Перегляд вихідного коду сторінки Історія математичних позначень

'''[[Таблиця математичних символів|Математичні позначення]]'''&nbsp;— [[символ]]и, які використовують для компактного запису математичних [[Рівняння|рівнянь]] і [[Формула|формул]]<ref> [[Ґотфрід Вільгельм Лейбніц|Лейбніц]] в листі [[Еренфрід Вальтер Чірнгауз|Чірнгауз]] (1678) писав: «Слід дбати про те, щоб позначення були зручні для відкриттів. Це досягається найбільшою мірою тоді, коли знаки коротко виражають і як би відображають найглибшу природу речі; при цьому дивним чином скорочується робота мислення».</ref>. Крім [[Індо-арабська система числення|цифр]] та літер різних алфавітів ([[Латинська абетка|латинського]], у тому числі в [[Готичне письмо|готичному накресленні]], [[Грецька абетка|грецького]] та [[Гебрейська абетка|єврейського]]), математична мова використовує безліч [[Таблиця математичних символів|спеціальних символів]], винайдених за останні кілька століть.

== Алгебра ==

=== Об'єкти та операції ===
<gallery>
Файл: Wenceslas Hollar - William Oughtred.jpg | [[Вільям Отред]]
Файл: Francois Viete.jpeg|[[Франсуа Вієт]]
Файл: Frans Hals - Portret van René Descartes.jpg | [[Рене Декарт]]
Файл: Bendixen - Carl Friedrich Gauß, 1828.jpg|[[Карл Фрідріх Гаус]]
</gallery>

[[Файл: Indian numerals 100AD.svg|thumb|Від індійських значків, показаних в нижньому рядку (накреслення I століття н.&nbsp;е.), походять сучасні цифри]]

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 150%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';">0123456789</span></div>

Для позначення цифр від 1 до 9 в Індії з VI століття до н.&nbsp;е. використовували писемність «брахмі», з окремими знаками для кожної цифри. Трохи видозмінившись, ці значки стали сучасними цифрами, які ми називаємо ''арабськими'', а самі араби&nbsp;— ''індійськими''. У зв'язку з винаходом [[Десяткова система числення|десяткової позиційної системи]] запису чисел (близько 500 р н.&nbsp;е.), знадобився новий значок для нуля. Вчені розходяться в думках, звідки до Індії прийшла ця ідея&nbsp;— від греків, з [[Математика в стародавньому Китаї|Китаю]] або індійці винайшли цей важливий символ самостійно. Перший код нуля виявлений у записі 876 року, він має вигляд звичного нам кружечка.
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"><math> 3 {,} 62 </math></span></div>

