Перегляд вихідного коду сторінки Арифметична комбінаторика

'''Арифмети́чна комбінато́рика'''&nbsp;— міждисциплінарна галузь математики, що вивчає залежність між структурами, що утворюються в [[Поле (алгебра)|полі]] (рідше&nbsp;— в [[Кільце (алгебра)|кільці]]) операцією додавання і операцією множення.

Підхід до поняття структури тут аналогічний [[Адитивна комбінаторика|адитивній комбінаториці]] і ґрунтується переважно на розмірі [[Множина сум|множини сум]] (або добутків), [[Адитивна енергія|адитивної (або мультиплікативної) енергії]] та різних їх комбінаціях. Як поле зазвичай розглядають [[Дійсне число|дійсні]] чи [[Раціональне число|раціональні]] числа (<math>{\mathbb R}</math>, <math>{\mathbb Q}</math>) та [[Модульна арифметика|остачі]] за [[Просте число|простим]] модулем (<math>{\mathbb F}_p</math>).

== Неоднозначність термінології та предмет статті ==
Адитивна й арифметична комбінаторика&nbsp;— молоді науки, що активно розвиваються. Їхні методи та способи постановки завдань дуже схожі, тому, як правило, адитивну комбінаторику вважають частиною арифметичної<ref>Протилежне хибне, оскільки слово «адитивна» утворено від {{lang-en|addition}} (додавання), його вживання точно не доречне для предмета цієї статті. Наприклад, {{нп|Бен Грін|Грін||Ben Green (mathematician)}} у [http://www.ams.org/bull/2009-46-03/S0273-0979-09-01231-2/S0273-0979-09-01231-2.pdf рецензії] на монографію [[Теренс Тао|Тао]], починаючи мову про теорему сум-добутків, зауважує, що відхиляється від визначення адитивної комбінаторики («Though I am shyingaway from a definition of additive combinatorics…»).</ref>. У цій статті описано лише теми, що містять у тому чи іншому вигляді обидві операції поля або зворотні до них, тобто які не належать до [[Адитивна комбінаторика|суто адитивної комбінаторики]] (хоча остання становить значну частину арифметичної).

Крім того, тут не порушуються питання про адитивно-комбінаторні властивості [[Мультиплікативна група кільця лишків за модулем n|мультиплікативних]] [[Підгрупа|підгруп]] <math>{\mathbb F}_p^{*}</math> і пов'язаних з ними множин, оскільки, хоча їх визначення пов'язане зі множенням, але їхня мультиплікативна структура жорстко зафіксована, а комбінаторна складова цієї науки передбачає ту чи іншу спільність щодо ступеня структурованості (хоча б із параметром, що виступає в ролі константи).

== Мотивація ==
Розвиток арифметичної комбінаторики значною мірою мотивований появою [[Теорема сум-добутків|теореми сум-добутків]], яка говорить про неодмінне розростання множини від застосування до неї або комбінаторного підсумовування, або перемноження, тобто однієї з двох операцій:

: <math>A + A = \left\lbrace{a_1 + a_2 : a_1, a_2 \in A}\right\rbrace</math>

: <math>A \times A = \left\lbrace{a_1 \cdot a_2 : a_1, a_2 \in A}\right\rbrace</math>

З цього випливає, що комбінування цих операцій також тягне за собою розростання: якщо <math>\{ 0, 1 \} \subset A</math>, то

: <math>|A(A+A)| \gg \max \{ |A(A+0)|, |1(A+A)| \} = \max \{ |AA|, |A+A| \}</math> ,

а додавання до <math>A</math> скінченного числа елементів впливає на зростання лише несуттєво. Оскільки теорему сум-добутків доведено лише в слабкій формі (далекій від гіпотези), деякі вчені почали цікавитися отриманням тверджень такого роду, які випливали б із сильніших форм гіпотези, ніж доведені, а згодом&nbsp;— загалом вивченням співвідношення між результатами різних комбінацій двох операцій поля.

Наприклад, [[Теорема сум-добутків|гіпотеза Ердеша&nbsp;— Семереді]] про суми-добутки стверджує, що{{Sfn|Erdös, Szemerédi|1983}}

: <math>\max \{ |A+A|, |AA| \} \ge |A|^{2 - o(1)}\ \forall A \subset {\mathbb R}</math>

З цієї гіпотези випливало б, що <math>|AA+A| \ge |A|^{2-o(1)}</math>, але для множин <math>A \subset {\mathbb N}</math> такий результат легко отримати і без неї простим комбінаторним міркуванням<ref>{{Sfn0|Roche-Newton, Ruzsa, Shen, Shkredov|2018}}, зауваження після теореми 1.5</ref>.

