Перегляд вихідного коду сторінки Абстрактна алгебра

'''Абстра́ктна''' або '''ви́ща а́лгебра'''&nbsp;— галузь [[математика|математики]], зосереджена на вивченні властивостей [[аксіома]]тично впроваджених [[алгебраїчна структура|алгебраїчних структур]]. В сучасній науковій літературі називається просто ''алгебра''. Ознака «абстрактна» підкреслює, що об'єктами вивчання є абстрактні ''структури'', такі як [[група (алгебра)|групи]], [[кільце (алгебра)|кільця]], [[поле (алгебра)|поля]] і [[модуль над кільцем|модулі]], на відміну від алгебраїчних ''виразів'', що вивчаються в елементарній «шкільній» алгебрі.

Абстрактна алгебра сформувалася протягом другої половини [[XIX століття|XIX]] і першої чверті [[XX століття]] і була вперше систематично викладена в монографії «Moderne Algebra» [[Бартель ван дер Варден|Ван дер Вардена]] ([[1930|1930 рік]]). Алгебраїчна точка зору спричинила надзвичайно великий вплив на розвиток багатьох галузей математики в XX столітті, зокрема [[теорія чисел|теорії чисел]], [[топологія|топології]], [[алгебраїчна геометрія|алгебраїчної геометрії]] і [[функціональний аналіз|функціонального аналізу]].

== Короткий історичний нарис ==
Приблизно до другої половини XIX століття в алгебраїчних дослідженнях більше уваги надавалося конкретним ''об'єктам'', що вивчалися методами, спеціально пристосованими до ситуації, ніж загальним концепціям. Наведемо такі приклади:
* кільце <math>\Z/N\Z</math> [[кільце залишків|залишків]] цілих чисел <math>(\!\! \mod N)</math> ([[Леонард Ейлер|Л.&nbsp;Ейлер]])
* група <math>\ S_4 </math> всіх [[перестановка|перестановок]] коренів [[рівняння четвертого степеня]] ([[Жозеф-Луї Лагранж|Ж.&nbsp;Лагранж]])
* кільця <math>\Z[x]</math> [[Многочлен|поліномів однієї змінної]] з цілими коєфіцієнтами і <math>\Z[i]</math> [[Гаусові числа|гаусових цілих чисел]] ([[Карл Фрідріх Гаусс|К.&nbsp;
Гаусс]]).
Але згодом на перший план вийшли власне '''структури''' групи, кільця і&nbsp;т.&nbsp;ін. Це дозволяє розглядати, наприклад, будь-яку групу підстановок <math>G<S_n</math> як абстрактну [[група (математика)|групу]], тобто як множину з операціями, що задовільняє певній системі аксіом, і доводити загальні теореми про групи, які, зокрема, стосуються конкретної групи <math>G</math> ([[Нільс Генрік Абель|Н.&nbsp;Абель]], [[Еварист Галуа|Е.&nbsp;Галуа]]). Саме впровадження загальної аксіоматичної точки зору на алгебраїчні об'єкти варто вважати початком абстрактної алгебри як незалежної дисципліни. Згодом були дани аксіоматичні означення поля, кільця, [[векторний простір|векторного простору]], [[алгебра Лі|алгебри Лі]] тощо і було розпочато дослідження всіх цих структур.

Величезний внесок до розвитку абстрактної алгебри у 1890—1930 роках зробили [[Давид Гільберт|Д.&nbsp;Гільберт]], [[Еміль Артін|Е.&nbsp;Артін]] та [[Еммі Нетер|Е.&nbsp;Нетер]], що застосували [[аксіоматичний метод]] для вивчення комутативних [[кільце (алгебра)|кілець]] і [[модуль над кільцем|модулів над ними]] і отримали низку потужних результатів. Ці дослідження з абстрактної алгебри, разом із деякими попередніми дослідженнями [[Леопольд Кронекер|Л.&nbsp;Кронекера]], [[Ріхард Дедекінд|Р.&nbsp;Дедекінда]] було вперше систематично піднесено у надзвичайно впливовій монографії «Сучасна алгебра» («Moderne Algebra») [[Бартель ван дер Варден|Ван дер Вардена]], перше видання якої з'явилося в 1930—1931 роках.

Починаючи з роботи Д.Гільберта з теорії [[Інтегральне перетворення|інтегральних операторів]] на початку XX століття і [[Джон фон Нейман|Дж.&nbsp;фон Неймана]] з кілець операторів у 1930 році, методи абстрактної алгебри знайшли плідне застосування в аналізі, а згодом і в інших галузях математики. Потреби нової фізики насамперед [[квантова механіка|квантової теорії]], спричинили як розповсюдження деяких алгебраїчних ідей поза межами алгебри, наприклад групи, операторів з некомутативним множенням, тобто некомутативного кільця, так і подальший розвиток самої алгебри.

