрунтування||Principle of indifference}}, називалося «{{Не перекладено|Зворотна ймовірність|зворотною ймовірністю||Inverse probability}}» (оскільки воно здійснює зворотне [[Індукція (логіка)|висновування]] від спостережень до параметрів, або від наслідків до причин<ref name=Fienberg2006>{{cite journal
 |first=Stephen E.
 |last=Fienberg
 |year=2006
 |url=http://ba.stat.cmu.edu/journal/2006/vol01/issue01/fienberg.pdf
 |title=When did Bayesian Inference Become ‘Bayesian’?
 |journal=Bayesian Analysis
 |volume=1
 |issue=1
 |pages=1–40 [p. 5]
 |doi=10.1214/06-ba101
 |deadurl=yes
 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20140910070556/http://ba.stat.cmu.edu/journal/2006/vol01/issue01/fienberg.pdf
 |archivedate=2014-09-10
 |df=
 }} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140910070556/http://ba.stat.cmu.edu/journal/2006/vol01/issue01/fienberg.pdf |date=2014-09-10 }} {{ref-en}}</ref>). Після 1920-х років «зворотну ймовірність» було значною мірою витіснено набором методів, що стали називати [[Частотна статистика|частотною статистикою]].<ref name=Fienberg2006/>

У XX столітті ідеї Лапласа отримали подальший розвиток у двох різних напрямках, давши початок ''об'єктивній'' та ''суб'єктивній'' течіям у баєсовій практиці. В об'єктивній, або «неінформативній» течії статистичний аналіз покладається лише на передбачувану модель, аналізовані дані<ref name=Bernardo>

{{cite book
<!--
 |authorlink=José-Miguel Bernardo
 |first=José-Miguel
 |last=Bernardo
-->
 |author={{Не перекладено|Хосе-Мігель Бернардо|Bernardo, José-Miguel||José-Miguel Bernardo}}
 |year=2005
 |chapter=Reference analysis
 |title=Handbook of statistics
 |volume=25
 |pages=17–90
 |isbn=
}} {{ref-en}}

</ref> та метод призначення апріорного розподілу, що відрізняється від одного об'єктивного баєсового висновування до іншого. У суб'єктивній, або «інформативній» течії визначення апріорного розподілу залежить від переконання (тобто тверджень, для дії на яких готується аналіз), що може підсумовувати інформацію від експертів, попередніх досліджень тощо.

У 1980-х роках відбувся різкий ріст досліджень та застосувань баєсових методів, обумовлений головним чином відкриттям [[Методи Монте-Карло марковських ланцюгів|методів Монте-Карло марковських ланцюгів]], що усунули багато обчислювальних проблем, і ростом зацікавлення у нестандартних, складних застосуваннях.<ref>

{{cite journal
 |last=Wolpert
 |first=R.&nbsp;L.
 |year=2004
 |title=A Conversation with James O. Berger
 |url=https://archive.org/details/sim_statistical-science_2004-02_19_1/page/205
 |journal=Statistical Science
 |volume=19
 |issue=1
 |pages=205–218
 |doi=10.1214/088342304000000053
 |mr=2082155
 |citeseerx=10.1.1.71.6112
}} {{ref-en}}

</ref> Незважаючи на зростання баєсових досліджень, більшість викладання студентам і досі ґрунтується на частотній статистиці.<ref>

{{cite journal
<!--
 |authorlink=José-Miguel Bernardo
 |first=José M.
 |last=Bernardo
-->
 |author={{Не перекладено|Хосе-Мігель Бернардо|Bernardo José M.||José-Miguel Bernardo}}
 |year=2006
 |url=http://www.ime.usp.br/~abe/ICOTS7/Proceedings/PDFs/InvitedPapers/3I2_BERN.pdf
 |title=A Bayesian mathematical statistics primer
 |work=ICOTS-7
}} {{ref-en}}

</ref> Тим не менше, баєсові методи є широко визнаними та застосовуваними, як наприклад у галузі [[Машинне навчання|машинного навчання]].<ref name="ReferenceA">

{{cite book
 |last=Bishop
 |first=C. M.
 |title=Pattern Recognition and Machine Learning
 |publisher=Springer
 |year=2007
 |location=New York
 |isbn=0387310738
}} {{ref-en}}

</ref>

== Див. також ==

* [[Теорема Баєса]]
* {{Не перекладено|Bayesian Analysis|«Bayesian Analysis»||Bayesian Analysis (journal)}}, журнал ISBA
* [[Баєсове ієрархічне моделювання]]
* [[Баєсова ймовірність]]
* [[Баєсова регресія]]
* [[Баєсів структурний часовий ряд]] (БСЧР, {{lang-en|BSTS}})
* [[Частотницьке висновування]]
* {{Не перекладено|Індуктивна ймовірність|||Inductive probability}}
* {{Не перекладено|Міжнародне співтовариство баєсового аналізу|||International Society for Bayesian Analysis}} ({{lang-en|International Society for Bayesian Analysis, ISBA}})
* {{Не перекладено|Апріорний розподіл Джеффріса|||Jeffreys prior}}
* [[Парадокс Монті Голла]]
* {{нп|Інформаційна теорія поля|||Information field theory}}

