Перегляд вихідного коду сторінки Алгебрична крива

[[Файл:Tschirnhausen cubic.svg|thumb|300px|right|[[Кубика Чирнгауза]]&nbsp;— алгебрична крива третього порядку.]]
'''Алгебричні криві'''&nbsp;— це найпростіші об'єкти [[евклідова геометрія|евклідової геометрії]], для визначення яких недостатньо лінійних рівнянь. Зокрема, в евклідовій геометрії плоска алгебрична крива визначається як множина нулів [[многочлен]]а від двох змінних. Наприклад, одиничне [[коло]]&nbsp;— це алгебрична крива, оскільки вона задається рівнянням {{math|''x''<sup>2</sup> +''y''<sup>2</sup>-1 {{=}} 0}}.<ref>''Ю.&nbsp;И.&nbsp;Манин.'' Рациональные точки на алгебраических кривых.&nbsp;— Успехи математических наук, т. XIX, вып. 6 (120), 1964.</ref>

За багатьма технічними причинами зручно також розглядати [[комплексне число|комплексні]] [[Корінь многочлена|корені]] відповідного многочлена, а також узагальнити визначення на випадок довільного [[поле (алгебра)|поля]].

В [[алгебрична геометрія|алгебричній геометрії]], плоска афінна алгебрична крива над [[поле (алгебра)|полем]] {{math|''k''}} визначається як множина точок {{math|''K''<sup>2</sup>}}, які є коренями многочлена від двох змінних з коефіцієнтами в {{math|''k''}}, де {{math|''K''}}&nbsp;— [[алгебрично замкнуте поле|алгебричне замикання поля]] {{math|''k''}}. Точки цієї кривої, всі координати яких лежать в {{math|''k''}}, називаються {{math|''k''}}-точками. Наприклад, точка <math>(2,\sqrt {-3})</math> належить розглянутому вище одиничному колу, однак не належить його [[дійсні числа|дійсній]] частині. Многочлен {{math|''x''<sup>2</sup> +''y''<sup>2</sup> + 1}} задає алгебричну криву, дійсна частина якої [[порожня множина|порожня]].

Більш загально, можна розглядати алгебричні криві, що містяться не в площині, а в просторі з довільною [[розмірність простору|розмірністю]] або в [[проєктивний простір|проєктивному просторі]]. Виявляється, що багато властивостей алгебричної кривої не залежить від вибору конкретного вкладення в деякий простір, і це призводить до загального визначення алгебричної кривої:

'''Алгебрична крива'''&nbsp;— це [[алгебричний многовид]] [[Розмірність простору|розмірності]] 1. Це визначення можна переформулювати так: алгебрична крива&nbsp;— це алгебричний [[многовид]], всі підмноговиди якого складаються з однієї точки.

== Приклади алгебричних кривих ==

=== Раціональні криві ===
'''Раціональна крива''', також відома як [[унікурсальна крива]],&nbsp;— це крива, [[Біраціональна геометрія|біраціонально еквівалентна]] [[пряма|афінній прямій]] (або [[проєктивна пряма|проєктивній прямій]]), іншими словами, крива, на якій можлива раціональна [[Параметризація (геометрія)|параметризація]].

Більш конкретно, раціональна крива в {{math|''n''}}-вимірному просторі може бути параметризована (за винятком деякого числа ізольованих «особливих точок») за допомогою {{math|''n''}} [[раціональна функція|раціональних функцій]] від єдиного параметра {{math|''t''}}.

[[Файл:Rotated ellipse.svg|thumb|right|{{math|''x''<sup>2</sup> + ''xy'' + ''y''<sup>2</sup> {{=}} 1}}]]
Наприклад, розглянемо [[еліпс]] {{math|''x''<sup>2</sup> +''xy''+''y''<sup>2</sup> {{=}} 1}} з раціональною точкою (-1, 0). Провівши через неї пряму {{math|''y''{{=}}''t'' (''x''+ 1)}}, підставивши вираз {{math|''y''}} через {{math|''x''}} в рівняння та розв'язавши відносно {{math|''x''}}, отримаємо рівняння

: <math>x = \frac{1-t^2}{1+t+t^2},</math>
: <math>y=t(x+1)=\frac{t(t+2)}{1+t+t^2}\,,</math>

які задають раціональну параметризацію еліпса. У такому вигляді подавані всі точки еліпса крім точки (-1, 0), можна зіставити їй {{math|''t'' {{=}} ∞}}, тобто параметризувати еліпс проєктивною прямою.

