Перегляд вихідного коду сторінки Алгебрична топологія

[[Image:Torus.png|right|thumb|250px|[[Тор (геометрія)|Тор]], є одним із об'єктів, що вивчається найчастіше в алгебраїчній топології]]
'''Алгебрична топологія''' (застаріла назва: «комбінаторна топологія»)&nbsp;— розділ [[топологія|топології]], який вивчає [[топологічний простір|топологічні простори]] шляхом зіставлення їм алгебричних об'єктів, а також поведінку цих об'єктів під дією різних топологічних операцій.

== Основна ідея ==

Одна з основних ідей алгебричної топологі полягає у тому, щоб розгладати два простори як еквівалентні, якщо вони мають "однакову форму" у деякому сенсі, більш широкому, ніж [[гомеоморфізм]]. Це приводить до наступного визначення. Деформаційна ретракція простору <math> X </math> на простір <math> A </math> - клас відображень <math> f_{t}:X\rightarrow X,\,\,\,\,t\in I, </math> для якого <math> f_{0}=1 </math> ([[тотожне відображення]]), <math> f_{1}(X)=A </math> та <math> f_{t}|_{A}=\mathbb{1}\,\,\,\forall t. </math> Клас <math> f_{t} </math> повинен бути неперервним у тому сенсі, що відображення <math> X\times I\rightarrow X, </math> задане формулою <math> (x,t)\mapsto f_{t}(x), </math> є неперервним. Деформаційна ретракція <math> f_{t}:X\rightarrow X </math> є частковим випадком гомотопії, який є просто класом відображень <math> f_{t}:X\rightarrow X,\,\,\,\,t\in I, </math> для якого відображення <math> F:X\times I\rightarrow Y, </math> задане формулою <math> f(x,t)=f_{t}(x), </math> є неперервним.

Таким чином, деформаційна ретракція простору <math> X </math> на підпростір <math> A </math> - це гомотопія тотожного відображення простору <math> X </math> у ретракцію <math> X </math> на <math> A, </math> тобто відображення <math> r:X\rightarrow X, </math> для якого <math> r(X)=A </math> й <math> r|_{A}=\mathbb{1}. </math> 

Можна також розглядати ретракцію як відображення <math> X\rightarrow A, </math> обмеження якого на підпростір <math> A\subset X </math> є тотожним. З більш формальної точки зору ретракція - це відображення <math> r:X\rightarrow X, </math> для якого <math> r^{2}=r, </math> оскільки це співвідношення в точності значить, що <math> r </math> є тотожним на своєму образі. Ретракції - це аналоги проекторів, які зустрічаються у інших розділах математики<ref>{{Cite book|title=А.Хатчер - Алгебраическая топология.|last=|first=|year=|publisher=|location=|pages=|language=|isbn=}}</ref>. 

Методи алгебричної топології засновані на припущенні, що [[алгебрична структура|алгебричні структури]] влаштовані простіше, ніж топологічні.

Крім різних гомологій (зараз дуже велике значення набули екстраординарні гомології, наприклад теорія [[бордизм]]ів або [[К-теорія|<math>K</math>-теорія]]) для алгебричної топології важливі [[гомотопічні групи]] <math> \pi_n(X)</math>. З них головною є <math> \pi_1(X) </math>&nbsp;— так звана [[фундаментальна група]], на відміну від груп решти вимірностей, що можуть бути [[абелева група|неабелевими]].

==Основні галузі алгебраїчної топології==

В цьому розділі перелічені основні області, які вивчає алгебраїчна топологія:

===Гомотопічні групи===
{{Main|Гомотопічні групи}}
Гомотопічні групи використовуються в алгебраїчній топології для класифікації [[Топологічний простір|топологічних просторів]]. Першою і найпростішою гомотопічною групою є [[Фундаментальна група]], яка містить інформацію про [[Петля (топологія)|петлі]] в просторі. Гомотопічні групи записують інформацію про базову форму, або дірки топологічного простору.

