Перегляд вихідного коду сторінки Баєсова ймовірність

{{Баєсова статистика}}
'''Ба́єсова ймові́рність''' ({{lang-en|Bayesian probability}})&nbsp;— це одна з [[Інтерпретації ймовірності|інтерпретацій]] поняття [[Імовірність|ймовірності]]. На протилежність до інтерпретування [[Імовірність|ймовірності]] як [[Частотницька ймовірність|«частоти»]] або {{Не перекладено|Схильнісна ймовірність|«схильності»||Propensity probability}} певного явища, баєсова ймовірність є величиною, що ми визначаємо з метою представлення стану знання<ref name = "ghxaib">Jaynes, E.T. [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download;jsessionid=AB520068FF07BF02FC0513585063079D?doi=10.1.1.41.1055&rep=rep1&type=pdf ''Bayesian Methods: General Background''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150806214359/http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download;jsessionid=AB520068FF07BF02FC0513585063079D?doi=10.1.1.41.1055&rep=rep1&type=pdf |date=6 серпня 2015 }} In [http://www.cambridge.org/us/academic/subjects/statistics-probability/statistics-physical-sciences-and-engineering/maximum-entropy-and-bayesian-methods-applied-statistics-proceedings-fourth-maximum-entropy-workshop-university-calgary-1984 ''Maximum-Entropy and Bayesian Methods in Applied Statistics''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150711113403/http://www.cambridge.org/us/academic/subjects/statistics-probability/statistics-physical-sciences-and-engineering/maximum-entropy-and-bayesian-methods-applied-statistics-proceedings-fourth-maximum-entropy-workshop-university-calgary-1984 |date=11 липня 2015 }}, by J. H. Justice (ed.). Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1986 {{ref-en}}</ref> або переконання.<ref name="Finetti, B. 1974" /> З баєсової точки зору ймовірність призначається гіпотезі, тоді як згідно з [[Частотницьке висновування|частотницькою точкою зору]] гіпотеза зазвичай [[Перевірка статистичних гіпотез|перевіряється]], не маючи призначеної ймовірності.

Баєсову інтерпретацію ймовірності можна розглядати як розширення [[Логіка висловлень|логіки висловлень]], що уможливлює [[міркування]] із гіпотезами, тобто [[судження]]ми, чиї [[Значення істинності|істинність або хибність]] є [[Невизначеність|невизначеними]].

Баєсова ймовірність належить до категорії доказових імовірностей; для обчислення ймовірності гіпотези фахівець із [[Баєсова статистика|баєсової статистики]] встановлює певну [[Апріорна ймовірність|апріорну ймовірність]], що потім уточнюється у світлі нових, доречних [[Дані|даних]] (свідчень).<ref name="paulos">Paulos, John Allen. [http://www.nytimes.com/2011/08/07/books/review/the-theory-that-would-not-die-by-sharon-bertsch-mcgrayne-book-review.html?_r=1&scp=1&sq=thomas%20bayes&st=cse ''The Mathematics of Changing Your Mind,''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140330180442/http://www.nytimes.com/2011/08/07/books/review/the-theory-that-would-not-die-by-sharon-bertsch-mcgrayne-book-review.html?_r=1&scp=1&sq=thomas%20bayes&st=cse |date=30 березня 2014 }} New York Times (US). August 5, 2011; retrieved 2011-08-06 {{ref-en}}</ref> Баєсова інтерпретація забезпечує стандартний набір процедур та формул для виконання цього обчислення.

Термін «баєсова» походить від математика та теолога XVIII сторіччя [[Томас Баєс|Томаса Баєса]], що запропонував перший математичний підхід до нетривіальної задачі [[Баєсове висновування|баєсового висновування]].<ref>Stigler, Stephen M. (1986) [https://books.google.com.ua/books?id=M7yvkERHIIMC ''The history of statistics.''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150712013246/https://books.google.com.ua/books?id=M7yvkERHIIMC |date=12 липня 2015 }} Harvard University press. pg 131. {{ref-en}}</ref> Математик [[П'єр-Симон Лаплас]] започаткував та популяризував те, що тепер називається баєсовою ймовірністю.<ref>Stigler, Stephen M. (1986) [https://books.google.com.ua/books?id=M7yvkERHIIMC ''The history of statistics.''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150712013246/https://books.google.com.ua/books?id=M7yvkERHIIMC |date=12 липня 2015 }}, Harvard University press. pp97-98, 131. {{ref-en}}</ref>

Загалом кажучи, існує два погляди на баєсову ймовірність, що інтерпретують поняття ''ймовірність'' різним чином. Згідно з ''об'єктивістським підходом'', правила баєсової статистики може бути підтверджено {{Не перекладено|Теорема Кокса|вимогами раціональності та відповідності||Cox's theorem}}, та інтерпретовано як розширення [[Логіка|логіки]].<ref name = "ghxaib" /><ref name = "vkdmsn">Cox, Richard T. ''Algebra of Probable Inference'', The Johns Hopkins University Press, 2001 {{ref-en}}</ref> Згідно з ''суб'єктивістським підходом'', ймовірність визначає «особисте переконання».<ref name="Finetti, B. 1974">de Finetti, B. (1974) ''Theory of probability'' (2 vols.), J. Wiley & Sons, Inc., New York {{ref-en}}</ref>

== Баєсова методологія ==

Баєсові методи характеризуються такими поняттями та процедурами:

* Використанням випадкових змінних, або, загальніше, невідомих величин<ref name="rbp">Dupré, Maurice J., Tipler, Frank T. [http://ba.stat.cmu.edu/journal/2009/vol04/issue03/dupre.pdf ''New Axioms For Bayesian Probability'']{{Недоступне посилання|date=лютий 2019 |bot=InternetArchiveBot }}, Bayesian Analysis (2009), Number 3, pp. 599—606 {{ref-en}}</ref> для моделювання всіх джерел невизначеності у статистичних моделях. Це також включає невизначеність, що випливає з браку інформації (див. також {{Не перекладено|Оцінювання невизначеностей#Випадкова та пізнавальна невизначеність|випадкову та пізнавальну невизначеність||Uncertainty quantification#Aleatoric and epistemic uncertainty}}).
* Потребою визначення ''апріорного розподілу ймовірності'', що враховує наявну (апріорну) інформацію.
* ''Послідовним застосуванням [[Формула Баєса|формули Баєса]]'': щойно надходять додаткові дані, обчислити ''апостеріорний розподіл'' за допомогою формули Баєса; згодом цей апостеріорний розподіл стає наступним апріорним.
* Для частотника [[Нульова гіпотеза|гіпотеза]] є [[судження]]м (що мусить бути [[Принцип двозначності|або істинним, або хибним]]), таким чином, частотницька ймовірність гіпотези є або нулем, або одиницею. В баєсовій статистиці, якщо значення істинності є невизначеним, гіпотезі може бути призначено ймовірність, що відрізняється від 0 та 1.

== Об'єктивні та суб'єктивні баєсові ймовірності ==

Загалом кажучи, існує два погляди на баєсову ймовірність, що інтерпретують поняття «ймовірність» різним чином. Для '''[[Об'єктивність|об'єктивістів]]''' ''ймовірність'' об'єктивно вимірює правдоподібність тверджень, тобто, ймовірність твердження відповідає розсудливому переконанню, яке будь-хто (навіть «робот»), хто поділяють однакові знання, повинні поділяти у відповідності з правилами баєсової статистики, що може бути підтверджено {{Не перекладено|Теорема Кокса|вимогами раціональності та відповідності||Cox's theorem}}.<ref name="ghxaib" /><ref name="vkdmsn" /> Для '''[[Суб'єктивізм|суб'єктивістів]]''' ймовірність відповідає «особистому переконанню».<ref name="Finetti, B. 1974" /> Для суб'єктивістів раціональність та зв'язність обмежують властивості, що міг би мати предмет, дозволяючи істотне коливання в межах цих обмежень. Об'єктивні та суб'єктивні варіанти баєсової ймовірності відрізняються переважно в їхній інтерпретації та в побудові апріорної ймовірності.

== Історія ==
{{Докладніше1|{{Не перекладено|Історія статистики#Баєсова статистика|Історія статистики § Баєсова статистика||History of statistics#Bayesian statistics}}}}

Термін ''баєсів'' стосується [[Томас Баєс|Томаса Баєса]] (1702—1761), який довів окремий випадок того, що тепер називається [[Теорема Баєса|теоремою Баєса]], у праці під назвою «{{Не перекладено|Есе щодо розв'язання задачі у Доктрині шансів|||An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances}}».<ref>McGrayne, Sharon Bertsch. (2011). {{Google books|_Kx5xVGuLRIC|''The Theory That Would Not Die,'' p. 10.|page=10}} {{ref-en}}</ref> У цьому окремому випадку апріорний та апостеріорний розподіли були [[бета-розподіл]]ами, а дані вибиралися з [[Схема Бернуллі|проб Бернуллі]]. [[П'єр-Симон Лаплас]] (1749—1827) впровадив загальну версію цієї теореми та застосовував її для підходу до задач [[Небесна механіка|небесної механіки]], медичної статистики, [[Надійність (психометрія)|надійності]] та [[Юриспруденція|юриспруденції]].<ref>Stigler, Stephen M. (1986) ''The history of statistics.'' Harvard University press. Chapter 3. {{ref-en}}</ref> Раннє баєсове висновування, що використовувало рівномірний апріорний розподіл згідно з лапласовим {{Не перекладено|Принцип недостатнього обґрунтування|принципом недостатнього обґрунтування||Principle of indifference}}, називалося «{{Не перекладено|Зворотна ймовірність|зворотною ймовірністю||Inverse probability}}» (оскільки воно здійснює зворотне [[Індукція (логіка)|висновування]] від спостережень до параметрів, або від наслідків до причин<ref name=Fienberg2006>{{cite journal
 |first       = Stephen E.
 |last        = Fienberg
 |year        = 2006
 |url         = http://ba.stat.cmu.edu/journal/2006/vol01/issue01/fienberg.pdf
 |title       = When did Bayesian Inference Become ‘Bayesian’?
 |journal     = Bayesian Analysis
 |volume      = 1
 |issue       = 1
 |pages       = 1–40 [p. 5]
 |doi         = 10.1214/06-ba101
 |accessdate  = 14 липня 2015
 |archiveurl  = https://web.archive.org/web/20140910070556/http://ba.stat.cmu.edu/journal/2006/vol01/issue01/fienberg.pdf
 |archivedate = 10 вересня 2014
 |deadurl     = yes
}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140910070556/http://ba.stat.cmu.edu/journal/2006/vol01/issue01/fienberg.pdf |date= 10 вересня 2014 }} {{ref-en}}</ref>). Після 1920-х років «зворотну ймовірність» було значною мірою витіснено набором методів, що стали називати [[Частотницька статистика|частотницькою статистикою]].<ref name=Fienberg2006/>