== Завдання та результати ==
У цьому розділі для опису результатів використовуються загальноприйняті записи (пояснення наведено в [[Нотація Ландау|O-нотації]]):

* <math>X \ll Y</math> означає, що <math>X = O(Y)</math>

* <math>X \lesssim Y</math> означає, що <math>X \le (\log |A|)^{O(1)} Y</math>

=== Раціональні вирази ===

==== Постановка питання ====
Назвемо раціональним виразом над множинами <math>A_1, \dots, A_k</math> будь-яку комбінацію арифметичних операцій (<math>+,-,\times,/</math>) між ними. Під операцією тут мають на увазі застосування за принципом множини сум:

: <math>A \circ B = \{ a \circ b\ :\ a \in A,\ b \in B \}</math>

Наприклад, такі множини є раціональними виразами над <math>A,B,C</math>:

* самі множини <math>A,\ B,\ C</math>;

* <math>A(A-A) = \{ a(b-c)\ :\ a,b,c \in A \}</math>&nbsp;— раціональний вираз над <math>A</math>;

* <math>A+BC = \{ a+bc\ :\ a \in A,\ b \in B,\ c \in C \}</math>.

За аналогією з адитивною енергією, яку часто використовують для оцінки множини сум, буває зручно розглядати число розв'язків симетричного рівняння з раціональним виразом. Наприклад,

: <math>E_{AB+C} = \# \{ (a_1, a_2, b_1, b_2, c_1, c_2) \in A^2 \times B^2 \times C^2| :\ a_1 + b_1 c_1 = a_2 + b_2 c_2 \}</math><ref>Використане тут і далі позначення <math>E_{AB+C}</math> не є загальноприйнятим.</ref>

Істотну частину проблематики арифметичної комбінаторики можна виразити такою постановкою питання.{{Рамка}}
Нехай <math>{\mathbb F}</math>&nbsp;— деяке поле (або нескінченне, або досить велике із заданого сімейства скінченних), <math>R_1, \dots, R_n</math>&nbsp;— раціональні вирази, причому хоча б в одному з них використовується <math>+</math> або <math>-</math> і хоча би в одному <math>\cdot</math> або <math>/</math>.

Нехай також для деяких <math>N</math> і множин <math>A_1,\dots,A_k \subset {\mathbb F}</math> виконуються співвідношення

: <math>|A_j| = N^{\alpha_j},\ j=1,\dots,k</math>

: <math>|R_i(A_1,\dots,A_k)| = N^{\beta_i},\ i=1,\dots,n</math>

: <math>E_{R_i(A_1,\dots,A_k)} = N^{\gamma_i},\ i=1,\dots,n</math>

'''Питання'''

Як при <math>N \to \infty</math> обмежено множину можливих значень <math>(\alpha_1, \dots, \alpha_k, \beta_1, \dots, \beta_k, \gamma_1, \dots, \gamma_n)</math>, залежно від <math>{\mathbb F}, R_1, \dots, R_n</math>?

'''Примітка'''

Якщо поле скінченне, то набір <math>(\alpha_1, \dots, \gamma_n)</math> доречно доповнити параметром <math>\varepsilon</math>, де <math>N = |{\mathbb F}|^{\varepsilon}</math><ref>Див. пояснення на прикладі теореми сум-добутків у {{sfn0|Гараев|2010}} (теорема 1.1 і коментар відразу після неї)</ref>.
{{/рамка}}Наприклад, гіпотеза про суми-добутки стверджує, що якщо <math>{\mathbb F} = {\mathbb R}</math>, <math>R_1(A) = A+A</math>, <math>R_2(A) = A \cdot A</math>, то <math>\max \{ \gamma_1, \gamma_2 \} = 2</math> (тут <math>k=1,\ n=2</math>).

Як правило, вдається вивести лінійні співвідношення між величинами <math>\alpha_1, \dots, \gamma_n</math>, тобто нерівності між добутками та степенями різних величин <math>|A_j|,\ |R_i(A_1, \dots, A_k)|,\ E_{R_i(A_1,\dots,A_k)}</math>.

