Перегляд вихідного коду сторінки Історія логарифмів

{{TOCright}}
'''Історія логарифмів''' як [[Алгебра|алгебричного]] поняття простежується від античних часів. Ідейним джерелом і стимулом застосування [[логарифм]]ів став той факт (відомий ще [[Архімед]]у{{sfn|Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов|1923|С = 9}}), що при перемножуванні [[Степінь|степенів]] з однаковою основою їх показники додаються{{sfn |Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей|1987|с=206}}: <math>a^b \cdot a^c = a^{b+c}</math>.

== Попередники ==
Індійський математик [[VIII століття]] {{iw|Вірасена||en|Virasena}}, досліджуючи степеневі залежності, опублікував таблицю [[Цілі числа|цілочисельних]] показників (тобто, фактично, логарифмів) для основ 2, 3, 4<ref>{{citation|contribution=History of Mathematics in India|title=Students' Britannica India: Select essays|editor-first=Dale|editor1-last=Hoiberg|editor3-first=Indu|editor2-last=Ramchandani|first=R. C.|last=Gupta|page=329|location=New Delhi|publisher=Popular Prakashan|year=2000|contribution-url=https://books.google.co.uk/books?id=-xzljvnQ1vAC&pg=PA329&lpg=PA329&dq=Virasena+logarithm&source=bl&ots=BeVpLXxdRS&sig=_h6VUF3QzNxCocVgpilvefyvxlo&hl=en&ei=W0xUTLyPD4n-4AatvaGnBQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CBgQ6AEwATgK#v=onepage&q=Virasena%20logarithm&f=false|accessdate=5 вересня 2019|archive-date=17 березня 2018|archive-url=https://web.archive.org/web/20180317232735/https://books.google.co.uk/books?id=-xzljvnQ1vAC&pg=PA329&lpg=PA329&dq=Virasena+logarithm&source=bl&ots=BeVpLXxdRS&sig=_h6VUF3QzNxCocVgpilvefyvxlo&hl=en&ei=W0xUTLyPD4n-4AatvaGnBQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CBgQ6AEwATgK#v=onepage&q=Virasena%20logarithm&f=false}}</ref>.

[[Файл: Stifel log.jpg | міні | 340px | left | Логарифмічна таблиця М. Штіфеля, «''Arithmetica integra''», 1544]]
Вирішальний крок зроблено в середньовічній Європі. Потреба в складних розрахунках у [[XVI століття|XVI столітті]] швидко росла, і значна частина труднощів була пов'язана з [[множення]]м і [[ділення]]м багатозначних чисел, а також добуванням [[Корінь (математика)|коренів]]. Наприкінці століття декільком математикам, майже одночасно, спала на думку ідея: замінити трудомістке множення простим додаванням, зіставивши за допомогою спеціальних таблиць [[Геометрична прогресія|геометричну]] й [[Арифметична прогресія|арифметичну]] прогресії, при цьому геометрична буде початковою{{sfn|Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов|1923|С = 9}}. Тоді й ділення автоматично заміниться значно простішим і надійнішим відніманням, спростяться також [[піднесення до степеня]] та [[Корінь (математика)|обчислення кореня]].

Першим цю ідею опублікував у своїй книзі «''Arithmetica integra''» (1544) [[Міхаель Штифель]], який, втім, не доклав серйозних зусиль для практичної реалізації своєї ідеї{{sfn |История математики, том II|1970|с=54—55}}<ref>{{Citation|title = Precalculus mathematics |author=Vivian Shaw Groza, Susanne M. Shelley |publisher=Holt, Rinehart, Winston |location=New York |year=1972|isbn=978-0-03-077670-0 |page=182| url=https://books.google.com/?id=yM_lSq1eJv8C&pg=PA182&dq=%22arithmetica+integra%22+logarithm&q=stifel}}</ref>. Головною заслугою Штифеля є перехід від цілих показників степеня до довільних [[Раціональне число|раціональних]]{{sfn |Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей|1987|с=210}} (перші кроки в цьому напрямку зробили [[Ніколя Орезм]] у [[XIV століття|XIV столітті]] і {{Нп|Нікола Шюке|3=ru|4=Шюке, Никола}} в [[XV століття|XV столітті]]).