У XX столітті ідеї Лапласа отримали подальший розвиток у двох різних напрямках, давши початок ''об'єктивній'' та ''суб'єктивній'' течіям у баєсовій практиці. «Теорія ймовірності» [[Гарольд Джеффріс|Гарольда Джеффріса]] (вперше опублікована 1939 року) відіграла важливу роль у відродженні баєсового погляду на ймовірність, з наступними працями [[Абрахам Вальд|Абрахама Валда]] (1950) та {{Не перекладено|Леонард Джиммі Севідж|Леонарда Севіджа||Leonard Jimmie Savage}} (1954). Сам прикметник ''баєсів'' сходить до 1950-х років; похідні ''баєсовизм'' та ''нео-баєсовизм'' викарбувано у 1960-х.<ref>«The works of [[Абрахам Вальд|Wald]], ''Statistical Decision Functions'' (1950) and {{Не перекладено|Леонард Джиммі Севідж|Savage||Leonard Jimmie Savage}}, ''The Foundation of Statistics'' (1954) are commonly regarded starting points for current Bayesian approaches»;
«Recent developments of the so-called Bayesian approach to statistics»
Marshall Dees Harris, ''Legal-economic research'', University of Iowa. Agricultural Law Center (1959), p. 125 (fn. 52); p. 126.

«This revolution, which may or may not succeed, is neo-Bayesianism. Jeffreys tried to introduce this approach, but did not succeed at the time in giving it general appeal.» ''Annals of the Computation Laboratory of Harvard University'' 31 (1962), p. 180.
«It is curious that even in its activities unrelated to ethics, humanity searches for a religion. At the present time, the religion being 'pushed' the hardest is Bayesianism.»
Oscar Kempthorne, 'The Classical Problem of Inference—Goodness of Fit', ''Proceedings of the Fifth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability'' (1967), [https://books.google.ch/books?id=IC4Ku_7dBFUC&pg=PA235#v=onepage&q&f=false p. 235] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150715020426/https://books.google.ch/books?id=IC4Ku_7dBFUC&pg=PA235#v=onepage&q&f=false |date=15 липня 2015 }}.</ref>
В об'єктивістській течії статистичний аналіз залежить лише від прийнятої моделі та аналізованих даних.<ref name=Bernardo>{{Не перекладено|Хосе-Мігель Бернардо|Bernardo, J.M.||José-Miguel Bernardo}} (2005), ''Reference analysis'', ''Handbook of statistics'', 25, 17–90 {{ref-en}}</ref> Потреба в залученні суб'єктивних рішень відсутня. На відміну від цього, «суб'єктивістські» статистики заперечують можливість повністю об'єктивного аналізу в загальному випадку.

У 1980-х роках було різке зростання наукових досліджень та застосувань баєсових методів, що здебільшого стосувалися відкриття [[Методи Монте-Карло марковських ланцюгів|методів Монте-Карло марковських ланцюгів]], які усунули чимало обчислювальних проблем та посилили зацікавленість у нестандартних, складних застосуваннях.<ref>Wolpert, R.L. (2004) ''A conversation with James O. Berger'', Statistical science, 9, 205—218 {{ref-en}}</ref> Попри ріст баєсових наукових досліджень, більшість початкового викладання й досі ґрунтується на частотницькій статистиці.<ref>{{Не перекладено|Хосе-Мігель Бернардо|Bernardo, José M.||José-Miguel Bernardo}} (2006) [http://www.ime.usp.br/~abe/ICOTS7/Proceedings/PDFs/InvitedPapers/3I2_BERN.pdf ''A Bayesian mathematical statistics primer''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20111110142927/http://www.ime.usp.br/~abe/ICOTS7/Proceedings/PDFs/InvitedPapers/3I2_BERN.pdf |date=10 листопада 2011 }}. ICOTS-7</ref>{{Джерело|дата=липень 2015}} Тим не менш, баєсові методи є широко визнаними та застосовуваними, наприклад, у галузі [[Машинне навчання|машинного навчання]].<ref name="ReferenceA">Bishop, C.M. ''Pattern Recognition and Machine Learning.'' Springer, 2007 {{ref-en}}</ref>

== Обґрунтування баєсових імовірностей ==

Використання баєсових ймовірностей як основи для [[Баєсове висновування|баєсового висновування]] підтримувалося кількома доведеннями, такими як {{Не перекладено|Теорема Кокса|аксіоми Кокса||Cox's theorem}}, {{Не перекладено|Голландська система ставок|доведенням голландської системи ставок||Dutch book}}, доведенням на базі [[Теорія рішень|теорії рішень]] та {{Не перекладено|Теорема де Фінетті|теоремою де Фінетті||de Finetti's theorem}}.