==== Деякі результати ====
Про узагальнення сум та добутків:

: <math>\forall A \subset {\mathbb R}:\ |AA+AA+AA+AA| \ge \frac{1}{2} |A|^2</math>{{Sfn|Balog|2011}};

: <math>\forall A \subset {\mathbb F}_p: |A| < p^{1/4} \Rightarrow |A(A-A+A-A) + A(A-A)| \ge |A|^2</math><ref>[https://www.youtube.com/watch?v=y82zkWZ67u8 Уривок доповіді С.&nbsp;В.&nbsp;Конягіна] {{Ref-ru}}</ref>;

: <math>\exists c > 0:\ \forall B,C \subset {\mathbb R}:\ |(B+C)(B+C)| \ge |B+C|^{1+c}</math><ref>{{Sfn0|Shkredov, Zhelezov|2016}}, наслідок 2</ref>;

: <math>\exists c > 0:\ \forall A \subset {\mathbb R}:\ |AA+A| \ge |A|^{\frac{3}{2}+c}</math><ref><math>c > 2^{-222}</math>, докладніше див. {{Sfn0|Roche-Newton, Ruzsa, Shen, Shkredov|2018}}</ref>;

: <math>\exists c_1, c_2 > 0:\ \forall A \subset {\mathbb R}:\ |A+A| \le |A|^{1+c_1} \Rightarrow |AAA| \ge |A|^{2 + c_2}</math><ref><math>c_2 = \frac{1}{392} - c_1 \frac{125}{56} - o(1)</math>, докладніше див. {{Sfn0|Roche-Newton, Shkredov|2019}}</ref>;

: <math>\forall A \subset {\mathbb R}:\ |(A-A)(A-A)(A-A)| \gtrsim |A|^{2 + \frac{1}{8}}</math>{{Sfn|Balog, Roche-Newton, Zhelezov|2016}}.

Про узагальнення енергій:

* <math>E_{A+B}^2 \le |A/B| E_{(A+B)/B}</math><ref>{{Sfn0|Olmezov, Semchankau, Shkredov|2019}}, вираз 12</ref>;

* для будь-кого <math>k \in {\mathbb N}</math> якщо <math>A \subset {\mathbb F}_p,\ |A| \ge p^{c(k)}</math>, то <math>E_{(A-A)^k} \sim \frac{|A|^{4k}}{p}</math>, причому <math>c(k) \to \frac{1}{2}</math> при <math>k \to \infty</math><ref>{{Sfn0|Kerr, Macourt|2019}}, наслідок 2.11</ref>.

=== Зсуви ===

==== Постановка питання ====
Ідея оцінки раціональних виразів, що поєднують різні операції, виходить з того, що застосування до множини адитивної операції позбавляє її мультиплікативної структури. Цей принцип можна розширити на випадок, коли множина змінюється не складною комбінаторною операцією поелементного додавання, а звичайним адитивним зсувом&nbsp;— додаванням до всіх елементів множини одного числа. Очікується, що від цього мультиплікативна структура множини повинна в більшості випадків змінюватись (наприклад, якщо <math>|AA| \ll |A|</math>, то <math>|(A+d)(A+d)| \gg |A|^{1+c}</math> для деякого <math>c > 0</math> при всіх чи майже всіх <math>d</math>)<ref>Зворотне, загалом, хибне: мультиплікативний зсув може ніяк не змінити адитивних властивостей множини. Якщо <math>A \subset {\mathbb R}_+</math>&nbsp;— арифметична прогресія и <math>k \cdot A = \{ ka\ :\ a \in A \}</math>, то <math>|k \cdot A + k \cdot A| = |A+A|</math> для будь-якого <math>k</math>. Але іноді вдається використати схожі ідеї&nbsp;— див., наприклад, лему 2 в {{Sfn0|Глибичук|2006}}, де при доведенні аналога [[Проблема Воринга|проблеми Воринга]] в скінченному полі формулюється подібне твердження '''в термінах спільної адитивної енергії''' про '''існування''' потрібного зсуву.</ref>.
{{Рамка}}
'''Питання'''

