Перегляд вихідного коду сторінки Інтерференція хвиль

{{Значення2|Це стаття про інтерференцію у фізиці. Див. також [[Інтерференція]] та [[Інтерференція світла]]}}
[[Файл:Wavepanel.png|frame|Картина інтерференції двох кругових когерентних хвиль, у залежності від довжини хвилі та відстані між джерелами]]
'''Інтерфере́нція хвиль''' (''від {{lang-la|inter}}&nbsp;— взаємно, між собою; {{lang-la|ferio}}&nbsp;— вдаряю, вражаю'')&nbsp;— явище накладання двох або більше [[когерентність|когерентних]] хвиль, в результаті чого в одних місцях спостерігається підсилення кінцевої хвилі (інтерференційний максимум), а в інших місцях послаблення (інтерференційний мінімум).

== Загальний опис ==
[[Файл:Two sources interference.gif|right|frame|Анімація: інтерференція двох хвиль від двох точкових джерел. Максимуми показано блакитним, провали&nbsp;— червоним/жовтим.]]

Інтерференція спостерігається у [[Когерентність|когерентних]] хвиль довільної природи&nbsp;— поверхневих (на воді), поперечних та поздовжніх 
[[звук]]ових, електромагнітних ([[світло]], [[радіохвилі]]), [[Корпускулярно-хвильовий дуалізм|хвиль де Бройля]].

При інтерференції результативне коливання є [[Евклідів_вектор#Додавання_і_віднімання|геометричною сумою]] коливань обох хвиль у відповідних точках. Цей [[принцип суперпозиції]] як правило є точним і порушується у окремих випадках, в деяких середовищах, коли [[амплітуда]] коливань є дуже високою ([[нелінійна оптика]], [[нелінійна акустика]]).

Найпростішим випадком інтерференції є накладання двох [[Гармонічні коливання|гармонічних хвиль]] з однаковою частотою і [[Поляризація хвиль|поляризацією]]. В такому випадку результативна амплітуда ''А'' вираховується за формулою:

: <math>A=\sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos \alpha}</math>,

де <math>A_1</math> та <math>A_2</math>&nbsp;— амплітуди відповідних хвиль, <math>\alpha</math>&nbsp;— різниця [[фаза (коливання)|фаз]] цих хвиль.

== Використання ==

Явище інтерференції використовується, наприклад, в [[радіотехніка|радіотехніці]] і [[акустика|акустиці]] для створення складних [[антена|антен]]. Особливо велике значення інтерференція має в [[оптика|оптиці]], вона лежить в основі оптичної та акустичної [[Голографія|голографії]].

== Модель інтерференції немонохроматичних хвиль Захар'євського ==

=== Модель одновимірної хвилі ===
В загальному випадку одновимірну хвилю, що розповсюджується вздовж осі ''x'', можна подати в такому вигляді:
: <math>y(x,t)=A\cdot \sin \frac{2\pi}{T_x}\left(t-\frac{x}{v_x}\right) </math>,
де <math>t </math>&nbsp;— змінна часу, <math>A </math>&nbsp;— амплітуда коливання, <math>T_x </math>&nbsp;— період коливань, <math>v_x </math>&nbsp;— швидкість розповсюдження коливань вздовж осі ''x''.
Хвиля може також характеризуватися [[Кутова частота|кутовою частотою]]:
: <math>\omega_x=\frac{2\pi}{T_x}=\frac{2\pi v_x}{\lambda_x} </math>,
де <math>\lambda_x </math> -довжина хвилі. Можна також ввести [[хвильовий вектор]] (число) у вигляді:
: <math>k_x=\frac{2\pi}{\lambda_x}=\frac{\omega_x}{v_x} </math>.
Таким чином одномірну хвилю, що розповсюджується вздовж осі ''x'' можна також подати у вигляді:
: <math>y(x,t)=A\cdot \sin \phi (x,t)=A\cdot \sin (\omega_x t-k_x x) </math>,
де <math>\phi (x,t)=\omega_x t-k_x x </math>&nbsp;— фаза хвилі.

