Перегляд вихідного коду сторінки Алгебра Гопфа

{{Алгебричні структури|algebra}}
'''Алгебра Гопфа''' — асоціативна [[алгебра над полем|алгебра]] з одиницею, що є також коасоціативною [[коалгебра|коалгеброю]] з коодиницею і, таким чином, біалгеброю з антигомоморфізмом спеціального виду. Названа на честь [[Гайнц Гопф|Гайнца Гопфа]].

Алгебри Гопфа зустрічаються в [[Алгебрична топологія|алгебраїчній топології]], де вони виникли у зв'язку з концепцією [[H-простір|H-простору]], в теорії групових схем, в [[Теорія груп|теорії груп]] (завдяки концепції [[Групове кільце|групового кільця]]), і в багатьох інших розділах математики, що робить їх одним з найвідоміших прикладів біалгебри. Алгебри Гопфа також вивчаються як самостійний предмет, у зв'язку з великою кількістю певних класів алгебр Гопфа і проблем їх класифікації.

== Означення ==

Алгебра Гопфа — [[Алгебра над кільцем|асоціативна]] і [[Коалгебра|коасоціативна]] [[біалгебра]] {{mvar|H}} над [[Поле (алгебра)|полем]] <math> K </math> разом з <math>K</math>[[Лінійне відображення|-лінійним відображенням]] <math> S \colon H \to H </math> (що називається ''антиподом'') таким, що наступна діаграма є [[комутативна діаграма|комутативною]]:
<div style="text-align: center;">
[[Файл:Hopf algebra.svg|250px|antipode commutative diagram]]
</div>
Тут {{math|Δ}} — [[коалгебра|кодобуток біалгебри]], {{math|∇}} — добуток алгебри, {{mvar|η}} — одиниця алгебри й {{mvar|ε}} — [[коалгебра|коодиниця]]. 

У позначеннях Свідлера, ця властивість записується як:
: <math> S (c_{(1)}) c_{(2)} = c_{(1)} S (c_{(2)}) = \epsilon (c) 1 \qquad \forall c \in H </math>.

Наведене означення можна узагальнити для [[алгебра над кільцем|алгебр над кільцями]] (досить в означенні замінити поле <math>K</math> на [[комутативне кільце]] <math>R</math>).

Означення алгебри Гопфа є двоїстим самому собі (це відображено в симетрії наведеної діаграми), зокрема, якщо можна задати двоїсту алгебру до {{mvar|H}} (це завжди можливо якщо {{mvar|H}} є [[Скінченновимірний простір|скінченновимірним простором]]) то вона автоматично є алгеброю Гопфа.

=== Структурні константи ===
Зафіксувавши базис <math>\{e_k\}</math> алгебри як векторного простору, алгебру Гопфа можна описати за допомогою структурних констант

для множення:
:<math>e_i\nabla e_j = \sum_k \mu^k_{\;ij} e_k</math>
для кодобутку:
:<math>\Delta e_i = \sum_{j,k} \nu^{\;jk}_i e_j\otimes e_k</math>
для антипода:
:<math>S e_i = \sum_j \tau_i^{\;j} e_j</math>
Асоціативність алгебри тоді вимагає рівності
:<math>\mu^k_{\;ij}\mu^m_{\;kn}=\mu^k_{\;jn}\mu^m_{\;ik}</math>
для коасоціативності має виконуватися рівність
:<math>\nu_k^{\;ij}\nu_i^{\;mn}=\nu_k^{\;mi}\nu_i^{\;nj}</math>
Також для структурних констав має бути
:<math>\nu_k^{\;ij}\tau_j^{\;m}\mu^n_{\;pm}=\nu_k^{\;jm}\tau_j^{\,\;i}\mu^n_{\;pm}</math>

== Властивості антипода ==

В означенні алгебр Гопфа для антипода {{mvar|S}} часто ставиться вимога існування {{mvar|K}}-лінійного [[Обернена матриця|оберненого відображення]], яке автоматично існує у скінченновимірному випадку, або якщо алгебра {{mvar|H}} є комутативною, кокомутативною або, більш загально, квазітрикутною.

