Перегляд вихідного коду сторінки Алгебра

[[Файл:3d graph x2+xy+y2.png|thumb|300px|3D-графік функції, описаної [[алгебраїчне рівняння|алгебраїчним рівнянням]] виду <math>f(x, y) = x^2 + xy + y^2</math>]]
{{Otheruses}}
'''А́лгебра''' (від {{lang-ar|الجبر}} ''аль-джебр''&nbsp;— «відновлення (розрізнених частин)»<ref>Алгебра // Етимологічний словник української мови&nbsp;: у 7 т. / [[Інститут мовознавства імені О. О. Потебні НАН України|Ін-т мовознавства ім. О.&nbsp;О.&nbsp;Потебні]] АН УРСР.&nbsp;— [http://library.nlu.edu.ua/POLN_TEXT/Slovnuk/etymolog_slovnyk_tom1.pdf Т. 1&nbsp;: А&nbsp;— Г] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160327023605/http://library.nlu.edu.ua/POLN_TEXT/Slovnuk/etymolog_slovnyk_tom1.pdf |date=27 березня 2016 }}.&nbsp;— К.&nbsp;: [[Наукова думка|Наук. думка]], 1982.&nbsp;— С. 59—60.</ref>)&nbsp;— розділ [[математика|математики]], що вивчає математичні [[операція (математика)|операції]] і [[бінарне відношення|відношення]], та утворення, що базуються на них: [[многочлен]]и, [[алгебраїчне рівняння|алгебраїчні рівняння]], [[алгебрична структура|алгебраїчні структури]]. Вивчення властивостей композицій різного виду в [[XIX століття|XIX столітті]] привело до думки, що основне завдання алгебри&nbsp;— вивчення властивостей операцій незалежно від об'єктів, до яких вони [[застосування|застосовуються]]. З того часу алгебру стали розглядати як загальну науку про властивості та закони композиції операцій. У наші дні алгебра&nbsp;— одна з найважливіших частин математики, що має застосування як у суто теоретичних, так і в практичних галузях науки.

== Історія ==
{{main|[[Історія арифметики]]}}

=== Стародавній світ ===
[[Файл:Image-Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala.jpg|thumb|Перша сторінка книги [[Аль-Хорезмі]] «[[Кітаб аль-джебр ва-ль-мукабала]]», з якої наука отримала свою назву «алгебра»]]
Розв'яжемо задачу: «Вік трьох братів 30, 20 і 6 років. Через скільки років вік старшого дорівнюватиме сумі віку обох молодших братів?» Позначивши шукану величину як х, складемо [[рівняння]]: <math display="inline">30+x=(20+x)+(6+x)</math>, звідки <math display="inline">x= 4</math>. Близький до описаного метод розв'язання був відомий ще у [[2-ге тисячоліття до н. е.|2-му тисячолітті до н.&nbsp;е.]] переписувачам [[Стародавній Єгипет|Стародавнього Єгипту]] (проте вони не застосовували буквеної символіки). У збережених до наших днів математичних папірусах є не тільки задачі, що приводять до [[лінійне рівняння|лінійних рівнянь]] з одним невідомим, як у задачі про вік братів, а й задачі, що ведуть до [[квадратне рівняння|квадратних рівнянь]] виду <math display="inline">ax^2 = b</math>.

Ще складніші задачі вміли розв'язувати на початку [[2-ге тисячоліття до н. е.|2-го тисячоліття до н.&nbsp;е.]] у стародавньому [[Вавилон]]і: в математичних текстах, виконаних [[клинопис]]ом на глиняних табличках, є квадратні й [[біквадратне рівняння|біквадратні рівняння]], [[Система лінійних алгебраїчних рівнянь|системи рівнянь з двома невідомими]] і найпростіші [[кубічне рівняння|кубічні рівняння]]. При цьому вавилоняни також не використовували буквених позначень, а подавали розв'язки типових задач, зводячи розв'язок аналогічних задач до заміни числових значень. В числовій формі наводились також і деякі правила [[тотожні перетворення|тотожних перетворень]]. Якщо для розв'язання рівняння треба було знайти [[квадратний корінь]] числа <math>a</math>, яке не є точним квадратом, то наближене значення кореня ''х'' знаходили як [[середнє арифметичне]] чисел х і а/х.

