Перегляд вихідного коду сторінки Інтерполяція

{{Otheruses|Інтерполяція (значення)}}
[[File:LinearInterpolation.svg|thumb|250px|Інтерполяція]]
'''Інтерполяція'''&nbsp;— в [[обчислювальна математика|обчислювальній математиці]] спосіб знаходження проміжних значень величини за наявним [[Дискретність|дискретним]] набором відомих значень.

Багатьом із тих, хто стикається з науковими та інженерними розрахунками часто доводиться оперувати наборами значень, отриманих [[експеримент]]альним шляхом чи методом [[Випадкова вибірка|випадкової вибірки]]. Як правило, на підставі цих наборів потрібно побудувати [[Функція (математика)|функцію]], зі значеннями якої могли б з високою точністю збігатися інші отримувані значення. Така задача називається [[Апроксимація|апроксимацією]] кривої. Інтерполяцією називають такий різновид апроксимації, при якій крива побудованої функції проходить точно через наявні точки даних. 

Існує також близька до інтерполяції задача, що полягає в апроксимації якої-небудь складної функції іншою, простішою функцією. Якщо деяка функція занадто складна для продуктивних обчислень, можна спробувати обчислити її значення в декількох точках, а за ними побудувати, тобто інтерполювати, простішу функцію. Зрозуміло, використання спрощеної функції не дозволяє одержати такі ж точні [[результат]]и, які давала б початкова функція. Але, для деяких класів задач, досягнутий виграш у простоті і швидкості обчислень може переважити отриманий огріх у результатах.

Варто також згадати і зовсім інший різновид математичної інтерполяції, відому за назвою «інтерполяція операторів». До класичних робіт з інтерполяції операторів відносяться {{нп|теорема Рісса-Торіна||en|Riesz-Thorin theorem}}) і [[теорема Марцинкевича]], що є основою для багатьох інших робіт.

== Визначення ==
Нехай маємо ''n'' значень ''x<sub>і</sub>'', кожному з яких відповідає своє значення ''y<sub>і</sub>''. Потрібно знайти таку функцію ''F'', що:

: <math>F(x_i) = y_i\ ,\ i=1,\ldots,n\,\!</math>
При цьому:
* ''х''<sub>''і''</sub> називають ''вузлами інтерполяції''
* пари (''x<sub>і</sub>'', ''y<sub>і</sub>'') називають ''точками даних'' чи ''базовими точками''
* різницю між «сусідніми» значеннями ''x<sub>і</sub>-x<sub>і-1</sub>'' — ''кроком'' [табуляції] (та/або [[Методи розв'язання нелінійних рівнянь#Метод табуляції|табуляцією]])
* функцію ''F (x)'' — ''функцією, що інтерполює'' чи ''інтерполянтом''.

== Приклад ==
Нехай маємо табличну функцію, що для кількох значень ''х'' визначає відповідні значення ''f''. 
[[Файл:Interpolation Data.svg|thumb|right|300px|Задані точки (з приведеної таблиці) в [[Система координат|декартовій системі координат]].]]
{| cellpadding=0 cellspacing=0
|width="20px"| 
! ''x'' 
|width="10px"| 
!colspan=3 align=center| ''f''(''x'')
|-
| || 0 || ||align=right| 0
|-
| || 1 || ||align=right| 0 || . || 8415
|-
| || 2 || ||align=right| 0 || . || 9093
|-
| || 3 || ||align=right| 0 || . ||1411
|-
| || 4 || ||align=right| −0 || . || 7568
|-
| || 5 || ||align=right| −0 || . || 9589
|-
| || 6 || ||align=right| −0 || . || 2794
|}

Інтерполяція дозволяє дізнатися, яке значення може мати функція в точці, відмінній від зазначених, наприклад, при ''х''&nbsp;=&nbsp;2.5.