Як при фіксованому (але довільному) <math>A \subset {\mathbb F}</math> залежать одна від одної мультиплікативні властивості (розмір множини добутків та мультиплікативна енергія) множин <math>A+u,\ u \in {\mathbb F}</math>. А також які спільні мультиплікативні властивості множин <math>A+u_1, \dots, A+u_k</math> за різних <math>u_1, \dots, u_k</math> (наприклад, чи існують нетрвііальні оцінки на <math>|A(A+1)|</math>)?
{{/рамка}}

==== Деякі результати ====

* якщо <math>A \subset {\mathbb F}_p</math> при простому <math>p</math>, то:

** <math>|A| < p^{5/8} \Rightarrow |A(A+1)| \gg |A|^{6/5}</math><ref>{{Sfn0|Stevens, de Zeeuw|2017}}, наслідок 10</ref>;

** <math>|A| < p^{1/4} \Rightarrow |A(A+1)| \gtrsim |A|^{11/9 - o(1)}</math>{{Sfn|Warren|2019}};

* <math>\forall A \subset {\mathbb R}_+:\ \forall a \in {\mathbb R} \setminus \{ 0 \}:\ |A(A+1)| \ll |A| \Rightarrow E_{\times}(A, A+a) \lesssim |A|^{32/13}</math><ref>{{Sfn0|Шкредов|2013}}, наслідок 5.8</ref>;

* <math>\forall A \subset {\mathbb Q}_+:\ |AA| \ll |A| \Rightarrow |(A+1)^k| \gg_k |A|^k</math>{{Sfn|Hanson, Roche-Newton, Zhelezov (I)|2018}};

* <math>\forall A \subset {\mathbb R}_+:\ |AA|^4 |(A+1)(A+1)| \gtrsim |A|^6</math><ref>{{Sfn0|Шкредов|2017}}, теорема 12</ref>;

* <math>\forall A \subset {\mathbb R}_+:\ |(A+1)(A+1)(A+1)|^{16} |AA|^{78} \gtrsim |A|^{111}</math><ref>{{Sfn0|Hanson, Roche-Newton, Rudnev|2020}}, теорема 4.1</ref>;

* <math>\forall A \subset {\mathbb Q}_+ \forall u \subset {\mathbb Q} \setminus \{ 0 \}:\ \max \left\lbrace{ |A^k|, |(A+u)^k| }\right\rbrace \gg |A|^{b(k)}</math>, где <math>b(k) \to \infty</math> при <math>k \in \infty</math>{{Sfn|Hanson, Roche-Newton, Zhelezov (II)|2018}}.

=== Многочлени ===

==== Постановка питання ====
Ідея комбінування додавання та множення природно приводить до розгляду [[многочлен]]ів, тобто таких самих раціональних виразів, але в яких одна змінна може з'являтися кілька разів (і тим самим складніше впливати на структуру отримуваної множини). Виявляється, в цьому випадку для забезпечення безумовного зростання не обов'язково використовувати три копії множини (як у виразі <math>A+AA</math>), а досить підібрати потрібний многочлен від двох змінних<ref>Многочлени, так чи інакше пов'язані із зростанням множини в літературі часто називають «розширювачами» (expanders).</ref>. Вперше таку властивість помітив [[Жан Бурген|Бургейн]] для многочлена <math>x^2+xy</math><ref>Див. розділ 5.2 у {{Sfn0|Гараев|2010}}</ref>.

Також, за аналогією з теоремою сум-добутків, вивчаються оцінки знизу на <math>\max \{ |A+A|, |f(A,A)| \}</math> для довільних многочленів <math>f</math>.

==== Деякі результати ====
Перший результат Бургейна: нехай <math>A, B \subset {\mathbb F}_p,\ |A| \sim |B| \sim p^{\alpha},\ \alpha \in (0;1)</math> . Тоді для деякого <math>\varepsilon = \varepsilon(\alpha) > 0</math> істинне, що

: <math>\# \{ a^2 + ab\ :\ a \in A,\ b \in B \} \ge N^{1 + \varepsilon}</math><ref>{{Sfn0|Bourgain|2005}}, теорема 2.1 (див. також {{Sfn0|Гараев|2010}}, теорема 5.2)</ref>.

