Перегляд вихідного коду сторінки Апріорна ймовірність

{{Без виносок|дата=червень 2015}}

{{Баєсова статистика}}

У [[Баєсове висновування|баєсовому]] [[Статистичне висновування|статистичному висновуванні]] '''апріо́рний розпо́діл ймові́рності''' ({{lang-en|prior probability distribution}}), що часто називають просто '''апріо́рне''' ({{lang-en|prior}}), деякої невизначеної кількості&nbsp;— це [[розподіл ймовірності]] ''p'', що виражатиме чиєсь переконання про цю кількість перед врахуванням якогось свідчення. Наприклад, ''p'' може бути розподілом ймовірності пропорції виборців, що голосуватимуть за певного політика на майбутніх виборах. Він приписує цій кількості швидше невизначеність, ніж випадковість. Ця невідома кількість може бути [[параметр]]ом або [[Латентна змінна|латентною змінною]].

[[Теорема Баєса]] застосовується шляхом множення апріорного на [[Функція правдоподібності|функцію правдоподібності]] з наступним нормуванням для отримання ''[[Апостеріорний розподіл|апостеріорного розподілу ймовірності]]'', що є [[Умовний розподіл|умовним розподілом]] цієї невизначеної кількості з урахуванням отриманих даних.

Апріорне часто є чисто суб'єктивною оцінкою досвідченого фахівця. Дехто при можливості обиратиме [[спряжений апріорний розподіл]] для спрощення обчислення апостеріорного розподілу.

Параметри апріорних розподілів називають [[Гіперпараметр|гіперпараметрами]], щоби відрізняти їх від параметрів моделі базових даних. Наприклад, якщо хтось використовує [[бета-розподіл]] для моделювання розподілу параметра ''p'' [[Розподіл Бернуллі|розподілу Бернуллі]], то:

* ''p'' є параметром базової системи (розподілу Бернуллі), а
* ''α'' та ''β'' є параметрами апріорного розподілу (бета-розподілу), тобто ''гіпер''параметрами.

== Інформативні апріорні ==

''Інформативне апріорне'' виражає характерну, чітку інформацію про змінну. Прикладом є апріорний розподіл температури завтра опівдні. Розсудливим підходом є прийняття як апріорного [[Нормальний розподіл|нормального розподілу]] з [[Математичне сподівання|математичним сподіванням]], що дорівнює сьогоднішній полуденній температурі, та [[Дисперсія випадкової величини|дисперсією]], що дорівнює одноденній дисперсії атмосферної температури, або розподілом температури для цього дня року.

Цей приклад має спільні властивості з багатьма апріорними, тобто, апостеріорне однієї задачі (сьогоднішньої температури) стає апріорним іншої задачі (завтрашня температура); більш раннє свідчення, що вже було враховано, є частиною апріорного і, по мірі акумулювання наступних свідчень, апріорне починає визначатися все більше свідченнями, ніж будь-яким початковим припущенням, за умови, що це початкове припущення узгоджувалося з можливістю того, що підказувало свідчення. Терміни «апріорне» та «апостеріорне» загалом є відносними до певної області визначення або спостереження.

== Неінформативні апріорні ==

''Неінформативне апріорне'' виражає невиразну або загальну інформацію про змінну. Термін «неінформативне апріорне» є почасти викривленням; часто таке апріорне можна було би назвати ''не дуже інформативним апріорним'', або ''об'єктивним апріорним'', тобто таким, що не було виявлено суб'єктивно. Неінформативні апріорні можуть виражати «об'єктивну» інформацію, таку як «ця змінна є додатною», або «ця змінна є меншою за певну межу».

Найпростішим та найстарішим правилом визначення неінформативного апріорного є {{Не перекладено|принцип нейтральності|||Principle of indifference}}, що приписує рівні ймовірності всім можливостям.

У задачах оцінки параметрів використання неінформативного апріорного зазвичай дає результати, що не надто відрізняються від звичайного статистичного аналізу, оскільки функція правдоподібності часто видає більше інформації, ніж неінформативне апріорне.