===Гомологія===
{{Main|Гомологія (математика)|l1=Гомологія}}
В алгебраїчній топології та [[Абстрактна алгебра|абстрактній алгебрі]], '''гомологія''' (перша частина назви походить від [[Грецька мова|грецького слова]] ὁμός ''гомос'' "ідентичний") це певна загальна процедура асоціації [[Послідовність|послідовності]] [[Абелева група|абелевих груп]] або [[Модуль над кільцем|модулів]] із даним математичним об'єктам, таким як [[топологічний простір]] або [[Група (математика)|група]].<ref>{{harvtxt|Fraleigh|1976|p=163}}</ref>

===Когомологія===
{{Main|Когомологія}}
В [[Гомологія (математика)|гомології]] і алгебраїчній топології, '''когомологія''' це загальний термін для [[Послідовність|послідовності]] [[Абелева група|абелевих груп]] визначених через [[Ланцюговий комплекс|ланцюговий комплекс]]. 

===Многовид===
{{Main|Многовид}}
'''Многовид''' це такий топологічний простір, який біля кожної точки є схожим на [[Евклідів простір]]. Прикладами є [[площина]], the [[сфера]], і [[Тор (геометрія)|тор]], які можуть бути представлені у трьох вимірах, а також [[пляшка Кляйна]] і [[дійсна проективна площина]] які не можна представити у трьох вимірах, але існують у чотирьох вимірах. Як правило, результати алгебраїчної топології приділяють увагу загальним, не дефереційованим аспектам многовидів, наприклад [[Двоїстість Пуанкаре]].

===Теорія вузлів===
{{Main|Теорія вузлів}}
'''Теорія вузлів''' вивчає [[Вузол (математика)|математичні вузли]]. Хоч ця галузь натхненна вузлами, що існують у повсякденному житті зав'язаними на шнурах та мотузках, математичні вузли відрізняються тим, що їхні кінці сполучені між собою так, що ці вузли неможливо розв'язати. На точній математичній мові, вузол це [[вкладення]] [[Коло|кола]] в 3-вимірний евклідів простір <math>\mathbb{R}^3</math>. Два математичні вузли еквівалентні, якщо один з них можна трансформувати в інший деформацією простору <math>\mathbb{R}^3</math> самого в себе (так звана {{нп|об'ємна ізотопія||en|ambient isotopy}}); ці трансформації можна уявити як такі маніпуляції над зв'язаною мотузкою, за яких не застосовують розрізання мотузки чи проходження її через себе

===Комплекси===
[[File:Simplicial complex example.svg|thumb|200px|Симпліційний 3-комплекс.]]
{{Main|Симпліційний комплекс|CW-комплекс}}
'''Симпліційний комплекс''' це топологічний простір певного типу, побудований шляхом "склеювання до купи" [[Точка|точок]], [[Відрізок|лінійних відрізків]], [[трикутник]]ів, та їх [[Симплекс|''n''-вимірних відповідників]] (див. ілюстрацію).  Симпліційні комплекси не слід плутати із більш абстрактним поняттям [[Симпліційна множина|Симпліційної множини]], яке зустрічається в сучасній симпліциальній теорії гомотопії. Суто комбінаторним відповідником симпліциальному комплексу є [[абстрактний симпліційний комплекс]].

'''CW-комплекс''' це тим топологічного простору запропонований [[Джон Генрі Константайн Вайтгед|Д. Г. К. Вайтгедом]] з метою узгодити потреби [[Гомотопія|теорії гомотопії]]. Цей клас просторів є ширшим і має дещо кращі властивості [[Теорія категорій|категорій]] ніж симпліційні комплекси, але залишає відповідати комбінаторній природі, що дозволяє здійснювати розрахунки (часто із набагато меншим комплексом).

== Теорема Брауера (приклад) ==
{{main|Теорема Брауера про нерухому точку}}

Як приклад застосування методів алгебричної топології можна навести доказ знаменитої теореми [[Лейтзен Егберт Ян Брауер|Брауера]]. Тут <math> D_n </math> означає замкнена <math>n</math>-вимірна куля, <math> S_{N-1}</math>&nbsp;— її <math>(n-1)</math>-вимірна границя (сфера):

<blockquote> Будь-яке [[неперервне відображення]] <math>f</math> <math>n</math>-вимірної кулі <math>D_n</math> у себе має нерухому точку, тобто таку точку <math>x</math>, що
<math>f(x)=x</math></blockquote>