=== Аксіоматичний підхід ===

{{Не перекладено|Річард Кокс|||Richard Threlkeld Cox}} показав,<ref name = "vkdmsn" /> що баєсове уточнення слідує кільком аксіомам, включно з двома [[Функційне рівняння|функційними рівняннями]] та спірною гіпотезою диференційовності. Відомо, що розробка Кокса 1961 року (переважно скопійована {{Не перекладено|Едвін Томпсон Джейнс|Джейнсом||Edwin Thompson Jaynes}}) не є суворою, і насправді {{Не перекладено|Джозеф Галперн|Галперном||Joseph Halpern}} було знайдено контрприклад.<ref>Halpern, J. ''A counterexample to theorems of Cox and Fine'', Journal of Artificial Intelligence Research, 10: 67-85. {{ref-en}}</ref> Припущення про диференційовність чи навіть безперервність є сумнівним, оскільки булева алгебра виразів може бути лише скінченною.<ref name="rbp"/> Щоби зробити цю теорію суворішою, різними авторами було запропоновано інші аксіоматизації.<ref name="rbp" />

=== Підхід голландської системи ставок ===

Доведення голландської системи ставок, що запропонував де Фінетті, базується на парі. Система ставок є {{Не перекладено|Голландська система ставок|голландською||Dutch book}} тоді, коли вправний гравець укладає такий набір парі, що гарантує вигоду, не залежно від результатів парі. Якщо [[букмекер]] у побудові своїх шансів слідує правилам баєсового числення, то голландську систему ставок зробити неможливо.

Проте {{Не перекладено|Ян Хакінг|||Ian Hacking}} зауважив, що традиційні аргументи голландської системи ставок не визначали використання саме баєсового уточнення: вони залишили відкритою можливість, що не-баєсові правила уточнення можуть обходити голландську систему ставок. Наприклад, Хакінг пише<ref>Hacking (1967, Section 3, page 316), Hacking (1988, page 124) {{ref-en}}</ref>, що

{{Цитата|Й ані аргумент голландської системи ставок, ані жоден інший в арсеналі доказів ймовірнісних аксіом [[Персоналізм|персоналістів]] не тягне за собою динамічного припущення. Жоден не тягне за собою баєсовизму. Тому персоналістові потрібно, щоби динамічне припущення було баєсовим. Це є правда, що в послідовності персоналіст може відмовитися від байєсової моделі навчання на досвіді. Сіль може втратити свій смак.
{{oq|en|And neither the Dutch book argument, nor any other in the personalist arsenal of proofs of the probability axioms, entails the dynamic assumption. Not one entails Bayesianism. So the personalist requires the dynamic assumption to be Bayesian. It is true that in consistency a personalist could abandon the Bayesian model of learning from experience. Salt could lose its savour.}}
}}

Насправді, існують не-баєсові правила уточнення, що також обходять голландську систему ставок (як обговорюється в літературі про «кінематику ймовірностей» після публікації правила {{Не перекладено|Річард Джефрі|Річарда Джефрі||Richard Jeffrey}}, що й саме розглядається як баєсове<ref>{{cite web|url=http://plato.stanford.edu/entries/bayes-theorem/|title=Bayes' Theorem|work=stanford.edu|accessdate=15 липня 2015|archive-date=28 квітня 2019|archive-url=https://web.archive.org/web/20190428200338/https://plato.stanford.edu/entries/bayes-theorem/}} {{ref-en}}</ref>). Додаткові гіпотези, достатні для (однозначного) вказання баєсового уточнення, є значними, складними та незадовільними.<ref>{{Не перекладено|Бас ван Фрасен|van Frassen, B.||Bas van Fraassen}} (1989) ''Laws and Symmetry'', Oxford University Press. ISBN 0-19-824860-1 {{ref-en}}</ref>

=== Підхід теорії рішень ===

Обґрунтування статистичної [[Теорія рішень|теорії рішень]] використання баєсового висновування (і відтак баєсових імовірностей) було запропоновано [[Абрахам Вальд|Абрахамом Валдом]], який довів, що кожна {{Не перекладено|Прийнятне правило рішення|прийнятна||Admissible decision rule}} статистична процедура є або баєсовою процедурою, або границею баєсових процедур.<ref>Wald, Abraham. ''Statistical Decision Functions.'' Wiley 1950. {{ref-en}}</ref> І навпаки, кожна баєсова процедура є {{Не перекладено|Прийнятне правило рішення|прийнятною||Admissible decision rule}}.<ref>Bernardo, José M., Smith, Adrian F.M. ''Bayesian Theory.'' John Wiley 1994. ISBN 0-471-92416-4. {{ref-en}}</ref>

== Особисті ймовірності та об'єктивні методи побудови апріорних ==

Після праці [[Френк Ремзі|Ремзі]] та [[Джон фон Нейман|фон Неймана]] про [[Оптимальне рішення|теорію]] [[Теорія очікуваної корисності|очікуваної корисності]] фахівці з теорії рішень пояснили [[Оптимальне рішення|раціональну поведінку]] із використанням розподілу ймовірності для [[Агентне моделювання|агента]]. Йоган Пфанцагль завершив «{{Не перекладено|Теорія ігор та економічної поведінки|Теорію ігор та економічної поведінки||Theory of Games and Economic Behavior}}», запропонувавши аксіоматизацію суб'єктивної ймовірності та корисності&nbsp;— завдання, залишене незавершеним фон Нейманом та [[Оскар Морґенштерн|Оскаром Морґенштерном]]: їхня первісна теорія для зручності передбачала, що всі агенти мають однаковий розподіл ймовірностей.<ref>Pfanzagl (1967, 1968)</ref> Аксіоматизацію Пфанцагля було схвалено Оскаром Морґенштерном: «Фон Нейман та я передбачили» питання, чи ймовірності «могли би, можливо типовіше, бути суб'єктивними, та конкретно заявили, що в останньому випадку може бути знайдено аксіоми, з яких могло би бути виведено бажану числову корисність разом зі значеннями ймовірностей (пор. с. 19 {{Не перекладено|Теорія ігор та економічної поведінки|Теорії ігор та економічної поведінки||Theory of Games and Economic Behavior}}). Ми не довершували це; це було продемонстровано Пфанцаглем… з усією необхідною суворістю».<ref>Morgenstern (1976, С. 65) {{ref-en}}</ref>

