Перегляд вихідного коду сторінки Інтервали між простими числами

'''Інтервали між простими числами'''&nbsp;— це різниці між двома послідовними [[Просте число|простими числами]]. ''n''-й інтервал, що позначається <math>g_n</math>,&nbsp;— це різниця між ''(n'' + 1)-м і ''n''-м простими числами, тобто

: <math>g_n = p_{n + 1} - p_n.</math>

Ми маємо: <math>g_1 = 1, g_2 = g_3=2, g_4 = 4</math>. [[Послідовність]] <math>g_n</math> інтервалів між простими числами добре вивчена. Іноді розглядають функцію <math>g(p_n)</math> замість <math>g_n</math>.

Перші 30 інтервалів між простими числами такі:

: 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14 ({{OEIS|id=A001223}}).

== Прості зауваження ==
Для будь-якого простого числа ''P,'' символом ''P''# ми будемо позначати ''[[прайморіал]] P,'' тобто [[Множення|добуток]] всіх простих чисел, що не перевершують ''P.'' Якщо ''Q''&nbsp;— це просте число, наступне після ''P,'' то послідовність

: <math>P\# + 2, P\# + 3, \dots, P\# + (Q - 1)</math>

є послідовністю з <math>Q - 2</math> послідовних [[Складене число|складених чисел]], тому існують інтервали між простими числами довжиною не менше, ніж <math>Q - 1</math>. Отже, існують як завгодно великі інтервали між простими числами, і для будь-якого простого ''P'' існує ''n'' таке, що <math>g_n \geqslant P</math> (Очевидно, що для цього ми можемо вибрати ''n'' таким, що <math>p_n</math> буде найбільшим простим числом, що не перевершує <math>P\# + 2</math>.). Інший спосіб побачити, що існують як завгодно великі інтервали між простими числами, використовує той факт, що [[множина]] простих чисел має нульову щільність, відповідно до [[Теорема про розподіл простих чисел|теореми про розподіл простих чисел]].

Насправді, інтервал між простими величини ''P'' може зустрітися між простими, набагато меншими, ніж ''P''#. Наприклад, найперша послідовність з 71 послідовних складеного числа знаходиться між 31398 і 31468, тоді як 71# є 27-значним ''числом.''

Уже середнє значення інтервалів між простими зростає як [[натуральний логарифм]] ''n.''

З іншого боку, гіпотеза про [[Прості числа-близнюки|простих близнюків]] стверджує, що <math>g_n=2</math> для нескінченно багатьох ''n.''

Інтервали між простими можуть бути оцінені зверху і знизу за допомогою [[функція Якобсталя|функції Якобсталя]] ({{OEIS|id=A048670}}).

== Чисельні результати ==
На вересень 2017 року найбільший відомий інтервал між числами, визначеними як ймовірно прості, має довжину 6 582 144, з 216841-значними ймовірно простими знайшов Martin Raab<ref>{{Cite web | url=http://trnicely.net/index.html#TPG | title=Thomas R. Nicely's Home Page | accessdate=29 грудня 2019 | archive-date=6 квітня 2017 | archive-url=https://web.archive.org/web/20170406131907/http://trnicely.net/index.html#TPG }}</ref>. Найбільший відомий інтервал між простими числами&nbsp;— це інтервал довжини 1113106, з 18662-значними простими знайдений P. Cami, M. Jansen and J. K. Andersen.<ref name=top20>{{cite web|last1=Andersen|first1=Jens Kruse|title=The Top-20 Prime Gaps|url=http://primerecords.dk/primegaps/gaps20.htm|accessdate=2014-06-13|archive-date=27 грудня 2019|archive-url=https://web.archive.org/web/20191227185818/http://primerecords.dk/primegaps/gaps20.htm}}</ref><ref>{{Cite web |url=http://primerecords.dk/primegaps/gap1113106.htm |title=A proven prime gap of 1113106 |accessdate=29 грудня 2019 |archive-date=25 грудня 2019 |archive-url=https://web.archive.org/web/20191225142708/http://primerecords.dk/primegaps/gap1113106.htm }}</ref>