Під час порівняння <math>|A+A|</math> і <math>|f(A,A)|</math> велике значення має виродженість многочлена <math>f</math>. Якщо він вироджений, тобто подаваний у вигляді <math>f=g(l(x,y))</math>, де <math>l,g</math>&nbsp;— многочлени і <math>\deg l = 1</math>, то обидві суми можуть виявитися малими, якщо <math>A</math>&nbsp;— арифметична прогресія, адже <math>|f(A,A)| \le |l(A,A)|</math>. Тому результати формулюються лише для невироджених многочленів:

* якщо <math>\deg f = 2</math>, то <math>\forall A \subset {\mathbb F}_p\ :\ |A| \le p^{5/8} \Rightarrow \max \{ |A+A|, |f(A,A)| \} \gg |A|^{6/5}</math><ref>{{Sfn0|Koh, Mojarrad, Pham, Valculescu|2018}}, теорема 1.10</ref>;

* якщо <math>\deg f = d</math>, то <math>\forall A \subset {\mathbb F}_p\ :\ \max \{ |A+A|, |f(A,A)| \} \gg \min \left\lbrace{ \frac{|A|^{3/2}}{d p^{1/4}}, \frac{p^{1/3} |A|^{2/3}}{d^{1/3}} }\right\rbrace</math><ref>{{Sfn0|Vu|2007}}, теорема 1.2</ref>.

=== Матричне множення ===

==== Властивості ====
Існують результати про множини добутків набору матриць з тієї чи іншої матричної підгрупи (наприклад, [[SL(2,R)|<math>\mbox{SL}_2({\mathbb R})</math>]] або [[Група Гейзенберга|групи Гейзенберга]]). Строго кажучи, ці результати стосуються однієї групової операції ([[Множення матриць|матричного множення]]), так що їх можна віднести до [[Адитивна комбінаторика|адитивної комбінаторики]]. Але злиття у визначенні цієї операції і додавання, і множення елементів<ref>Будь-який елемент добутку матриць фактично є многочленом від елементів перемножуваних матриць</ref>, а також некоммутативність, що виникає з цього, роблять її властивості дуже нетиповими в порівнянні зі звичайними груповими операціями, на зразок додавання дійсних чисел.

Наприклад, множина матриць часто може зростати від добутку на самого себе за дуже простих умов (великого розміру, обмеження на окремі елементи або відмінності від підгруп).

==== Деякі результати ====
Більшість результатів про матричні групи, коли вони стосуються довільних наборів матриць, аналізує величину <math>|AAA|</math>, а не <math>|AA|</math>. Це не випадковість, а технічна потреба, пов'язана з некомутативністю<ref>Див. зауваження в {{Sfn0|Helfgott|2009}} у виносці на с. 3, а також той факт, що [[нерівність Плюннеке — Ружі]] в некомутативних групах має особливий вигляд.</ref>:

* якщо <math>A \subset {\mathbb R}</math>, то для множини матриць <math>{\mathcal A} = \left\lbrace { \begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\ :\ a,b \in A } \right \rbrace</math> (воно лежить у групі Гейзенберга) істинне, що <math>|{\mathcal A} {\mathcal A}| \gg |{\mathcal A}|^{7/4 + c}</math>, де <math>c > 0</math><ref>{{Sfn0|Shkredov|2019}}, теорема 2</ref>;

* нехай <math>A \subset \mbox{SL}_2({\mathbb F}_p)</math> породжує всю групу <math>\mbox{SL}_2({\mathbb F}_p)</math> і <math>\forall a \in A\ :\ a^{-1} \in A</math> . Тоді <math>|AAA| \gg \min \{ |A|^{21/20},\ |\mbox{SL}_2({\mathbb F}_p)| \}</math><ref>{{Sfn0|Rudnev, Shkredov|2019}}, теорема 2</ref>;

* <math>\forall A \subset \mbox{SL}_n({\mathbb F}_p)\ :\ |A| > 2 |G|^{1 - \frac{1}{3 (n+1)}} \Rightarrow AAA = \mbox{SL}_n({\mathbb F}_p)</math> (Для інших груп можлива аналогічна оцінка, яка залежить від розмірності її [[Представлення групи|представлень]])<ref>Див. {{Sfn0|Nikolov, Pyber|2007}}, вираз 2 і зауваження в {{Sfn0|Helfgott|2009}} на початку розділу 1.3.1</ref>;

* якщо <math>A \subset \mbox{SL}_3({\mathbb F}_p)</math> і <math>|AAA| \ll |A|^{1 + \delta},\ \delta > 0</math>, то структура <math>A</math> сильно пов'язана з підгрупами <math>A \subset \mbox{SL}_3({\mathbb F}_p)</math> (цей зв'язок можна виразити в термінах <math>\delta</math>)<ref>{{Sfn0|Helfgott|2009}}, теорема 1.1</ref>.

