Перегляд вихідного коду сторінки Абелева група

{{Алгебричні структури|group}}
{{Теорія груп|expanded=Properties}}
'''Абелева група''' (''комутативна група'')&nbsp;— [[група (математика)|група]], операція в якій задовольняє умові [[комутативність|комутативності]]. Названа на честь [[Нільс Абель|Нільса Абеля]], що встановив роль таких груп в теорії розв'язності [[алгебричне рівняння|алгебричних рівнянь]] у радикалах. Зазвичай для позначення операції в абелевій групі використовується адитивний запис, тобто знак + для самої операції, що називається додаванням, знак 0 для [[нейтральний елемент|нейтрального елементу]], що називається нулем.

Теорія абелевих груп, що бере свій початок в [[теорія чисел|теорії чисел]], знаходить застосування в багатьох математичних теоріях.

Розвиток теорії [[модуль над кільцем|модулів]] нерозривно пов'язаний з абелевими групами як модулями над [[кільце (алгебра)|кільцем]] [[ціле число|цілих чисел]]. Багато результатів теорії абелевих груп вдається перенести на випадок модулів над [[кільце головних ідеалів|кільцем головних ідеалів]].

Теорія двоїстості характерів скінченних абелевих груп одержала глибокий розвиток в теорії двоїстості для [[топологічна група|топологічних]] [[локально компактна група|локально компактних]] груп. Розвиток [[гомологічна алгебра|гомологічної алгебри]] дозволив вирішити ряд проблем в теорії абелевих груп, наприклад, дати опис множин всіх [[Розширення групи|розширень]] однієї групи за допомогою іншої.

== Приклади ==

* Всі [[циклічна група|циклічні групи]], зокрема адитивна група [[цілі числа|цілих чисел]]&nbsp;— абелеві.
* Абелевими групами будуть всілякі [[пряма сума|прямі суми]] циклічних груп,
* Адитивна група [[раціональні числа|раціональних чисел]] <math>\Q</math> (що є локально циклічною групою, тобто групою, всі скінченно [[породжуюча множина групи|породжені]] [[підгрупа|підгрупи]] якої циклічні),
* [[P-група|P-групи]] (або квазіциклічні групи <math>\Z_{p^{\infty}}</math>, де р&nbsp;— довільне [[просте число]]).

== Види абелевих груп ==

''[[Вільна абелева група]]''&nbsp;— пряма сума деякої множини нескінченних циклічних груп.

Довільна [[підгрупа]] вільної абелевої групи&nbsp;— вільна абелева група.
Сукупність всіх елементів скінченного [[Порядок елемента|порядку]] абелевої групи утворює підгрупу, що називається [[підгрупа кручення|підгрупою кручення]] абелевої групи. [[Факторгрупа]] абелевої групи по її підгрупі кручення є [[група без кручень|групою без кручення]]. Таким чином довільна абелева група&nbsp;— [[Розширення групи|розширення]] [[періодична група|періодичної абелевої групи]] при допомозі абелевої групи без кручення. Підгрупа кручень, взагалі кажучи, не виділяється у вигляді прямого доданку.

Періодична абелева група порядки всіх елементів якої є степенями фіксованого [[просте число|простого числа]] ''p'', називається [[Примарна абелева група|примарною]] по простому числу ''p'' (у загальній [[Теорія груп|теорії груп]] використовується термін р-група). Всяка періодична абелева група може бути розкладена, притому єдиним способом у пряму суму примарних груп, що відносяться до різних простих чисел.

=== Скінченні абелеві групи ===
Основоположна теорема про структуру скінченної абелевої групи стверджує, що будь-яка скінченна абелева група може бути розкладена в пряму суму своїх циклічних підгруп, порядки яких є степенями [[просте число|простих чисел]]. Це наслідок загальної [[Скінченнопороджена абелева група|теореми про структуру скінченнопороджених абелевих груп]] для випадку, коли група не має елементів нескінченного порядку.
<math>\Z_{mn}</math> ізоморфна [[Пряма сума|прямій сумі]] <math>\Z_m</math> і <math>\Z_n</math> [[Тоді й лише тоді|тоді і тільки тоді]], коли <math>m</math> і <math>n</math> [[Взаємно прості числа|взаємно прості]].