Десяткова кома, що відокремлює дробову частину числа від цілої, введена італійським астрономом [[Джованні Антоніо Маджині|Маджині]] ([[1592]]) та [[Джон Непер|Непером]] ([[1617]]). Раніше замість коми ставили інші символи&nbsp;— вертикальну риску: 3 | 62, чи нуль у дужках: 3 (0) 62; деякі автори, які наслідували [[ал-Каші]], вживали чорнило різного кольору. В Англії замість коми віддавали перевагу крапці, яку ставили посередині рядку; цю традицію перейняли в США, проте змістили крапку вниз, щоб не плутати її зі знаком множення.
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> <math>\ \frac {7}{12}\ </math></span></div>
«Двоповерховий» запис [[Дріб|звичайного дробу]] використовували ще [[Давньогрецька математика|давньогрецькі математики]], хоча [[знаменник]] вони записували над [[чисельник]]ом, а риски дробу не було. [[Історія математики в Індії|Індійські математики]] перемістили чисельник наверх; через [[Математика ісламського середньовіччя|арабських математиків]] цей формат перейняли в Європі. Дробову риску вперше в Європі ввів [[Леонардо Пізанський]] ([[1202]]), але в ужиток вона увійшла лише за підтримки [[Йоганн Відман|Йоганна Відмана]] ([[1489]]).
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"><math>\boldsymbol{+\;-}</math></span></div>
Знаки [[плюс]]а та [[мінус]]а придумали, мабуть, в німецькій математичній школі «косистів» (тобто алгебраїстів). Їх використано у підручнику Йоганна Відмана «Швидкий та приємний рахунок для всіх торговців», виданому в [[1489]] році. До цього додавання позначалося буквою ''p'' (plus) або латинським словом ''et'' ([[сполучник]] «та»), а віднімання&nbsp;— буквою ''m'' (minus). У Відмана символ плюса замінює не тільки додавання, але й сполучник «та». Походження цих символів неясне, але, найімовірніше, їх раніше використовували у торговій справі як ознаки прибутку та збитку. Обидва символи незабаром отримали загальне поширення в Європі&nbsp;— за винятком Італії, яка ще близько століття використовувала старі позначення<ref> {{cite web | url = http: //www.ms.uky.edu/~sohum/ma330/files/eqns_2 .pdf | title = Cardano's Ars Magna, page 4 | accessdate = 2013-10-08}} </ref>.
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"><math>\boldsymbol{\times \; \cdot}</math></span></div>
[[Знак множення]] ввів в [[1631]] році [[Вільям Отред]] (Англія) у вигляді косого хрестика. До нього використовували найчастіше букву M, хоча пропонували й інші позначення: символ прямокутника <math>\Box</math> ([[П'єр Ерігон|Ерігон]], [[1634]]), зірочка ([[Йоганн Ран]], [[1659]]). Пізніше [[Лейбніц]] замінив хрестик на крапку (кінець [[XVII століття]]), щоб не плутати його з буквою ''x''; до нього така символіка зустрічалася у [[Регіомонтан]]а ([[XV століття]]) та англійського вченого [[Томас Герріот|Томаса Герріота]] (1560—1621).
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"><math>\boldsymbol{/ \; : \; \div}</math></span></div>
[[Знак ділення|Знаки ділення]]. Отред віддавав перевагу косій рисці. Двокрапкою поділ став позначати Лейбніц. До них часто використовували також букву D. Починаючи з [[Фібоначчі]], використовують також горизонтальну риску дробу, яку вживали ще [[Герон]], [[Діофант Олександрійський|Діофант]] та яка зустрічається в [[Математика ісламського середньовіччя|арабських творах]]. В Англії та США поширення отримав символ ÷ ([[обелюс]]), який запропонував [[Йоганн Ран]] (можливо, за участю [[Джон Пелл|Джона Пелла]]) в [[1659]] році. Спроба Американського національного комітету з математичних стандартів ({{lang-en | National Committee on Mathematical Requirements}}) вивести обелюс з практики ([[1923]]) виявилася безрезультатною<ref>{{Cite web |url=http://www.pballew.net/arithme6 |title=.html Divide symbols. |accessdate=28 вересня 2015 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20150929060122/http://www.pballew.net/arithme6 |archivedate=29 вересня 2015 |deadurl=yes }}</ref>.
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"><math>\boldsymbol{\pm}</math></span></div>
[[Знак плюс-мінус]] з'явився у [[Альбер Жирар|Жирара]] ([[1626]]) та Отреда. Правда, Жирар між плюсом і мінусом писав ще словами «або».
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"><math>\boldsymbol{a^n}</math></div>
[[Піднесення до степеня]]. В VII столітті н.&nbsp;е. індійський математик [[Брахмагупта]] позначав піднесення до квадратного степеня знаком <big> व </big> (від {{lang-sa|वर्ग}}&nbsp;— квадратне число). Сучасний запис показника степеня введений [[Рене Декарт|Декартом]] в його «Геометрії» ([[1637]]), правда, тільки для натуральних степенів, більших 2. Пізніше [[Ісаак Ньютон|Ньютон]] поширив цю форму запису на від'ємні та дробові показники ([[1676]]), трактування яких до цього часу вже запропонували [[Сімон Стевін|Стевін]], [[Джон Валліс|Валліс]] і Жирар.
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"><math>\boldsymbol{\sqrt{x}}</math></div>
Середньовічні математики (наприклад, [[Джироламо Кардано|Кардано]]) позначали [[квадратний корінь]] символом <math> R </math> або стилізованою комбінацією <math>R_x</math> (від {{lang-lat|Radix}}, корінь)<ref name = NIK> {{книга | автор = Нікіфоровський В. А. | назва = З історії алгебри XVI-XVII ст | місце = М. | видавництво = Наука | рік = 1 979 | сторінок = 208 | серія = Історія науки і техніки | сторінки = 81}} </ref>.