== Джон Непер і його «дивовижна таблиця логарифмів» ==
{{See also |Неперів логарифм}}
[[Файл:John Napier.jpg | thumb | 220px | <center> [[Джон Непер]] </center>]]
У 1614 році шотландський математик-аматор [[Джон Непер]] опублікував латинською мовою твір під назвою «''Опис дивовижної таблиці логарифмів''» ({{lang-lat | Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio}}). Він містив короткий опис логарифмів і їх властивостей, а також 8-значні таблиці логарифмів [[синус]]ів, [[косинус]]ів і [[тангенс]]ів із кроком 1'. Термін ''логарифм'', запропонований Непером, утвердився в науці. Теорію логарифмів Непер виклав у іншій своїй книзі «''Побудова дивовижної таблиці логарифмів''» ({{lang-lat | Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio}}), яку видав посмертно, в 1619 році, його син Роберт.

Судячи з документів, технікою логарифмування Непер володів уже до 1594 року{{sfn |Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов|1923|с=13|name=USP13}}. Безпосередньою метою її розробки було полегшити Неперу складні астрологічні розрахунки{{sfn |История математики, том II|1970|с=56}}; саме тому в таблиці включено тільки логарифми [[Тригонометричні функції|тригонометричних функцій]].

Поняття [[Функція (математика)|функції]] тоді ще не було, і Непер визначив логарифм [[Кінематика|кінематично]], зіставивши рівномірний і логарифмічно-уповільнений рух; наприклад, логарифм синуса він визначив так<ref> Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей / Под ред. А.&nbsp;П.&nbsp;Юшкевича.&nbsp;— М.: Просвещение, 1977.&nbsp;— 224 с.&nbsp;— С. 40</ref>:
<Blockquote> Логарифмом даного синуса є число, яке арифметично зростало завжди з тією ж швидкістю, з якою повний синус почав геометрично спадати. </Blockquote>
У сучасних позначеннях кінематичну модель Непера можна зобразити [[Диференціальні рівняння|диференціальним рівнянням]]{{sfn |История математики, том II|1970|с=59}}:
: <math> \frac{dx}{x} = - \frac{dy}{M}</math>,
де M&nbsp;— масштабний множник, уведений для того, щоб значення вийшло цілим числом з потрібною кількістю знаків ([[Десятковий дріб|десяткові дроби]] тоді ще не набули широкого застосування). Непер взяв M = {{formatnum: 10000000}}.

Строго кажучи, Непер табулював не ту функцію, яку зараз називають логарифмом. Якщо позначити його функцію <math>\operatorname{LogNap}(x) </math>, то вона пов'язана з натуральним логарифмом так{{sfn |История математики, том II|1970|с=59}}:
:: <math>\operatorname{LogNap}(x) = M \cdot (\ln(M) - \ln(x))</math>
Очевидно, <math>\operatorname{LogNap}(M) = 0</math>, тобто логарифм «повного синуса» (відповідного 90°) є нуль&nbsp;— цього й домагався Непер своїм визначенням. Також він хотів, щоб усі логарифми були додатними; неважко переконатися, що ця умова для <math> x<M</math> виконується: <math>\operatorname{LogNap}(0) = \infty</math>.

Основна властивість логарифма Непера: якщо величини утворюють [[Геометрична прогресія|геометричну прогресію]], то їх логарифми утворюють прогресію [[Арифметична прогресія|арифметичну]]. Однак правила логарифмирования для неперової функції відрізнялися від правил для сучасного логарифма, наприклад:
: <math>\operatorname{LogNap}(a \cdot b)=\operatorname{LogNap}(a)+\operatorname{LogNap}(b)-\operatorname{LogNap}(1)</math>

== Подальший розвиток ==
Як згодом виявилось, через помилки в алгоритмі всі значення таблиці Непера містили після шостого знака хибні цифри{{sfn|История математики, том II|1970|С = 61}}. Однак це не завадило новій методиці обчислень набути популярності, і складанням логарифмічних таблиць зайнялися багато європейських математиків. [[Йоганн Кеплер]] 1620 року видав астрономічний довідник, у який вставив захоплену посвяту Неперу (не знаючи, що винахідник логарифмів уже помер). У 1624 році Кеплер опублікував власний варіант логарифмічних таблиць ({{lang-lat|Chilias Logarithmorum ad totidem numeros rotundos}}){{sfn|Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов|1923|С=39}}. Використання логарифмів дозволило Кеплеру відносно швидко завершити багаторічну працю зі складання [[Рудольфинські таблиці|Рудольфинських таблиць]], які закріпили успіх [[Геліоцентризм|геліоцентричної астрономії]].

