Перегляд вихідного коду сторінки Афінне перетворення

'''Афінне перетворення''' ({{lang-la|affinis}}, «пов'язаний з») — відображення площини або простору в собі, при якому паралельні прямі переходять у паралельні прямі, пересічні — в пересічні, мимобіжні — в мимобіжні (<math>f:\R^n\to \R^n</math>).

Це можна записати у вигляді
: <math>f(x) = M \cdot x + v,</math>
де <math>M</math> — [[невироджена матриця]] і <math>v\in \mathbb{R}^{n}</math>.

Інакше кажучи, відображення називається афінним, якщо його можна отримати таким способом:
# Обрати «новий» [[Базис (математика)|базис]] простору з «новим» [[початок координат|початком координат]] ''<math>v</math>'';
# Координатам ''x'' кожної точки простору поставити у відповідність нові координати ''f'' (''x''), які мають те саме положення в просторі відносно «нової» системи координат, яке координати ''x'' мали в «старій».

== Представлення ==
Зазвичай [[лінійна алгебра]] використовує матриці для представлення [[лінійне перетворення|лінійних перетворень]], і векторну суму для представлення [[Паралельне перенесення|паралельних перенесень]]. За допомогою [[Розширена матриця|розширеної матриці]] можливо представити і те, і те як матричний добуток. Ця техніка вимагає розширити всі вектори додаванням «1» в кінці, всі матриці розширюються додаванням рядка нулів знизу, і колонки — вектора переноса — справа, а також одиниці в нижній правий кут. Якщо ''A'' матриця,

:<math>
\begin{bmatrix} \vec{y} \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & \vec{b} \ \\ 0, \ldots, 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \vec{x} \\ 1 \end{bmatrix}
</math>

те саме, що

:<math>
\vec{y} = A \vec{x} + \vec{b}.
</math>

Таке представлення показує набір оборотних афінних перетворень як [[напівпрямий добуток]] ''K''<sup>''n''</sup> і GL(''n'', ''k''). Афінні перетворення утворюють [[група (алгебра)|групу]] щодо операції [[композиція відображень|композиції відображень]]. Ця група називається афінною групою.

Зазвичай матрично-векторний добуток завжди відображає початок координат на початок координат, і, таким чином, не може представляти перенесення, яке обов'язково переносить початок координат в іншу точку. Додаванням «1» до кожного вектора, вважаємо простір відображенним на підмножину простору з одним додатковим виміром. В цьому просторі, початковий простір займає підмножину в якій останній індекс 1. Таким чином початок координат початкового простору буде знаходитися в (0,0, … 0, 1). Перенесення всередині початкового простору в термінах лінійного перетворення простору з більшою кількістю вимірів стає можливим. Це є приклад [[однорідні координати|однорідних координат]].

Перевагою використання однорідних координат є те, що можливо комбінувати будь-яку кількість перетворень в одне шляхом перемноження матриць. Ця можливість використовується графічними програмами.

== Властивості ==

[[Файл:Fractal fern explained.png|thumb|right|200px|Зображення папороті, яке демонструє афінну [[самоподібність]]]]

* При афінному перетворені [[пряма]] переходить в пряму.
** Якщо [[розмірність простору]] <math>{n}\ge 2</math>, то будь-яке перетворення простору (тобто [[бієкція]] простору на себе), яке переводить прямі в прямі, є афінним. Це визначення використовується в [[аксіома]]тичній побудові [[афінна геометрія|афінної геометрії]]
* Окремим випадком афінних перетворень є [[ізометрія (математика)|ізометрії]] та [[перетворення подібності]].
* Афінні перетворення утворюють [[Група (математика)|групу]] відносно [[Композиція функцій|композиції]].
* Окремим випадком перспективної колінеації є перспективно-афінна відповідність плоских полей, встановлена паралельним проектуванням. Ці властивості паралельного проектування дозволяють встановити ті співвідношення між окремими елементами предмету, які відображаються при кресленні, тобто є інваріантами перетворення паралельним проектуванням. 

== Типи афінних перетворень ==
* '''Вільноафінне перетворення''' — афінне перетворення, що не має інваріантних точок. 
*'''Еквіафінне перетворення''' — афінне перетворення, що зберігає [[площа|площу]].
*'''Перспективноафінне перетворення''' — афінне перетворення, що має принаймні дві інваріантні точки.
* '''Центроафінне перетворення''' — афінне перетворення, що зберігає початок координат.

== Варіації і узагальнення ==
* В наведенному вище визначенні афінного перетворення можна використовувати будь-яке [[Поле (алгебра)|поле]], а не тільки поле [[Дійсні числа|дійсних чисел]] <math>\R</math>.
* Відображення між [[метричний простір|метричними просторами]] називають афінним, якщо воно переводить [[Геодезична лінія|геодезичні лінії]] в геодезичні лінії (з урахуванням [[Параметризація (геометрія)|параметризації]]).
* Афінні перетворення простору <math>\R^n</math> є підмножиною [[проективне перетворення|проективних перетворень]] того ж простору. В свою чергу, проективні перетворення простору <math>\R^n</math> можна представити як афінні перетворення простору <math>\R^{n+1}</math>.

== Посилання ==

* {{MathWorld | urlname=AffineTransformation | title=Афінне перетворення}}

{{Перекласти|en|Affine transformation|дата=листопад 2021}}

[[Категорія:Афінна геометрія]]
[[Категорія:Лінійна алгебра]]
[[Категорія:Перетворення простору]]