Сучасне позначення [[Знак кореня|знаку кореня]] вперше вжив німецький математик [[Крістоф Рудольфф]], зі школи косистів, в 1525 році. Походить цей символ від стилізованої першої літери того ж слова ''radix''. Риска над підкореневим виразом спочатку була відсутня; її пізніше ввів [[Рене Декарт]] (1637) для іншої мети (замість дужок), і ця риска незабаром злилася зі знаком кореня.
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"><math>\boldsymbol{\sqrt[3]{x}}</math></div>
[[Кубічний корінь]] в XVI столітті позначався таким чином: R<sub>x</sub>.u.cu (від {{lang-lat|Radix universalis cubica}}). Звичне нам позначення кореня довільного ступеня почав використовувати [[Альбер Жирар]] ([[1629]]).<ref> {{книга | назва = Історія математики | відповідальний = Під редакцією А. П. Юшкевича, у трьох томах | тому = II | сторінки = 41}} </ref> Закріпився цей формат завдяки Ньютону та Лейбніцу.
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"><math>([\{\}])</math></div>
Круглі [[дужки]] з'явилися у [[Нікколо Тарталья|Тартальї]] ([[1556]]) (для підкореневого виразу) й пізніше у Жирара. [[Рафаель Бомбеллі|Бомбеллі]] використовував як початкову дужку куточок у вигляді букви L, а як кінцеву&nbsp;— його ж у перевернутому вигляді ([[1550]]); такий запис став прабатьком квадратних дужок. Фігурні дужки запропонував [[Франсуа Вієт|Вієт]] ([[1593]]). Однак більшість математиків тоді замість дужок надкреслювали виділюваний вираз. У загальну практику дужки ввели Лейбніц та [[Леонард Ейлер|Ейлер]].
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"><math>\boldsymbol{\Sigma}</math></div>
[[Сума|Знак суми]] ввів Ейлер в [[1755]] році.
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"><math>\boldsymbol{\Pi}</math></div>
Знак добутку ввів [[Карл Фрідріх Гаус|Гаус]] в [[1812]] році.
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"><math>\boldsymbol{i}</math></div>
Літеру ''i'' як код уявної одиниці: <math>i=\sqrt{-1}</math> запропонував Ейлер ([[1777]]), узявши для цього першу літеру слова imaginarius (уявний).
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"><math>|x|</math></div>
Позначення [[абсолютна величина|абсолютної величини]] та [[Комплексне число#Зв'язані визначення|модуля комплексного числа]] з'явилися у [[Карл Веєрштрас]]а в [[1841]] році. [[1903]] року [[Гендрік Антон Лоренц|Лоренц]] використовував цю ж символіку для [[Довжина вектора|довжини вектора]].
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> <math>[x]</math></div>
Символ функції «[[ціла частина]]» ввів Гаусс в [[1808]] році. Деякі математики воліють використовувати замість нього позначення ''E (x)'', запропоноване в [[1798]] році [[Адрієн Марі Лежандр|Лежандром]].
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> <math>\lfloor \ \rfloor \ \lceil \ \rceil</math></div>
Дві пари символів-куточків, які означають округлення дійсного числа до цілого в меншу або більшу сторону відповідно ввів [[Кеннет Айверсон]] в 1962 році<ref> {{книга | автор = Кнут Д. | назва = Мистецтво програмування для ЭВМ|место=М.|издательство=Мир|год=1976|том=I|страницы=68}}</ref>.
{{-}}