[[Файл: Briggs - Canon logarithmorum pro numeris serie naturali crescentibus ab 1. ad 20000., s.d. - 72507.jpg | міні | Таблиці Брігса]]
Через кілька років після книги Непера з'явилися логарифмічні таблиці, що використовують ближче до сучасного розуміння логарифма. Лондонський професор [[Генрі Бріґґз]] видав 14-значні таблиці [[Десятковий логарифм|десяткових логарифмів]] (1617), причому не для тригонометричних функцій, а для довільних цілих чисел до 1000 (7 років потому Бріґґз збільшив кількість чисел до 20000). 1619 року лондонський вчитель математики {{Нп|Джон Спейделл|3=en|4=John Speidell}} ({{lang-en|John Speidell}}) перевидав логарифмічні таблиці Непера, виправлені і доповнені так, що вони фактично стали таблицями натуральних логарифмів. У Спейделла теж були і логарифми самих чисел до 1000 (причому логарифм одиниці, як і у Бріґґза, дорівнював нулю)&nbsp;— хоча масштабування до цілих чисел Спейделл зберіг{{sfn|История математики, том II|1970|с = 63}}<ref>''Charles Hutton.'' [https://books.google.ru/books?id=zDMAAAAAQAAJ&pg=PA30&lpg=PA30&dq=Speidell+logarithm&source=bl&ots=okbhTbkRfc&sig=KWTXsVOdf-c2DtZLntcYTAetFUM&hl=ru&sa=X&ei=2K6JT838GoTHsgaMvaHgCw&redir_esc=y# v = onepage & q = Speidell% 20logarithm & f = false Mathematical Tables.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160911171317/https://books.google.ru/books?id=zDMAAAAAQAAJ&pg=PA30&lpg=PA30&dq=Speidell+logarithm&source=bl&ots=okbhTbkRfc&sig=KWTXsVOdf-c2DtZLntcYTAetFUM&hl=ru&sa=X&ei=2K6JT838GoTHsgaMvaHgCw&redir_esc=y |date=11 вересня 2016 }} London, 1811, p. 30.</ref>.

У 1620-і роки {{Нп|Едмунд Вінґейт|3=en|4=Edmund Wingate}} і [[Вільям Отред]] винайшли першу [[Логарифмічна лінійка|логарифмічну лінійку]], яка, до появи кишенькових калькуляторів, служила незамінним розрахунковим знаряддям інженера{{sfn | История математики, том II | 1970 | с = 65-66}}. За допомогою цього компактного інструменту можна швидко виконувати всі алгебричні операції, зокрема й за участю [[Тригонометричні функції|тригонометричних функцій]]<ref> Березин С.&nbsp;И.&nbsp;Счётная логарифмическая линейка М.: Машиностроение,1968</ref>. Точність розрахунків&nbsp;— близько 3 [[Значущі цифри|значущих цифр]].
[[Файл:Sliderule 2005.jpg|thumb|600px|center|Логарифмічна лінійка. Множення 1,3 × 2 або ділення 2,6 / 2 (див. шкали C і D).]]