Отже, можна записати абелеву групу <math> G </math> у формі прямої суми
: <math>\Z_{k_1}\oplus\ldots\oplus\Z_{k_u}</math>
двома різними способами:
* Де числа <math>k_1,\;\ldots,\;k_u</math> ступені простих
* Де <math>k_1</math> ділить <math>k_2</math>, яка ділить <math>k_3</math>, і так далі до <math>k_u</math>.

Наприклад, <math>\Z/15\Z=\Z_{15}</math> може бути розкладена в пряму суму двох циклічних підгруп порядків 3 та 5: <math>\Z/15\Z=\{0,\;5,\;10\}\oplus\{0,\;3,\;6,\;9,\;12\}</math>. Те ж можна сказати про будь-яку абелеву групу порядку 15, приходимо до висновку, що всі абелеві групи близько 15 ізоморфні.

=== Скінченнопороджені абелеві групи ===
{{main|Скінченнопороджена абелева група}}

Повний опис відомий також для [[скінченнопороджена абелева група|скінченнопороджених абелевих груп]]. Його дає основна теорема про абелеві групи із скінченним числом твірних: всяка скінченно породжена абелева група розкладається в пряму суму скінченного числа нерозкладних циклічних підгруп, з яких частина&nbsp;— скінченні примарні, частина&nbsp;— нескінченні. Такий розклад не є єдиним, але будь-які два розклади абелевих груп з скінченним числом твірних в пряму суму нерозкладних циклічних груп ізоморфні між собою і, таким чином, число нескінченних циклічних доданків і сукупність порядків примарних циклічних доданків не залежить від вибору розкладу. Ці числа, називаються інваріантами скінченнопородженої абелевої групи, вони є повною системою інваріантів в тому розумінні, що довільні дві групи, для яких ці інваріанти рівні, є [[ізоморфізм груп|ізоморфними]]. Всяка підгрупа абелевої групи з скінченним числом твірних сама має скінченну систему твірних.

=== Лінійна незалежність і ранг ===

[[Скінченна множина]] елементів <math>g_1,\ldots,g_k</math> абелевої групи називається ''лінійно залежною'', якщо існують такі [[ціле число|цілі числа]] <math>n_1,\ldots,n_k</math>, не всі рівні нулю, що <math>\sum_{i=1}^k n_ig_i = 0.</math> Якщо таких чисел не існує, то ця множина називається лінійно незалежною. Довільна система елементів абелевої групи називається лінійно залежною, якщо лінійно залежна деяка скінченна її підсистема. Абелева група, що не є періодичною, володіє максимальними лінійно незалежними системами. [[Потужність множини|Потужності]] всіх максимальних лінійно незалежних підсистем однакові і називаються рангом (Прюфера) даної абелевої групи. Ранг періодичної групи вважається рівним нулю. Ранг вільної абелевої групи рівний потужності системи її твірних.
Всяка абелева група без кручення рангу ''I'' ізоморфна деякій підгрупі адитивної групи [[раціональне число|раціональних чисел]].

Абелеві групи без кручення, розкладаються в пряму суму груп рангу 1, що називаються цілком розкладними. Не всяка підгрупа цілком розкладної групи буде цілком розкладною (але всякий прямий доданок). Для всякого цілого ''n'' існує абелева група без кручення рангу ''n'', нерозкладна в пряму суму. Для зліченних абелевих груп без кручення може бути побудована повна система інваріантів.