Взагалі кажучи, {{mvar|S}} є [[антигомоморфізм]]ом <ref>Dascalescu, Nastasescu & Raianu (2001), Prop. 4.2.6, [https://books.google.ru/books?id=pBJ6sbPHA0IC&pg=PA153&dq=%22is+an+antimorphism+of+algebras%22&redir_esc=y p. 153] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20141006132220/http://books.google.ru/books?id=pBJ6sbPHA0IC&pg=PA153&dq=%22is+an+antimorphism+of+algebras%22&redir_esc=y |date=6 жовтня 2014 }}</ref>, так {{math|S<sup>2</sup>}} - [[гомоморфізм]], який буде [[автоморфізм]]ом, якщо {{mvar|S}} є оборотним.

Якщо <math> S^2 = Id </math>, то алгебра Гопфа, як кажуть, є ''інволютивною'' (основним прикладом інволютивної алгебри є [[*-алгебра]]). Якщо {{mvar|H}} — скінченновимірна [[Напівпростий модуль|напівпроста алгебра]] над полем [[Характеристика (алгебра)|характеристики]] нуль, що є комутативною або кокомутативною, то вона є інволютивною.

Якщо біалгебра {{mvar|B}} допускає антипод {{mvar|S}}, то {{mvar|S}} є єдиним (довільна біалгебра допускає щонайбільше 1 структуру алгебри Гопфа).<ref> Dascalescu, Nastasescu & Raianu (2001), Remarks 4.2.3,</ref>

Антипод є аналогом відображення інверсії на [[Група (математика)|групі]], яке відображає <math>g</math> у <math>g^{-1}</math>. <ref>{{cite web
|url = http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~pareigis/Vorlesungen/98SS/Quantum_Groups/LN2_1.PDF
|title = Quantum groups lecture notes
|language = en}}</ref>

== Підалгебри Гопфа ==

Підалгебра {{mvar|A}} алгебри Гопфа {{mvar|H}} є підалгеброю Гопфа, якщо вона є підкоалгеброю {{mvar|H}} і антипод {{mvar|S}} відображає {{mvar|A}} в {{mvar|A}}. Іншими словами, підалгебра Гопфа {{mvar|A}} - це підпростір в алгебрі Гопфа, замкнутий щодо множення, кодобутку й антипода. Теорема Ніколса — Зеллер (''Nichols - Zoeller'') про вільність стверджує, що якщо {{mvar|H}} є скінченновимірною, то натуральний [[модуль над кільцем|{{mvar|A}}-модуль]] {{mvar|H}} є [[вільний модуль|вільним модулем]] скінченного рангу, що дає узагальнення [[теорема Лагранжа (теорія груп)|теореми Лагранжа для підгруп]]. Як наслідок цього, підалгебра Гопфа напівпростої скінченновимірної алгебри Гопфа автоматично є напівпростою.

Підалгебра Гопфа {{mvar|A}} називається правою нормальною підалгеброю алгебри Гопфа {{mvar|H}}, якщо вона задовольняє умові стабільності, <math> ad_r (h) (A) \subseteq A </math> для всіх {{ mvar|h}} з {{mvar|H}}, де приєднане відображення <math>ad_r</math> задане як <math>ad_r (h)(a) = S(h_{(1)}) ah_{(2)}</math> для всіх {{mvar|a}} з {{mvar|A}} і {{mvar|h}} з {{mvar|H}}. Підалгебра Гопфа {{mvar|K}} є лівою нормальною в {{mvar|H}} якщо вона інваріантна при лівому приєднаному відображенню <math>ad_{\ell}(h)(k) = h_{(1)} k S (h_{(2)})</math> для всіх {{mvar|k}} з {{mvar|K}}. Обидві умови нормальності є еквівалентними, якщо антипод {{mvar|S}} є бієктивним. У цьому випадку {{mvar|A}} називається нормальною підалгеброю Гопфа. 