=== Відношення ===
<gallery>
Файл: Robert recorde.jpg | [[Роберт Рекорд]]
Файл: ThomasHarriot.jpg | [[Томас Герріот]]
Файл: John Wallis.jpg | [[Джон Валліс]]
Файл: Georg Friedrich Bernhard Riemann.jpeg | [[Бернгард Ріман]]
</gallery>

[[Файл: First Equation Ever.png | thumb | Перша друкована поява знака рівності (записано рівняння <math> 14x + 15 = 71 </math>)]]
<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> =</span></div>
[[Знак рівності]] запропонував [[Роберт Рекорд]] в [[1557]] році; накреслення символу було набагато довше нинішнього. Автор пояснив, що немає в світі нічого рівнішого, ніж два паралельних відрізки однакової довжини. Деякий час поширенню символу Рекорда заважала та обставина, що з античних часів такий же символ використовували для позначення паралельності прямих; врешті-решт було вирішено символ паралельності зробити вертикальним. В континентальній Європі знак рівності був введений Лейбніцем.
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> <math>\approx </math></div>
Знак «приблизно дорівнює» придумав німецький математик С. Гюнтер в [[1882]] році.
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> <math>\ne </math></div>
Знак «не дорівнює» вперше зустрічається в Ейлера.
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> <math>\equiv </math></div>
Автор знаку «тотожно дорівнює»&nbsp;— [[Бернгард Ріман]] ([[1857]]). Цей же символ, за пропозицією Гаусса, використовують у [[Теорія чисел|теорії чисел]] як знак [[Модульна арифметика|порівняння по модулю]], а в [[Математична логіка|логіці]]&nbsp;— як знак операції [[еквіваленція|еквівалентності]].
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> <math><\ \ ></math></div>
[[Нерівність|Знаки порівняння]] ввів [[ Томас Герріот]] у своєму творі, виданому посмертно в [[1631]] році. До нього писали словами: ''більше'', ''менше''.
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> <math>\leqslant\ \ \geqslant</math></div>
Символи несуворого порівняння запропонував Валліс в [[1670]] році. Спочатку риска була вище знака порівняння, а не під ним, як зараз. Загальне поширення ці символи отримали після підтримки французького математика [[П'єр Бугер|П'єра Бугера]] ([[1734]]), у якого вони набули сучасного вигляду.
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> <math>\ll \; \gg</math></div>
Ці позначення ввели [[Анрі Пуанкаре]] та [[Еміль Борель]] ([[1901]]) і їх використовували для вказівки, що один ряд мажорирується іншим. Іноді їх використовують у такому вузькому значенні і зараз, але частіше вони означають «багато менше» та «багато більше».

== Геометрія та тригонометрія ==
<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> <math>\angle\ \ \perp</math></div>
Символи «[[кут]]» та «[[Перпендикулярність|перпендикулярно]]» придумав в [[1634]] році французький математик [[П'єр Еригон]]. Символ кута у Еригона нагадував значок <math><</math>, сучасну форму йому додав Вільям Отред ([[1657]]).
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> <math>\|</math></div>
Символ «[[Паралельність|паралельності]]» відомий з античних часів, його використовували [[Герон]] та [[Папп Александрійський]]. Спочатку символ був схожий на нинішній знак рівності, але з появою останнього, щоб уникнути плутанини, символ був повернений вертикально (Отред (1677), Керсі ({{lang-en|John Kersey}}) та ін. математики XVII століття)<ref >[http://jeff560.tripod.com/geometry.html Earliest Uses of Symbols from Geometry] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20151102045256/http://jeff560.tripod.com/geometry.html |date=2 листопада 2015 }}.</ref>.
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> <math>30^\circ 40' 50''</math></div>
Сучасні позначення кутових одиниць ([[Градус (геометрія)|градуси, мінути, секунди]]) зустрічаються ще в «[[Альмагест]]і» [[Клавдій Птолемей|Птолемея]], однак в середньовічній Європі замість них писали словами: ''gradus, minutes, secundae''. Знову ці символи використовував в 1568 році французький математик і поет Жак Пелетьє ({{lang-fr|Jacques Peletier du Mans}}, 1517—1582), після чого вони швидко увійшли в загальне вживання (зокрема, у [[Тихо Браге]], [[Георг Йоахім фон Ретик|Ретика]] та [[Йоганн Кеплер|Кеплера]]).