Робилися деякі спроби пошуку ймовірностей а пріорі, тобто розподілів ймовірності, що в певному сенсі логічно викликаються природою чийогось стану невпевненості; вони є предметом філософської суперечки, в якій баєсівці різко діляться на дві школи: «об'єктивні баєсівці», що переконані в існуванні таких апріорних для багатьох корисних ситуацій, та «суб'єктивні баєсівці», що переконані, що на практиці апріорні зазвичай представляють суб'єктивні судження думки, що не може бути суворо обґрунтовано.{{sfn|Williamson|2010}} Можливо, найсильнішу аргументацію об'єктивного баєсизму було запропоновано {{Не перекладено|Едвін Томпсон Джейнс|Едвіном Джейнсом||Edwin Thompson Jaynes}}, головним чином на підставі наслідків симетрії та {{Не перекладено|Принцип максимальної ентропії|принципу максимальної ентропії||Principle of maximum entropy}}.

Як приклад апріорного а пріорі,{{sfn|Jaynes|2003}} розгляньмо ситуацію, в якій відомо, що під одним із наперстків A, B та C сховано кульку, але інша інформація про її місцезнаходження відсутня. В цьому випадку ''рівномірне апріорне'' ''p''(''A'')&nbsp;= ''p''(''B'')&nbsp;= ''p''(''C'')&nbsp;= 1/3 інтуїтивно здається єдиним розумним вибором. Формальніше, ми бачимо, що задача залишається такою ж, якщо ми переміняємо мітки («A», «B» та «C») наперстків. Відтак було би дивним обирати апріорне, для якого переміна міток спричинила би зміну в наших передбаченнях стосовно того, під яким із них знайдеться кулька; рівномірне апріорне є єдиним, що зберігає цю інваріантність. Якщо прийняти цей принцип інваріантності, то можна побачити, що рівномірне апріорне є логічно правильним апріорним для представлення цього стану знання. Варто зауважити, що це апріорне є «об'єктивним» у сенсі того, що воно є правильним вибором для представлення певного типу знання, але воно не є об'єктивним у сенсі того, щоби бути незалежною від спостерігача властивістю світу: в реальності кулька існує під певним наперстком, і в цій ситуації говорити про ймовірності має сенс лише якщо є спостерігач із обмеженим знанням про дану систему.

Як більш спірний приклад Джейнс опублікував{{sfn|Jaynes|1968}} аргументацію на основі [[Група Лі|груп Лі]], яка підказує, що апріорне, що представляє повну невизначеність про ймовірність, повинне бути [[Апріорний розподіл Голдейна|апріорним Голдейна]] ''p''<sup>&minus;1</sup>(1&nbsp;&minus;&nbsp;''p'')<sup>&minus;1</sup>. Прикладом, що наводить Джейнс, є повторні експерименти із знаходження хімікату в лабораторії, й ставлення питання, чи розчиняється він у воді. Апріорне Голдейна{{sfn|Haldane|1932}}{{sfn|Haldane|1948}} дає щоразу більше ваги <math>p=0</math> та <math>p=1</math>, показуючи, що зразок або кожного разу розчинятиметься, або ніколи не розчинятиметься, з однаковою ймовірністю. Однак, якщо спостерігатимуться зразки хімікату, що розчиняється в одному експерименті, і не розчинятиметься в іншому, тоді апріорне уточнюватиметься до [[Неперервний рівномірний розподіл|рівномірного розподілу]] на відрізку [0, 1]. Це отримується застосуванням [[Теорема Баєса|теореми Баєса]] до набору даних, що складається з одного спостереження розчинення й одного не розчинення, з використанням наведеного вище апріорного. Апріорне Голдейна критикувалося{{Ким|дата=червень 2015}} на тій підставі, що воно видає некоректний апостеріорний розподіл, що розташовує 100% вмісту ймовірності або в ''p'' = 0, або в ''p'' = 1, якщо скінченна кількість спостережень видали однаковий результат. Тому перевага віддається{{Ким|дата=червень 2015}} {{Не перекладено|Апріорний розподіл Джеффріса|апріорному Джеффріса||Jeffreys prior}} (див. нижче).