Перші загальні твердження про тотожні перетворення наявні у давньогрецьких математиків, починаючи з [[VI століття до н. е.|VI&nbsp;ст. до н.&nbsp;е.]] Серед математиків [[Стародавня Греція|Стародавньої Греції]] було прийнято висловлювати всі алгебраїчні твердження в геометричній формі. Замість [[додавання]] чисел говорили про додавання [[відрізок|відрізків]], [[добуток]] двох чисел тлумачили як [[площа|площу]] [[прямокутник]]а, а добуток трьох чисел як [[об'єм]] прямокутного [[паралелепіпед]]а. Алгебраїчні формули набували вигляду співвідношень між площами і об'ємами. Наприклад, говорили, що площа [[квадрат]]а, побудованого на сумі двох відрізків, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на цих відрізках, збільшеній на подвоєну площу прямокутника, побудованого на цих відтинках. Таким чином з'явилися терміни «[[Квадрат (алгебра)|квадрат числа]]» (тобто добуток величини на себе), «[[Куб (алгебра)|куб числа]]», «[[середнє геометричне]]». Геометричної форми у греків набув і розв'язок квадратного рівняння&nbsp;— вони шукали сторони прямокутника за заданими [[периметр]]ом і площею.

Більшість задач у Греції розв'язували шляхом [[побудова за допомогою циркуля та лінійки|побудови циркулем і лінійкою]]. Але не всі задачі могли бути розв'язані такими методами. Прикладами таких задач є [[подвоєння куба]], [[трисекція кута]], завдання побудови правильного семикутника (див. [[Класичні задачі давнини]]). Всі вони зводились до кубічних рівнянь виду <math display="inline">x^3 = 2</math>, <math display="inline">4x^3-3x=a</math> і <math display="inline">x^3+x^2-2x-1=0</math>, відповідно. Для розв'язку цих задач розробили новий метод&nbsp;— відшукування точок перетину [[конічні перетини|конічних перетинів]] ([[еліпс]]а, [[парабола|параболи]] і [[Гіпербола (математика)|гіперболи]]).

Геометричний підхід до алгебраїчних проблем обмежував подальший розвиток науки. Наприклад, не можна було додавати величини різних розмірностей ([[довжина|довжини]], [[площа|площі]], [[об'єм]]и), не можна було говорити про добуток більш ніж трьох [[множник]]ів тощо. Ідея відмови від геометричного трактування з'явилася у [[Діофант Александрійський|Діофанта Александрійського]], який жив у [[III ст.]] У його книзі «Арифметика» з'являється буквена символіка і спеціальні позначення для [[степінь|степенів]] аж до 6-ого. Були в нього і позначення для від'ємних степенів, [[від'ємні числа|від'ємних чисел]], а також [[знак рівності]] (особливого знаку для додавання ще не було), стислий запис правил множення додатних і від'ємних чисел. На подальший розвиток алгебри сильний вплив мали досліджені Діофантом задачі, що приводять до складних систем алгебраїчних рівнянь, у тому числі до систем, де кількість рівнянь була меншою від кількості невідомих. Для таких рівнянь Діофант шукав лише додатні [[раціональні числа|раціональні]] розв'язки (див. [[Діофантові рівняння]]).