Неважко бачити, що для цього достатньо довести наступну лему:

<blockquote> Не існує неперервного відображення <math>g</math> <math>n</math>-вимірної кулі <math> D_n </math> на свою границю <math>S_{n-1}</math> такого, що <math>g(x)=x</math> для всіх точок границі (що називається ''ретракцією'')</blockquote>

Дійсно, якщо у відображенні <math>f</math> немає [[Нерухома точка|нерухомих точок]], то ми можемо побудувати відображення <math>g</math> кулі на сферу провівши для кожної точки кулі <math>x</math> промінь, що виходить з <math>f(x)</math> і проходить через <math>x</math> (у разі відсутності нерухомих точок це різні точки). Точку перетину променя зі сферою <math>S_{n-1}</math> позначимо через <math>y</math> і покладемо <math>g(x)=y</math>. Ясно, що отримане відображення є неперервним, і якщо <math>x</math> належить сфері, то <math>g(x)=x</math>. Ми отримали [[ретракція|ретракцію]] кулі на сферу, що за лемою неможливо. Значить нерухомі точки (хоча б одна) повинні існувати.

Тепер найбільша складність полягає у доведені леми. Нехай існує така ретракція <math>g</math>. Позначимо <math>i</math>&nbsp;— вкладення сфери в кулю <math>i(x)=x</math>. Маємо: добуток відображень <math>gi=\mathrm{id}</math>&nbsp;— тотожне відображення сфери (спочатку <math>i</math>, потім <math>g</math>). Одним з найголовніших інструментів алгебричної топології є так звані групи [[Гомологія (топологія) | гомології]] (наприклад, сімпліциальні або сингулярні). Кожному топологічному простору <math> X </math> відповідає в кожній розмірності <math>n</math> своя [[абелева група]] гомології <math>H_n(X)</math>, а кожному неперервному відображенню <math>f:X\to Y</math> відповідає [[гомоморфізм]] груп <math>f_*:H_n(X)\to H_n(Y)</math>, причому добутку відображень <math>fg</math> відповідає добуток гомоморфізмів <math>f_*g_*</math>, а тотожному відображенню <math>\mathrm{id}</math> відповідає тотожний ізоморфізм <math>\mathrm{id}_*</math>. (Мовою теорії [[Категорія (математика) | категорій]] це означає, що група гомології є коваріантним [[функтор]]ом з категорії топологічних просторів у категорію абелевих груп).

Тепер повертаємося до нашої леми. Легко довести, що <math>H_{n-1}(S_{n-1})=\mathbf{Z}</math>, а <math>H_{n-1}(D_n)=0</math>. Тоді відображення <math>g_*:H_{n-1}(D_n)\to H_{n-1}(S_{n-1})</math> буде відображенням в 0 але, з іншого боку, оскільки <math>gi=\mathrm{id}</math>, маємо <math>g_*i_*=\mathrm{id}_*:\mathbf{Z}\to\mathbf{Z}</math>&nbsp;— є не нульовим гомоморфізмом, ізоморфізму, а тотожним. Таким чином, лема доведена.

Звичайно, є й неалгебричні доведення теореми Брауера, але введення гомології відразу дозволило легко довести безліч тверджень, які раніше здавалися непов'язаними одне з одним.

== Історія ==

Деякі теореми алгебричної топології були відомі ще [[Ейлер Леонард|Ейлеру]], наприклад, що для всякого [[Опуклий політоп|опуклого многогранника]] з числом вершин <math> V</math>, ребер <math> E </math> і граней <math> F </math> має місце <math> V-E + F = 2 </math>.

Топологічними питаннями цікавилися [[Гаус Карл Фрідріх|Гаус]] і [[Бернгард Ріман|Ріман]].