Може бути побудовано апріорні, пропорційні [[Міра Хаара|мірі Хаара]], якщо параметричний простір ''X'' має [[Група перетворень|структуру природної групи]], що залишає інваріантним наш баєсів стан знання.{{sfn|Jaynes|1968}} Це може розглядатися як узагальнення принципу інваріантності, що використовується для підтвердження рівномірного апріорного над трьома наперстками у наведеному вище прикладі. Наприклад, у фізиці ми можемо очікувати, що експеримент даватиме однакові результати незалежно від нашого вибору початку системи координат. Це спричиняє групову структуру групи [[Трансляція (математика)|трансляції]] на ''X'', що визначатиме апріорну ймовірність як постійну [[Некоректна апріорна ймовірність|некоректну апріорну ймовірність]]. Аналогічно, деякі вимірювання є природно [[Інваріантність щодо масштабу|інваріантними до вибору довільного масштабу]] (наприклад, чи використовуються сантиметри, чи дюйми, фізичні результати будуть однаковими). В такому випадку група масштабування є структурою природної групи, і відповідне апріорне на ''X'' є пропорційним до 1/''x''. Іноді має значення, чи ми використовуємо лівоінваріантну, чи правоінваріантну міру Хаара. Наприклад, ліво- та правоінваріантні міри Хаара на {{Не перекладено|Афінна група|афінній групі||Affine group}} не є рівними. Бергер доводить,{{sfn|Berger|1985|p=413}} що правильним вибором є право-інваріантна міра Хаара.

Іншою ідеєю, яку обстоює {{Не перекладено|Едвін Томпсон Джейнс|Едвін Джейнс||Edwin Thompson Jaynes}}, є використання {{Не перекладено|Принцип максимальної ентропії|принципу максимальної ентропії||Principle of maximum entropy}} ({{lang-en|MAXENT}}). Спонукою є те, що [[ентропія Шеннона]] розподілу ймовірності вимірює кількість інформації, що міститься в розподілі. Що більшою є ентропія, то менше інформації надається цим розподілом. Отже, максимізуючи ентропію над придатним набором розподілів ймовірностей на ''X'', можна знайти розподіл, що є найменш інформативним у тому сенсі, що він містить найменше інформації, відповідної до обмежень, що визначають цей набір. Наприклад, апріорне з максимальною ентропією на дискретному просторі, якщо задано лише те, що ймовірність нормується до 1, є апріорним, що призначає рівні ймовірності кожному станові. А в неперервному випадку апріорне з максимальною ентропією, якщо задано, що щільність нормалізується з нульовим середнім та одиничною дисперсією, є [[Нормальний розподіл|нормальним розподілом]]. Принцип [[Перехресна ентропія|''мінімальної перехресної ентропії'']] ({{lang-en|MINXENT}}) узагальнює принцип максимальної ентропії до випадку «уточнення» довільного апріорного розподілу придатними обмеженнями у максимально-ентропійному сенсі.

Споріднену ідею, {{нпні|Референтний апріорний розподіл|референтне апріорне||Reference prior}}, було запропоновано {{Не перекладено|Хосе-Мігель Бернардо|Хосе-Мігелем Бернардо||José-Miguel Bernardo}}.{{sfn|Bernardo|1979}} Тут ідея в тому, щоби максимізувати очікувану [[відстань Кульбака — Лейблера]] апостеріорного розподілу відносно апріорного. Це максимізує очікувану апостеріорну інформацію про ''X'', коли апріорною щільністю є ''p''(''x''); отже, у певному сенсі, ''p''(''x'') є «найменш інформативним» апріорним X. Референтне апріорне визначається в асимптотичній границі, тобто, розглядається границя апріорних, отриманих таким чином, що кількість точок даних прямує до нескінченності. Референтні апріорні часто обирають як об'єктивні апріорні у багатовимірних задачах, оскільки інші правила (наприклад, {{Не перекладено|Апріорний розподіл Джеффріса|правило Джеффріса||Jeffreys prior}}) можуть призводити до апріорних із проблематичною поведінкою.

Об'єктивні апріорні розподіли можуть також виводитися з інших принципів, таких як [[Теорія інформації|теорії інформації]] та [[Теорія кодування|кодування]] (див., наприклад, [[Мінімальна довжина опису|мінімальну довжину опису]]) або [[частотна статистика]] (див. {{нпні|частотне парування|||Frequentist matching}}). Такі методи застосовуються в {{Не перекладено|Теорія індуктивного висновування Соломонова|теорії індуктивного висновування Соломонова||Solomonoff's theory of inductive inference}}.