Відношення ''M''=''g''<sub>''n''</sub>/ln''(p''<sub>''n)''</sub> показує, у скільки разів даний інтервал ''g''<sub>''n''</sub> відрізняється від середнього інтервалу між простими поблизу простого числа ''p''<sub>''n.''</sub> На 2017 рік найбільше відоме значення ''M''=41,93878373 виявлено для інтервалу довжиною 8350 після 87-значного простого числа 293703234068022590158723766104419463425709075574811762098588798217895728858676728143227. Цей рекорд знайдено в процесі розподілених обчислень Gapcoin.<ref>{{Cite web |url=http://www.trnicely.net/#MaxMerit |title=Nicely, T.R., New prime gap of maximum known merit |accessdate=29 грудня 2019 |archive-date=12 липня 2016 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160712050001/http://www.trnicely.net/#MaxMerit }}</ref>

Відношення ''S''=''g''<sub>''n''</sub>/ln<sup>2</sup>''p''<sub>''n''</sub> (відношення Крамера&nbsp;— Шенкса&nbsp;— Гренвілла) вивчають у зв'язку з [[Гіпотеза Крамера|гіпотезою Крамера]], яка стверджує, що <math>g_n=O(\ln^2 p_n)</math>. Якщо не розглядати аномально високі значення ''S,'' що спостерігаються для <math>p_n=2,3,7,</math> то найбільше відоме значення ''S'' = 0,9206386 виявлено для інтервалу довжиною 1132 після 16-значного простого числа 1693182318746371. Цей рекорд знайшов у 1999 році Bertil Nyman<ref>{{Cite web |url=http://www.trnicely.net/gaps/gaplist.html |title=Nicely, T.R., First occurrence prime gaps |accessdate=29 грудня 2019 |archive-date=8 жовтня 2019 |archive-url=https://web.archive.org/web/20191008221424/http://www.trnicely.net/gaps/gaplist.html }}</ref> ({{OEIS|id=A111943}} містить це і всі попередні прості числа <math>p_n\ge23</math>, що відповідають рекордним значенням ''S'')''.''