Нормальна підалгебра Гопфа {{mvar|A}} в {{mvar|H}} задовольняє умові рівності підмножин: <math> HA^+ = A^+ H </math>, де <math> A^+ </math> позначає ядро коодиниці {{mvar|K}}. З цієї умови нормальності випливає, що <math> HA^+ </math> — ідеал алгебри Гопфа {{mvar|H}} (тобто є ідеалом алгебри в ядрі коодиниці, коідеалом коалебри й стійким під дією антипода). Як наслідок, можна визначити факторалгебру Гопфа <math> H/HA^+ </math> і [[епіморфізм]] <math> H \rightarrow H/A^+ H </math>, аналогічно відповідним конструкціям нормальних підгруп і факторгруп у [[теорія груп|теорії груп]]. <ref>S. Montgomery, Hopf algebras and their actions on rings, Conf. Board in Math. Sci. vol. 82, A.M.S., 1993. ISBN 0-8218-0738-2 </ref> 

== Приклади ==
{| class="wikitable"
|-
!  !! Залежить від !! Кодобуток!! Коодиниця !! Антипод !! Комутативність !! Кокомутативність !! Зауваження
|-
| [[Групова алгебра]] ''KG'' || [[група (математика)|групи]] ''G'' || Δ(''g'') = ''g'' ⊗ ''g'' для всіх ''g'' з ''G'' || ''ε''(''g'') = 1 для всіх ''g'' із ''G'' || ''S''(''g'') = ''g''<sup>−1</sup> для всіх ''g'' з ''G'' || тільки коли ''G'' є комутативною || так ||
|-
| функції ''f'' зі скінченної <ref>Зі скінченності ''G'' випливає природний ізоморфізм ''K<sup>G</sup>'' ⊗ ''K<sup>G</sup>'' і ''K''<sup>''G''x''G''</sup>. Це використовується для формули кодобутку. Для нескінченних груп ''G'', ''K<sup>G</sup>'' ⊗ ''K<sup>G</sup>'' є власною підмножиною ''K''<sup>''G''x''G''</sup>. </ref> групи в ''K'', ''K<sup>G</sup>'' (з поточковим додаванням і множенням) || [[скінченна група]] ''G'' || Δ(''f'')(''x'',''y'') = ''f''(''xy'') || ''ε''(''f'') = ''f''(1<sub>''G''</sub>)|| ''S''(''f'')(''x'') = ''f''(''x''<sup>−1</sup>)  || так || тільки якщо ''G'' є комутативною ||
|- 
|Функції представлення компактних груп||[[Компактний простір|Компактна]] група ''G'' || Δ(''f'')(''x'',''y'') = ''f''(''xy'') || ''ε''(''f'') = ''f''(1<sub>''G''</sub>)|| ''S''(''f'')(''x'') = ''f''(''x''<sup>−1</sup>)  || так || тільки якщо ''G'' є комутативною || Навпаки, кожна комутативна, інволютивна, редукована алгебра Гопфа над '''C''' зі скінченним інтегралом Хаара може бути отримана в такий спосіб (двоїстість Танаки — Крейна).<ref>{{citation|last=Hochschild|first=G|title=Structure of Lie groups|year=1965|pages=14–32|publisher=Holden-Day}}</ref>
|-
| [[Морфізм алгебричних многовидів|Регулярні функції]] на [[алгебрична група|алгебричних групах]] || || Δ(''f'')(''x'',''y'') = ''f''(''xy'') || ''ε''(''f'') = ''f''(1<sub>''G''</sub>)|| ''S''(''f'')(''x'') = ''f''(''x''<sup>−1</sup>)  || так ||  тільки якщо ''G'' є комутативною || Навпаки, кожна комутативна алгебра Гопфа над полем одержується в такий спосіб їхньої групової схеми.<ref>{{Citation | last1=Jantzen | first1=Jens Carsten | author1-link=Jens Carsten Jantzen | title=Representations of algebraic groups | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | edition=2nd | series=Mathematical Surveys and Monographs | isbn=978-0-8218-3527-2 | year=2003 | volume=107}}, section 2.3</ref>
|-
| [[Тензорна алгебра]] T(''V'') || [[Векторний простір]] ''V'' || Δ(''x'') = ''x'' ⊗ 1 + 1 ⊗ ''x'', ''x'' з ''V'', Δ(1) = 1 ⊗ 1 || ''ε''(''x'') = 0  || ''S''(''x'') = −''x'' для всіх ''x'' з 'T<sup>1</sup>(''V'') (і далі узагальнивши на вищі тензорні степені) || Тільки якщо dim(''V'')=0,1 || так || [[Симетрична алгебра]] і [[зовнішня алгебра]] (що є факторалгебрами тензорної алгебри) теж є алгебрами Гопфа із відповідними означеннями
|-
| [[Універсальна обгортуюча алгебра]] U(g) || [[Алгебра Лі]] ''g'' || Δ(''x'') = ''x'' ⊗ 1 + 1 ⊗ ''x'' для всіх ''x'' з ''g'' (це правило можна в єдиний спосіб продовжити на всю ''U'') || ''ε''(''x'') = 0 для всіх ''x'' з ''g'' (із продовженням на ''U'') || ''S''(''x'') = −''x''  || тільки якщо ''g'' є комутативною || так ||
|-
| Алгебра Свідлера ''H''=''K''[''c'', ''x'']/''c<sup>2</sup>'' = 1, ''x''<sup>2</sup> = 0 і ''xc'' = −''cx''.|| ''K'' — поле [[Характеристика (алгебра)|характеристика]] якого не рівна 2 || Δ(''c'') = ''c'' ⊗ ''c'', Δ(''x'') = ''c'' ⊗ ''x'' + ''x'' ⊗ 1, Δ(1) = 1 ⊗ 1 || ''ε''(''c'') = 1 і ''ε''(''x'') = 0 || ''S''(''c'') = ''c''<sup>−1</sup> = ''c'' і ''S''(''x'') = −''cx'' || ні || ні || Векторний простір породжений елементами {1, ''c'', ''x'', ''cx''} і має розмірність 4.Це найменший приклад алгебри Гопфа, що не є ні комутативними, ні кокомутативними.
|-
| Кільце симетричних функцій<ref>
    Michiel Hazewinkel, ''Symmetric Functions, Noncommutative Symmetric Functions, and Quasisymmetric Functions'', Acta Applicandae Mathematica, January 2003, Volume 75, Issue 1-3, pp 55–83</ref> ||   
|| в термінах повних однорідних [[Симетрична функція|симетричних функцій]] ''h''<sub>''k''</sub> (''k'' &ge; 1):

