Перегляд вихідного коду сторінки Аксіоматика теорії ймовірностей

'''Аксіоматика Колмогорова''' — загальноприйнятий аксіоматичний підхід до математичного опису [[випадкова подія|події]] та [[імовірність|імовірності]], запропонований [[Колмогоров Андрій Миколайович|Андрієм Миколайовичем Колмогоровим]] в 1929, остаточно в 1933. Він додав [[теорія ймовірностей|теорії ймовірностей]] формальний стиль, прийнятий у сучасній математиці.

== Історія аксіоматизації теорії імовірностей ==
Проблема аксиоматизації теорії імовірностей включена Д. Гільбертом у формулювання його [[проблеми Гільберта|6-ї проблеми]] «Математичний виклад основ фізики»:

{{Cquote|З дослідженнями геометрії тісно зв'язана задача про аксіоматичну побудову по цьому ж зразку тих фізичних дисциплін, у яких уже тепер математика відіграє видатну роль: це в першу чергу ''теорія імовірностей'' та механіка. Що стосується ''аксіом теорії імовірностей'', те мені здавалося б бажаним, щоб паралельно з логічним обґрунтуванням цієї теорії йшов рука об руку строгий і задовільний розвиток [[метод середніх значень|методу середніх значень]] у [[математична фізика|математичній фізиці]], зокрема, у [[кінетична теорія газів|кінетичній теорії газів]].}}

До Колмогорова спроби аксіоматизувати теорію ймовірностей починали [[Больман]], [[Бернштейн Сергій Натанович|С.&nbsp;Бернштейн]], [[Ріхард фон Мізес|Р.&nbsp;Мізес]], а також А. Ломницкий на базі ідей [[Еміль Борель|Е.&nbsp;Бореля]] про зв'язок понять [[імовірність|імовірності]] й [[міра множини|міри]].

''А. Н. Колмогоров'' під впливом ідей [[теорія множин|теорії множин]] та [[теорія міри|теорії міри]] сформулював просту систему аксіом (яка, щоправда, не є єдиною), що дозволила описати вже існуючі на той час класичні розділи теорії імовірностей, дати поштовх розвитку її нових розділів, наприклад, [[теорія випадкових процесів|теорії випадкових процесів]], і стала загальноприйнятою в сучасній теорії імовірностей.

== Аксіоми теорії ймовірностей ==

Елементарна теорія ймовірностей — та частина [[теорія ймовірностей|теорії ймовірностей]], в якій доводиться мати справу з ймовірностями лише скінченного числа подій. Теорія ймовірностей, як математична дисципліна, може і повинна бути аксіоматизована абсолютно в тому ж сенсі, як [[геометрія]] або [[алгебра]]. Це означає, що, після того як дані назви досліджуваних об'єктів та їх основні відношення, а також [[аксіома|аксіоми]], яким ці відношення повинні підкорюватися, весь подальший виклад повинен ґрунтуватися виключно лише на цих аксіомах, не спираючись на звичайне конкретне значення цих об'єктів і їх відношень. Аксиоматизація теорії ймовірностей може бути проведена різними способами як щодо вибору аксіом, так і щодо вибору основних понять і основних співвідношень. Якщо мати на меті можливу простоту як самої системи аксіом, так і побудови на ній подальшої теорії, то представляється найдоцільнішим аксіоматизовані поняття випадкової події та його ймовірності.
=== Формування ===
Нехай <math>~\Omega</math>  — [[множина]] елементів <math>~\omega</math>, які називаються [[Елементарна подія|елементарними подіями]], а <math>~\mathcal{F}</math> — множина підмножин <math>~\Omega</math>, що називаються випадковими подіями (або просто — подіями), а <math>~\Omega</math> — [[простір елементарних подій]].

* '''''Аксіома I ([[алгебра подій]])'''''. <math>\mathcal{F}</math> є алгеброю подій.
* '''''Аксіома II (існування ймовірності подій).''''' Кожній події <math>x</math> з <math>\mathcal{F}</math> поставлено у відповідність невід'ємне дійсне число <math>\mathbf{P}(x)</math>, яке називається ймовірністю події <math>x</math>.
* '''''Аксіома III (нормування ймовірності)'''''. <math>\mathbf{P}(\Omega)=1</math>.
* '''''Аксіома IV (адитивність ймовірності)'''''. Якщо події <math>x</math> і <math>y</math> не перетинаються, то: <math>\mathbf{P}(x+y)= \mathbf{P}(x)+ \mathbf{P}(y)</math>.

Сукупність об'єктів <math>(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})</math>, що задовольняє ''аксіомам I-IV'', називається ймовірнісним простором (у Колмогорова: поле ймовірностей).
=== Зауваження ===
Система аксіом I—IV не суперечить сама собі. Це показує наступний приклад: <math>~\Omega</math> складається з єдиного елемента <math>~\omega</math>, <math>\mathcal{F}</math> — з <math>~\Omega</math> і безлічі неможливих подій (порожньої множини) <math>\varnothing</math>, при цьому <math>\mathbf{P}(\Omega)=1, \mathbf{P}(\varnothing)=0</math>. Однак ця система аксіом не є повною: в різних питаннях теорії ймовірностей розглядаються різні ймовірнісні простори.

== Джерела ==
* {{Карташов.Імовірність процеси статистика}}
* {{Гнеденко.Курс теории вероятностей}}
* {{Гіхман.Скороход.Ядренко}}
* {{Колмогоров.Основные понятия теории вероятностей}}
* {{cite book
 |автор             = [[Єжов Станіслав Миколайович|Єжов С.М.]]
 |дата               = 2001
 |year=|назва             = Теорія ймовірностей, математична статистика і випадкові процеси: Навчальний посібник.
 |last=|first=|url                    = http://www.phys.univ.kiev.ua/theory/pdf/promain.pdf
 |мова               = укр
 |видавництво = ВПЦ «Київський університет»
 |розміщення   = К.
 |pages=|language=|isbn=|archiveurl             = https://web.archive.org/web/20070224123159/http://www.phys.univ.kiev.ua/theory/pdf/promain.pdf
 |archivedate            = 2007-02-24
 |accessdate             = 2010-06-20
 |deadurl                = no
}}

[[Категорія:Математичні аксіоми]]
[[Категорія:Теорія ймовірностей]]