Будемо говорити, що <math>g_n</math> є максимальним інтервалом, якщо для всіх <math>k < n</math> буде <math>g_k < g_n</math>. Між першими <math>n</math> простими числами спостерігається приблизно <math>2 \ln n</math> максимальних інтервалів;<ref>{{стаття |назва=On the ''n''th record gap between primes in an arithmetic progression |видання=Int. Math. Forum |том=13 |номер=2 |сторінки=65—78 |doi=10.12988/imf.2018.712103 |arxiv=1709.05508 |мова=en |тип=journal |автор=Kourbatov, А. |рік=2018}}</ref> див. також {{OEIS|id=A005250}}.
{| cellspacing="0" cellpadding="0" border="0"
|+Перші 80 максимальних інтервалів (''n'' не наводиться; див. OEIS A005669)
|
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|+Від 1 до 30
!#
!''g<sub>n</sub>''
!''p<sub>n</sub>''
|-
|1
|1
|2
|-
|2
|2
|3
|-
|3
|4
|7
|-
|4
|6
|23
|-
|5
|8
|89
|-
|6
|14
|113
|-
|7
|18
|523
|-
|8
|20
|887
|-
|9
|22
|1129
|-
|10
|34
|1327
|-
|11
|36
|9551
|-
|12
|44
|15683
|-
|13
|52
|19609
|-
|14
|72
|31397
|-
|15
|86
|155921
|-
|16
|96
|360653
|-
|17
|112
|370261
|-
|18
|114
|492113
|-
|19
|118
|1349533
|-
|20
|132
|1357201
|-
|21
|148
|2010733
|-
|22
|154
|4652353
|-
|23
|180
|17051707
|-
|24
|210
|20831323
|-
|25
|220
|47326693
|-
|26
|222
|122164747
|-
|27
|234
|189695659
|-
|28
|248
|191912783
|-
|29
|250
|387096133
|-
|30
|282
|436273009
|}
|
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|+Від 31 до 60
!#
!''g<sub>n</sub>''
!''p<sub>n</sub>''
|-
|31
|288
|1294268491
|-
|32
|292
|1453168141
|-
|33
|320
|2300942549
|-
|34
|336
|3842610773
|-
|35
|354
|4302407359
|-
|36
|382
|10726904659
|-
|37
|384
|20678048297
|-
|38
|394
|22367084959
|-
|39
|456
|25056082087
|-
|40
|464
|42652618343
|-
|41
|468
|127976334671
|-
|42
|474
|182226896239
|-
|43
|486
|241160624143
|-
|44
|490
|297501075799
|-
|45
|500
|303371455241
|-
|46
|514
|304599508537
|-
|47
|516
|416608695821
|-
|48
|532
|461690510011
|-
|49
|534
|614487453523
|-
|50
|540
|738832927927
|-
|51
|582
|1346294310749
|-
|52
|588
|1408695493609
|-
|53
|602
|1968188556461
|-
|54
|652
|2614941710599
|-
|55
|674
|7177162611713
|-
|56
|716
|13829048559701
|-
|57
|766
|19581334192423
|-
|58
|778
|42842283925351
|-
|59
|804
|90874329411493
|-
|60
|806
|171231342420521
|}
|
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|+Від 61 до 80
!#
!''g<sub>n</sub>''
!''p<sub>n</sub>''
|-
|61
|906
|218209405436543
|-
|62
|916
|1189459969825483
|-
|63
|924
|1686994940955803
|-
|64
|1132
|1693182318746371
|-
|65
|1184
|43841547845541059
|-
|66
|1198
|55350776431903243
|-
|67
|1220
|80873624627234849
|-
|68
|1224
|203986478517455989
|-
|69
|1248
|218034721194214273
|-
|70
|1272
|305405826521087869
|-
|71
|1328
|352521223451364323
|-
|72
|1356
|401429925999153707
|-
|73
|1370
|418032645936712127
|-
|74
|1442
|804212830686677669
|-
|75
|1476
|1425172824437699411
|-
|76
|1488
|5733241593241196731
|-
|77
|1510
|6787988999657777797
|-
|78
|1526
|15570628755536096243
|-
|79
|1530
|17678654157568189057
|-
|80
|1550
|18361375334787046697
|-
|81
|
|
|-
|82
|
|
|-
|83
|
|
|-
|84
|
|
|-
|85
|
|
|-
|86
|
|
|-
|87
|
|
|-
|88
|
|
|-
|89
|
|
|-
|90
|
|
|}
|}

== Найбільші інтервали перших десяти тисяч ==
Вже у другій тисячі є інтервал, довжиною 34 числа, в якому немає простих чисел&nbsp;— (1327—1361). Причому, цей інтервал утримує свій рекорд довжини до десятої тисячі. Лише в дев'ятій тисячі є другий інтервал такої ж довжини&nbsp;— (8467-8501), а в десятій&nbsp;— довший інтервал (36 чисел)&nbsp;— (9551-9587), який і є найдовшим інтервалом перших десяти тисяч. Є також інтервал довжиною 32 числа&nbsp;— (5591-5623).

== Подальші результати ==

=== Верхні оцінки ===
[[Постулат Бертрана]] стверджує, що для будь-якого ''k'' завжди існує хоча б одне просте число між ''k'' і 2 ''k,'' тому, зокрема, <math>p_{n+1} < 2p_n</math>, звідки <math>g_n < p_n</math>.