==== Застосування ====
Аналітичні методи вивчення зростання в групі <math>\mbox{SL}_2({\mathbb F}_p)</math> та [[Група Лієвого типу|групах Шевале]] можна використати для виведення спеціальної форми [[Гіпотеза Заремби|гіпотези Заремби]]{{Sfn|Moshchevitin, Shkredov|2019}}{{Sfn|Shkredov|2020}}.

== Див. також ==

* [[Адитивна комбінаторика]]
* [[Адитивна теорія чисел]]
* [[Теорема сум-добутків]]

== Примітки ==
{{Примітки|2}}

== Література ==
* {{Стаття|author=P. Erdös, E. Szemerédi|title=On sums and products of integers|url=https://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-0348-5438-2_19|language=en|видання=Birkhäuser Verlag|рік=1983|pages=213–218|ref=Erdös, Szemerédi}}
* {{Стаття|author=Oliver Roche-Newton, Imre Z. Ruzsa, Chun-Yen Shen, Ilya D. Shkredov|title=On the size of the set <math>AA+A</math>|language=en|рік=2018|arxiv=1801.10431v1|ref=Roche-Newton, Ruzsa, Shen, Shkredov}}
* {{Стаття|author=Oliver Roche-Newton, Ilya D. Shkredov|title=If <math>A+A</math> is small then <math>AAA</math> is superquadratic|language=en|рік=2019|arxiv=1810.10842v2|ref=Roche-Newton, Shkredov}}
* {{Стаття|author=Antal Balog|title=A note on sum-product estimates|url=https://www.researchgate.net/publication/265946120|language=en|видання=Publicationes mathematicae|рік=2011|том=79|issue=3|doi=10.5486/PMD.2011.5104|ref=Balog}}
* {{Стаття|author=М. З. Гараев|title=Суммы и произведения множеств и оценки рациональных тригонометрических сумм в полях простого порядка,|url=http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=9367&option_lang=rus|language=ru|видання=[[Успехи математических наук]]|рік=2010|том=65|issue=4 (394)|pages=5—66|doi=10.4213/rm9367|ref=Гараев|publisher=[[Математичний інститут імені В. А. Стеклова РАН|Российская академия наук]]}}
* {{Стаття|author=Ilya D. Shkredov, Dmitrii Zhelezov|title=On additive bases of sets with small product set|url=https://archive.org/details/arxiv-1606.02320|language=en|рік=2016|arxiv=math/1606.02320|ref=Shkredov, Zhelezov}}
* {{Стаття|author=А. А. Глибичук|title=Комбинаторные свойства множеств вычетов по простому модулю и задача Эрдёша — Грэхэма|url=http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=mzm&paperid=2708&option_lang=rus|language=ru|видання=[[Математические заметки]]|рік=2006|том=79|issue=3|pages=384–395|ref=Глибичук}}
* {{Стаття|author=Brandon Hanson, Oliver Roche-Newton, Dmitrii Zhelezov|title=On iterated product sets with shifts|language=en|рік=2018|arxiv=1801.07982v1|ref=Hanson, Roche-Newton, Zhelezov (I)}}
* {{Стаття|author=Brandon Hanson, Oliver Roche-Newton, Dmitrii Zhelezov|title=On iterated product sets with shifts II|language=en|рік=2018|arxiv=math/1806.01697v1|ref=Hanson, Roche-Newton, Zhelezov (II)}}
* {{Стаття|author=Sophie Stevens, Frank de Zeeuw|title=An improved point-line incidence bound over arbitrary fields|url=https://www.researchgate.net/publication/318894700|language=en|видання=Bulletin of the London Mathematical Society|рік=2017|том=49|issue=5|doi=10.1112/blms.12077|arxiv=1609.06284|ref=Stevens, de Zeeuw}}
* {{Стаття|author=Audie Warren|title=On Products of Shifts in Arbitrary Fields|language=en|рік=2019|arxiv=1812.01981v2|ref=Warren}}
* {{Стаття|author=Antal Balog, Oliver Roche-Newton, Dmitry Zhelezov|title=Expanders with Superquadratic Growth|url=https://www.researchgate.net/publication/310440936|language=en|видання=The electronic journal of combinatorics|рік=2016|том=24|issue=3|arxiv=1611.05251v1|doi=10.37236/7050|ref=Balog, Roche-Newton, Zhelezov}}