Радіанну міру кутів, зручнішу для [[Математичний аналіз|аналізу]], запропонував в 1714 році англійський математик [[Роджер Котс]]. Сам термін ''радіан'' придумав в 1873 році Джеймс Томсон, брат відомого фізика [[Вільям Томсон|лорда Кельвіна]].
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> <math>\pi</math></div>
Загальноприйняте позначення [[Пі (число)|числа 3,14159 …]] вперше утворив [[Вільям Джонс (математик)|Вільям Джонс]] в [[1706]] році, взявши першу букву слів {{lang-el|περιφέρεια}}&nbsp;— [[коло]] та {{lang-el2|περίμετρος}}&nbsp;— [[периметр]], тобто довжина кола. Це скорочення сподобалося Ейлеру, праці якого закріпили позначення остаточно.
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> <math>\sin, \cos</math></div>
Скорочені позначення для [[синус]]а та [[косинус]]а ввів Отред в середині XVII століття.
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> <math>\tan, \operatorname{tg}, \cot, \operatorname{ctg}</math></div>
Скорочені позначення [[тангенс]]а та [[котангенс]]а: <math>\operatorname{tg}, \operatorname{ctg}</math> введені [[Йоганн Бернуллі|Іоганном Бернуллі]] в XVIII столітті, вони набули поширення в Німеччині та Росії. В інших країнах вживаються назви цих функцій <math>\tan, \cot</math>, запропоновані Альбером Жираром ще раніше, на початку XVII століття.
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> <math>\arcsin</math></div>
Манера позначати зворотні тригонометричні функції за допомогою приставки ''arc'' (від {{lang-lat|arcus}}, дуга) з'явилася в австрійського математика Карла Шерфера ({{lang-de|Karl Scherffer}}; 1716—1783) і закріпилася завдяки [[Жозеф Луї Лагранж|Лагранжу]]. Малося на увазі, що, наприклад, звичайний синус дозволяє по дузі кола знайти тиснучу її хорду, а зворотна функція вирішує протилежне завдання. Англійська та німецька математичні школи до кінця XIX століття пропонували інші позначення: <math>\sin^{-1}, \frac{1}{\sin}</math>, але вони не прижилися.

== Математичний аналіз ==
<gallery perrow="5" widths="100">
Файл: GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg | [[Ісаак Ньютон]]
Файл: Gottfried Wilhelm Leibniz.jpg | [[Ґотфрід Вільгельм Лейбніц]]
Файл: Leonhard Euler 2.jpg | [[Леонард Ейлер]]
Файл: Karl Weierstrass.jpg | [[Карл Веєрштрас]]
Файл: Fourier2.jpg | [[Жан Батист Жозеф Фур'є]]
</gallery>