== Примітки ==
{{Примітки|30em}}

== Джерела ==

* Aster, Richard; Borchers, Brian, та Thurber, Clifford (2012). ''Parameter Estimation and Inverse Problems'', Second Edition, Elsevier. {{ISBN|0123850487}}, {{ISBN|978-0123850485}} {{ref-en}}
* {{Cite book|author1=Bickel, Peter J.|author2=Doksum, Kjell A. |lastauthoramp=yes |title=Mathematical Statistics, Volume 1: Basic and Selected Topics|edition=Second (передрук 2007)|year=2001|publisher=Pearson Prentice–Hall|isbn=0-13-850363-X}} {{ref-en}}
* {{Не перекладено|Джордж Бокс|Box, G.&nbsp;E.&nbsp;P.||George E. P. Box}} та Tiao, G.&nbsp;C. (1973) ''Bayesian Inference in Statistical Analysis'', Wiley, {{ISBN|0-471-57428-7}} {{ref-en}}
* {{cite book| author=Edwards, Ward| chapter=Conservatism in Human Information Processing|editor=Kleinmuntz, B.| title=Formal Representation of Human Judgment|publisher=Wiley|year=1968}} {{ref-en}}
* {{cite book| author=Edwards, Ward| chapter=Conservatism in Human Information Processing (excerpted)|editor=[[Деніел Канеман|Daniel Kahneman]], {{Не перекладено|Пол Слович|Paul Slovic||Paul Slovic}} та [[Амос Тверські]]| title=Judgment under uncertainty: Heuristics and biases|publisher=Cambridge University Press|year=1982}} {{ref-en}}
* {{Cite journal|last=Renganathan|first=Vinaitheerthan|date=2016-03-31|title=Overview of Frequentist and Bayesian approach to Survival Analysis|url=http://ami.info.umfcluj.ro/index.php/AMI/article/view/572|journal=Applied Medical Informatics|language=en|volume=38|issue=1|pages=25–38|issn=2067-7855|accessdate=28 травня 2017|archive-date=26 травня 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20170526164911/http://ami.info.umfcluj.ro/index.php/AMI/article/view/572}} {{ref-en}}
* {{Не перекладено|Едвін Томпсон Джейнс|Jaynes E.&nbsp;T.||Edwin Thompson Jaynes}} (2003) ''Probability Theory: The Logic of Science'', CUP. {{ISBN|978-0-521-59271-0}} ([http://www-biba.inrialpes.fr/Jaynes/prob.html Link to Fragmentary Edition of March 1996] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20201108171426/http://www-biba.inrialpes.fr/Jaynes/prob.html |date=8 листопада 2020 }}). {{ref-en}}
* {{Cite book| title=Scientific Reasoning: the Bayesian Approach| author={{Не перекладено|Колін Хаусон|Howson, C.||Colin Howson}} |author2=Urbach, P. |last-author-amp=yes | publisher={{Не перекладено|Open Court Publishing Company|||Open Court Publishing Company}}| year=2005| edition=3rd | isbn=978-0-8126-9578-6}} {{ref-en}}
* {{Cite book| last1=Phillips|first1=L. D.|last2=Edwards|first2=Ward|chapter=Chapter 6: Conservatism in a Simple Probability Inference Task (''Journal of Experimental Psychology'' (1966) 72: 346-354) |title=A Science of Decision Making:The Legacy of Ward Edwards| editor=Jie W. Weiss |editor2=David J. Weiss| isbn=978-0-19-532298-9 |page=536 |date=October 2008 |publisher= Oxford University Press}} {{ref-en}}

== Література ==

* Повний звіт з історії баєсової статистики та дебати з частотними підходами читайте у {{cite book |last=Vallverdu |first=Jordi |title=Bayesians Versus Frequentists A Philosophical Debate on Statistical Reasoning |publisher=Springer |year=2016 |location=New York |isbn=978-3-662-48638-2 }} {{ref-en}}