==== Модель інтерференції [[Монохроматична плоска хвиля|монохроматичної хвилі]] ====
Розглянемо ''монохроматичну хвилю'' з [[Кутова частота|кутовою частотою]] <math>\omega </math>, ширина якої рівна нулю
: <math>\Delta (\omega)=0 </math>.
В рамках моделі інтерференції [[Захар'євський Олександр Миколайович|Захар'євського]]<ref name="Zakhar1">{{книга|автор = [[Захар'євський Олександр Миколайович|Захарьевский А. Н.]]|заголовок  = Интерферометры|рік = 1952|видавництво  = Гос. изд. оборонной промышленности|місто = {{Comment|М.|Москва}}|сторінок     = 296}}</ref>
розглядаються дві хвилі, що розповсюджуються по двох шляхах [[Інтерферометр|інтерферометра]]:
: <math>y_1=A_1 \sin \phi_1=A_1 \sin (\omega_x-k_x x_1) </math>
: <math>y_2=A_2 \sin \phi_1=A_2 \sin (\omega_x-k_x x_2) </math>
Сумарну хвилю можна подати у вигляді:
: <math>y=y_1+y_2=A_1 \sin \phi_1 + A_2 \sin \phi_2=(A_1+A_2 \cos \psi)\sin \phi_1-A_2 \sin \psi \cos \phi_1 </math>,
де різниця фаз двох коливань буде:
: <math>\psi=\phi_1-\phi_2=k_x(x_2-x_1)=\frac{2\pi \Delta_x}{\lambda_x} </math>,
де <math>\Delta_x=x_2-x_1 </math>&nbsp;— ''різниця ходу'' двох хвиль. Для подальшого розгляду доцільно ввести нові змінні у вигляді:
: <math>A_1+A_2 \cos \psi=A \cos \theta </math>
: <math>A_2 \sin \psi=A \sin \theta </math>.
Тоді квадрат амплітуди сумарного коливання буде:
: <math>A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2 \cos \psi </math>.
Кути <math>\theta </math> та <math>\psi </math> пов'язані між собою таким чином:
: <math>tg \theta=\frac{A_2 \sin \psi}{A_1+A_2 \cos \psi} </math>/
В результаті маємо наступне рівняння для інтерференційних коливань монохроматичної хвилі:
: <math>y(x_1,t)=A \cos \theta \sin \phi_1-A \sin \theta \cos \phi_1=A \sin (\phi_1-\theta)= A \sin (\omega t-k_x x_1-\theta) </math>
Оскільки енергія коливань залежить від квадрата амплітуди, тому для нас важливо з’ясувати можливі значення для різниці фаз та різниці ходу. Ми будемо мати два різні випадки.

В першому випадку ми маємо такі значення:
: <math>\psi=\frac{2\pi \Delta_x}{\lambda_x}=0,\pm2\pi,\pm 4\pi, \dots, \pm N_x 2\pi </math>
: <math>\Delta_x=0, \pm\lambda_x, \pm 2\lambda_x, \dots, \pm N_x\lambda_x </math>
де <math>N_x </math>&nbsp;— ціле позитивне або негативне число (порядок інтерференції). Максимальне значення квадрата модуля амплітуди тут буде:
: <math>(A^2)_{max}=(A_1+A_2)^2 </math>.
В другому випадку, коли ми маємо мінімальне значення квадрата амплітуди
: <math>(A^2)_{min}=(A_1-A_2)^2 </math>
ми будемо мати наступні значення для різниці фаз та різниці ходу:
: <math>\psi=\frac{2\pi \Delta_x}{\lambda_x}=0,\pm \pi,\pm 3\pi, \dots, \pm (2N_x+1)\pi </math>
: <math>\Delta_x=0, \pm\lambda_x/2, \pm 2\lambda_x/2, \dots, \pm (N_x+1)\lambda_x/2 </math>.
Часто буває, що амплітуди коливань є однакові <math>A_1=A_2 </math>. Тоді сумарна амплітуда буде:
: <math>A^2=2A_1^2(1+\cos \theta)=4A_1^2 \cos^2 \theta/2=4A_1^2 \cos^2\left(\frac{\pi \Delta_x}{\lambda_x}\right) </math>
її максимальне значення <math>(A^2)_{max}=4A_1^2 </math>, а мінімальне&nbsp;— <math>(A^2)_{min}=0 </math>. Це найбільш бажаний результат, оскільки тут вся енергія коливань бере участь у створенні інтерференційної картини (найбільш різка контрастність).