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> <math>f(x) </math></div>
Довгий час математики задавали аргументи без дужок: <math> fx </math>, дужки використовували тільки у випадку багатьох аргументів, а також якщо аргумент являв собою складний вираз<ref> {{книга | назва = Хрестоматія з історії математики. Математичний аналіз. Теорія ймовірностей | відповідальний = Под ред. А. П. Юшкевича | місце = М. | видавництво = Просвітництво | рік = 1977 | сторінок = 224 | сторінки = 82}} </ref>. Відлунням тих часів є вживані і зараз записи <math>\sin x, \lg x</math> та ін. Але поступово використання дужок стало загальним правилом.
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> <math>o, O</math></div>
Символи нескінченно малих використовував шотландський математик [[Джеймс Грегорі]]. У нього ці позначення перейняв Ньютон.
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"><math>\int</math></div>
[[Знак інтегралу|Позначення інтегралу]] Лейбніц утворив від першої літери слова «Сума» (''Summa''). Ньютон у своїх роботах не запропонував альтернативної символіки інтегралу, хоча пробував [[Позначення Ньютона|різні варіанти]]: вертикальну риску над функцією або символ квадрата, який стоїть перед функцією або оздоблює її. Сам термін ''інтеграл'' придумав [[Якоб Бернуллі]] ([[1690]]).
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> <math>\Delta x</math></div>
Позначення прирощення літерою <math>\Delta</math> вперше вжив Йоганн Бернуллі.
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> <math>d x</math></div>
Позначення [[Диференціал (математика)|диференціалу]], [[Похідна функції|похідної]] та значна частина інших загальновживаних символів аналізу належать Лейбніцу.
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> <math>\dot x</math></div>
Манера позначати похідну за часом крапкою над літерою йде від Ньютона ([[1691]]).
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> <math>f'(x) </math></div>
Коротке позначення [[Похідна функції|похідної]] штрихом походить від Лагранжа.
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> <math>\mathrm{D}f</math></div>
Позначення похідної як деякого оператора було запропоновано {{Нп|Луи Арбогаст|Арбогастом|en|Louis_François_Antoine_Arbogast}} у 1800<ref name=":0">{{F.Cajori HistoryOfMathNotations.v2.3ed}}</ref>.
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> <math>\int\limits_a^b f(x)\, dx</math></div>
Оформлення [[Визначений інтеграл|визначеного інтегралу]] в звичному нам вигляді придумав [[Жан Батист Жозеф Фур'є|Фур'є]].
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> <math>e</math></div>
Стандартне позначення числа Ейлера e = 2,71828 … запропоновано, природно, Ейлером ([[1728]], опубліковано в [[1736]] році).
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> <math>\frac{\partial}{\partial x}</math></div>
Символ [[Часткова похідна|часткової похідної]] зробили загальновживаним спочатку [[Карл Густав Якоб Якобі|Карл Якобі]] ([[1837]]), а потім [[Карл Веєрштрас|Веєрштрас]], хоча це позначення вже зустрічалося раніше в одній роботі [[Адрієн Марі Лежандр|Лежандра]] ([[1786]]).
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> <math>\lim_{x \to a} f(x)</math></div>
Символ [[Границя|границі]] з'явився в [[1787]] році у [[Симон Люільє|Симона Люільє]] і отримав підтримку [[Оґюстен-Луї Коші|Коші]] (1821)<ref> {{книга | автор = Хайрер Е. , Ваннер Г | назва = Математичний аналіз у світлі його історії | місце = М. | видавництво = Науковий світ | рік = 2 008 | сторінок = 396 | isbn = 978-5-89176-485-9 | сторінки = 172.}} </ref>. Граничне значення аргументу спочатку вказувалося окремо, після символу ''lim'', а не під ним. Близьке до сучасного позначення ввів Веєрштрасс, проте замість звичної нам стрілки він використовував знак рівності<ref> {{стаття | автор = Юшкевич А. П. | назва = Розвиток поняття межі до К. Вейєрштрасса. | видання = [[Історико-математичні дослідження]] | номер = 30 | видавництво = [[Наука (видавництво) | Наука]] | місце = М. | рік = 1 986 | сторінки = 76.}} </ref>. Стрілка з'явилася на початку XX століття відразу у декількох математиків&nbsp;— зокрема, у [[Ґодфрі Гарольд Гарді|Гарді]] ([[1908]]).
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> <math>\nabla</math></div>
Символ цього [[Диференціальний оператор|диференціального оператора]] придумав [[Вільям Роуен Гамільтон]] ([[1853]]), а назву «[[набла]]» запропонував [[Олівер Хевісайд|Хевісайд]] ([[1892]]).
{{-}}