З [[VI ст.]] центр математичних досліджень переміщається в [[Індія|Індію]], [[Китай]], країни [[Близький Схід|Близького Сходу]] та [[Середня Азія|Середньої Азії]]. Китайські вчені розробили метод послідовного [[виключення невідомих]] для розв'язання систем лінійних рівнянь, дали нові методи наближеного розв'язку рівнянь вищих степенів. Індійські математики ([[Аріабхата I]], [[Брамагупта]]) використовували [[від'ємне число|від'ємні числа]], вдосконалили буквену символіку. Однак лише в працях вчених Близького Сходу та Середньої Азії алгебра оформилася у самостійну галузь математики, що займається розв'язком рівнянь. У [[IX ст.]] узбецький математик і [[астроном]] [[Аль-Хорезмі|Мухаммед аль-Хорезмі]] написав трактат «[[Кітаб аль-джебр ва-ль-мукабала]]», де дав загальні правила для розв'язання рівнянь першого степеня. Слово «аль-джебр» (відновлення), від якого нова наука отримала свою назву, означало перенесення від'ємних членів рівняння з однієї частини в іншу зі зміною знака. Вчені Сходу вивчали розв'язок кубічних рівнянь, хоча не зуміли отримати загальної формули для їхніх коренів.

У [[Європа|Європі]] вивчення алгебри почалося в [[XIII ст.]] Одним з великих математиків того часу був італієць [[Фібоначчі|Леонардо Пізанський]] (Фібоначчі) (близько 1170&nbsp;— після 1228). Його «[[Книга абака]]» (1202)&nbsp;— трактат, який містив відомості про арифметику і алгебру до квадратних рівнянь включно (див. [[Числа Фібоначчі]]). Першим великим самостійним досягненням західноєвропейських вчених було відкриття [[формула Кардано|формули для розв'язання кубічного рівняння]], опублікованої в [[1545]] р. . Це було заслугою італійських алгебраїстів [[Сципіон дель Ферро]], [[Нікколо Тарталья]] і [[Джироламо Кардано]]. Учень Кардано [[Лодовіко Феррарі]] розв'язав і рівняння [[рівняння четвертого степеня|4-го степеня]]. Вивчення деяких питань, пов'язаних з коренями кубічних рівнянь, привело італійського алгебраїста [[Бомбеллі Рафаель|Р. Бомбеллі]] до відкриття [[комплексні числа|комплексних чисел]].

=== Розвиток символіки ===

Відсутність зручної і розвиненої символіки стримувала подальший розвиток алгебри: найскладніші формули доводилося викладати у словесній формі. Наприкінці [[XV ст.]] [[Лука Пачолі]] зробив спробу ввести алгебраїчну символіку, хоча більшого успіху досяг наприкінці [[XVI ст.]] французький [[математик]] [[Франсуа Вієт]], запровадивши літерні позначення не лише для невідомих, а й для довільних постійних величин. Символіку Вієта було вдосконалено його послідовниками. Остаточного вигляду їй надав у [[XVII ст.]] французький [[філософ]] і математик [[Рене Декарт]], який запровадив (вживані досі) позначення для показників степенів.

Поступово розширювався запас чисел, з якими можна було виконувати дії. Завоювали права громадянства від'ємні числа, потім&nbsp;— [[комплексне число|комплексні]], вчені стали вільно застосовувати [[ірраціональні числа]]. Виявилося, що, попри таке розширення запасу чисел, раніше встановлені правила алгебраїчних перетворень зберігають свою силу. Нарешті, Декарту вдалося звільнити алгебру від невластивої їй геометричної форми. Все це дало змогу розглядати питання розв'язку рівнянь у найзагальнішому вигляді, застосовувати рівняння до розв'язання геометричних задач. Наприклад, задача про знаходження точки перетину двох прямих звелася до розв'язку системи рівнянь, яким задовольняли точки цих прямих. Такий метод розв'язку геометричних задач отримав назву [[аналітична геометрія|аналітичної геометрії]].

Розвиток літерної символіки дозволив встановити загальні твердження щодо алгебраїчних рівнянь: [[теорема Безу]] про подільності [[багаточлен]]а <math display="inline">P(x)</math> на двочлен <math display="inline">(x-a)</math>, де <math>a</math>&nbsp;— [[корінь многочлена|корінь цього багаточлена]]; [[формула Вієта]] для співвідношення між коренями квадратного рівняння і його коефіцієнтами; правила, які дозволяють оцінювати кількість дійсних коренів рівняння; загальні методи виключення невідомих з систем рівнянь тощо.