==== Геометрична модель ====
Геометрична модель інтерференції базується на стандартній схемі, яка включає в себе два [[дзеркала Френеля]]<ref name=Fresnel1> Fresnel, Augustin «On the Action of Rays of Polarized Light upon Each Other», The Wave Theory of Light – Memoirs by Huygens, Young and Fresnel. — С. 79–156. — American Book Company, 1819. </ref>, розміщені під невеликим кутом один до одного.

Інтервал між сусідніми світлими або темними смугами називається ''шириною смуги'' і позначається символом <math>\sigma </math>. Якщо <math>n_x </math>-а смуга знаходиться від центру поля на відстані <math>y_1 </math>, то для неї [[різниця ходу]] рівна
: <math>\Delta_{x1}=n_x\lambda_x=\frac{a y_1}{L} </math>,
де <math>a </math>- відстань між двома когерентними джерелами світла, а <math>L </math>- база інтерферометра (відстань між джерелами світла та площиною інтерференційного поля).

Для сусідньої <math>n_x+1 </math> -ї смуги, яка знаходиться від центру поля на відстані <math>y_2 </math>, маємо
: <math>\Delta_{x2}=(n_x+1)\lambda_x=\frac{a y_2}{L} </math>.
Очевидно, що різниця <math>y_2-y_1 </math> рівна ширині смуги, звідки знаходимо
: <math>\sigma_x=y_2-y_1=\frac{L\lambda_x}{a} </math>.
Таким чином, ширина смуги інтерференції хвиль з нульовою шириною лінії (<math>\Delta \omega=0 </math>), залежить від [[Довжина хвилі|довжини хвиль]],що (с-)падають.

=== Модель двох близьких частот ===
В природі не зустрічаються хвилі, які характеризуються однією частотою, без розширення частотного спектру (т.з. ''ширина лінії'' спектру хвилі). навіть у випадку лазерного променя ми маємо скінченне значення ''ширини лінії''. В загальному випадку цей частотний спектр можна розглянути за допомогою двох близьких частот:
: <math>\Delta \omega=\omega_2-\omega_1 \ll \omega_1 \ne \omega_2 </math>.
Розглянемо дві близькі хвилі у вигляді:
: <math>z_1(x,t)=A_1 \sin (\omega_1 t+\phi_1) </math>
: <math>z_2(x,t)=A_2 \sin (\omega_2 t+\phi_2) </math>.
У випадку рівності амплітуд <math>A_1 = A_2 </math> та фаз <math>\phi_1 = \phi_2 </math> сумарне значення двох хвиль буде:
: <math>z_{tot}=z_1+z_2=A(\sin \omega_1 t + \sin \omega_2 t)=2A \cos \left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t\right)\cdot \sin \left(\frac{\omega_1 + \omega_2}{2}t\right) </math>
Середнє значення часто ми можемо розглядати як ''несучу частоту'':
: <math>\omega=\omega_{av}=(\omega_1+\omega_2)/2 </math>,
а різницю частот
: <math>\Omega=\omega_{mod}=(\omega_1-\omega_2)/2 </math>
як ''модуляційну частоту''. Тут ми можемо також ввести поняття ''амплітуда модуляції''
: <math>A_{mod}(t)=2A \cos \Omega t </math>.
Таким чином, сумарне значення модульованої хвилі буде
: <math>z_{tot}(t)=A_{mod} \sin \omega t </math>.