[[Теорема про розподіл простих чисел]] говорить, що «середня довжина» інтервалів між простим ''p'' і наступним простим числом має порядок <math>\ln p</math>. Фактична довжина інтервалів може бути більшою або меншою від цього значення. Однак, з теореми про розподіл простих чисел можна вивести верхню оцінку для довжини інтервалів простих чисел: для будь-якого <math>\varepsilon > 0</math> існує таке ''N,'' що для всіх <math>n>N</math> буде <math>g_n < \varepsilon p_n</math>.

[[Гвідо Хохайзель|Хохайзель]] першим показав<ref name="Hoheisel">{{стаття |назва=Primzahlprobleme in der Analysis |видання=Sitzunsberichte der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin |том=33 |сторінки=3—11 |мова=und |автор=Hoheisel, G. |рік=1930}}</ref> що існує таке постійне <math>\theta <1</math>

: <math>\pi(x + x^\theta) - \pi(x) \sim \frac{x^\theta}{\ln x}</math> при <math>x \to +\infty</math>

звідси слідує що

: <math>g_n < p_n^\theta,</math>

для досить великого ''n.''

Звідси випливає, що інтервали між простими стають як завгодно меншими по відношенню до простих: частка <math>\frac{g_n}{p_n}</math> прямує до нуля при прямуванні ''n'' до [[Нескінченність|нескінченності]].

Хохайзель отримав для <math>\theta</math> можливе значення 32999/33000. Цю оцінку поліпшив до 249/250 [[Ганс Гайльброн|Гайльбронн]],<ref name="Heilbronn">{{стаття |назва=Uber den Primzahlsatz von Herrn Hoheisel |видання={{Нп3|Mathematische Zeitschrift}} |том=36 |номер=1 |сторінки=394—423 |doi=10.1007/BF01188631 |мова=en |автор=Heilbronn, H. A. |рік=1933 |тип=journal}}</ref> і до <math>\theta = \frac{3}{4} + \varepsilon</math> для будь-якого <math>\varepsilon >0</math> {{Нп|Чудаков Микола Григорович|Чудаков|ru|Чудаков, Николай Григорьевич}}.<ref name="Tchudakoff">{{стаття |назва=On the difference between two neighboring prime numbers |видання=Math. Sb. |том=1 |сторінки=799—814 |мова=en |тип=journal |автор=Tchudakoff, N. G. |рік=1936}}</ref>

Основне поліпшення отримав [[Альберт Інгем|Інгем]],<ref name="Ingham">{{стаття |назва=On the difference between consecutive primes |видання={{Нп3|Quarterly Journal of Mathematics}} |серія=Oxford Series |том=8 |номер=1 |сторінки=255—266 |doi=10.1093/qmath/os-8.1.255 |мова=en |автор=Ingham, A. E. |рік=1937 |тип=journal}}</ref>, який показав, що якщо

: <math>\zeta(1/2 + it) = O(t^c)</math>

для деякої константи <math>c > 0</math>, Де ''O'' використовується в сенсі нотації [[Нотація Ландау|O велике]], то

: <math>\pi(x + x^\theta) - \pi(x) \sim \frac{x^\theta}{\ln x}</math>

для будь-якого <math>\theta > \frac{1+4c}{2+4c}</math>. Тут, як завжди, <math>\zeta</math> позначає [[Дзета-функція Рімана|дзета функцію Рімана]], а <math>\pi (x)</math>&nbsp;— [[Функція розподілу простих чисел|функцію розподілу простих чисел]], які не перевищують ''x.'' Відомо, що допускається <math>c > \frac{1}{6}</math>, звідки для <math>\theta</math> можна взяти будь-яке число, більше <math>\frac{5}{8}</math>. З результату Інгема відразу випливає, що завжди існує просте число між числами <math>n^3</math> і <math>(n+1)^3</math> для досить великих ''n.'' Зауважимо, що ще не доведена [[гіпотеза Лінделефа]], яка стверджує, що для ''c'' можна вибрати будь-яке додатне число, але з неї випливає, що завжди існує просте число між <math>n^2</math> і <math>(n+1)^2</math> для досить великих ''n'' (див. також [[Гіпотеза Лежандра]]). Якщо ця гіпотеза правильна, то можливо, що необхідна ще більш строга [[гіпотеза Крамера]]. Одним з досягнутих наближень до гіпотези Лежандра є доведений факт про те, що <math>g(p_n) = O({p_n}^{\frac{21}{40}})</math>.<ref name="baker">{{стаття |назва=The difference between consecutive primes, II |видання=Proceedings of the London Mathematical Society |том=83 |номер=3 |сторінки=532—562 |doi=10.1112/plms/83.3.532 |мова=und |автор=Baker, R. C.; Harman, G.; Pintz, G.; Pintz, J. |рік=2001}}</ref>