В середині XX століття, походячи з ідей [[Алгебрична топологія|алгебричної топології]], алгебраїчні структури почали розглядати з позицій [[Теорія категорій|теорії категорій]] ([[Ейленберг Самюель|С.&nbsp;Ейленберг]]—[[Мак-лейн Сондерс|С.&nbsp;Маклейн]]). Це надало змогу вивчати не тільки структури одного типу, що утворюють [[Теорія категорій|категорію]], але і певні відображення між категоріями, так звані [[функтор]]и, і, найбільш абстрактно, [[природні перетворення]] між функторами. Неперевершеним майстром категорної алгебри був [[Александр Гротендік|А.&nbsp;Гротендік]], який застосував її для створення підвалин сучасної [[Алгебрична геометрія|алгебричної геометрії]] і [[Теорія топосів|теорії топосів]].

Чимало досліджень в алгебрі за останні 40-50 років належать до кількох добре влаштованих основних галузей, таких як [[теорія груп]], [[комутативна алгебра]] або [[теорія кілець]]. З новіших підрозділів абстрактної алгебри відзначимо [[Алгебрична комбінаторика|алгебричну комбінаторику]], що на цей час перетворилась на самостійну дисципліну, наближені до топології [[операда|теорію операд]], [[гомотопічна алгебра|гомотопічну алгебру]] і, нарешті, теорію [[квантова група|квантових груп]], впроваджених [[Дрінфельд Володимир Гершонович|В.&nbsp;Г.&nbsp;Дрінфельдом]], порівняно новий розділ алгебри, що зазнав бурхливого розвитку протягом останніх двох десятиліть.

== Основні структури сучасної алгебри ==
* [[Множина]]
* [[Група (математика)|Група]]
* [[Кільце (алгебра)|Кільце]]
* [[Модуль над кільцем]]
* [[Поле (алгебра)|Поле]]
* [[Векторний простір]]
* [[Алгебра над кільцем]]
* [[Алгебра Лі|Алгебра (кільце) Лі]]
 
Чимало алгебраїчних структур виникають як підкласи перелічених вище, що задовільняють додатковим аксіомам, наприклад, [[булева алгебра (структура)|булеві алгебри]], [[Абелева група|комутативні групи]] або кільця. Інші, такі як [[Частково впорядкована множина|частково впорядковані множини]],
[[ґратка (порядок)|ґратки]], [[Алгебра Пуассона|пуассонові алгебри]] та [[Алгебра Гопфа|алгебри Гопфа]] мають ще й додаткові операції.
Є також чимало структур, що не знайшли широкого застосування поза межами алгебри, наприклад [[Квазігрупа (алгебра)|лупи]].

== Підрозділи абстрактної алгебри ==
[[Теорія груп]] займається вивченням властивостей абстрактних груп та їх зображень.

[[Теорія кілець]] розглядає довільні (некомутативні) кільця і асоціативні алгебри.

[[Лінійна алгебра]] розглядає лінійні простори і [[Лінійне відображення|лінійні оператори]] між ними.

[[Комутативна алгебра]] вивчає властивості [[Комутативне кільце|комутативних кілець]] та модулів над ними.
Вона має щільні зв'язки з [[Алгебраїчна геометрія|алгебраїчною геометрією]] і [[Алгебраїчна теорія чисел|алгебраїчною теорією чисел]].
До комутативної алгебри можна віднести [[Теорія полів|теорію полів]] і [[Теорія Галуа|теорію Галуа]].

[[Диференціальна алгебра]] вивчає алгебраїчні властивості систем диференційних рівнянь.

[[Гомологічна алгебра]] вивчає категорії модулів за допомогою [[комплекс]]ів, або ''диференційних градуйованих'' модулів.

[[Універсальна алгебра]], що близька до [[Математична логіка|математичної логіки]], розглядає довільні алгебраїчні структури, задані системою аксіом.

[[Теорія категорій]] надає можливість вивчати різноманітні алгебраїчні концепції
та взаємодію між ними в найбільш абстрактному сенсі.

Теорія груп широко застосується як в математиці, наприклад, в [[геометрія|геометрії]], [[топологія|топології]], [[гармонічний аналіз|гармонічному аналізі]] і
теорії [[диференційне рівняння|диференційних рівнянь]], так і поза її межами, в таких галузях як [[кристалографія]], [[квантова фізика]] і [[квантова хімія]].
Лінійна алгебра відіграє неабияку роль майже в усіх галузях математики, а також в [[математична економіка|математичній економіці]].
З інших розділів абстрактної алгебри, гомологічна алгебра і теорія категорій мають плідні зв'язки з [[алгебраїчна топологія|алгебраїчною топологією]].