=== Подальші успіхи щодо традиційних задач алгебри ===

Особливо далеко в сфері розв'язку [[СЛАР|систем лінійних рівнянь]] вдалось просунутись в [[XVIII ст.]]&nbsp;— для них були отримано формули, які дозволяють виразити розв'язок через коефіцієнти і вільні члени. Подальше вивчення таких систем рівнянь привело до [[теорія матриць|теорії матриць і визначників]]. Наприкінці [[XVIII ст.]] було доведено, що будь-яке алгебраїчне рівняння з комплексними коефіцієнтами має хоча б один комплексний корінь. Це твердження називається [[основна теорема алгебри|основною теореми алгебри]]. Протягом двох з половиною століть увагу алгебраїстів була прикута до задачі про виведення формули для розв'язку загального рівняння 5-го степеня. Треба було виразити розв'язок цього рівняння через його коефіцієнти за допомогою арифметичних операцій і коренів (розв'язати рівняння в радикалах). Лише в [[XIX]]&nbsp;ст. [[італієць]] [[Паоло Руффіні]] і [[норвежець]] [[Нільс Абель]] незалежно один від одного довели, що такої формули не існує (див. [[Теорема Абеля—Руффіні]]). Ці дослідження були завершено французьким математиком [[Еварист Галуа|Е. Галуа]], методи якого дозволили для такого рівняння визначити, розв'язується воно в радикалах чи ні. Один з найвизначніших математиків&nbsp;— [[Карл Гаус|К. Гаус]] з'ясував, коли можна побудувати [[циркуль|циркулем]] і лінійкою правильний n-кутник: дана задача була напряму пов'язана з вивченням коренів рівняння <math display="inline">x^n = 1</math>. З'ясувалося, що вона розв'язна лише тоді, коли число ''n'' є [[просте число Ферма|простим числом Ферма]] чи добутком кількох різних [[Просте число|простих чисел]] Ферма. Тим самим молодий студент (Гаусу було тоді лише 19 років) розв'язав задачу, якою безуспішно займалися вчені понад два тисячоліття.

=== Розширення галузі досліджень алгебри ===

На початку [[XIX ст.]], було розв'язано основні задачі, що стояли перед алгеброю в першому тисячолітті її розвитку. Алгебра отримала самостійне обґрунтування, що не спирається на геометричні поняття, а алгебраїчні методи стали застосовуватися для розв'язку геометричних задач. Були розроблені правила буквеного числення для раціональних і ірраціональних виразів, з'ясоване питання про можливість розв'язання рівнянь в радикалах і побудована строга теорія комплексних чисел. Сторонньому спостерігачеві могло здатися, що тепер математики вирішуватимуть нові класи алгебраїчних рівнянь, доводити нові алгебраїчні тотожності і тощо. Проте розвиток алгебри стала розвиватися іншим шляхом: з науки про буквені обчислення і рівняння вона перетворилася в загальну науку про операції та їх властивості.

Після створення теорії комплексних чисел постало питання про існування [[гіперкомплексні числа|гіперкомплексних чисел]]&nbsp;— чисел з кількома [[уявна одиниця|уявними одиницями]]. Таку систему чисел, які мали вигляд <math display="inline">a + bi + cj + dk</math>, де <math display="inline">i^2 = j^2 = k^2 = -1</math>, побудував в [[1843]]&nbsp;р. ірландський математик [[Вільям Ровен Гамільтон|Вільям Гамільтон]], назвавши їх [[кватерніони|кватерніонами]]. Правила дій над кватерніонами нагадують правила звичайної алгебри, проте операція множення не є [[комутативна операція|комутативною]]: наприклад, <math display="inline">ij = k</math>, а <math display="inline">ji =-k</math>.