[[Мартін Гакслі]] показав, що можна вибрати <math>\theta = \frac{7}{12}</math>.<ref name="huxley">{{стаття |назва=On the Difference between Consecutive Primes |видання=[[Inventiones Mathematicae]] |том=15 |номер=2 |сторінки=164—170 |doi=10.1007/BF01418933 |мова=en |автор=Huxley, M. N. |рік=1972 |тип=journal}}</ref>

Останній результат належить Бакеру, [[Глін Гарман|Гарману]] і [[Янос Пінц|Пінцу]], які показали, що <math>\theta</math> можна взяти рівним 0,525.<ref name="baker"/>

2005 року [[Денієл Ґолдстон]], Янос Пінц і [[Джем Їлдирим]] довели, що

: <math>\liminf_{n\to+\infty}\frac{g_n}{\ln p_n}=0</math>

і пізніше покращили це<ref>{{Arxiv|0710.2728}}</ref> до

: <math>\liminf_{n\to+\infty}\frac{g_n}{\sqrt{\ln p_n}(\ln \ln p_n)^2} < \infty</math>

2013 року [[Чжан Їтан|Чжан Ітан]] представив статтю, де доводиться, що<ref>{{стаття |посилання=http://annals.math.princeton.edu/wp-content/uploads/YitangZhang.pdf |назва=Bounded gaps between primes |видання=[[Annals of Mathematics]] |видавництво=Princeton University and the Institute for Advanced Study |accessdate=2013-05-21 |мова=en |автор=Zhang, Yitang |тип=journal |archivedate=2013-06-12 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20130612175256/http://annals.math.princeton.edu/wp-content/uploads/YitangZhang.pdf }} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130612175256/http://annals.math.princeton.edu/wp-content/uploads/YitangZhang.pdf |date=2013-06-12 }}</ref>

: <math>\liminf_{n\to+\infty} g_n < 70\,000\,000.</math>

Цей результат багаторазово поліпшувався аж до

: <math>\liminf_{n\to+\infty} g_n < 247.</math>

Зокрема, це означає, що множина всіх пар простих чисел, різниця між якими не перевищує 246, нескінченна<ref name="polymath">{{Cite web|url=http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Bounded_gaps_between_primes|title=Bounded gaps between primes|publisher=Polymath|accessdate=2013-07-21|archive-date=28 лютого 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200228120914/http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Bounded_gaps_between_primes}}></ref><ref>{{стаття |назва=Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes |видання=Research in the Mathematical Sciences |том=1 |doi=10.1186/s40687-014-0012-7 |arxiv=1407.4897 |mr=3373710 |мова=en |тип=journal |автор=D.H.J. Polymath |рік=2014}}</ref>.