Існує багато різних способів інтерполяції. Вибір найпридатнішого [[алгоритм]]у залежить від відповідей на питання: наскільки точний обраний метод, які затрати на його використання, наскільки гладкою є інтерполяційна функція, яку кількість точок даних вона вимагає і т.д.
{{clear}}

== Способи інтерполяції ==
=== Інтерполяція функції однієї змінної ===
* [[Інтерполяція методом найближчого сусіда]]
* [[Лінійна інтерполяція]]
* [[Метод скінченних різниць]]
* [[многочлен Лагранжа|Інтерполяційний поліном Лагранжа]]
* [[Сплайн]]

==== Зворотна інтерполяція (обчислення x при заданому y) ====
* [[Задача оберненого інтерполювання]]
* [[Поліном Лагранжа]]
* [[Зворотна інтерполяція за формулою Ньютона]]
* [[Зворотна інтерполяція за формулою Гауса]]

=== Інтерполяція функцій від декількох змінних ===
{{main|Багатовимірна інтерполяція}}

== Див. також ==
* [[Статистична регресія]]

; Суміжні концепції
* [[Екстраполяція]] — методи перебування точок за межами заданого інтервалу (продовження кривої)
* [[Апроксимація]] — методи побудови наближених кривих

== Література ==
* {{книга
 |автор          = {{nobr|Калиткин Н. Н.}}
 |заголовок      = Численные методы
 |посилання      = 
 |відповідальний = 
 |місце          = 
 |видавництво    = Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука»
 |рік            = 1978
 |том            = 
 |сторінок       = 512
 |сторінки       = 
 |isbn           = 
}}{{ref-ru}}
* {{книга
 |автор          = {{nobr|Бахвалов Н. С.}}, {{nobr|Жидков Н. П.}}, {{nobr|Кобельков Г. М.}}
 |заголовок      = Численные методы
 |посилання      = 
 |відповідальний = 
 |місце          = М.
 |видавництво    = Лаборатрия Базовых Знаний
 |видання        = 8-е изд
 |рік            = 2002
 |том            = 
 |сторінок       = 632
 |сторінки       = 
 |isbn           = 5-93208-043-4
}}{{ref-ru}}
* {{книга
 |автор          = {{nobr|Джон Г. Мэтьюз}}, {{nobr|Куртис Д. Финк}}
 |заголовок      = Численные методы. Использование MATLAB
 |посилання      = 
 |відповідальний = 
 |місце          = М.
 |видавництво    = Вильямс
 |видання        = 3-е изд 
 |рік            = 2001
 |том            = 
 |сторінок       = 720
 |сторінки       = 
 |isbn           = 5-8459-0162-6
}}{{ref-ru}}
* {{книга
 |автор          = {{nobr|Зализняк В. Е.}}
 |заголовок      = Основы научных вычислений. Введение в численные методы для физиков: Учебное пособие
 |посилання      = 
 |відповідальний = 
 |місце          = М.
 |видавництво    = Едиториал УРСС
 |рік            = 2002
 |том            = 
 |сторінок       = 296
 |сторінки       = 
 |isbn           = 5-354-00138-2
}}{{ref-ru}}
* {{книга
 |автор          = {{nobr|Вержбицкий В. М.}}
 |заголовок      = Основы численных методов: учебник для вузов
 |посилання      = 
 |відповідальний = 
 |місце          = М.
 |видавництво    = Высшая школа
 |рік            = 2002
 |том            = 
 |сторінок       = 840
 |сторінки       = 
 |isbn           = 5-06-004020-8
}}{{ref-ru}}
* {{книга
 |автор          = {{nobr|Самарский А. А.}}, {{nobr|Гулин А. В.}}
 |заголовок      = Численные Методы
 |посилання      = 
 |відповідальний = 
 |місце          = М.
 |видавництво    = «Наука»
 |рік            = 1989
 |том            = 
 |сторінок       = 432
 |сторінки       = 
 |isbn           = 5-02-013996-3
}}{{ref-ru}}
* Пространства Хермандера, интерполяция и эллиптические задачи / В. А. Михайлец, А. А. Мурач ; с предисл. Ю. М. Березанского. – Киев : ИМ НАН Украины, 2010. – 370 с. – (Праці / Ін-т математики НАН України ; т. 84). – Библиогр.: с. 351-370 (237 назв.). – ISBN 978-966-02-5747-4 

{{Без виносок|дата=жовтень 2015}}
{{math-stub}}

[[Категорія:Інтерполяція| ]]