Ремзі та {{Не перекладено|Леонард Джиммі Севідж|Севідж||Leonard Jimmie Savage}} зауважили, що розподіли ймовірностей окремих агентів може бути об'єктивно вивчено в експериментах. Роль обґрунтування й незгоди в науці визнавалася починаючи з [[Аристотель|Аристотеля]], і ще ясніше за [[Френсіс Бекон|Френсіса Бекона]]. Об'єктивність науки полягає не в психології окремих науковців, але в самому процесі науки, та особливо у статистичних методах, як зауважив [[Чарлз Сандерс Пірс|Ч. Пірс]].<ref>{{cite journal |last=Stigler |first=Stephen M. |year=1978 |authorlink=Стівен Стіглер |title=Mathematical statistics in the early States |journal=Annals of Statistics |volume=6 |issue=March |pages=239–265 esp. p. 248 |publisher= |doi=10.1214/aos/1176344123 |jstor=2958876 |mr=483118 |url=http://projecteuclid.org/euclid.aos/1176344123 |accessdate= |ref=harv |archive-date=20 липня 2015 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150720201101/http://projecteuclid.org/euclid.aos/1176344123 }} {{ref-en}}</ref> Нагадуємо, що, об'єктивні методи спростування припущень про особисті ймовірності використовувалися протягом півстоліття, як було зауважено вище. Процедури [[Перевірка статистичних гіпотез|перевірки гіпотез]] про ймовірності (з використанням скінченних проб) завдячують [[Френк Ремзі|Ремзі]] (1931) та {{Не перекладено|Бруно де Фінетті|де Фінетті||Bruno de Finetti}} (1931, 1937, 1964, 1970). Як {{Не перекладено|Бруно де Фінетті|||Bruno de Finetti}}, так і [[Френк Ремзі]] визнають{{Джерело|дата=липень 2015}} свій борг перед {{Не перекладено|Прагматична філософія|прагматичною філософією||Pragmatic philosophy}}, зокрема (для Ремзі) перед [[Чарлз Сандерс Пірс|Чарлзом Пірсом]].

«Перевірка Ремзі» для оцінювання розподілів ймовірності є теоретично реалізовною, і вона займала експериментальних психологів протягом півстоліття.<ref>Davidson et al. (1957) {{ref-en}}</ref> Ця праця показує, що баєсово-ймовірнісні припущення можливо [[Спростовність|спростовувати]], і отже вони відповідають емпіричному критерієві [[Чарлз Сандерс Пірс|Чарлза Пірса]], чия праця надихнула Ремзі. (Цей критерій [[Спростовність|спростовності]] було популяризовано [[Карл Поппер|Карлом Поппером]].<ref>[http://plato.stanford.edu/entries/popper/#ProDem «Karl Popper» in ''Stanford Encyclopedia of Philosophy''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070627013103/http://plato.stanford.edu//entries///popper/#ProDem |date=27 червня 2007 }} {{ref-en}}</ref><ref>Popper, Karl. (2002) [https://books.google.com/books?id=T76Zd20IYlgC&printsec=frontcover&dq=logic+of+scientific+discovery&source=bl&ots=eGfU8COmAA&sig=W8TTt29x5sG8aCGpYuWnonDFH8M&hl=en&ei=crC3TJKND46ssAPp06jkCA&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=3&ved=0CCAQ6AEwAg#v=onepage&q=falsifiability&f=false ''The Logic of Scientific Discovery''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150915134752/https://books.google.com/books?id=T76Zd20IYlgC&printsec=frontcover&dq=logic+of+scientific+discovery&source=bl&ots=eGfU8COmAA&sig=W8TTt29x5sG8aCGpYuWnonDFH8M&hl=en&ei=crC3TJKND46ssAPp06jkCA&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=3&ved=0CCAQ6AEwAg#v=onepage&q=falsifiability&f=false|date=15 вересня 2015}} 2nd Edition, Routledge ISBN 0-415-27843-0 (Reprint of 1959 translation of 1935 original) Page 57. {{ref-en}}</ref>)

Сучасні праці над експериментальною оцінкою особистих ймовірностей використовують [[Рандомізація|рандомізацію]], [[Подвійно сліпе дослідження|сліпий метод]] та процедури булевих рішень експерименту Пірса-{{Не перекладено|Джозеф Ястров|Ястрова||Joseph Jastrow}}.<ref>Peirce & Jastrow (1885) {{ref-en}}</ref> Оскільки особи діють відповідно до різних оцінок ймовірності, ці ймовірності агентів є «особистими» (проте придатними до об'єктивного вивчення).