Цю раціональну параметризацію можна розглядати як параметризацію «еліпса в [[проєктивний простір|проєктивному просторі]]», перейшовши до [[однорідні координати|однорідних координат]], тобто замінивши {{math|''t''}} на {{math|''T''/''U''}}, а {{math|''x'', ''y''}}&nbsp;— на {{math|''X''/''Z'',''Y''/''Z''}} відповідно. Параметризація еліпса {{math|''X''<sup>2</sup> +''XY''+''Y''<sup>2</sup> {{=}}''Z''<sup>2</sup>}} проєктивної прямої прийме такий вигляд:

: <math>X=U^2-T^2,\quad Y=T\,(T+2\,U),\quad Z=T^2+TU+U^2.</math>

=== Еліптичні криві ===
{{Докладніше|Еліптична крива}}
Раціональні криві (над алгебричним замкненим полем)&nbsp;— це алгебричні криві роду 0 (див. [[алгебрична крива#Комплексні криві як дійсні поверхні|нижче]]), у цій термінології '''[[Еліптична крива|еліптичні криві]]'''&nbsp;— це криві роду 1 з раціональною точкою. Основний приклад такої кривої&nbsp;— [[кубика]] без [[особлива точка|особливостей]]; такої кубики достатньо, щоб промоделювати будь-яку криву роду 1.

Еліптична крива несе на собі структуру [[абелева група|абелевої групи]]. Сума трьох точок на кубиці дорівнює нулю тоді і лише тоді, коли ці точки [[колінеарність|колінеарні]].

Перетин двох [[конічний перетин|конік]] є кривою четвертого порядку роду 1, а значить, еліптичною кривою, якщо вона містить хоча б одну раціональну точку. В іншому випадку перетин може бути раціональною кривою четвертого порядку з особливостями, або бути розкладеним на криві меншого порядку (кубика і пряма, дві коніки, коніку і дві прямі або чотири прямі).

== Зв'язок з полями функцій ==
Вивчення алгебричних кривих може бути зведене до вивчення ''нескоротних'' кривих (тобто не розкладаються в об'єднання двох менших кривих). Кожній такій кривій можна зіставити [[алгебрична геометрія|поле раціональних функцій]] на ній; виявляється, що криві біраціонально еквівалентні тоді і лише тоді, коли їх поля функцій ізоморфні. Це означає, що [[теорія категорій|категорія]] алгебричних кривих та [[алгебрична геометрія|раціональних відображень]] [[еквівалентність категорій|двоїста]] категорії одновимірних полів алгебричних функцій, тобто полів, які є [[алгебричне розширення|алгебричними розширеннями]] поля <math>k(x)</math>.

== Комплексні криві як дійсні поверхні ==
Комплексна алгебрична крива, вкладена в афінний або проєктивний простір, має топологічну розмірність 2, іншими словами, є [[поверхня|поверхнею]]. Зокрема, комплексна алгебрична крива без особливостей є двовимірним [[орієнтація|орієнтованим]] [[многовид]]ом.

[[Рід (математика)|Топологічний рід]] цієї поверхні збігається з '''родом алгебричної кривої''' (який можна обчислити алгебричними способами). Дуже коротко: якщо [[проєкції|проєкція]] кривої без [[особлива точка|особливостей]] на площину є алгебричною кривою ступеня {{math|''d''}} зі звичайними особливостями (точки подвійного самоперетину, з різними [[дотичний простір|дотичними прямими]] у кожної з компонент), то вихідна крива має рід {{math| (''d''-1) (''d''-2) /2-''k''}}, де {{math|''k''}}&nbsp;— число цих особливостей.