З операціями, властивості яких лише частково нагадують властивості арифметичних операцій, математики XIX&nbsp;ст. зіштовхнулися і в інших питаннях. У [[1858]]&nbsp;р. англійський математик [[Артур Келі]] ввів загальну операцію множення матриць і вивчив її властивості. Виявилося, що до множення матриць зводиться багато вивчених раніше операцій. Англійський логік [[Джордж Буль]] в середині XIX&nbsp;ст. почав вивчати операції над [[висловлювання (логіка)|висловлюваннями]], які дозволяли з двох даних висловлювань побудувати третє, а наприкінці XIX&nbsp;ст. німецький математик [[Георг Кантор]] ввів операції над множинами: [[об'єднання множин|об'єднання]], [[перетин множин|перетин]] тощо. Виявилося, що і як в випадку операцій над висловлюваннями, так операції володіють властивостями комутативності, [[асоціативність|асоціативністю]] і [[дистрибутивність|дистрибутивності]], але деякі їх властивості не схожі на властивості операцій над числами.

Таким чином протягом XIX&nbsp;ст. виникли різні види [[алгебра над кільцем|алгебр]]: звичайних чисел, комплексних чисел, кватерніонів, матриць, висловлювань, множин. Кожна з них мала свої правила, свої тотожності, свої методи розв'язку рівнянь. При цьому для деяких видів алгебр правила були дуже схожими. Наприклад, правила алгебри раціональних чисел не відрізняються від правил алгебри [[Дійсне число|дійсних чисел]]. Саме тому формули для раціональних чисел, виявляються вірними і для будь-яких дійсних (і навіть будь-яких комплексних) чисел. Однаковими виявилися правила в алгебрі висловлювань і в алгебрі множин. Все це привело до абстрактного поняття композиції, тобто операції, яка кожній парі <math>(a, b)</math> елементів певної множини ставить в відповідність третій елемент цієї ж множини. Композиціями є додавання і множення натуральних, цілих, раціональних, дійсних та комплексних чисел, множення матриць, перетин і об'єднання підмножин певної множини тощо. А віднімання і ділення в полі натуральних чисел не є композиціями, бо різниця і частка можуть не бути натуральними числами.

Вивчення властивостей композицій різного виду призвело до думки, що основне завдання алгебри&nbsp;— вивчення властивостей операцій незалежно від об'єктів, до яких вони застосовуються. Інакше кажучи,&nbsp;— алгебра стала розглядатися як загальна наука про властивості та закони композиції операцій. При цьому дві множини, в кожній з яких визначені композиції, стали вважати тотожними з погляду алгебри (ізоморфними), якщо між цими множинами можна встановити взаємно-однозначну відповідність, що переводить один закон композиції в інший. Якщо дві множини з композиціями ізоморфні, то, вивчаючи одну з них, дізнаємося алгебраїчні властивості іншої.

Оскільки сукупність різних множин з заданими в них законами композиції необмежена, було виділено типи таких множин, які хоча й не ізоморфні, проте мають спільні властивості композиції. Наприклад, вивчивши властивості операцій додавання і множення над множинами раціональних, дійсних і комплексних чисел, математики створили загальне поняття [[поле (алгебра)|поля]]&nbsp;— множини, де визначено ці дві операції, причому виконуються їх звичайні властивості. Дослідження операції множення матриць призвело до виділення поняття [[група (алгебра)|групи]], яке є нині одним з найважливіших не тільки в алгебрі, й у всій математиці.

== Розділи алгебри ==
* [[Елементарна алгебра]]&nbsp;— лінійні, квадратні, кубічні та рівняння 4-го степеня.
* [[Абстрактна алгебра]]&nbsp;— вивчає [[алгебраїчні структури]], такі як [[група (алгебра)|групи]], [[кільце (алгебра)|кільця]], [[поле (алгебра)|поля]] які задано [[аксіоматика|аксіоматично]].
* [[Булева алгебра]]&nbsp;— [[алгебраїчна структура]], що є доповненою [[Дистрибутивна ґратка|дистрибутивною ґраткою]], та частина [[Математика|математики]] яка вивчає подібні структури.
* [[Лінійна алгебра]]&nbsp;— що вивчає [[векторний простір|векторні простори]] та [[матриця (математика)|матриці]].
* Універсальна алгебра&nbsp;— вивчає алгебраїчні властивості, спільні для всіх алгебраїчних структур.
* [[Алгебраїчна теорія чисел]]&nbsp;— вивчає [[цілі алгебраїчні числа]] в різних алгебраїчних структурах.
* [[Алгебраїчна геометрія]]&nbsp;— застосовує абстрактну алгебру до задач геометрії.
* [[Комутативна алгебра]]&nbsp;— вивчає [[Комутативне кільце|комутативні кільця]], їхні [[Ідеал (алгебра)|ідеали]] і [[Модуль над кільцем|модулі]].
* [[Алгебраїчна комбінаторика]]&nbsp;— застосовує методи абстрактної алгебри і [[теорія груп|теорії груп]] до задач [[комбінаторика|комбінаторики]], і навпаки.
* [[Алгебра Кодда]]&nbsp;— базується на [[Теорія множин|теорії множин]] і є основою логіки роботи баз даних.



