Перегляд вихідного коду сторінки Арифметико-геометрична прогресія

{{Числення|expanded=Рядів}}
'''Арифметико-геометрична прогресія''' — в [[математика|математиці]], це послідовність, що є результатом покомпонентного множення членів [[арифметична прогресія|арифметичної]] та [[геометрична прогресія|геометричної]] прогресій. Члени прогресії:
:<math>
\begin{align}
t_1 & = A_1G_1 = \color{blue}a \color{green}b \\
t_2 & = A_2G_2 = \color{blue}(a+d) \color{green}br \\
t_3 & = A_3G_3 = \color{blue}(a+2d)\color{green} br^2 \\
& \ \,\vdots \\
t_n & = A_nG_n = \color{blue}[a+(n-1)d]\color{green} br^{n-1}
\end{align}
</math>

== Сума ряду ==
Сума перших {{math|''n''}} членів ряду
:<math>
S_n = \sum_{k = 1}^n t_k = \sum_{k = 1}^n \left[a + (k - 1) d\right] br^{k - 1} = ab + [a + d] br + [a + 2 d] br^2 + \cdots + [a + (n - 1) d] br^{n - 1}.
</math>

З [[Вираз замкненої форми|замкнененому вигляді]]:
:<math>\begin{align}
S_n & = \frac{ab - (a+nd)\,br^n}{1 - r} + dbr\frac{1 - r^n}{(1-r)^2}\\
    & = \frac{A_1G_1 - A_{n+1}G_{n+1}}{1 - r} + dr\frac{G_1 - G_{n+1}}{(1-r)^2}.
\end{align}</math>

=== Доведення ===
Обчислимо {{math|''S<sub>n</sub> - r S<sub>n</sub>''}}, і використаємо техніку  [[Телескопічний ряд|телескопічних рядів]]:
:<math>\begin{align} 
S_n - r \cdot S_n = {} & \left[a + (a + d) r + (a + 2 d) r^2 + \cdots + [a + (n - 1) d] r^{n - 1}\right] \\[5pt]
& {} - \left[a r + (a + d) r^2 + (a + 2 d) r^3 + \cdots + [a + (n - 1) d] r^n\right] \\[5pt]
= {} & a + d \left(r + r^2 + \cdots + r^{n-1}\right) - \left[a + (n - 1) d\right] r^n \\[5pt]
= {} & a + d r \left(1 + r + r^2 + \cdots + r^{n-1}\right) - \left(a + nd\right) r^n \\[5pt]
= {} & a + \frac{d r (1 - r^n)}{1 - r} - (a + nd) r^n, \end{align}
</math>
в передостанній строці використали формулу суми [[геометрична прогресія|геометричної прогресії]].

== Границя ==
при −1 < ''r'' < 1, ряд є збіжним з сумою
:<math>\begin{align}
S &= \sum_{k = 1}^\infty t_k = \lim_{n \to \infty}S_{n} \\
  &= \frac{ab}{1-r}+\frac{dbr}{(1-r)^2}\\
  &= \frac{A_1G_1}{1 - r}+\frac{dG_1r}{(1-r)^2}.
\end{align}</math>

== Джерела ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
*{{cite book|title=The Pearson Guide to Mathematics for the IIT-JEE, 2/e|author=D. Khattar|publisher=Pearson Education India|page=10.8|edition=New |isbn=81-317-2876-5|url=https://books.google.com/books?id=5OffscY1FGYC&pg=SA10-PA8 }}
*{{cite book|title=Comprehensive Mathematics XI|author=P. Gupta|publisher=Laxmi Publications|page=380|isbn=81-7008-597-7|url=https://books.google.com/books?id=rQtlgvS598MC&pg=PA380 }}

{{Послідовності й ряди}}
[[Категорія:Цілочисельні послідовності]]
[[Категорія:Ряди]]