Δ(''h<sub>k</sub>'') = 1 ⊗ ''h<sub>k</sub>'' + ''h''<sub>1</sub> ⊗ ''h''<sub>''k''−1</sub> + ... + ''h''<sub>''k''−1</sub> ⊗ ''h''<sub>1</sub> + ''h<sub>k</sub>'' ⊗ 1.
|| ''ε''(''h<sub>k</sub>'') = 0
||  ''S''(''h<sub>k</sub>'') = (−1)<sup>''k''</sup> ''e<sub>k</sub>''
|| так || так ||
|}

== Когомології груп Лі == 

Алгебра когомологій [[Група Лі|групи Лі]] — алгебра Гопфа: множення задано [[∪-добуток|<math> \smile</math>-добутком]], а кодобуток

:<math> H^* (G) \rightarrow H^* (G \times G) \cong H^* (G) \otimes H^* (G) </math> 

множенням групи <math> G \times G \rightarrow G </math>. 

Це спостереження було фактично джерелом поняття алгебри Гопфа. Використовуючи цю структуру, Гопф довів структурну теорему для алгебри когомологій груп Лі. 

'''Теорема Гопфа''' <ref> Hopf, 1941. </ref> Нехай {{mvar|A}} — скінченновимірна, [[суперкомутативна алгебра|суперкомутативна]], кокомутативна алгебра Гопфа над полем характеристики 0. Тоді {{mvar|A}} (як алгебра) є вільною [[Зовнішня алгебра|зовнішньою алгеброю]] з генераторами непарного степеня. 

== Квантові групи == 

Всі приклади вище є або комутативними (тобто множення є комутативним) або кокомутативними (тобто {{math|1=Δ = ''T'' ∘ Δ}}, де {{math|''T'' : ''H'' ⊗ ''H'' → ''H'' ⊗ ''H''}} — перестановка тензорних множників, задана як {{math|1=''T''(''x'' ⊗ ''y'') = ''y'' ⊗ ''x'')}}. Іншими цікавими прикладами алгебр Гопфа — деякі деформації або «квантування» прикладу 4, які не є ні комутативними, ні кокомутативними. Ці алгебри Гопфа часто називають [[квантова група|квантовими групами]].  