==== Модель інтерференції зі скінченною шириною частотного спектру ====
Розглянемо випадок інтерференції двох модуляційних хвиль, які можна подати у вигляді:
: <math>z(x,y,t)=2A \cos [\Omega (t+y/v)]\cdot \sin [\omega (t-x/v)] </math>.
Тут враховано той факт, що несучі хвилі розповсюджуються вздовж осі <math>x </math>, а модуляційні&nbsp;— вздовж осі <math>y </math>. Кутові частоти тут будуть
: <math>\omega_x=\frac{2\pi v}{\lambda_x} </math>
: <math>\Omega_y=\frac{2\pi v}{\Lambda_y} </math>.
Хвильові вектори (числа) можна подати у вигляді:
: <math>k_x=\frac{\omega_x}{v}=\frac{2\pi}{\lambda_x} </math>
: <math>k_y=\frac{\Omega_y}{v}=\frac{2\pi}{\Lambda_y} </math>.
Оскільки <math>\omega_x \gg \Omega_y </math>, тому
: <math>\Lambda_y=\frac{2\pi v}{\Omega_y} \gg \lambda_x=\frac{2\pi v}{\omega_x} </math>.
Таким чином, інтерференція двох модуляційних хвиль є типове двомірне явище в (<math>x,y </math>)&nbsp;— площині.
Коефіцієнт модуляції двох хвиль визначається як:
: <math>K_M=\frac{\omega_x}{\Omega_y}=\frac{\Lambda_y}{\lambda_x} \gg 1 </math>.
У випадку інтерференції його можна розглядати, як ''[[коефіцієнт підсилення]]'' двомірної інтерференції:
: <math>K_{2D}=K_M \gg 1 </math>.
Дві модуляційні хвилі можна подати у вигляді:
:<math>z_1(t)=2A \cos [\Omega_y(t+y_1/v)]\cdot \sin [\omega_x(t-L/v)]=A_{z1} \cos \phi_{z1}=A_{z1} \cos (\Omega t-k_y y_1) </math>
:<math>z_2(t)=2A \cos [\Omega_y(t+y_2/v)]\cdot \sin [\omega_x(t-L/v)]=A_{z2} \cos \phi_{z1}=A_{z2} \cos (\Omega t-k_y y_2)  </math>.
де
:<math>A_z=A_{z1}=A_{z2}=2A \sin (\omega t-k_x x) </math>
:<math>\psi_z=\phi_{z1}-\phi_{z2}=k_y(y_2-y_1)=\frac{2\pi \Delta_y}{\Lambda_y} </math>
а <math>\Delta_y=y_2-y_1 </math> - різниця ходу вздовж осі <math>y </math>.
Сумарне значення інтерференційної хвилі тут буде:
:<math>z_{tot}=z_1+z_2=A_{z1} \cos \phi_1 + A_{z2} \cos (\phi_{z1}-\psi_z)=(A_{z1}+A_{z2}) \cos \phi_1 + A_{z2} \sin \psi \sin \phi_1 </math>
Ми знову можемо скористатися заміною змінних у вигляді:
:<math>A_{z1}+A_{z2} \cos \psi=A_{zz} \cos \theta_z </math>
:<math>A_{z2} \sin \psi_z=A_{zz} \sin \theta_z </math>
Це дає змогу переписати сумарну хвилю у вигляді:
:<math>z_{tot}=A_{zz} \cos \theta_z \cos \phi_{z1}+A_{zz} \sin \theta_z \sin \phi_{z1}=A_{zz} \cos (\phi_{z1}-\theta_z)=A_{zz} \cos (\Omega t-k_y y_1-\theta_z) </math>
де квадрат нової амплітуди та нова залежність між кутами буде:
:<math>A_{zz}^2=2A_z^2(1+\cos \psi_z) </math>
:<math>tg \theta_z=\frac{sin \psi_z}{1+ \cos \psi_z} </math>
Для інтерференції з модуляцією ми також будемо мати два випадки. В першому випадку ми маємо наступні значення для різниці фаз та різниці ходу:
:<math>\psi_z=\frac{2\pi \Delta_y}{\Lambda_y}=0,\pm2\pi,\pm 4\pi, \dots, \pm N_y 2\pi </math>
:<math>\Delta_y=0, \pm\Lambda_y, \pm 2\Lambda_y, \dots, \pm N_y\Lambda_y </math>
де <math>N_y </math> - ціле позитивне або негативне число (порядок інтерференції). Максимальне значення квадрата модуля амплітуди тут буде:
:<math>(A_{zz}^2)_{max}=(A_{z1}+A_{z2})^2 </math>.
В другому випадку, коли ми маємо мінімальне значення квадрата амплітуди
:<math>(A_{zz}^2)_{min}=(A_{z1}-A_{z2})^2 </math>,
тоді будемо мати наступні значення для різниці фаз та різниці ходу:
:<math>\psi_z=\frac{2\pi \Delta_y}{\Lambda_y}=0,\pm \pi,\pm 3\pi, \dots, \pm (2N_y+1)\pi </math>
:<math>\Delta_y=0, \pm\Lambda_y/2, \pm 2\Lambda_y/2, \dots, \pm (N_x+1)\Lambda_y/2 </math>.