Незабаром з'ясувалося, що місце логарифмів у математиці не обмежується розрахунковими зручностями. У 1629 році бельгійський математик [[Грегуар де Сент-Вінсент]] показав, що площа під [[Гіпербола (математика)|гіперболою]] <math>y=\frac {1}{x}</math> змінюється за логарифмічним законом{{sfn | История математики, том II | 1970 | С = 133}}. У 1668 році німецький математик [[Ніколас Меркатор|Ніколас Меркатор (Кауфман)]] відкрив і опублікував у своїй книзі ''Logarithmotechnia'' розклад логарифма в нескінченний «[[ряд Меркатора]]»{{sfn |Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов|1923|с=52}}. На думку багатьох істориків, поява логарифмів значно вплинула на багато математичних концепцій, зокрема, на:
# Формування і визнання загального поняття [[Ірраціональні числа|ірраціональних]] і [[Трансцендентне число|трансцендентних чисел]]{{sfn |Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей|1987|с=51, 286, 352}}.
# Появу [[Показникова функція|показникової функції]] і загального поняття [[Числова функція|числової функції]], [[E (число)|числа Ейлера]], розвиток теорії [[Різницева схема|різницевих рівнянь]]{{sfn |Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей|1987|с=213, 217}}.
# Початок роботи з нескінченними рядами{{sfn |Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов|1923|с=52}}.
# Загальні методи розв'язування [[Диференціальні рівняння|диференціальних рівнянь]] різних типів.
# Істотний розвиток теорії [[Чисельні методи|чисельних методів]], необхідних для обчислення точних логарифмічних таблиць.

До кінця [[XIX століття]] загальноприйнятого позначення логарифма не було, основу ''a'' вказували то лівіше і вище символу ''log'', то над ним. Врешті-решт математики прийшли до висновку, що найзручніше місце для основи&nbsp;— нижче рядка, після символу ''log'': <math>\log_a b </math>. Короткі позначки найуживаніших видів логарифма&nbsp;— <math>\lg, \; \ ln </math> для десяткового і натурального&nbsp;— з'явилися значно раніше відразу в кількох авторів і закріпилися остаточно також до кінця XIX століття<ref>{{cite book |last=Cajori. |first=Florian |authorlink=Флоріан Кеджорі |title=A History of Mathematics, 5th ed |pages=152 |publisher=AMS Bookstore |date=1991 |isbn=0821821024 |url=https://books.google.com/?id=mGJRjIC9fZgC&dq=%22Cajori%22+%22A+History+of+Mathematics%22+}}</ref>.

Близьке до сучасного розуміння логарифмування&nbsp;— як операції, оберненої до [[піднесення до степеня]]&nbsp;— вперше з'явилося у [[Джон Валліс|Валліса]] (1685) і [[Йоганн Бернуллі|Йоганна Бернуллі]] (1694), а остаточно його узаконив [[Леонард Ейлер|Ейлер]]{{sfn|История математики, том II|1970|С = 61}}. У книзі «Вступ до аналізу нескінченних» (1748) Ейлер дав сучасні визначення як [[Показникова функція|показникової]], так і логарифмічної функцій, навів розклади їх у ступеневі ряди, особливо відзначив роль натурального логарифма<ref> Рыбников К.&nbsp;А.&nbsp;История математики. В двух томах.&nbsp;— {{М.}}: Изд. МГУ, том II.&nbsp;— 1963.&nbsp;— С. 25</ref>. Ейлеру належить і заслуга поширення логарифмічної функції на [[Комплексне число|комплексну область]].

== Логарифмічні таблиці ==
[[Файл: Abramowitz&Stegun.page97.agr.jpg | thumb | Логарифмічні таблиці]]
Зі властивостей логарифма випливає, що замість трудомісткого множення багатозначних чисел досить знайти (за таблицями) і додати їх логарифми, а потім з тих самих таблиць (розділ «[[антилогарифм]]и») виконати [[Потенціювання (математика)|потенціювання]], тобто знайти значення результату за його логарифмом. Виконання ділення відрізняється тільки тим, що логарифми віднімаються.

Перші таблиці логарифмів опублікував Джон Непер (1614), і вони містили лише логарифми [[Тригонометричні функції|тригонометричних функцій]], причому з помилками. Незалежно від нього свої таблиці опублікував {{Нп|Йост Берджі|3=en|4=Jost Bürgi}}, друг [[Йоганн Кеплер|Кеплера]] (1620). 1617 року [[оксфорд]]ський професор математики [[Генрі Бріґґз]] опублікував таблиці, які вже включали десяткові логарифми самих чисел, від 1 до 1000, з 8 (пізніше&nbsp;— з 14) знаками. Але й у таблицях Брігса виявилися помилки. Перше безпомилкове видання на основі таблиць [[Георг Вега|Георга Веги]] ([[1783]]) з'явилося тільки в [[1857 у науці|1857 році]] в Берліні (таблиці Бремікера, ''Carl Bremiker''){{sfn | История математики, том II | 1970 | С = 62}}.