Ідея полягає в наступному: звичайна [[алгебрична група]] може бути описана в термінах алгебри Гопфа [[Морфізм алгебричних многовидів|регулярних функцій]]. Ми можемо тоді думати про деформації цієї алгебри Гопфа як про опис деякої «квантованої» алгебричної групи (хоча вона і не є алгебричною групою). Багато властивостей алгебричних груп, а також конструкції з ними мають свої аналоги для деформованих алгебр Гопфа. Звідси назва «квантова група». 

== Аналогія з групами == 

Аксіоми груп можна подати за допомогою тих же діаграм (еквівалентностей, операцій) що й алгебри Гопфа, де {{mvar|H}} — множина, а не модуль. У цьому випадку: 
* кільце {{mvar|R}} замінюється множиною з 1 елемента 
* є природна коодиниця (відображення в єдиний елемент) 
* є природний кодобуток (діагональне відображення) 
* одиниця — нейтральний елемент групи 
* множення — множення в групі 
* антипод — обернений елементу в групі.

В цьому сенсі групи можна розглядати як алгебри Гопфа над полем з одного елемента. <ref>[http://sbseminar.wordpress.com/2007/10/07/group-hopf-algebra/ Group = Hopf algebra " Secret Blogging Seminar<!-- Bot generated title -->] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110709212629/http://sbseminar.wordpress.com/2007/10/07/group-hopf-algebra/ |date=9 липня 2011 }}, [https://www.youtube.com/watch?v=p3kkm5dYH-w Group objects and Hopf algebras] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160418194130/https://www.youtube.com/watch?v=p3kkm5dYH-w |date=18 квітня 2016 }}, video of Simon Willerton.</ref>

== Примітки ==
{{reflist}}

== Див. також ==
* [[Коалгебра]]

== Література ==
* {{Citation| last1=Dăscălescu| first1=Sorin| last2=Năstăsescu| first2=Constantin| last3=Raianu| first3=Șerban| year=2001| title=Hopf Algebras. An introduction| edition=1st| volume = 235| series=Pure and Applied Mathematics | publisher=Marcel Dekker| isbn = 0-8247-0481-9 | zbl=0962.16026 }}.
* Pierre Cartier, [http://preprints.ihes.fr/2006/M/M-06-40.pdf ''A primer of Hopf algebras''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170809041533/http://preprints.ihes.fr/2006/M/M-06-40.pdf |date=9 серпня 2017 }}, IHES preprint, September 2006, 81 pages
* {{citation | last=Fuchs | first=Jürgen | title=Affine Lie algebras and quantum groups. An introduction with applications in conformal field theory | series=Cambridge Monographs on Mathematical Physics | location=Cambridge | publisher=Cambridge University Press | year=1992 | isbn=0-521-48412-X | zbl=0925.17031 }}
* H. Hopf, Uber die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen, Ann. of Math. 42 (1941), 22–52. Reprinted in Selecta Heinz Hopf, pp.&nbsp;119–151, Springer, Berlin (1964). {{MR|4784}}, {{zbl|0025.09303}}
* {{citation | last=Montgomery | first=Susan | title=Hopf algebras and their actions on rings | series=Regional Conference Series in Mathematics | volume=82 | location=Providence, Rhode Island | publisher=American Mathematical Society | year=1993 | isbn=0-8218-0738-2 | zbl=0793.16029 }}
* {{Citation | last1=Street | first1=Ross | author1-link= | title=Quantum groups | publisher=Cambridge University Press | series=Australian Mathematical Society Lecture Series | volume=19 | year=2007 | isbn=978-0-521-69524-4 | mr=2294803 | zbl=1117.16031 }}.
*{{Citation | last1=Sweedler | first1=Moss E. | title=Hopf algebras | url=https://books.google.com/books?id=8FnvAAAAMAAJ | publisher=W. A. Benjamin, Inc., New York | series=Mathematics Lecture Note Series | year=1969 | mr=0252485 | zbl=0194.32901 | accessdate=7 грудня 2017 | archive-date=28 червня 2014 | archive-url=https://web.archive.org/web/20140628104619/http://books.google.com/books?id=8FnvAAAAMAAJ }}
* {{citation | last=Underwood | first=Robert G. | title=An introduction to Hopf algebras | location=Berlin | publisher=Springer-Verlag | year=2011 | isbn=978-0-387-72765-3 | zbl=1234.16022 }}

[[Категорія:Абстрактна алгебра]]