== Література ==
;Українською
* Костарчук В. М., Хацет Б.&nbsp;І.&nbsp;Курс вищої алгебри.&nbsp;— 3-є вид. перероблене і доповнене. -К.: Вища школа, 1969.&nbsp;— 536с.
* {{Завало.Курс алгебри}}
* {{cite book |last1=Завало |first1=С. Т. |authorlink1= Завало Сергій Трохимович|last2=Левіщенко |first2=С. С. |last3=Пилаєв |first3=В. В. |last4=Рокицький |first4=І. О. |date=1983 |title=Алгебра і теорія чисел. Практикум: у 2-х частинах|url= |location=Київ |publisher=Вища Школа  |page= |isbn=}} {{ref-uk}}
;Іншими мовами
* {{книга
 |автор          = Charles C. Pinter
 |частина        = 
 |заголовок      = A Book of Abstract Algebra
 |посилання      = 
 |видання        = Second Edition (Dover Books on Mathematics)
 |відповідальний = 
 |місце          = 
 |видавництво    = Dover Publications
 |рік            = 2010
 |том            = 
 |сторінки       = 
 |сторінок       = 400
 |isbn           = 978-0486474175
 |ref            =
}} {{ref-en}}
* {{книга |автор                   = I. N. Herstein
 |частина               = 
 |заголовок           = Topics in Algebra
 |посилання           = 
 |видання               = 2
 |відповідальний = 
 |місце                   = 
 |видавництво       = John Wiley & Sons
 |рік                       = 1975
 |том                       = 
 |сторінки             = 
 |сторінок             = 388
 |isbn                         = 978-0471010906
 |ref                          = 
 |url-access                   = registration
 |url                          = https://archive.org/details/topicsinalgebra00hers
}} {{ref-en}}
* {{книга
 |автор          = Joseph J. Rotman
 |частина        = 
 |заголовок      = A First Course in Abstract Algebra
 |посилання      = 
 |видання        = 3 
 |відповідальний = 
 |місце          = 
 |видавництво    = Pearson
 |рік            = 2005
 |том            = 
 |сторінки       = 
 |сторінок       = 640
 |isbn           = 978-0131862678
 |ref            =
}} {{ref-en}}
* {{книга
 |автор          = Joseph J. Rotman
 |частина        = 
 |заголовок      = Advanced Modern Algebra 
 |посилання      = 
 |видання        = 3 (Graduate Studies in Mathematics)
 |відповідальний = 
 |місце          = 
 |видавництво    = AMS
 |рік            = 2015
 |том            = 
 |сторінки       = 
 |сторінок       = 709
 |isbn           = 978-1470415549
 |ref            =
}} {{ref-en}}
* {{книга
 |автор          = Thomas W. Hungerford
 |частина        = 
 |заголовок      = Algebra 
 |посилання      = 
 |видання        = 8th Edition (Graduate Studies in Mathematics)
 |відповідальний = 
 |місце          = 
 |видавництво    = Springer
 |рік            = 2003
 |том            = 73
 |сторінки       = 
 |сторінок       = 504
 |isbn           = 978-0387905181
 |ref            =
}} {{ref-en}}
* {{книга
 |автор          = David S. Dummit, Richard M. Foote
 |частина        = 
 |заголовок      = Abstract Algebra 
 |посилання      = 
 |видання        = 3 (Graduate Studies in Mathematics)
 |відповідальний = 
 |місце          = 
 |видавництво    = Wiley
 |рік            = 2003
 |том            = 
 |сторінки       = 
 |сторінок       = 944
 |isbn           = 978-0471433347
 |ref            =
}} {{ref-en}}
* {{Винберг.Курс алгебры}}
* {{Ван.дер.Варден.Алгебра}}
* {{Ленг.Алгебра}}

== Посилання ==
* [http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/contents.html Abstract Algebra Online] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20201228134955/http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/contents.html |date=28 грудня 2020 }}
* Курс лекцій {{YouTube|playlist=PLelIK3uylPMGzHBuR3hLMHrYfMqWWsmx5|title=Abstract Algebra}}, [[Гарвардський університет]]. {{ref-en}}
* [https://web.archive.org/web/20040415031507/http://www.math.uiuc.edu/~mileti/Museum/algebra.html Mathematics Museum (Abstract Algebra)]

{{Розділи математики|state=collapsed}}
{{Бібліоінформація}}

[[Категорія:Алгебра]]
[[Категорія:Абстрактна алгебра|*]]