=== Початкова ===

Наступні книги перелічено у порядку зростання статистичної складності:
* Stone, JV (2013), «Bayes’ Rule: A Tutorial Introduction to Bayesian Analysis», [http://jim-stone.staff.shef.ac.uk/BookBayes2012/BayesRuleBookMain.html Download first chapter here] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150722013541/http://jim-stone.staff.shef.ac.uk/BookBayes2012/BayesRuleBookMain.html |date=22 липня 2015 }}, Sebtel Press, England. {{ref-en}}
* {{Cite book| title=Understanding Uncertainty, Revised Edition| author={{нп|Денніс Ліндлі|Dennis V. Lindley||Dennis Lindley}} | publisher=John Wiley | year=2013| edition=2nd | isbn=978-1-118-65012-7}} {{ref-en}}
* {{Cite book
 |title=Scientific Reasoning: The Bayesian Approach
 |author={{Не перекладено|Колін Хаусон|Colin Howson||Colin Howson}}
 |author2=Peter Urbach
 |publisher={{Не перекладено|Open Court Publishing Company|||Open Court Publishing Company}}
 |year=2005
 |edition=3rd
 |isbn=978-0-8126-9578-6
}} {{ref-en}}
* {{Cite book
 |author=Berry, Donald A.
 |title=Statistics: A Bayesian Perspective
 |url=https://archive.org/details/ssmstatisticsbay0000dona
 |publisher=Duxbury
 |year=1996
 |isbn=0-534-23476-3
}} {{ref-en}}
* {{Cite book
 |author={{Не перекладено|Морріс ДеҐрут|Morris H. DeGroot||Morris H. DeGroot}}
 |author2=Mark J. Schervish
 |last-author-amp=yes
 |title=Probability and Statistics
 |url=https://archive.org/details/probabilitystati0000degr_j5d9
 |edition=third
 |isbn=978-0-201-52488-8
 |publisher=Addison-Wesley
 |year=2002
}} {{ref-en}}
* Bolstad, William M. (2007) ''Introduction to Bayesian Statistics'': Second Edition, John Wiley {{ISBN|0-471-27020-2}} {{ref-en}}
* {{cite book
 |author=Winkler, Robert L
 |title=Introduction to Bayesian Inference and Decision
 |publisher=Probabilistic
 |year=2003
 |isbn=0-9647938-4-9
 |edition=2nd
}} {{ref-en}} Оновлений класичний підручник. Чітко представлено баєсову теорію.
* Lee, Peter M. ''Bayesian Statistics: An Introduction''. Fourth Edition (2012), John Wiley {{ISBN|978-1-1183-3257-3}} {{ref-en}}
* {{Cite book
 |title = Bayesian Methods for Data Analysis, Third Edition
 |publisher = Boca Raton, FL: Chapman and Hall/CRC
 |year = 2008
 |isbn = 1-58488-697-8
 |author1=Carlin, Bradley P.
 |author2=Louis, Thomas A.
 |lastauthoramp=yes
}} {{ref-en}}
* {{Cite book
 |title = Bayesian Data Analysis, Third Edition
 |publisher = Chapman and Hall/CRC
 |year = 2013
 |isbn = 978-1-4398-4095-5
<!--
 |last1=Gelman
 |first1=Andrew
 |authorlink1=Andrew Gelman
-->
 |author1={{Не перекладено|Андрій Гельман|Gelman, Andrew||Andrew Gelman}}
 |last2=Carlin
 |first2=John B.
 |last3=Stern
 |first3=Hal S.
 |last4=Dunson
 |first4=David B.
 |last5=Vehtari
 |first5=Aki
<!--
 |last6=Rubin
 |first6=Donald B.
 |authorlink6=Donald Rubin
-->
 |author6={{Не перекладено|Дональд Рубін|Rubin, Donald B.||Donald Rubin}}
}} {{ref-en}}