* {{Стаття|author=И. Д. Шкредов|title=Несколько замечаний о множествах с малым частным|url=http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=sm&paperid=8733&option_lang=ru|language=ru|видання=Математический сборник|рік=2017|том=208|issue=12|arxiv=1603.04948v2|doi=10.4213/sm8733|ref=Шкредов}}
* {{Стаття|author=Bryce Kerr, Simon Macourt|title=Multilinear Exponential Sums With A General Class Of Weights|language=en|рік=2019|arxiv=1901.00975v2|ref=Kerr, Macourt}}
* {{Стаття|author=Konstantin I. Olmezov, Aliaksei S. Semchankau, Ilya D. Shkredov|title=On popular sums and differences of sets with small products|language=en|рік=2019|arxiv=1911.12005v1|ref=Olmezov, Semchankau, Shkredov}}
* {{Стаття|author=Brandon Hanson, Oliver Roche-Newton, Misha Rudnev|title=Higher convexity and iterated sum sets|language=en|рік=2020|arxiv=2005.00125v1|ref=Hanson, Roche-Newton, Rudnev}}
* {{Стаття|author=И. Д. Шкредов|title=Несколько новых результатов о старших энергиях|url=http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=mmo&paperid=540&option_lang=rus|language=ru|видання=Труды Московского математического общества|рік=2013|том=74|issue=1|ref=Шкредов}}
* {{Стаття|author=J. Bourgain|title=More on the sum-product phenomenon in prime fields and its applications|url=https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/s1793042105000108|language=en|видання=International Journal of Number Theory|рік=2005|том=1|issue=1|doi=10.1142/S1793042105000108|ref=Bourgain}}
* {{Стаття|author=Doowon Koh, Hossein Nassajian Mojarrad, Thang Pham, Claudiu Valculescu|title=Four-variable expanders over the prime fields|url=https://www.researchgate.net/publication/326905394|language=en|видання=Proceedings of the American Mathematical Society|рік=2018|том=146|issue=12|arxiv=1705.04255|doi=10.1090/proc/14177|ref=Koh, Mojarrad, Pham, Valculescu}}
* {{Стаття|author=Van Vu|title=Sum-product estimates via directed expanders|url=https://www.researchgate.net/publication/1889077|language=en|видання=Mathematical Research Letters|рік=2007|том=15|issue=2|arxiv=0705.0715|doi=10.4310/MRL.2008.v15.n2.a14|ref=Vu}}
* {{Стаття|author=Ilya D. Shkredov|title=Some remarks on products of sets in the Heisenberg group and in the affine group|language=en|рік=2019|arxiv=1907.03357|ref=Shkredov}}
* {{Стаття|author=Misha Rudnev, Ilya D. Shkredov|title=On growth rate in <math>\mbox{SL}_2({\mathbb F}_p)</math>, the affine group and sum-product type implications|language=en|рік=2019|arxiv=1812.01671v3|ref=Rudnev, Shkredov}}
* {{Стаття|author=H. A. Helfgott|title=Growth in <math>\mbox{SL}_3({\mathbb Z}/p{\mathbb Z})</math>|language=en|рік=2009|arxiv=0807.2027|ref=Helfgott}}
* {{Стаття|author=Nikolay Nikolov, László Pyber|title=Product decompositions of quasirandom groups and a Jordan type theorem|url=https://www.researchgate.net/publication/2136541|language=en|видання=Journal of the European Mathematical Society|рік=2007|том=13|issue=4|arxiv=0703343|doi=10.4171/JEMS/275|ref=Nikolov, Pyber}}
* {{Стаття|author=Nikolay G. Moshchevitin, Ilya D. Shkredov|title=On a modular form of Zaremba's conjecture|language=en|рік=2019|arxiv=1911.07487|ref=Moshchevitin, Shkredov}}
* {{Стаття|author=Ilya D. Shkredov|title=Growth in Chevalley groups relatively to parabolic subgroups and some applications|language=en|рік=2020|arxiv=2003.12785|ref=Shkredov}}
{{Розділи математики}}
[[Категорія:Теорія чисел]]
[[Категорія:Арифметична комбінаторика]]