Перегляд вихідного коду сторінки Апостеріорна ймовірність

{{Недостатньо виносок|дата=жовтень 2015}}

{{Баєсова статистика}}

В [[Баєсова статистика|баєсовій статистиці]] '''апостеріо́рна ймові́рність''' ({{lang-en|posterior probability}}) [[Випадкова подія|випадкової події]] або сумнівного твердження{{clarify|reason=Що є точним визначенням «сумнівного твердження»?|date=липень 2018}}&nbsp;— це [[умовна ймовірність]], присвоювана{{clarify|reason=Присвоювана чо́му?|date=липень 2018}} після врахування відповідного [[Наукове свідчення|свідчення]] або вихідних даних. Так само '''апостеріо́рний розпо́діл імові́рності''' ({{lang-en|posterior probability distribution}})&nbsp;— це розподіл невідомої величини, яку розглядають як [[Випадкова величина|випадкову змінну]], [[Умовний розподіл|обумовлену]] свідченням, отриманим з [[експеримент]]у або [[спостереження]]. «Апостеріорний» в даному контекст означає&nbsp;— після врахування відповідного свідчення, пов'язаного з певним досліджуваним випадком. Наприклад, існує («неапостеріорна») ймовірність того, що людина знайде скарб, копаючи у випадковому місці, та апостеріорна ймовірність знаходження закопаного скарбу, якщо людина копатиме в місці, де дзвенить її металодетектор.

== Визначення ==

Апостеріорна ймовірність є ймовірністю параметрів <math>\theta</math> за заданого свідчення <math>X</math>: <math>p(\theta|X)</math>.

Вона протиставиться до [[Функція правдоподібності|функції правдоподібності]], яка є ймовірністю цього свідчення за заданих параметрів: <math>p(X|\theta)</math>.

Вони пов'язані наступним чином:

Нехай у нас є [[Апріорна ймовірність|апріорне]] переконання, що [[Функція розподілу ймовірностей|функція розподілу ймовірності]] це <math>p(\theta)</math>, і спостереження <math>X</math> з правдоподібністю <math>p(X|\theta)</math>, тоді апостеріорна ймовірність визначається як

: <math>p(\theta|X) = \frac{p(\theta)p(X|\theta)}{p(X)}.</math><ref>{{cite book| title=Pattern Recognition and Machine Learning| url=https://archive.org/details/patternrecogniti00bish_163| author=Christopher M. Bishop| publisher=Springer| year=2006| isbn=978-0-387-31073-2| pages=[https://archive.org/details/patternrecogniti00bish_163/page/n38 21]–24}} {{ref-en}}</ref>

Апостеріорну ймовірність може бути записано в такому зручному для запам'ятовування вигляді:

: <math>\text{Posterior probability} \propto \text{Prior probability} \times \text{Likelihood}</math>.

== Приклад ==

Нехай у школі 60% учнів&nbsp;— хлопці, і 40%&nbsp;— дівчата. Дівчата носять штани та спідниці в рівній кількості, хлопці всі носять штани. Спостерігач здалеку бачить учня (випадкового); все, що може бачити спостерігач,&nbsp;— це те, що учень в штанях. Яка ймовірність того, що цей учень&nbsp;— дівчина? Правильну відповідь може бути обчислено за допомогою [[Теорема Баєса|теореми Баєса]].

Подією <math>G</math> є те, що учень, якого бачить спостерігач, є дівчиною, а подією <math>T</math> є те, що цей учень носить штани. Для обчислення апостеріорної ймовірності <math>P(G|T)</math>, нам спочатку необхідно дізнатися:

* <math>P(G)</math>, або ймовірність того, що цей учень є дівчиною незалежно від будь-якої іншої інформації. Оскільки спостерігач бачить випадкового учня, тобто всі учні мають однакову ймовірність бути побаченими, а частка дівчат серед них становить 40%, то ця ймовірність дорівнює 0.4.
* <math>P(B)</math>, або ймовірність того, що цей учень не є дівчиною (тобто, хлопець), незалежно від будь-якої іншої інформації (<math>B</math> є доповнювальною подією до <math>G</math>). Це є 60%, або 0.6.
* <math>P(T|G)</math>, або ймовірність того, що учень носить штани, якщо він є дівчиною. Оскільки вони однаково часто носять штани та спідниці, то це 0.5.
* <math>P(T|B)</math>, або ймовірність то, що учень носить штани, якщо він є хлопцем. Це задано як 1.
* <math>P(T)</math>, або ймовірність того, що (випадково вибраний) учень носить штани незалежно від будь-якої іншої інформації. Оскільки <math>P(T) = P(T|G)P(G) + P(T|B)P(B)</math> (згідно [[Формула повної ймовірності|закону повної ймовірності]]), це становить <math>P(T)= 0.5\times0.4 + 1\times0.6 = 0.8</math>.