Вивчення [[компактний простір|компактних]] [[ріманів многовид|ріманових поверхонь]] складається фактично у вивченні комплексних алгебричних кривих без особливостей, розглянутих як поверхні з додатковою аналітичною структурою. Більш точно, такі [[теорія категорій|категорії]] [[еквівалентність категорій|еквівалентні]]:
* Категорія проєктивних алгебричних кривих без особливостей (з раціональними відображеннями як морфізмом).
* Категорія компактних [[ріманова поверхня|ріманових поверхонь]] та [[голоморфна функція|голоморфних функцій]].

== Класифікація особливостей ==
[[Файл:Cusp.svg|thumb|right|{{math|''x''<sup>3</sup> − ''y''<sup>2</sup> {{=}} 0}}]]
Особливі точки включають в себе кілька типів точок, в яких крива «перетинає сама себе», а також різні типи [[касп (математика)|каспів]]. Наприклад, на малюнку зображена крива {{math|''x''<sup>3</sup>-''y''<sup>2</sup> {{=}} 0}} з каспом на початку координат.

Особливі точки можна класифікувати за їхніми [[інваріант (математика)|інваріантами]]. Наприклад, особливу точку з дельта-інваріантом δ можна інтуїтивно описати як точку, в якій зустрічаються одразу δ «самоперетинів». У разі точки {{math|''P''}} нескоротьної кривої δ можна обчислити як [[довжина модуля|довжину модуля]] <math>\widetilde{\mathcal{O}_P}/\mathcal{O}_P</math>, де <math>\mathcal{O}_P</math>&nbsp;— [[схема (математика) #Визначення|локальне кільце]] в точці {{math|''P''}} та <math>\widetilde{\mathcal{O}_P}</math>&nbsp;— його [[ціле розширення кільця|ціле замикання]]. Обчислення дельта-інваріантів всіх особливих точок дозволяє обчислити рід кривої за формулою:
: <math>g = \frac{1}{2}(d-1)(d-2) - \sum_P \delta_P,</math>

Інші важливі інваріанти: кратність {{math|''m''}} особливості (максимальне ціле число, таке що всі [[Похідна|похідні]] які задають криву многочлена, порядок яких не перевищує {{math|''m''}}, дорівнюють нулю) і {{Не перекладено|число Мілнора|||Milnor number}}.

== Див. також ==
* [[Крива]]
* [[Еліптична крива]]
* [[Ріманова поверхня|Поверхня Рімана]]
* [[Теорема Безу (алгебрична геометрія)]]
* [[Алгебрична поверхня]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{книга |автор= [[Серр, Жан-Пьер|Ж.-П. Серр]].|заголовок= Алгебраические группы и поля классов|посилання= |місце= М.|видавництво= Мир|рік= 1968|сторінки= 285}}
* {{книга |автор= [[Милнор, Джон|Джон Милнор]].|заголовок= Особые точки комплексных гиперповерхностей|посилання= |місце= М.|видавництво= Мир|рік= 1971|сторінки= 121}}
* {{книга |автор= Egbert Brieskorn, Horst Knörrer.|заголовок= Plane Algebraic Curves|посилання= |місце= |видавництво= Birkhäuser|рік= 1986|allpages= |isbn= }}
* {{книга |автор= Hershel M. Farkas, Irwin Kra.|заголовок= Riemann Surfaces|посилання= |місце= |видавництво= Springer|рік= 1980|allpages= |isbn= }}
* {{книга |автор= [[Фултон, Уильям|W. Fulton]].|заголовок= Algebraic Curves: an introduction to algebraic geometry|посилання= http://www.math.lsa.umich.edu/~wfulton/CurveBook.pdf|місце= |видавництво= |рік= |allpages= |isbn= }}
* {{книга |автор= C.G. Gibson.|заголовок= Elementary Geometry of Algebraic Curves: An Undergraduate Introduction|посилання= |місце= |видавництво= Cambridge University Press|рік= 1998|allpages= |isbn= }}

{{Криві}}
[[Категорія:Алгебричні криві|*]]