=== Елементарна алгебра ===
{{Main|Елементарна алгебра}}
Елементарна алгебра ({{lang-en|elementary algebra}})&nbsp;— алгебра, що подається у вигляді навчальної дисципліни, орієнтованої на вивчення у загальноосвітній школі. Разом з [[арифметика|арифметикою]], [[геометрія|елементарною геометрією]] та [[тригонометрія|плоскою тригонометрією]] належить до [[елементарна математика|елементарної математики]], яка вивчається у рамках шкільної програми{{sfn|Туманов С. И.|1970|с=5}}. Дисципліна розглядає: основні поняття алгебри, основи [[комбінаторика|комбінаторики]], [[Алгебраїчний вираз|алгебраїчні вирази]], раціональні та ірраціональні [[рівняння]], системи рівнянь, функції та їх графіки, числові послідовності тощо.

=== Абстрактна алгебра ===
{{Main|Абстрактна алгебра}}
Абстрактна алгебра ({{lang-en|abstract algebra}}, також ''вища алгебра'', ''загальна алгебра'')&nbsp;— галузь [[математика|математики]], яка зосереджена на вивченні властивостей [[аксіома]]тично впроваджених [[алгебраїчна структура|алгебраїчних структур]]. В сучасній науковій літературі називається просто ''«алгебра»''.
Ознака «абстрактна» підкреслює, що об'єктами вивчання є абстрактні ''структури'', такі як [[група (алгебра)|групи]], [[кільце (алгебра)|кільця]], [[поле (алгебра)|поля]] і [[модуль над кільцем|модулі]], на відміну від алгебраїчних ''виразів'', що вивчаються в елементарній «шкільній» алгебрі.

Абстрактна алгебра сформувалася протягом другої половини [[19 століття|19]] і першої чверті [[20 століття]] і була вперше систематично викладена в монографії ''«Moderne Algebra»'' [[Бартель ван дер Варден|Ван дер Вардена]] ([[1930]]&nbsp;р.). Алгебраїчна точка зору спричинила надзвичайно великий вплив на розвиток багатьох галузей математики в 20 столітті, зокрема [[теорія чисел|теорії чисел]], [[топологія|топології]], [[алгебраїчна геометрія|алгебраїчної геометрії]] і [[функціональний аналіз|функціонального аналізу]].

=== Лінійна алгебра ===
{{Main|Лінійна алгебра}}
Лінійна алгебра ({{lang-en|linear algebra}})&nbsp;— частина алгебри, що вивчає [[вектор]]и, [[векторний простір|векторні простори]], [[лінійне відображення|лінійні відображення]] та системи [[лінійне рівняння|лінійних рівнянь]]. Векторні простори зустрічаються в математиці та її прикладних застосуваннях. Лінійна алгебра широко використовується в [[абстрактна алгебра|абстрактній алгебрі]] та [[функціональний аналіз|функціональному аналізі]] і застосовується у [[природничі науки|природничих науках]].

До лінійної алгебри відносять: теорію [[Лінійне рівняння|лінійних рівнянь]], теорію [[Визначник|визначників]], теорію [[Матриця (математика)|матриць]], теорію векторних просторів та лінійних перетворень у них, теорію форм (наприклад, квадратичних), [[теорія інваріантів|теорію інваріантів]] (частково), [[тензорне числення]] (частково).