Особисті ймовірності є проблематичними для науки та деяких застосувань, у яких ухвалювачам рішень бракує знань або часу для визначення обґрунтованого розподілу ймовірності (на підставі якого вони готуються діяти). Щоби відповідати потребам науки та людським обмеженням, баєсові статистики розробили «об'єктивні» методи визначення апріорних ймовірностей.

Справді, деякі баєсівці стверджують, що апріорний стан знання визначає єдиний (унікальний) апріорний розподіл ймовірності для «звичайних» статистичних задач; пор. з [[Коректно поставлена задача|коректно поставленими задачами]]. Знаходження правильного методу побудови таких «об'єктивних» апріорних (для відповідних класів звичайних задач) було предметом пошуку теоретиків статистики від Лапласа до [[Джон Мейнард Кейнс|Джона Кейнса]], [[Гарольд Джеффріс|Гарольда Джеффріса]] та {{Не перекладено|Едвін Томпсон Джейнс|Едвіна Джейнса||Edwin Thompson Jaynes}}: теоретики та їхні послідовники запропонували декілька методів для побудови «об'єктивних» апріорних:

* {{Не перекладено|Принцип максимальної ентропії|Максимальна ентропія||Principle of maximum entropy}}
* [[Міра Хаара|Аналіз груп перетворень]]
* {{Не перекладено|Хосе-Мігель Бернардо|Аналіз еталонів||José-Miguel Bernardo}}

Кожен із цих методів вносить корисні апріорні для «звичайних» однопараметрових задач, і кожне апріорне може впоруватися з декількома складними [[Статистична модель|статистичними моделями]] (з «нерегулярністю», або з декількома параметрами). Кожен із цих методів був корисним у баєсовій практиці. Справді, методи побудови «об'єктивних» (або ж «стандартних», або «необізнаних») апріорних було розроблено видатними суб'єктивістськими (або «персоналістськими») баєсівцями, такими як {{Не перекладено|Джим Бергер (статистик)|Джеймс Бергер||Jim Berger (statistician)}} ([[Дюкський університет]]) та {{Не перекладено|Хосе-Мігель Бернардо|||José-Miguel Bernardo}} ([[Університет Валенсії]]), просто тому, що такі апріорні потрібні для баєсового застосування, зокрема в науці.<ref name="refa">Bernardo, J. M. (2005). [http://www.uv.es/~bernardo/RefAna.pdf ''Reference Analysis''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20151123074337/http://www.uv.es/~bernardo/RefAna.pdf |date=23 листопада 2015 }}. ''Handbook of Statistics'' 25 (D. K. Dey and C. R. Rao eds). Amsterdam: Elsevier, 17-90 {{ref-en}}</ref> Пошук «універсального методу побудови апріорних» продовжує приваблювати статистичних теоретиків.<ref name="refa" />

Отже, баєсів статистик потребує або використання обґрунтованих апріорних (із застосуванням відповідного досвіду або попередніх даних), або вибору серед конкуруючих методів побудови «об'єктивних» апріорних.

== Баєсове середнє ==

'''Ба́єсове сере́днє''' є методом оцінювання [[Середнє значення|середнього значення]] вибірки згідно з баєсовою інтерпретацією, де замість оцінювання середнього суворо з будь-яких або всіх доступних даних набору до обчислення може також бути включено іншу наявну інформацію, пов'язану із цим набором даних, з метою мінімізації впливу великих відхилень, або для заявлення стандартного значення, якщо набір даних є малим.

Обчислення баєсового середнього включає апріорне середнє ''m'' та сталу ''C''. Сталій ''C'' встановлюється значення, пропорційне типовому розмірові набору даних. Це значення є більшим, коли очікувані відхилення між наборами даних (у межах більшої вибірки) є малими. Воно є меншим, коли очікується, що набори даних значно різнитимуться один від одного.

: <math> \bar{x} = {Cm + \sum_{i=1}^n{x_i} \over C + n}  </math><ref>{{cite journal | title = Combining Prestige and Relevance Ranking for Personalized Recommendation | last1 = Yang | first1 = Xiao | last2 = Zhang | first2 = Zhaoxin | date = 2013 | journal = Proceedings of the 22nd ACM international conference on information & knowledge management (CIKM) | doi = 10.1145/2505515.2507885 | pages = 1877–1880 }} {{ref-en}}</ref>

== Див. також ==

* [[Парадокс Бертрана (теорія ймовірностей)|Парадокс Бертрана]]&nbsp;— парадокс у класичній імовірності, розв'язаний {{Не перекладено|Едвін Томпсон Джейнс|Е.&nbsp;Джейнсом||Edwin Thompson Jaynes}} у контексті баєсової ймовірності
* {{Не перекладено|Гра де Фінетті|||De Finetti's game}}&nbsp;— процедура оцінки чиєїсь суб'єктивної ймовірності
* [[КуБізм]]&nbsp;— дискусійне застосування баєсових імовірностей до [[Квантова механіка|квантової механіки]]
* [[Невизначеність]]
* «{{Не перекладено|Есе щодо розв'язання задачі у Доктрині шансів|||An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances}}»

