Перегляд вихідного коду сторінки Ірраціональне число

[[Файл:PI constant.svg|thumb|240px|Математична константа [[Число пі|пі]] (π) є ірраціональним числом.]]
[[Файл:Square root of 2 triangle.svg|right|thumb|240px|Число <math>\scriptstyle\sqrt{2}</math> є ірраціональним числом.]]
'''Ірраціональні числа''' (''позначення для множини''&nbsp;— <math>\mathbb I</math>)&nbsp;— це всі [[дійсні числа]], що не є [[Раціональні числа|раціональними]]: <math>\mathbb I = \R \setminus \Q</math>,&nbsp;— тобто не можуть бути записані як [[Частка (математика)|відношення]] [[Цілі числа|цілих чисел]] <math>\frac{z}{n}</math> (<math>z \in \Z</math>, <math>n \in \N</math>), а лише нескінченними неперіодичними [[Десятковий дріб|десятковими дробами]].

Уперше '''І.&nbsp;ч.''' постали в [[Геометрія|геометрії]] під час вивчення [[Довжина|довжин]] [[Відрізок|відрізків]] [[піфагор]]цями, які, як стверджує легенда{{джерело}}, виявили неспівмірність з одиницями вимірювання деяких геометричних величин. Оскільки це суперечило їхній [[Піфагореїзм|філософії]] (цілком побудованій на [[Натуральні числа|натуральних числах]]), відкриття якнайсуворіше приховували, навіть покаравши на смерть одного зі своїх братів&nbsp;— [[Гіппас Метапонтський|Гіппаса Метапонтського]], який (за різними джерелами) чи то першим знайшов, чи то розголосив цей факт.

== Відмінності записування дійсних чисел ==
[[Десятковий дріб]] будь-якого раціонального числа має ''періодично повторювану'' частину (зокрема це можуть бути [[0 (цифра)|нулі]], як у скінченних дробів і цілих чисел), н-д:
* <math>\frac{1}{3} = {0}.\overline{3}</math>,<ref>Тут використано англійську систему записування дробів без нулів. У пострадянських країнах для розділення цілої частини від дробної використовують кому замість крапки, а для позначення повторюваної частини&nbsp;— дужки замість верхньої риски.</ref> що означає «нуль цілих і три в періоді» (довжина періоду&nbsp;— один), тобто <math>3</math> повторюється нескінчену кількість разів;
* <math>\frac{22}{7} = 3.\overline{142857}</math>, що означає «три цілих і сто сорок дві тисячі вісімсот п'ятдесят сім у періоді» (довжина періоду&nbsp;— шість), тобто <math>142857</math> повторюється нескінчену кількість разів;
* <math>\frac{265}{132} = 2.00\overline{75}</math>, що означає «дві цілих, нуль сотих і сімдесят п'ять у періоді» (довжина періоду&nbsp;— два), тобто <math>75</math> повторюється нескінчену кількість разів;
* <math>\frac{5}{2} = 2.5 \equiv 2.5\overline{0}</math>, скінченний дріб «дві цілих, п'ять десятих»,<ref>Десяткові дроби є нескінченними за побудовою, тому зрозуміло, що після певного десяткового знаку можуть стояти самі нулі (<math>a_{0},a_{1}...a_{n}000...</math>), відкиданням яких отримують скінченні дроби.</ref> тобто <math>0</math> повторюється нескінчену кількість разів;
* <math>\frac{3}{1} = 3.{} \equiv 2.\overline{9}</math>, ціле число «три еквівалентне двом цілим і дев'ять у періоді»,<ref>Можемо записати як нескінченний періодичний дріб, оскільки з означення маємо, що <math>2 + \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + ... = 3</math>. {{детальніше|0,(9)}}
</ref> тобто <math>9</math> повторюється нескінчену кількість разів.

''Періодичність'' дробу можна вважати критерієм приналежності числа до множини раціональних чисел.

Розкладання '''І. ч.''' у десятковий дріб не позначається такою періодичністю. Наприклад, відомо, що [[число пі]]&nbsp;— ірраціональне та навіть [[Трансцендентні числа|трансцендентне]], тому, хоча в його десятковому записі окремі цифри та їх комбінації повторюються, '''не існує''' групи цифр, яка б нескінченно повторювалася, утворюючи період.

Інший спосіб записування додатних дійсних чисел: за допомогою [[Ланцюгові дроби|ланцюгових дробів]]. Відмінність полягає в тому, що ланцюгові дроби раціональних чисел скінченні, а '''І. ч.'''&nbsp;— нескінченні, хоча для [[Квадратична ірраціональність|квадратичних ірраціональностей]] ланцюговий дріб періодичний.

=== Приклади ===

==== Квадратні корені ====
[[Квадратний корінь з двох]]&nbsp;— це перше число, ірраціональність якого було доведено. Іншим відомим ірраціональним числом є [[золотий перетин]]. Квадратні корені усіх натуральних чисел, які не є [[Квадратне число|квадратними числами]], є ірраціональними.