Філософські проблеми, пов'язані з неінформативними апріорними, пов'язано з вибором відповідної [[Метрика (математика)|метрики]], або шкали вимірювання. Припустімо, нам потрібне апріорне швидкості невідомого нам бігуна. Ми могли би вказати, скажімо, нормальний розподіл як апріорне його швидкості, але з іншого боку ми могли би вказати нормальний розподіл часу, що він витрачає на подолання 100 метрів, що є пропорційним до величини, зворотної першому апріорному. Це є дуже різні апріорні, але не ясно, якому з них віддати перевагу. {{Не перекладено|Принцип груп перетворень|Метод груп перетворень||Principle of transformation groups}} Джейнса, що часто не беруть до уваги, в деяких випадках може давати відповідь на це питання.{{sfn|Jaynes|1968}}{{sfn|Jaynes|2003|loc=розділ 12 (зауважте, що розділ 12 не доступний в електронному препринті, але його можна бачити в попередньому перегляді у Google Books)}}

Аналогічно, якщо стоїть питання оцінки розподілу невідомої пропорції між 0 та 1, ми могли би сказати, що всі пропорції є однаково правдоподібними, й скористатися рівномірним розподілом. З іншого боку, ми могли би сказати, що однаково правдоподібними є [[Порядок величини|порядки величини]] пропорцій, '''{{якір|Логарифмічне апріорне}}логарифмічне апріорне''', що є рівномірним апріорним логарифму пропорції. {{Не перекладено|Апріорний розподіл Джеффріса|Апріорне Джеффріса||Jeffreys prior}} намагається розв'язати цю задачу шляхом обчислення апріорного, що виражає однакове переконання не залежно від вживаної метрики. Апріорним Джеффріса для невідомої пропорції ''p'' є ''p''<sup>−1/2</sup>(1&nbsp;−&nbsp;''p'')<sup>−1/2</sup>, що відрізняється від рекомендації Джейнса.

Апріорні, засновані на поняттях {{Не перекладено|Алгоритмічна ймовірність|алгоритмічної ймовірності||Algorithmic probability}}, застосовуються в [[Індукція логічна|індуктивному висновуванні]] як база для індукції у дуже загальних умовах.

Практичні проблеми, пов'язані з неінформативними апріорними, включають вимогу того, щоби апостеріорний розподіл був коректним. Звичайні неінформативні апріорні на неперервних не обмежених змінних є некоректним. Це не повинне бути проблемою, якщо апостеріорний розподіл є коректним. Ще одна важлива проблема полягає в тому, що якщо неінформативне апріорне використовуватиметься ''регулярно'', тобто, з багатьма різними наборами даних, то воно повинно мати добрі [[Частотне висновування|частотні]] властивості. [[Баєсова ймовірність|Баєсової ймовірності]] ці проблеми зазвичай не стосуватимуться, але вони можуть бути важливими у даній ситуації. Наприклад, можна забажати, щоби [[Теорія рішень|правило рішення]] на базі апостеріорного розподілу було {{Не перекладено|Прийнятне правило рішення|прийнятним||Admissible decision rule}} за прийнятої [[Функція втрат|функції втрат]]. На жаль, прийнятність часто важко перевірити, хоча деякі результати відомі.{{sfn|Berger|Strawderman|1996}} Ця проблема стоїть особливо гостро з [[Ієрархічна баєсова модель|ієрархічними баєсовими моделями]]; звичайні апріорні (наприклад, Джеффріса) можуть давати вкрай неприйнятні правила рішення, якщо застосовуватимуться на вищих рівнях ієрархії.

== Некоректні апріорні ==

Нехай події <math>A_1, A_2, \ldots, A_n</math> є взаємовиключними та вичерпними. Якщо теорему Баєса записано як

: <math>P(A_i|B) = \frac{P(B | A_i) P(A_i)}{\sum_j P(B|A_j)P(A_j)}\, ,</math>

то ясно, що такий самий результат було би отримано, якби всі апріорні ймовірності ''P''(''A''<sub>''i''</sub>) та ''P''(''A''<sub>''j''</sub>) було помножено на задану сталу; те саме справедливе для [[Неперервна випадкова змінна|неперервної випадкової змінної]]. Якщо сума у знаменнику сходиться, то апостеріорні ймовірності так само даватимуть в сумі (або інтегралі) 1, навіть якщо апріорні значення цього не роблять, і таким чином апріорні можуть вимагати вказання лише в правильній пропорції. У розвиток цієї ідеї, в багатьох випадках сумі або інтегралові апріорних значень може навіть не бути потрібним бути скінченним для отримання змістовних відповідей для апостеріорних ймовірностей. У такому випадку апріорне називається '''некоре́ктним апріо́рним'''. Проте апостеріорний розподіл повинен бути коректним розподілом, якщо апріорний є некоректним. Це ясно з випадку, коли подія ''B'' не залежить від жодної з ''A''<sub>''j''</sub>.