== Примітки ==

{{Reflist|2}}

== Література ==

* {{Cite book|author={{Не перекладено|Джим Бергер (статистик)|Berger, James O.||Jim Berger (statistician)}}| title=Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis| edition=II|year=1985| publisher=Springer-Verlag|series=Springer Series in Statistics|isbn=0-387-96098-8}} {{ref-en}}
* {{cite book|last=Bessière|first=Pierre|title=Bayesian Programming|year=2013|publisher=CRC Press|isbn=9781439880326 |author2=Mazer, E. |author3=Ahuacatzin, J-M |author4=Mekhnacha, K.}} {{ref-en}}
* {{Cite book|title=Bayesian Theory|publisher=Wiley|year=1994|isbn=0-471-49464-X|authorlink1=Хосе-Мігель Бернардо|last1=Bernardo|first1=José&nbsp;M.|authorlink2=Адріан Сміт (статистик)|last2=Smith|first2=Adrian F.&nbsp;M.}} {{ref-en}}
* {{Cite book
|last1=Bickel|first1=Peter J.|last2=Doksum|first2=Kjell A.|authorlink1=Пітер Бікель|title=Mathematical statistics, Volume&nbsp;1: Basic and selected topics|edition=II (оновлений передрук 2007) Holden-Day&nbsp;1976| mr=443141|year=2001|publisher=Pearson Prentice–Hall|isbn=0-13-850363-X|ref=harv}} {{ref-en}}
* {{Cite book| authorlink1=Дональд Девідсон (філософ)|first1=Donald |last1=Davidson|authorlink2=Патрік Супіс|first2=Patrick|last2=Suppes|authorlink3=Сідні Зігель|first3=Sidney|last3=Siegel| title=Decision-Making: An Experimental Approach|publisher=[[Stanford University Press]]|year=1957}} {{ref-en}}
* {{Не перекладено|Бруно де Фінетті|de&nbsp;Finetti, Bruno||Bruno de Finetti}}. "Probabilism: A Critical Essay on the Theory of Probability and on the Value of Science, " (переклад статті 1931 року) в ''Erkenntnis,'' volume 31, вересень 1989. {{ref-en}}
* de&nbsp;Finetti, Bruno (1937) "La Prévision: ses lois logiques, ses sources subjectives, " Annales de l'Institut Henri Poincaré, {{ref-fr}}
* de&nbsp;Finetti, Bruno. "Foresight: its Logical Laws, Its Subjective Sources, " (переклад франкомовної [http://www.numdam.org/item?id=AIHP_1937__7_1_1_0 статті 1937 року] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150721175003/http://www.numdam.org/item?id=AIHP_1937__7_1_1_0 |date=21 липня 2015 }}) в H. E. Kyburg та H. E. Smokler (eds), ''Studies in Subjective Probability,'' New York: Wiley, 1964. {{ref-en}}
* de&nbsp;Finetti, Bruno (1974–5). ''Theory of Probability. A Critical Introductory Treatment'', (переклад A.Machi та {{Не перекладено|Адріан Сміт (статистик)|AFM Smith||Adrian Smith (statistician)}} книги 1970 року) 2 томи. Wiley ISBN 0-471-20141-3, ISBN 0-471-20142-1 {{ref-en}}
* {{Не перекладено|Морріс ДеҐрут|DeGroot, Morris||Morris H. DeGroot}} (2004) ''Optimal Statistical Decisions''. Wiley Classics Library. (спочатку опубліковано 1970 року.) ISBN 0-471-68029-X. {{ref-en}}
* {{cite journal|doi=10.1086/288169|title=Slightly More Realistic Personal Probability|url=https://archive.org/details/sim_philosophy-of-science_1967-12_34_4/page/311|first=Ian|last=Hacking| authorlink=Ян Хакінг | journal=Philosophy of Science | volume=34 | issue=4|date=December 1967 | pages=311–325 | jstor=186120}} Частково передруковано у: {{Не перекладено|Пітер Гарденфорс|Gärdenfors, Peter||Peter Gärdenfors}} та Sahlin, Nils-Eric. (1988) ''Decision, Probability, and Utility: Selected Readings''. 1988. Cambridge University Press. ISBN 0-521-33658-9 {{ref-en}}
* Hajek, A. and Hartmann, S. (2010): «Bayesian Epistemology», in: Dancy, J., Sosa, E., Steup, M. (Eds.) (2001) ''A Companion to Epistemology'', Wiley. ISBN 1-4051-3900-5 [https://web.archive.org/web/20110728055439/http://stephanhartmann.org/HajekHartmann_BayesEpist.pdf Preprint] {{ref-en}}
* {{Cite book |last=Hald |first=Anders |authorlink=Андерс Гальд |title=A History of Mathematical Statistics from 1750 to 1930 |year=1998 |publisher=Wiley |location=New York |isbn=0-471-17912-4 |page= |pages= |url= }} {{ref-en}}
* Hartmann, S. and Sprenger, J. (2011) «Bayesian Epistemology», in: Bernecker, S. and Pritchard, D. (Eds.) (2011) ''Routledge Companion to Epistemology''. Routledge. ISBN 978-0-415-96219-3 ([https://web.archive.org/web/20110728055519/http://stephanhartmann.org/HartmannSprenger_BayesEpis.pdf Preprint]) {{ref-en}}
* {{springer|title=Bayesian approach to statistical problems|id=p/b015390}} {{ref-en}}
* {{Cite book| title=Scientific Reasoning: the Bayesian Approach| authorlink1=Колін Хаусон|last1=Howson|first1=C.|last2=Urbach|first2=P.| publisher={{Не перекладено|Open Court Publishing Company}}| year=2005| edition=3rd | isbn=978-0-8126-9578-6}} {{ref-en}}