==== Приклади ====
: <math> \frac{355}{113}=3+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{16}},</math>&nbsp;— скінченний;
: <math>\sqrt{2}=1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\ldots}}}=
[1;2,2,2\ldots]=[1;(2)]</math>&nbsp;— з періодом довжини один;
: <math>\sqrt{3}=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\ldots}}}}=
[1;1,2,1,2\ldots]=[1;(1,2)]</math>&nbsp;— з періодом довжини два;
: <math> \pi=3+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{15+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{292+\ldots}}}}=
[3;7,15,1,292,1,1,1,2,\ldots]</math> (A001203 в [http://www.research.att.com/~njas/sequences/ енциклопедії цілих послідовностей] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070305221118/http://www.research.att.com/~njas/sequences/ |date=5 березня 2007 }})&nbsp;— неперіодичний.

== Філософське значення ==
Про існування неспівмірних відрізків знали вже древні математики: їм була відома, наприклад, неспівмірність [[Діагональ|діагоналі]] та сторони [[квадрат]]а, що рівносильно ірраціональності числа <math>\sqrt 2</math> (перше знайдене '''І.&nbsp;ч.''').

[[Піфагор]]ове твердження, що всі речі є числа, відображало [[Метафізика|метафізичні]] уявлення [[Стародавня Греція|стародавніх греків]] про Всесвіт як місце гармонії, яку власне можна описати відношеннями натуральних чисел. Так поєднання двох звуків, відношення частот яких є раціональним числом, дає приємне для вуха звучання.

З'ясування того, що <math>\sqrt{2}\approx 1{,}4142135</math> не є раціональним числом, призвело до глибокої кризи давньогрецької математики, яка полягала в усвідомлені факту існування математичних величин, які не можливо відобразити числами, а лише через геометричні побудови. Як наслідок&nbsp;— давньогрецька математика відмовилася від [[алгебра]]їчного підходу, на користь [[Геометрія|геометричного]].

== Властивості ==
* Будь-яке [[дійсне число]] можна записати нескінченним [[Десятковий дріб|десятковим дробом]], проте тільки '''І.&nbsp;ч.''' записують ''неперіодичними'' десятковими дробами.
* Сума двох додатних '''І.&nbsp;ч.''' може бути раціональним числом.
* Кожне '''І.&nbsp;ч.''' визначає такий [[переріз Дедекінда]] у множині раціональних чисел <math>\Q</math>, для якого в нижньому класі немає найбільшого, а у верхньому&nbsp;— найменшого числа.
* Кожне '''І.&nbsp;ч.''' є або [[Алгебраїчні числа|алгебраїчним]], або [[Трансцендентні числа|трансцендентним]]. Кожне дійсне трансцендентне&nbsp;— ірраціональним.
* Множина '''І.&nbsp;ч.''' [[Щільна множина|скрізь щільна]] на [[Числова пряма|числовій прямій]], тобто між будь-якими двома дійсними числами є '''І.&nbsp;ч.''' (і навіть нескінченно багато).
* [[Лінійно впорядкована множина|Порядок]] на множині '''І.&nbsp;ч.'''&nbsp;— [[Ізоморфізм|ізоморфний]] порядку на множині дійсних трансцендентних чисел.
* Множина '''І.&nbsp;ч.''' є [[Зліченна множина|незліченною]], [[Залишкова множина|другої категорії]].

=== Топологічні властивості <math>\R \setminus \Q</math> ===
* є [[Підпростір топологічного простору|підпростором]] [[Евклідова топологія|евклідового простору]] <math>\R</math>;
* є [[Gδ-множина|G<sub>δ</sub>-множиною]], але не [[F-сігма-множина|F<sub>σ</sub>-множиною]] в <math>\R</math>, фактично: <math>\R \setminus \Q = \bigcap_{\alpha \in \Q} (\R\setminus \{\alpha\})</math>;
* є [[Метричний простір|метричним]] простором, [[Цілком нормальний простір|цілком нормальним]] і [[Паракомпактний простір|паракомпактним]];
* є [[Повний метричний простір|повним]] простором [[Берівський простір|другої категорії]];
* є [[Сепарабельний простір|сепарабельним простором]];
* задовольняє [[Друга аксіома зліченності|другу аксіому зліченності]];
* не є [[Локально-компактний простір|локально-компактним]] і [[Сігма-локально-компактний простір|σ-локально-компактним]];
* є [[Цілком відокремлений простір|цілком відокремленим]];
* є [[Щільна в собі множина|щільним у собі]];
* не є [[Розсіяний простір|розсіяним]];
* є [[Нульвимірний простір|нульвимірним]].

== Див. також ==
{{Вікіцитати1}}
* [[Міра ірраціональності]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Література ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Citation | last1=Steen | first1=Lynn Arthur | author1-link=Lynn Arthur Steen | last2=Seebach | first2=J. Arthur Jr. | author2-link=J. Arthur Seebach, Jr. | title=[[Counterexamples in Topology]] | origyear=1978 | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=[[Dover Publications|Dover]] reprint of 1978 | isbn=978-0-486-68735-3 | mr=507446 | year=1995}}
{{Ірраціональні числа}}
{{Quantity}}

[[Категорія:Теорія чисел]]
[[Категорія:Ірраціональні числа]]
[[Категорія:Топології на підмножинах дійсної прямої]]