=== Універсальна алгебра ===
Універсальна алгебра&nbsp;— розділ математики, що вивчає загальні властивості алгебраїчних систем, знаходячи спільні риси між такими алгебраїчними конструкціями, як групи, кільця, модулі, вводячи властиві їм всім поняття і загальні для всіх них ствердження й результати. Є розділом, займає проміжне положення між [[математична логіка|математичною логікою]] і загальною алгеброю, як апарат реалізації математичної логіки у застосуванні до загальноалгебраїчних структур.

=== Алгебрична комбінаторика ===
{{Докладніше|Алгебрична комбінаторика}}
[[Алгебрична комбінаторика]]&nbsp;— розділ математики на стику [[комбінаторика|комбінаторики]] і алгебри, що працює з симетріями комбінаторних об'єктів, або з такими об'єктами, що мають багату внутрішню структуру. Серед її тем&nbsp;— [[матроїд]]и, [[многогранник]]и, [[Сильно регулярний граф|сильно регулярні графи]], [[Частково впорядкована множина|частково впорядковані множини]], [[скінченна геометрія|скінченні геометрії]].

== Див. також ==
{{multicol}}
* [[Число]]
* [[Змінна]]
* [[Рівняння]]
* [[Лінійне рівняння]]
* [[Квадратне рівняння]]
* [[Алгебраїчне рівняння]]
* [[Діофантові рівняння]]
* [[Комплексне число]]
{{multicol-break}}
{{Портал|Математика}}
* [[Алгоритм Евкліда]]
* [[Основна теорема алгебри]]
* [[Матриця (математика)|Матриця]]
* [[Визначник]]
* [[Векторний простір]]
* [[Евклідів простір]]
* [[Нелінійна алгебра]]
* [[Алгебри Лі]]
{{multicol-end}}

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
* {{книга |автор = Стройк Д.&nbsp;Я. |заголовок = Коротка історія математики: книга для учителя|відповідальний = Д. Стройк ; пер. з англ. С. М. Кіро ; ред. Б. В. Гнєденко |місце = К.|видавництво = Радянська школа | рік = 1960 | сторінок = 306}}
* {{книга|автор = |заголовок = Хрестоматия по истории математики: Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия. Пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов |відповідальний = Под ред. А. П. Юшкевича | місце = М.| видавництво = Просвещение| рік = 1976| сторінок = 318}}
* {{книга |автор=Завало С. Т. |заголовок=Елементарна математика. Алгебра |видання= |видавництво=Вища школа |місце=К. |рік=1971 |сторінок=356 |ref=Завало}}
* {{книга | автор=Туманов С. И.| заголовок = Элементарная алгебра: пособие для самообразования |частина= |видання=3-е изд., перераб. и доп.|видавництво=Просвещение| місце=М.|рік=1970| сторінок=864|ref=Туманов С. И.}}
* {{книга |автор = Андрійчук В.І.,  Забавський, Б.В. |заголовок = Лінійна алгебра |видавництво = Львівський національний університет імені Івана Франка|рік = 2008
|місце = Львів |посилання = http://www.mmf.lnu.edu.ua/images/stories/secret/algebra/doc/2008_anzabla.pdf |isbn = 9789666136230 }}
* {{книга  |автор   = [[Пол Моріц Кон|Кон П.]]  |заголовок   = Универсальная алгебра  |посилання   =  |відповідальний =  |місце  = М. |видавництво  = Мир |рік           = 1969 |том  =   |сторінок       = 351  |строрінки     =  |isbn    =   |ref   = Кон П. }}