Враховуючи всю цю інформацію, '''апостеріорна ймовірність''' того, що спостерігач бачить дівчину, за умови що учень, якого бачить спостерігач, носить штани, може бути обчислено підставленням цих значень до формули

: <math>P(G|T) = \frac{P(T|G) P(G)}{P(T)} = \frac{0.5 \times 0.4}{0.8} = 0.25.</math>

Інтуїтивне пояснення цього результату полягає в тім, що з кожної сотні учнів (60 хлопців та 40 дівчат), оскільки ми спостерігаємо штани, цей учень є одним з 80, що їх носять (60 хлопців та 20 дівчат); оскільки 20/80 = 1/4 з них є дівчатами, то ймовірністю того, що учень в штанях є дівчиною, становить 1/4.

== Обчислення ==

Апостеріорний розподіл імовірності однієї [[Випадкова величина|випадкової змінної]] при заданому значенні іншої може бути обчислено за [[Теорема Баєса|теоремою Баєса]] шляхом множення [[Апріорний розподіл імовірності|апріорного розподілу ймовірності]] на [[Функція правдоподібності|функцію правдоподібності]], а потім діленням на {{Нп|Нормувальна стала|нормувальну сталу||Normalizing constant}}, а саме:

: <math>f_{X\mid Y=y}(x)={f_X(x) L_{X\mid Y=y}(x) \over {\int_{-\infty}^\infty f_X(u) L_{X\mid Y=y}(u)\,du}}</math>

дає апостеріорну [[Густина імовірності|функцію густини ймовірності]] випадкової змінної <math>X</math> з урахуванням даних <math>Y=y</math>, де

* <math>f_X(x)</math> є апріорною густиною <math>X</math>;
* <math>L_{X\mid Y=y}(x) = f_{Y\mid X=x}(y)</math> є функцією правдоподібності як функції від <math>x</math>;
* <math>\int_{-\infty}^\infty f_X(u) L_{X\mid Y=y}(u)\,du</math> є нормувальною сталою, та
* <math>f_{X\mid Y=y}(x)</math> є апостеріорною густиною <math>X</math> з урахуванням даних <math>Y=y</math>.

== Імовірний інтервал ==

Апостеріорна ймовірність є умовною ймовірністю, обумовленою випадково спостережуваними даними. Відтак вона є випадковою змінною. Для випадкової змінної важливо підбивати величину її невизначеності. Одним зі способів досягнення цієї мети є надання [[Імовірний інтервал|ймовірного інтервалу]] апостеріорної ймовірності.

== Класифікація ==

У [[Задача класифікації|класифікації]] апостеріорна ймовірність відображає невизначеність віднесення спостереження до певного класу, див. також [[ймовірності приналежності до класів]]. Хоча методи [[Статистична класифікація|статистичної класифікації]] за визначенням і породжують апостеріорні ймовірності, фахівці з машинного навчання зазвичай подають значення приналежності, що не передбачають жодної ймовірнісної довірчості. Бажано перетворювати або перемасштабовувати значення приналежності у ймовірності приналежності до класів, оскільки вони є порівнюваними й на додачу легше застосовними для подальшої обробки.

== Див. також ==

* {{Нп|Передбачуваний інтервал|||Prediction interval}}
* {{Нп|Теорема Бернштайна — фон Мізеса||de|Satz von Bernstein-von-Mises}}
* [[Парадокс Монті Голла|Зачада Монті Голла]]
* {{Нп|Задача трьох в'язнів|||Three Prisoners Problem}}
* {{Нп|Парадокс скриньок Бертрана|||Bertrand's box paradox}}
* {{нп|Піково-пластинне обирання змінних|||Spike-and-slab variable selection}}
* [[Баєсів структурний часовий ряд]]
* {{нп|Імовірність позитивного результату|||Probability of success}}

== Примітки ==
{{reflist}}

== Література ==
* {{cite book| title=Bayesian Statistics, an introduction| url=http://www-users.york.ac.uk/~pml1/bayes/book.htm| author=Peter M. Lee| publisher=[[John Wiley & Sons|Wiley]]| year=2004| edition=3rd| isbn=978-0-340-81405-5| accessdate=24 вересня 2015| archive-date=25 вересня 2015| archive-url=https://web.archive.org/web/20150925132822/http://www-users.york.ac.uk/~pml1/bayes/book.htm}} {{ref-en}}


{{Статистика|виведення}}

[[Категорія:Баєсова статистика]]