В СРСР випускалися кілька збірок таблиць логарифмів<ref> Логарифмические таблицы //Большая советская энциклопедия</ref>:
# [[Таблиці Брадіса]], що видаються від 1921 року, використовувалися в навчальних закладах та для інженерних розрахунків, що не вимагають великої точності. Вони містили [[експоненціальний запис|мантиси]] десяткових логарифмів чисел і тригонометричних функцій, натуральні логарифми і деякі інші корисні розрахункові інструменти.
# Професійний збірник семизначних таблиць для точних обчислень<ref>{{Cite book
|title=Таблицы семизначных логарифмов
|last=Вега Г.
|year=1971
|publisher=Недра
|edition=4
|location={{М.}}
}}</ref>.
# Класичні шестизначні таблиці, зручні для розрахунків з [[Тригонометричні функції|тригонометричними функціями]]<ref>{{книга
 |автор          = Бремикер К.
 |заголовок      = Логарифмо-тригонометрические таблицы
 |посилання      = 
 |відповідальний = 
 |місце          = 
 |видавництво    = 
 |рік            = 1962
 |том            = 
 |сторінок       = 664
 |сторінки       = 
 |isbn           = 
 |ref            = 
}}</ref>.
# П'ятизначні таблиці натуральних значень тригонометричних величин, їх логарифмів та логарифмів чисел<ref>{{книга
 |автор          = 
 |заголовок      = Пятизначные таблицы натуральных значений тригонометрических величин, их логарифмов и логарифмов чисел
 |посилання      = 
 |відповідальний = 
 |місце          = {{М.}}
 |видавництво    = [[Наука (видавництво)|Наука]]
 |рік            = 1972
 |видання        = 6
 |том            = 
 |сторінок       = 
 |сторінки       = 
 |isbn           = 
 |ref            = 
}}</ref>.
# Таблиці натуральних логарифмів у 2 томах<ref>{{книга
 |автор          = 
 |заголовок      = Таблицы натуральных логарифмов (в 2 томах)
 |посилання      = 
 |відповідальний = 
 |місце          = {{М.}}
 |видавництво    = [[Наука (видавництво)|Наука]]
 |рік            = 1971
 |видання        = 2
 |том            = 
 |сторінок       = 
 |сторінки       = 
 |isbn           = 
 |ref            = 
}}</ref>.
# П'ятизначні таблиці логарифмів комплексних чисел<ref>{{книга
 |автор          = 
 |заголовок      = Десятизначные таблицы логарифмов комплексных чисел
 |посилання      = 
 |відповідальний = 
 |місце          = {{М.}}
 |видавництво    = 
 |рік            = 1952
 |том            = 
 |сторінок       = 
 |сторінки       = 
 |isbn           = 
 |ref            = 
}}</ref>.

== Розширення логарифма на комплексні числа ==
Перші спроби поширити [[Комплексний логарифм|логарифми на комплексні числа]] робили на рубежі XVII—XVIII століть [[Готфрід Вільгельм Лейбніц|Лейбніц]] і [[Йоганн Бернуллі]], однак створити цілісну теорію їм не вдалося&nbsp;— в першу чергу з тієї причини, що тоді ще не було ясно визначено саме поняття логарифма{{sfn|История математики, том III|1972|с = 325-328}}. Дискусія з цього приводу точилася спочатку між Лейбніцем і Бернуллі, а в середині [[XVIII століття]]&nbsp;— між [[Жан Лерон д'Аламбер|д'Аламбером]] і Ейлером. Бернуллі і д'Аламбер вважали, що слід визначити<math>\log(-x) = \log(x)</math>, тоді як Лейбніц доводив, що логарифм від'ємного числа є [[Уявне число|уявним числом]]{{sfn|История математики, том III|1972|с = 325-328}}. Повна теорія логарифмів від'ємних і комплексних чисел, яку опублікував Ейлер у 1747—1751 роках, по суті нічим не відрізняється від сучасної<ref> Рыбников К.&nbsp;А.&nbsp;История математики. В 2-х томах.&nbsp;— М.: Изд. МГУ, том II.&nbsp;— 1963.&nbsp;— С. 27, 230—231</ref>. Хоча суперечка тривала (д'Аламбер відстоював свою точку зору і детально аргументував її в статті своєї [[Енциклопедія, або Тлумачний словник науки, мистецтва й ремесел|«Енциклопедії»]] та в інших працях), підхід Ейлера до кінця XVIII століття набув загального визнання.