=== Нижні оцінки ===
{{Нп|Роберт Ренкін||en|Robert Alexander Rankin}} довів, що існує константа <math>c > 0</math> така, що нерівність

: <math>g_n > \frac{c \cdot \ln n \cdot \ln\ln n \cdot \ln\ln\ln\ln n}{(\ln\ln\ln n)^2}</math>

зберігається для нескінченно багатьох значень ''n.'' Найкраще відоме значення для ''c'' на поточний момент&nbsp;— це <math>c = 2e^{\gamma}</math>, де <math>\gamma</math>&nbsp;— [[Стала Ейлера—Маскероні|стала Ейлера-Маскероні]].<ref>{{стаття |назва=Very large gaps between consecutive primes |видання=[[Journal of Number Theory|J. Number Theory]] |том=63 |номер=2 |сторінки=286—301 |doi=10.1006/jnth.1997.2081 |мова=en |автор=Pintz, J. |рік=1997 |тип=journal}}</ref> [[Пал Ердеш]] запропонував приз $5000 за доведення або спростування того, що константа ''c'' в наведеній нерівності може бути як завгодно великою.<ref name="Guy">{{Cite book|title=Unsolved problems in number theory|url=https://archive.org/details/unsolvedproblems00guyr_766|last=Guy|first=R. K.|authorlink1=R. K. Guy|year=2004|publisher=Springer|edition=Third|location=New York|page=[https://archive.org/details/unsolvedproblems00guyr_766/page/n48 31]|isbn=0387208607}}</ref>

== Гіпотези про інтервали між простими числами ==
[[Файл:Wikipedia_primegaps.png|міні|294x294пкс|Функція «різниця простих»]]
Тут можливі ще кращі результати, ніж ті, які можуть бути отримані за припущення істинності [[Гіпотеза Рімана|гіпотези Рімана]]. [[Гаральд Крамер]] довів, що якщо гіпотеза Рімана істинна, то інтервали <math>g(p_n)</math> задовольняють співвідношенню

: <math> g(p_n) = O(\sqrt{p_n} \ln p_n), </math>

(тут використовується нотація [[Нотація Ландау|O велике]]). Пізніше він припустив, що інтервали зростають значно менше. Грубо кажучи, він припустив, що

: <math> g(p_n) = O(\ln ^2 p_n).</math>

В даний момент на це вказують чисельні розрахунки. Для більш детальної інформації див. [[Гіпотеза Крамера]].

[[Гіпотеза Андріци]] стверджує, що

: <math> g(p_n) < 2\sqrt{p_n} + 1.</math>

Це слабке посилення [[Гіпотеза Лежандра|гіпотези Лежандра]], яка стверджує, що між будь-якою парою квадратів [[Натуральні числа|натуральних чисел]] існує хоча б одне просте число.

== Інтервали між простими як арифметична функція ==
інтервал <math>g_n</math> між ''n''-м і ''(n''+1)-м простими числами є прикладом [[Арифметична функція|арифметичної функції]]. В такому контексті зазвичай її позначають <math>d_n</math> і називають різницею простих.<ref name="Guy"/> Різниця простих не є [[Мультиплікативна функція|мультиплікативною]] і не є [[Адитивність|адитивною]].

== Див. також ==

* [[Гіпотеза Рімана]]
* [[Гіпотеза Крамера]]
* [[Гіпотеза Лежандра]]
* [[Гіпотеза Фірузбехт]]
* {{Нп|Відкриті проблеми в теорії чисел||ru|Открытые проблемы в теории чисел}}

== Примітки ==
{{примітки|2}}

== Посилання ==
* [[Томас Найслі|Thomas R. Nicely]], [http://www.trnicely.net/ Some Results of Computational Research in Prime Numbers&nbsp;— Computational Number Theory] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160712050001/http://www.trnicely.net/ |date=12 липня 2016 }}. Цей довідковий вебсайт містить перелік усіх перших відомих появ проміжків між простими числами.
* {{MathWorld|urlname=PrimeDifferenceFunction|title=Prime Difference Function}}
* http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=3143 {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20191229170602/https://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=3143 |date=29 грудня 2019 }} 
* [[Кріс Колдвел|Chris Caldwell]], [http://primes.utm.edu/notes/gaps.html ''Gaps Between Primes''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210515035956/https://primes.utm.edu/notes/gaps.html |date=15 травня 2021 }}

[[Категорія:Аналітична теорія чисел]]
[[Категорія:Арифметичні функції]]