Але основну роль у створенні алгебричної топології як науки зіграв [[Анрі Пуанкаре| Пуанкаре]]&nbsp;— саме йому належать поняття симпліційної гомології та фундаментальної групи.
Великий внесок зробили [[Джеймс Уедделла Александер|Александер]], [[Освальд Веблен|Веблен]], [[Соломон Лефшец|Лефшец]], [[Джон Генрі Константайн Уайтхед|Уайтхед]], [[Кароль Борсук|Борсук]], [[Вітольд Гуревич|Гуревич]], {{нп|Норман Стінрод|Стінрод||Norman Steenrod}}, [[Самуель Ейленберг|Ейленберг]], [[Жан-П'єр Серр|Серр]], [[Рене Том|Том]], [[Майкл Атія|Атія]], [[Фрідріх Хірцебрух|Хірцебрух]], [[Ботт, Рауль|Ботт]], [[Адамс, Джон Френк|Адамс]] [[Стівен Смейл|Смейл]], [[Джон Мілнор| Мілнор]], [[Деніел Квіллен|Квіллен]], [[Александров Павло Сергійович|П С. Александров]], [[Колмогоров Андрій Миколайович|Колмогорова]], [[Понтрягін Лев Семенович|Понтрягін]], [[Люстерник Лазар Аронович|Люстерник]], [[Володимир Абрамович Рохлін|Рохлін]], [[Новіков Сергій Петрович (математик)|Новіков]], [[Фоменко Анатолій Тимофійович|Фоменко]], [[Концевич Максим Львович|Концевич]], [[Воєводський Володимир Олександрович|Воєводський]], [[Перельман Григорій Якович|Перельман]].

== Навчальні матеріали ==
* {{ref-en}} Курс лекцій {{YouTube|playlist=PL6763F57A61FE6FE8|title=Algebraic Topology, a beginner's course}}, N. J. Wildberger (University of New South Wales).

== Література ==

* Hatcher A. [http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html Algebraic Topology] {{Webarchive|url=https://www.webcitation.org/65a3b1JDI?url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html |date=20 лютого 2012 }}
* Васильев В.&nbsp;А. Введение в топологию.&nbsp;— М.: Фазис, 1997
* Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию.&nbsp;— М.: МЦНМО, 2005
* Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. [http://www.pdmi.ras.ru/~olegviro/topoman/index.html Задачный учебник по топологии] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120219000132/http://www.pdmi.ras.ru/~olegviro/topoman/index.html |date=19 лютого 2012 }}
* Дольд А. Лекции по алгебраической топологии.&nbsp;— М.: Мир, 1976
* Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А.&nbsp;Т.&nbsp;Современная геометрия: Методы и приложения.&nbsp;— М.: Наука, 1979
* Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А.&nbsp;Т.&nbsp;Современная геометрия: Методы теории гомологий.&nbsp;— М.: Наука, 1984
* Зейферт Г., Трельфалль В. Топология.&nbsp;— Ижевск: РХД, 2001
* Коснёвски Ч. Начальный курс алгебраической топологии.&nbsp;— М.: Мир, 1983
* Лефшец С. Алгебраическая топология.&nbsp;— М.: ИЛ, 1949
* Новиков П.&nbsp;С.&nbsp;Топология.&nbsp;— 2 изд., испр. и доп.&nbsp;— Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002
* Прасолов В.&nbsp;В.&nbsp;Элементы теории гомологий.&nbsp;— М.: МЦНМО,2006
* Свитцер Р.&nbsp;М.&nbsp;Алгебраическая топология&nbsp;— гомотопии и гомологии.&nbsp;— М.: Наука, 1985
* Спеньер Э. Алгебраическая топология.&nbsp;— М.: Мир, 1971
* Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии.&nbsp;— М.: Физматгиз, 1958
* Фоменко А. Т., Фукс Д.&nbsp;Б.&nbsp;Курс гомотопической топологии.&nbsp;— М.: Наука, 1989
*Ковальов С. М., Гумен М. С., Пустюльга С. І., Михайленко В.Є, Бурчак І. Н. Прикладна геометрія та інженерна графіка. Спеціальні розділи. Випуск 1. — Луцьк: Редакційно-видавничий відділ ЛДТУ, 2006. — 256 с. (С. 90)

== Див. також ==
* [[Топологія]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Література ==
* {{ citation | first1 = John B. | last1 = Fraleigh | year = 1976 | isbn = 0-201-01984-1 | title = A First Course In Abstract Algebra | edition = 2nd | publisher = [[Addison-Wesley]] | location = Reading }}
{{Математика-доробити}}

{{Топологія}}
{{Математика-footer}}
[[Категорія:Алгебрична топологія]]