У [[XIX століття|XIX столітті]], з розвитком [[Комплексний аналіз|комплексного аналізу]], дослідження комплексного логарифма стимулювало нові відкриття. [[Карл Фрідріх Гаусс|Гаусс]] 1811 року розробив повну теорію багатозначності логарифмічної функції{{sfn | Математика XIX века. Том II: Геометрия. Теория аналитических функций | 1981 | с = 122-123}}, яка визначається як інтеграл від <math>\frac{1}{z}</math>. [[Бернгард Ріман|Ріман]], спираючись на вже відомі факти про цю та аналогічні функції, побудував загальну теорію [[Ріманова поверхня|ріманових поверхонь]].

Розробка теорії [[Конформне відображення|конформних відображень]] показала, що [[Проєкція Меркатора|меркаторівську проєкцію]] в [[Картографія|картографії]], яка виникла ще до відкриття логарифмів (1550), можна описати як комплексний логарифм<ref>Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей http://ilib.mccme.ru/djvu/klejn-2.htm {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20151016185026/http://ilib.mccme.ru/djvu/klejn-2.htm |date=16 жовтня 2015 }} том II. // Геометрия.&nbsp;— М.: Наука, 1987.&nbsp;— 416 с.&nbsp;— С. 159—161</ref>.

== Див. також ==
* [[Історія математики]]
* [[Джон Непер]]
* [[Неперів логарифм]]

== Примітки ==
{{Примітки | 2}}

== Література ==
* {{книга-ру |автор=Абельсон И. Б. |заглавие=Рождение логарифмов
  |ссылка=http://oldskola.narod.ru/RozLog/rozlog00.htm |страниц=231
  |место=М.—Л. |издательство=Гостехиздат |год=1948 }} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190824154239/http://oldskola.narod.ru/RozLog/rozlog00.htm |date=24 серпня 2019 }}
* {{книга-ру |автор=Гиршвальд Л. Я. |заглавие=История открытия логарифмов
  |место = Харьков |издательство=Изд-во Харьковского университета |год=1952 |страниц=33 }}
* {{книга-ру |автор=Клейн Ф. |заглавие=Элементарная математика с точки зрения высшей
  |ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/klejn-1.htm |том=I. Арифметика. Алгебра. Анализ
  |место = М. |издательство=Наука |год=1987 |страниц=432
  |ref=Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей }} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20151016185021/http://ilib.mccme.ru/djvu/klejn-1.htm |date=16 жовтня 2015 }}
* {{книга-ру |часть=Математика XVII столетия
  |заглавие=История математики |ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat2.htm
  |ответственный=Под редакцией [[Юшкевич Адольф Павлович|А.&nbsp;П.&nbsp;Юшкевича]], в трёх томах
  |место=М. |издательство=Наука |год=1970 |том=II |ref=История математики, том II }} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110918072945/http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat2.htm |date=18 вересня 2011 }}
* {{книга-ру |часть=Математика XVIII столетия
  |заглавие=История математики |ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat3.htm
  |ответственный=Под редакцией [[Юшкевич Адольф Павлович|А.&nbsp;П.&nbsp;Юшкевича]], в трёх томах
  |место=М. |издательство=Наука |год=1972 |том=III |ref=История математики, том III }} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170324214535/http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat3.htm |date=24 березня 2017 }}
* {{книга-ру |автор=Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.).
  |заглавие=Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций
  |ref=Математика XIX века. Том II: Геометрия. Теория аналитических функций
  |место=М. |издательство=Наука |том=II |год=1981 }}
* {{книга |автор=[[Успенський Яків Вікторович|Успенский Я. В.]]
  |назва=Очерк истории логарифмов |місце=Петроград |рік=1923 |сторінок=78
  |видавництво=Научное книгоиздательство |ref=Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов}}

{{Історія математики}}

[[Категорія:Логарифми]]
[[Категорія:Історія математики]]