==== Геометрична модель модуляційної інтерференції ====
Основною умовою спостереження інтерференції модульованих хвиль є виконання співвідношення для модульованої різниці ходу:
:<math>\Delta_y=\frac{a y}{L}=N_y \Lambda_y=N_x \lambda_x </math>,
а також співвідношення між ширинами смуг:
:<math>N_x \sigma_x=N_y \Sigma_y </math>.
Іншими словами, необхідна синхронність коливань вздовж осі <math>x </math> з частотою <math>\omega_x </math> та модуляційних коливань вздовж осі <math>y </math> з частотою <math>\Omega_y </math>. Таким чином, для коефіцієнту модуляції (або коефіцієнту підсилення ширини смуги) маємо:
:<math>K_M=\frac{\Lambda_y}{\lambda_x}=\frac{N_x}{N_y}=\frac{\Sigma_y}{\sigma_x} \gg 1 </math>.
Оскільки ми можемо спостерігати «підсилені» ширини смуг <math>\Sigma_y </math> (декілька штук), то для їх створення необхідно дуже багато «непідсилених» смуг <math>\sigma_x </math>, а це означає що <math>N_x \gg N_y </math>. 

Безумовно, інтерференція немодульованих хвиль з частотою <math>\omega_x </math> має пріоритет. Тому у випадку двох близьких частот <math>\omega_{x1} \ne \omega_{x2} </math> різниця порядків інтерференції <math>N_{x1} </math> та <math>N_{x2} </math> повинна бути малим числом:
:<math>N_{x1}-N_{x2}=N_{y1}-N_{y2}=n_y=0,1,2, \dots </math>
Тоді різниця ходу для двох близьких частот буде:
:<math>\Delta_x=N_{x1}\lambda_{x1}=(N_{x1}-n_y)\lambda_{x2} </math>
або
:<math>N_{x1}=\frac{n_y\lambda_{x1}}{\lambda_{x2}-\lambda_{x1}}=n_y n_{x12} </math>.
Цей вираз також може переписати у формі:
:<math>N_{x1}=n_y\frac{\omega_{x1}}{2\Omega_y}=n_y K_{MI} </math>,
де <math>K_{MI}=\frac{\omega_{x1}}{2\Omega_y} \gg 1 </math>, а <math>\Omega_y=\frac{\omega_1-\omega_2}{2}=\frac{\pi v (\lambda_2-\lambda_1)}{\lambda_1\lambda_2} </math>.
Якщо як джерело світла взяти водневу лампу, для якої <math>\lambda_2=656.2 </math>нм та <math>\lambda_1=486.1 </math>нм, тоді
:<math>n_{x12}=\frac{\lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}=3.9 </math>,
тобто не дуже велике число. Проте у випадку натрієвої лампи, де <math>\lambda_2=589.2</math>нм та <math>\lambda_1=589</math>нм, ми будемо мати велике число:
:<math>n_{x12}=\frac{\lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}=983 </math>.
Іншими словами, у випадку двох близьких ліній, наприклад, для [[Лазер|лазерних]] променів з конечним значенням ширини [[Спектроскопія|спектру]], або [[Натрієва газорозрядна лампа|натрієвої лампи]] ми будемо мати великий коефіцієнт підсилення інтерференції модульованих хвиль <math>K_{MI}=0.5n_{x12}= 500 </math>. 