== Література ==
;Українською
* Алгебра та геометрія&nbsp;: навч. посіб. / Д.&nbsp;М.&nbsp;Білонога, П.&nbsp;І.&nbsp;Каленюк&nbsp;; М-во освіти і науки України, Нац. ун-т «Львів. політехніка».&nbsp;— Львів&nbsp;: Вид-во Львів. політехніки, 2014.&nbsp;— 380 с. : іл.&nbsp;— Бібліогр.: с. 373 (14 назв).&nbsp;— ISBN 978-617-607-581-3.
* {{Завало.Курс алгебри}}
* {{публікація|книга|автор = [[Завало Сергій Трохимович|Завало С. Т.]], Левіщенко С. С., Пилаєв В. В., Рокицький І. О.|назва=Алгебра і теорія чисел. Практикум|інфо= у 2 ч|місце=Київ |видавництво=Вища школа|рік=1983|isbn=}}
* Лінійна алгебра. Алгебра і теорія чисел&nbsp;: навч. посіб. для студ. вищ. навч. закл. / І.&nbsp;А.&nbsp;Сверчевська ; Житомирський держ. ун-т ім. І. Франка.&nbsp;— Житомир&nbsp;: Вид-во ЖДУ ім. І. Франка, 2010.&nbsp;— 171 с.
* ''Требенко Д. Я.'' Алгебра і теорія чисел&nbsp;: навч. посіб. для студ. математичних спец. вищих педагогічних навч. закладів&nbsp;: у 2 ч. / Д.&nbsp;Я.&nbsp;Требенко, О.&nbsp;О.&nbsp;Требенко.&nbsp;— К. : НПУ ім. М.&nbsp;П.&nbsp;Драгоманова, 2006.&nbsp;— Ч. 1.&nbsp;— 400 с.&nbsp;— Бібліогр.: с. 393—395.
* ''Стройк Д.'' Коротка історія математики&nbsp;: пер. з англ.&nbsp;— К.: Радянська школа, 1960.&nbsp;— 305 с.
* [http://esu.com.ua/search_articles.php?id=43595 А́лгебра] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160421025027/http://esu.com.ua/search_articles.php?id=43595 |date=21 квітня 2016 }} // [[ЕСУ]]
* [http://leksika.com.ua/12250611/ure/algebra Алгебра] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160829222348/http://leksika.com.ua/12250611/ure/algebra |date=29 серпня 2016 }} // {{УРЕ}}

;Іншими мовами
* {{публікація|книга
 | відповідальний=Carl B. Boyer
 | назва=A History of Mathematics
 | видання=2nd ed
 | publisher=John Wiley & Sons, Inc.
 | рік=1991
 | isbn=0-471-54397-7
 }}
* {{публікація|книга|відповідальний=Donald R. Hill|назва=Islamic Science and Engineering|видавництво=Edinburgh University Press|рік= 1994}}
* {{публікація|книга|відповідальний=Ziauddin Sardar, Jerry Ravetz, and Borin Van Loon|назва=Introducing Mathematics|видавництво=Totem Books|рік=1999}}
* {{публікація|книга|відповідальний=George Gheverghese Joseph|назва=The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics|видавництво=[[Penguin Books]]|рік= 2000}}
* {{публікація|стаття|відповідальний=John J. O'Connor and Edmund F Robertson|посилання=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Indexes/Algebra.html |назва=History Topics: Algebra Index|видання=[[MacTutor History of Mathematics archive]]|видавництво=University of St Andrews|рік= 2005}}
* {{публікація|книга|відповідальний=I. N. Herstein|назва=Topics in Algebra|isbn= 0-471-02371-X}}
* {{публікація|книга|відповідальний=R.&nbsp;B.&nbsp;J.&nbsp;T.&nbsp;Allenby|назва=Rings, Fields and Groups|isbn=0-340-54440-6}}
* {{публікація|книга|відповідальний=L. Euler|посилання=https://web.archive.org/web/20110413234352/http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/euler/ |назва=Elements of Algebra|isbn= 978-1-899618-73-6}}
* {{публікація|книга|відповідальний=Isaac Asimov|назва=Realm of Algebra|рік=1961|видавництво=Houghton Mifflin}}
* {{Винберг.Курс алгебры}}

== Посилання ==
{{Вікіцитати1}}
{{Commonscat|Algebra}}
* [http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/contents.html Abstract Algebra Online] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20201228134955/http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/contents.html |date=28 грудня 2020 }} {{ref-en}}

{{бібліоінформація}}
{{Алгебра}}
{{Математика-footer}}

[[Категорія:Алгебра|*]]
[[Категорія:Розділи математики]]