=== Повні абелеві групи ===

Абелева група називається ''повною'', якщо для будь-якого її елементу ''a'' і будь-якого [[Цілі числа|цілого]] ''n'' в ній рівняння ''nx = a'' має розв'язок. Всі повні абелеві групи вичерпуються прямими сумами груп, ізоморфних <math>\Q</math> і групам <math>\Z-{p^{\infty}}</math>, причому потужності множин компонент, ізоморфних <math>\Q</math>, а також <math>\Z_{p^{\infty}}</math> (для кожного простого числа) утворюють повну і незалежну систему інваріантів повної групи. Довільна абелева група може бути ізоморфно вкладена в деяку повну абелеву групу. Повні абелеві групи і лише вони є ін'єктивними об'єктами в [[Теорія категорій|категорії]] абелевих груп. Таким чином, довільна абелева група подається у вигляді прямої суми повної групи і так званої ''редукованої групи'', тобто групи, що не містить ненульових повних підгруп.

== Властивості ==
* Будь-яка абелева група має природну структуру [[модуль над кільцем|модуля над кільцем]] [[ціле число|цілих чисел]]. Дійсно, нехай <math> n </math>&nbsp;— [[натуральне число]], а <math> x </math>&nbsp;— елемент комутативної групи <math> G </math> з операцією, що позначається як <math>+</math>, тоді <math>nx</math> можна визначити як <math>x+x+\ldots+x</math> (<math>n</math> раз) і <math>(-n)x = -(nx)</math>.
** Твердження та теореми, вірні для абелевих груп (тобто модулів над [[Кільце головних ідеалів|кільцем головних ідеалів]] <math> \Z</math>), часто можуть бути узагальнені на модулі над довільним кільцем головних ідеалів. Типовим прикладом є класифікація [[скінченнопороджена абелева група|скінченновопороджених абелевих груп]].
* Множина [[гомоморфізм]]ів <math>\operatorname{Hom}(G,\;H)</math> всіх групових гомоморфізмів з <math>G</math> у <math>H</math> сама є абелевою групою. Дійсно, нехай <math>f,\;g:G\to H</math>&nbsp;— два [[Гомоморфізм груп|гомоморфізми груп]] між абелевими групами, тоді їх сума <math> f+g </math>, задана як <math>(f+g)(x)=f(x)+g(x)</math>, теж є гомоморфізмом (це невірно, якщо <math> H </math>&nbsp;— [[некомутативна група]]).

== Варіації та узагальнення ==
* '''Диференціальною групою''' називається абелева група <math>\mathbf{C}</math>, в якій заданий такий [[ендоморфізм]] <math>d\colon\mathbf{C}\to\mathbf{C}</math>, що <math>d^2=0</math>. Цей ендоморфізм називається ''диференціалом''. Елементи диференціальних груп називаються ''ланцюгами'', елементи [[Ядро (алгебра)|ядра]] <math>\ker\,d</math> -''циклами'', елементи образу <math>\mathrm{Im}\,d</math> -''границями''.

== Література ==
=== Українською ===
* {{книга
|автор        = [[Гаврилків Володимир Михайлович|Гаврилків В. М.]]
|назва        = Елементи теорії груп та теорії кілець
|рік          = 2023
|видавництво  = Голіней
|місто        = {{Comment|І.-Ф. |Івано-Франківськ}}
|сторінок     = 153
}}
* {{книга
 |автор          = Ганюшкін О. Г., Безущак О. О.
 |назва          = Теорія груп: Навчальний посібник для студентів механіко–математичного факультету
 |посилання      = https://mechmat.knu.ua/wp-content/uploads/2018/03/group_l.pdf
 |місце          = Київ
 |видавництво    = ВПЦ "Київський університет"
 |рік            = 2005
 |сторінок       = 
 |ref            =
}}

=== Іншими мовами ===
* {{Винберг.Курс алгебры}}
* {{Курош.Теорія груп}}
* {{Rotman.An Introduction to the Theory of Groups}}
* Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 1./ Под ред. И.&nbsp;М.&nbsp;Виноградова. М.: Советская энциклопедия, 1984
* Phillip A. Griffith (1970). Infinite Abelian group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 0-226-30870-7.

== Посилання ==
*[https://vue.gov.ua/Абелева_група Абелева група] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220225052900/https://vue.gov.ua/Абелева_група |date=25 лютого 2022 }} // [[ВУЕ]]

[[Категорія:Теорія абелевих груп]]
[[Категорія:Властивості груп]]