=== Середнього рівня або просунута ===

* {{Cite book
 |author={{Не перекладено|Джим Бергер (статистик)|Berger, James O||Jim Berger (statistician)}}
 |title=Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis
 |edition=Second
 |year=1985
 |publisher=Springer-Verlag
 |series=Springer Series in Statistics
 |isbn=0-387-96098-8
}} {{ref-en}}
* {{Cite book
 |title=Bayesian Theory
 |publisher=Wiley
 |year=1994
<!--
 |authorlink1=José-Miguel Bernardo
 |last1=Bernardo
 |first=José&nbsp;M.
-->
 |author1={{Не перекладено|Хосе-Мігель Бернардо|Bernardo, José M.||José-Miguel Bernardo}}
<!--
 |authorlink2=Adrian Smith (statistician)
 |last2=Smith
 |first2=Adrian&nbsp;F.&nbsp;M.
-->
 |author2={{Не перекладено|Адріан Сміт (статистик)|Smith, Adrian&nbsp;F.&nbsp;M.||Adrian Smith (statistician)}}
 |ref=harv
 |mr=
 |series=
}} {{ref-en}}
* {{Не перекладено|Морріс ДеҐрут|DeGroot, Morris H.||Morris H. DeGroot}}, ''Optimal Statistical Decisions''. Wiley Classics Library. 2004. (початково опублікована (1970) McGraw-Hill.) {{ISBN|0-471-68029-X}}. {{ref-en}}
* {{cite book
 |title=Theory of statistics
 |first=Mark J.
 |last=Schervish
 |publisher=Springer-Verlag
 |year=1995
 |isbn=0-387-94546-6
}} {{ref-en}}
* Jaynes, E. T. (1998) [http://www-biba.inrialpes.fr/Jaynes/prob.html ''Probability Theory: The Logic of Science''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20201108171426/http://www-biba.inrialpes.fr/Jaynes/prob.html |date=8 листопада 2020 }}. {{ref-en}}
* O'Hagan, A. та Forster, J. (2003) ''Kendall's Advanced Theory of Statistics'', Volume 2B: ''Bayesian Inference''. Arnold, New York. {{ISBN|0-340-52922-9}}. {{ref-en}}
* {{Cite book
 |author=Robert, Christian P
 |title=The Bayesian Choice – A Decision-Theoretic Motivation
 |publisher=Springer
 |year=2001
 |edition=second
 |isbn=0-387-94296-3
}} {{ref-en}}
* {{Не перекладено|Ґленн Шафер|Glenn Shafer||Glenn Shafer}} та [[Джуда Перл|Pearl, Judea]], eds. (1988) ''Probabilistic Reasoning in Intelligent Systems'', San Mateo, CA: Morgan Kaufmann. {{ref-en}}
* Pierre Bessière et al. (2013), «[http://www.crcpress.com/product/isbn/9781439880326 Bayesian Programming] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150307123631/http://www.crcpress.com/product/isbn/9781439880326 |date=7 березня 2015 }}», CRC Press. {{ISBN|9781439880326}} {{ref-en}}
* Francisco J. Samaniego (2010), «A Comparison of the Bayesian and Frequentist Approaches to Estimation» Springer, New York, {{ISBN|978-1-4419-5940-9}} {{ref-en}}

== Посилання ==
* {{springer|title=Bayesian approach to statistical problems|id=p/b015390}} {{ref-en}}
* [http://www.scholarpedia.org/article/Bayesian_statistics Bayesian Statistics] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190112051000/http://www.scholarpedia.org/article/Bayesian_statistics |date=12 січня 2019 }} зі Scholarpedia. {{ref-en}}
* [http://www.dcs.qmw.ac.uk/%7Enorman/BBNs/BBNs.htm Введення до баєсової ймовірності] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090504220301/http://www.dcs.qmw.ac.uk/~norman/BBNs/BBNs.htm |date=4 травня 2009 }} від Лондонського університету королеви Марії {{ref-en}}
* [http://webuser.bus.umich.edu/plenk/downloads.htm Mathematical Notes on Bayesian Statistics and Markov Chain Monte Carlo] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160304094628/http://webuser.bus.umich.edu/plenk/downloads.htm |date=4 березня 2016 }} {{ref-en}}
* [http://cocosci.berkeley.edu/tom/bayes.html Баєсова рекомендована бібліографія] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110625052506/http://cocosci.berkeley.edu/tom/bayes.html |date=25 червня 2011 }}, категоризована та анотована [https://web.archive.org/web/20060711151352/http://psychology.berkeley.edu/faculty/profiles/tgriffiths.html Томом Ґриффітсом] {{ref-en}}
* A. Hajek та S. Hartmann: [https://web.archive.org/web/20110728055439/http://stephanhartmann.org/HajekHartmann_BayesEpist.pdf Bayesian Epistemology], у: J. Dancy et al. (eds.), A Companion to Epistemology. Oxford: Blackwell 2010, 93-106. {{ref-en}}
* S. Hartmann та J. Sprenger: [https://web.archive.org/web/20110728055519/http://stephanhartmann.org/HartmannSprenger_BayesEpis.pdf Bayesian Epistemology], у: S. Bernecker and D. Pritchard (eds.), Routledge Companion to Epistemology. London: Routledge 2010, 609—620. {{ref-en}}
* [http://plato.stanford.edu/entries/logic-inductive/ ''Stanford Encyclopedia of Philosophy'': «Inductive Logic»] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120907144548/http://plato.stanford.edu/entries/logic-inductive/ |date=7 вересня 2012 }} {{ref-en}}
* [https://web.archive.org/web/20150905093734/http://faculty-staff.ou.edu/H/James.A.Hawthorne-1/Hawthorne--Bayesian_Confirmation_Theory.pdf Bayesian Confirmation Theory] {{ref-en}}
* [http://www.faqs.org/faqs/ai-faq/neural-nets/part3/section-7.html What Is Bayesian Learning?] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150126072242/http://www.faqs.org/faqs/ai-faq/neural-nets/part3/section-7.html |date=26 січня 2015 }} {{ref-en}}

{{Статистика|висновування}}

{{Authority control}}

[[Категорія:Баєсове висновування| ]]
[[Категорія:Логіка та статистика]]
[[Категорія:Статистичне передбачування]]