Статистики іноді{{Джерело|дата=червень 2015}} використовують некоректні апріорні як [[Неінформативний апріорний розподіл|неінформативні]]. Наприклад, якщо їм потрібен апріорний розподіл для середнього значення та дисперсії випадкової змінної, вони можуть розглядати ''p''(''m'',&nbsp;''v'')&nbsp;~&nbsp;1/''v'' (для ''v''&nbsp;>&nbsp;0), що пропонуватиме «однакову правдоподібність» для всіх середніх значень, та те, що додатна дисперсія стає «менш правдоподібною» у зворотній пропорції до її значення. Багато авторів{{sfn|Lindley|1973}}{{sfn|De Groot|1937}}{{Джерело|дата=червень 2015}}{{sfn|Kass|Wasserman|1996}} застерігають про небезпеку переінтерпретації цих апріорних, оскільки вони не є густинами ймовірності. Єдина їхня доречність знаходиться у відповідному апостеріорному, допоки воно є однозначним для всіх спостережень. (Типовим контрприкладом є [[Апріорний розподіл Голдейна|апріорне Голдейна]].{{Clarify|reason=контрприкладу чого?|дата=червень 2015}}{{Citation needed|дата=червень 2015}})

=== Приклади ===

Приклади некоректних апріорних включають:
* Β(0,0), [[бета-розподіл]] для α=0, β=0.
* [[Неперервний рівномірний розподіл|Рівномірний розподіл]] на нескінченному інтервалі (тобто, половина або вся [[дійсна пряма]]).
* Логарифмічне апріорне на додатних дійсних числах{{Citation needed|дата=червень 2015}}

== Інші апріорні ==

Концепція {{Не перекладено|Алгоритмічна ймовірність|алгоритмічної ймовірності||Algorithmic probability}} забезпечує шлях для визначення апріорних ймовірностей на підставі відносної складності альтернативних моделей, що розглядаються.