* {{Не перекладено|Едвін Томпсон Джейнс|Jaynes E.T.||Edwin Thompson Jaynes}} (2003) ''Probability Theory: The Logic of Science'', CUP. ISBN 978-0-521-59271-0 ([http://www-biba.inrialpes.fr/Jaynes/prob.html Посилання на фрагментарне видання березня 1996 року] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20201108171426/http://www-biba.inrialpes.fr/Jaynes/prob.html |date=8 листопада 2020 }}). {{ref-en}}
* McGrayne, SB. (2011). ''The Theory That Would Not Die: How Bayes' Rule Cracked The Enigma Code, Hunted Down Russian Submarines, & Emerged Triumphant from Two Centuries of Controversy.'' New Haven: Yale University Press. ISBN 9780300169690/ISBN 0300169698; [http://www.worldcat.org/title/theory-that-would-not-die-how-bayes-rule-cracked-the-enigma-code-hunted-down-russian-submarines-emerged-triumphant-from-two-centuries-of-controversy/oclc/670481486  OCLC 670481486] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190222204748/http://www.worldcat.org/title/theory-that-would-not-die-how-bayes-rule-cracked-the-enigma-code-hunted-down-russian-submarines-emerged-triumphant-from-two-centuries-of-controversy/oclc/670481486 |date=22 лютого 2019 }} {{ref-en}}
* {{Cite book|author=[[Оскар Морґенштерн|Morgenstern, Oskar]]|year=1978|publisher=New York University Press|chapter=Some Reflections on [[Очікувана корисність|Utility]]|pages=65–70|title=Selected Economic Writings of Oskar Morgenstern|editor=Andrew Schotter|isbn=978-0-8147-7771-8}} {{ref-en}}
* {{cite journal|author=[[Чарлз Сандерс Пірс|Peirce, C.S.]] and {{Не перекладено|Джозеф Ястров|Jastrow J.||Joseph Jastrow}}|year=1885|title=On Small Differences in Sensation|journal=Memoirs of the National Academy of Sciences|volume=3|pages=73–83|url=http://psychclassics.yorku.ca/Peirce/small-diffs.htm|accessdate=18 липня 2015|archive-date=9 червня 2019|archive-url=https://web.archive.org/web/20190609111346/http://psychclassics.yorku.ca/Peirce/small-diffs.htm}} {{ref-en}}
* {{Cite book|author=Pfanzagl, J|year=1967|publisher=Princeton University Press|chapter=Subjective Probability Derived from the Morgenstern-von Neumann Utility Theory|pages=[https://archive.org/details/essaysinmathemat0000shub/page/237 237]–251|title=Essays in Mathematical Economics In Honor of Oskar Morgenstern|url=https://archive.org/details/essaysinmathemat0000shub|editor={{Не перекладено|Мартін Шубик|||Martin Shubik}} }} {{ref-en}}
* {{Cite book|author=Pfanzagl, J. in cooperation with V.&nbsp;Baumann and H.&nbsp;Huber |year=1968 |publisher=Wiley|chapter=Events, Utility and Subjective Probability| pages=[https://archive.org/details/theoryofmeasurem0000jpfa/page/195 195]–220| title=Theory of Measurement|url=https://archive.org/details/theoryofmeasurem0000jpfa }} {{ref-en}}
* [[Френк Ремзі|Ramsey, Frank Plumpton]] (1931) «Truth and Probability» ([https://web.archive.org/web/20150721180845/http://cepa.newschool.edu/het//texts/ramsey/ramsess.pdf  PDF]), Chapter VII in ''The Foundations of Mathematics and other Logical Essays'', передруковано 2001 року, Routledge. ISBN 0-415-22546-9, {{ref-en}}
* {{Cite book
 | author = Stigler, SM.
 | authorlink = Стівен Стіглер
 | year = 1990
 | title = The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty before 1900
 | publisher = Belknap Press/Harvard University Press
 | isbn = 0-674-40341-X
}} {{ref-en}}
* Stigler, SM. (1999) ''Statistics on the Table: The History of Statistical Concepts and Methods''. Harvard University Press. ISBN 0-674-83601-4 {{ref-en}}
* Stone, JV (2013). Завантаження розділу 1 книги [http://jim-stone.staff.shef.ac.uk/BookBayes2012/BayesRuleBookMain.html «Bayes’ Rule: A Tutorial Introduction to Bayesian Analysis»] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150722013541/http://jim-stone.staff.shef.ac.uk/BookBayes2012/BayesRuleBookMain.html |date=22 липня 2015 }}, Sebtel Press, England. {{ref-en}}
* {{cite book |author=Winkler, RL |title=Introduction to Bayesian Inference and Decision |publisher=Probabilistic |year=2003 |isbn=0-9647938-4-9 |edition=2nd  }} Оновлений класичний підручник. Чітко представлено баєсову теорію. {{ref-en}}

== Посилання ==
* Lin, Hanti, "Bayesian Epistemology", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2022 Edition), Edward N. Zalta & Uri Nodelman (eds.), URL = <https://plato.stanford.edu/archives/fall2022/entries/epistemology-bayesian/>.

{{нк}}

[[Категорія:Баєсова статистика|Ймовірність]]
[[Категорія:Інтерпретації ймовірності]]
[[Категорія:Філософія математики]]
[[Категорія:Філософія науки]]