== Інші позначення ==
<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> %</span></div>
[[Знак відсотка]] з'являється в середині [[XVII століття]] відразу в декількох джерелах, його походження неясне. Є гіпотеза, що він виник від помилки складача, який скорочення ''cto'' (cento, сота частка) набрав як 0/0. Більш ймовірно, що це скорописний комерційний значок, що виник років на 100 раніше.
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> <math>\log_a b, \; \lg, \; \ln</math></div>
До кінця XIX століття загальноприйнятого позначення [[логарифм]]а не було, основа ''a'' вказувалася то лівіше і вище символу ''log'', то над ним. У кінцевому рахунку математики прийшли до висновку, що найзручніше місце для основи&nbsp;— нижче рядка, після символу ''log''. Короткі позначення найуживаніших видів логарифма&nbsp;— десяткового та натурального&nbsp;— з'явилися набагато раніше відразу у декількох авторів і закріпилися остаточно також до кінця XIX століття<ref>{{F.Cajori_HistoryOfMath.5ed}}</ref><ref>{{F.Cajori HistoryOfMathNotations.v1.1ed}}</ref><ref name=":0"/>.
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> <math>x_n</math></div>
[[Нижній індекс|Індексацію]] для нумерації однорідних змінних в сучасному вигляді ввів Ньютон ([[1717]]). Перший час, через типографські обмеження, індекси друкувалися не нижче рядку, а на тому ж рівні. Подвійні індекси (для елементів [[Матриця (математика)|матриць]]) ввів в загальне користування Якобі ([[1835]]).
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> <math>n!\ </math></div>
Символ [[факторіал]]а запропонував [[Крістіан Крамп]] ([[1808]]).
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> <math>\infty</math></div>
[[Символ нескінченності]] придумав [[Джон Валліс|Д.Валліс]], опублікований в [[1655]] році.
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> <math>\lor</math> <math>\land</math></div>
Символи логічних операцій запропонував [[Джордж Буль]] ([[1854]]). Альтернативою є символ [[амперсанд]]а & для [[Кон'юнкція|кон'юнкції]] і вертикальної риски | для [[Диз'юнкція|диз'юнкції]].
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> <math>\forall, \exists</math></div>
Перші символи для [[квантор]]ів з'явилися в [[1879]] році, в книзі [[Готлоб Фреге|Фреге]] «Обчислення понять». Позначення Фреге мали вигляд громіздких графічних конструкцій і не були прийняті. Згодом було запропоновано безліч вдаліших символів, але загальноприйнятими стали позначення <math>\exists</math> для квантора існування, запропоноване [[Чарлз Сандерс Пірс|Чарльзом Пірсом]] в [[1885]] році, та <math>\forall</math> для квантора спільності, утворене [[Герхард Генцен|Герхардом Генценом]] в [[1935]] році за аналогією з символом квантора існування (перевернуті перші літери слів {{lang-en|exists}}&nbsp;— існує та {{lang-en2|all}}&nbsp;— все). Сам термін «квантор» також запропонував Пірс.
{{-}}

<div style="float:left; margin: 0.2em 0.2em 0.2em 0.2em; padding: 0.2em 0.6em; font-size: 250%; line-height: 1.1em; background-color: #ddddff; border: 1px solid #aaaaff;">
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> <math>\subset,\supset, \in, \cap, \cup </math></div>
На символіку [[Теорія множин|теорії множин]] великий вплив зробила тісно пов'язана з нею і вже добре розроблена до кінця XIX століття символіка [[Математична логіка|математичної логіки]]. Теоретико-множинні символи «міститься» і «містить» з'явилися в [[1890]] році у німецького логіка [[Ернст Шредер|Ернста Шредера]]. Спочатку відношення «міститься» і «є елементом» не розрізняли, але ще до появи [[Парадокси теорії множин|парадоксів теорії множин]] окремий символ приналежності <math>\in</math> став використовувати [[Джузеппе Пеано]] ([[1895]]; від {{lang-el|εστι}}&nbsp;— бути). Він також є автором символів [[Перетин множин|перетину]] та [[об'єднання множин]] ([[1888]]).

== Див. також ==
* [[Математичні позначення]]
* [[Таблиця математичних символів]]
* [[Математична нотація]]
* [[Таблиця позначень абстрактної алгебри]]
* [[:Категорія:Математичні знаки]]

== Примітки ==
{{примітки|2}}

{{Історія математики}}

[[Категорія:Математичні знаки]]
[[Категорія:Математичні позначення]]
[[Категорія:Історія математики]]
[[Категорія:Математична нотація]]