Перегляд вихідного коду сторінки Арифметична прогресія простих чисел

В [[Теорія чисел|теорії чисел]], '''арифметична прогресія простих чисел''' — це будь-яка [[послідовність]] як мінімум трьох простих чисел, що утворюють [[Арифметична прогресія|арифметичну прогресію]]. Наприклад, послідовність простих 3, 7, 11 є арифметичною прогресією трьох простих із фіксованою різницею 4.

Згідно з [[Теорема Ґріна — Тао|теоремою Ґріна — Тао]], існує арифметична прогресія простих чисел довільної довжини. Деколи ця фраза може використовуватись для простих чисел, які належать до арифметичної прогресії, яка містить також [[Складене число|складені числа]]. Наприклад, коли кажуть про прості числа в арифметичній прогресії виду <math>an + b</math>, де ''a'' та ''b'' є взаємно-простими, яка, згідно [[Теорема Діріхле про арифметичні прогресії|теореми Діріхле про арифметичні прогресії]] містить нескінченно багато простих чисел посеред нескінченно багато складених.

Для [[Цілі числа|цілих чисел]] ''k'' ≥ 3, '''AP-''k''''' (також позначаються як '''PAP-''k''''' (Primes in Arithmetic Progression)) — це послідовність ''k'' простих в арифметичній прогресії. AP-''k'' може бути записане як ''k'' простих чисел виду ''a''·''n'' + ''b'' для фіксованих цілих ''a'' (називається спільною різницею) та ''b'', і ''k'' послідовних цілих значень ''n''. Зазвичай під AP-''k'' розуміється ''n'' від 0 до ''k''&nbsp;&minus;&nbsp;1. Цього завжди можна досягти, якщо покласти у якості ''b'' перше просте з арифметичної прогресії.

Арифметичну прогресію простих 3, 7, 11, що наведено вище, можна записати як AP-3 у вигляді 3+4·''n'' для ''n''=0,1,2.

n=0; 3+4·0 = 3+0 = 3

n=1; 3+4·1 = 3+4 = 7

n=2; 3+4·2 = 3+8 = 11

Іншим прикладом арифметичної прогресії простих є AP-10 виду 199+210·''n'' для ''n''=0..9. Вона продукує наступну послідовність простих: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089.

== Мінімальні прості в АП ==
Мінімізуючи останній член прогресії.<ref>[https://oeis.org/A133277 OEIS sequence A133277]</ref>

{| class="wikitable"
|+ Мінімальна AP-''k''
|-
! ''k'' !! Прості для ''n'' від 0 до ''k''&minus;1
|-
! 3
| 3 + 2''n''
|-
! 4
| 5 + 6''n''
|-
! 5
| 5 + 6''n''
|-
! 6
| 7 + 30''n''
|-
! 7
| 7 + 150''n''
|-
! 8
| 199 + 210''n''
|-
! 9
| 199 + 210''n''
|-
! 10
| 199 + 210''n''
|-
! 11
| 110437 + 13860''n''
|-
! 12
| 110437 + 13860''n''
|-
! 13
| 4943 + 60060''n''
|-
! 14
| 31385539 + 420420''n''
|-
! 15
| 115453391 + 4144140''n''
|-
! 16
| 53297929 + 9699690''n''
|-
! 17
| 3430751869 + 87297210''n''
|-
! 18
| 4808316343 + 717777060''n''
|-
! 19
| 8297644387 + 4180566390''n''
|-
! 20
| 214861583621 + 18846497670''n''
|-
! 21
| 5749146449311 + 26004868890''n''
|}

== Найбільші відомі прості в АП ==
Для простого ''q'', ''q''# позначає [[прайморіал]] 2·3·5·7·...·''q''.

{{As of|2019|9}}, дайдовшою відомою AP-''k'' є AP-27. 23 вересня 2019 року у підпроєкті AP27 проєкту [[PrimeGrid]] було знайдено першу відому арифметичну прогресію 27 простих чисел:
:224584605939537911+81292139*23#*''n'' для ''n''=0..26 ({{OEIS|id=A327760}}), де 23#=2·3·5·7·11·13·17·19·23=223092870

Відомо декілька прикладів AP-26. Вперше AP-26 було знайдено 12 квітня 2010 року у підпроєкті AP26 проєкту PrimeGrid.
:43142746595714191 + 23681770·23#·''n'', для ''n''=0..25 ({{OEIS|id=A204189}})

== Див. також ==
* [[Арифметична прогресія]]
* [[Теорема Діріхле про арифметичні прогресії]]
* [[PrimeGrid]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Література ==
* Chris Caldwell, [http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=ArithmeticSequence ''The Prime Glossary: arithmetic sequence''], [http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=14 ''The Top Twenty: Arithmetic Progressions of Primes''] and [http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=13 ''The Top Twenty: Consecutive Primes in Arithmetic Progression'']
* {{MathWorld|title=Prime Arithmetic Progression|urlname=PrimeArithmeticProgression}}
* Jarosław Wróblewski, [http://www.math.uni.wroc.pl/~jwr/AP26/AP26v3.pdf ''How to search for 26 primes in arithmetic progression?'']
* [[Paul Erdős|P. Erdős]] and P. Turán, On some sequences of integers, J. London Math. Soc. 11 (1936), 261–264.

[[Категорія:Прості числа]]