Проте, у випадку «білого світла» або водневої лампи коефіцієнт підсилення інтерференції буде малим <math>K_{MI}=0.5n_{x12}= 2 </math>.
Таким чином, не залежно від конкретної схеми інтерферометра, інтерференція двох модульованих хвиль має велику ширину смуги:
:<math>\Sigma_y=\sigma \frac{\Lambda_y}{\lambda_x}= \sigma_x N_x </math>
при <math>\Lambda_y=N_x \lambda_x </math>. Тому "[[Зсув інтерференційної смуги|зміщення ширини смуги]]" має вигляд:
:<math>\Delta(\Sigma_y)=\Sigma_{y1}-\Sigma_{y2}=(N_{x1}-N_{x2})\sigma_x=n_y\sigma_x </math>.
Очевидно, що мінімальне значення зміщення ширини смуги буде:
:<math>[\Delta (\Sigma_y)]_{min}=\sigma_x </math>
при <math>n_y=1 </math>. Точність вимірювання ширини модульованих хвиль буде, якщо не враховувати похибку телескопа чи мікроскопа:
:<math>\delta_y=\frac{[\Delta (\Sigma_y)]_{min}}{\Sigma_y}=\frac{\sigma_x}{N_x\sigma_x}=\frac{1}{N_{x1}} </math>
де <math>N_{x1}=n_y\frac{\lambda_{x2}}{\lambda_2-\lambda_1} \gg 1 </math>.

== Див. також ==
* [[Інтерферометр]]
* [[Муар (візерунок)|Муар]]
* [[Стояча хвиля]]
* [[Биття]]
* [[Розподілений бреггівський відбивач]]

== Примітки ==
{{Reflist}}

== Література ==
* {{МГЕ|nocat=1}}
* {{книга
|автор        = Романюк М. О., Крочук А. С., Пашук І. П.
|заголовок    = Оптика
|рік          = 2012
|видавництво  = ЛНУ ім. Івана Франка
|місто        = {{Comment|Л.|Львів}}
|сторінок     = 564
}}
* {{книга
|автор        = [[Ландсберг Григорій Самійлович|Ландсберг Г. С.]]
|заголовок    = Оптика
|рік          = 2010
|видавництво  = Физматлит
|місто        = {{Comment|М.|Москва}}
|сторінок     = 848
}}
* {{книга
|автор        = Сивухин Д. В.
|заголовок    = Общий курс физики
|частина      = Оптика
|том          = 4
|рік          = 2006
|видавництво  = Физматлит
|місто        = {{Comment|М.|Москва}}
|сторінок     = 792
}}

== Посилання ==
* [https://web.archive.org/web/20051128064836/http://www.falstad.com/ripple/ex-2source.html Java demonstration of interference] {{ref-en}}
* [http://www.acoustics.salford.ac.uk/feschools/waves/super2.htm Flash animations demonstrating interference] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090624132120/http://www.acoustics.salford.ac.uk/feschools/waves/super2.htm |date=24 червня 2009 }} {{ref-en}}

{{фізика-доробити}}

[[Категорія:Інтерференція]]