== Посилання ==

{{Reflist}}

== Література ==

* {{Cite book
 |first1=Andrew
 |last1=Gelman
 |first2=John B.
 |last2=Carlin
 |first3=Hal S.
 |last3=Stern
 |first4=David B.
 |last4=Dunson
 |first5=Aki
 |last5=Vehtari
 |first6=Donald B.
 |last6=Rubin
 |title=Bayesian Data Analysis
 |year=2013
 |edition=III
 |publisher=[[CRC Press]]
 |url=https://books.google.com.ua/books?id=eSHSBQAAQBAJ&printsec=frontcover
 |isbn=978-1439840955
 |accessdate=26 червня 2015
 |archive-date=26 червня 2015
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150626172720/https://books.google.com.ua/books?id=eSHSBQAAQBAJ&printsec=frontcover
 }} {{ref-en}}
* {{cite book |last=Berger |first=James O. |title=Statistical decision theory and Bayesian analysis |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin |year=1985 |pages= |isbn=0-387-96098-8 |doi= |accessdate= |mr=0804611 |ref=harv}} {{ref-en}}
* {{cite journal
 |first1=James O. |last1=Berger
 |first2=William E. |last2=Strawderman
 |title=Choice of hierarchical priors: admissibility in estimation of normal means
 |journal={{Не перекладено|Annals of Statistics}}
 |volume=24 |issue=3 |pages=931&ndash;951 |year=1996
 |doi=10.1214/aos/1032526950
 |mr=1401831 | zbl = 0865.62004
 |ref=harv
}} {{ref-en}}
* {{cite journal |first=Jose M. |last=Bernardo
 |title=Reference Posterior Distributions for Bayesian Inference
 |journal={{Не перекладено|Journal of the Royal Statistical Society}}, Series B
 |volume=41 |issue= 2 |pages=113&ndash;147 |year=1979
 |mr=0547240 | jstor = 2985028
 |ref=harv
}} {{ref-en}}
* {{cite journal | title=The formal definition of reference priors
 | url=https://archive.org/details/sim_annals-of-statistics_2009-04_37_2/page/905
 |author1=James O. Berger
 |authorlink1=Джим Бергер (статистик)
 |author2=José M. Bernardo
 |authorlink2=Хосе-Мігель Бернардо
 |author3=Dongchu Sun
 |journal=Annals of Statistics
 |year=2009
 |volume=37
 |issue=2
 |pages=905–938
 |arxiv=0904.0156 | doi=10.1214/07-AOS587 
 |ref=harv
}} {{ref-en}}
* {{cite journal |last=Jaynes |first=Edwin T. |authorlink=Едвін Томпсон Джейнс |title=Prior Probabilities |journal=IEEE Transactions on Systems Science and Cybernetics |volume=4 |issue=3 |pages=227&ndash;241 |date=Sep 1968 |doi=10.1109/TSSC.1968.300117 |url=http://bayes.wustl.edu/etj/articles/prior.pdf |accessdate=2009-03-27 |ref=harv |archive-date=20 липня 2011 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110720120853/http://bayes.wustl.edu/etj/articles/prior.pdf }} {{ref-en}}
** Reprinted in {{cite book |author=Rosenkrantz, Roger D. |title=E. T. Jaynes: papers on probability, statistics, and statistical physics |publisher=Kluwer Academic Publishers |location=Boston |year=1989 |isbn=90-277-1448-7 |doi= |accessdate= |pages=116&ndash;130 |ref=harv}} {{ref-en}}
* {{cite book |last=Jaynes |first=Edwin T. |authorlink=Едвін Томпсон Джейнс |title=Probability Theory: The Logic of Science |publisher=Cambridge University Press |year=2003 |pages= |isbn=0-521-59271-2 |doi= |accessdate= |url=http://www-biba.inrialpes.fr/Jaynes/prob.html |ref=harv |archive-date=8 листопада 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201108171426/http://www-biba.inrialpes.fr/Jaynes/prob.html }} {{ref-en}}
* {{cite journal |last=Williamson |first=Jon |title=review of Bruno di Finetti. Philosophical Lectures on Probability |journal=Philosophia Mathematica |volume=18 |issue=1 |pages=130&ndash;135 |year=2010 |doi=10.1093/philmat/nkp019 |url=http://www.kent.ac.uk/secl/philosophy/jw/2009/deFinetti.pdf |accessdate=2010-07-02 |ref=harv |archiveurl=https://web.archive.org/web/20110609175653/http://www.kent.ac.uk/secl/philosophy/jw/2009/deFinetti.pdf |archivedate=2011-06-09 |deadurl=yes }} {{ref-en}}
* {{cite journal|last=Haldane|first=J.B.S.|title=A note on inverse probability|journal=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society|year=1932|volume=28|pages=55–61|url=http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?aid=1733860|doi=10.1017/s0305004100010495|ref=harv|accessdate=23 червня 2015|archive-date=23 червня 2015|archive-url=https://web.archive.org/web/20150623184319/http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?aid=1733860}} {{ref-en}}
* {{cite journal|last=Haldane|first=J.B.S.|title=The precision of observed values of small frequencies|journal=Biometrika|year=1948|volume=35|pages=297–300|url=http://www.jstor.org/pss/2332350|doi=10.2307/2332350|ref=harv}} {{ref-en}}
* {{cite book|last=Lindley|first=Dennis Victor|title=Making decisions|year=1973|publisher=Wiley|location=London|ref=harv}} {{ref-en}}
* {{cite journal|last1=Kass|first1=Robert E.|last2=Wasserman|first2=Larry|title=The Selection of Prior Distributions by Formal Rules|url=https://archive.org/details/sim_journal-of-the-american-statistical-association_1996-09_91_435/page/1343|journal=Journal of the American Statistical Association|year=1996|volume=91|issue=435|pages=1343-1370|doi=10.1080/01621459.1996.10477003|ref=harv}} {{ref-en}}


{{Статистика|висновування}}

[[Категорія:Баєсова статистика]]
[[Категорія:Ймовірність]]