Перегляд вихідного коду сторінки Інтеграл Лебега — Стілтьєса

{{Числення|expanded=Інтегральне}}
У [[Математичний аналіз|математичному аналізі]] '''інтеграл Лебега — Стілтьєса''' узагальнює поняття [[Інтеграл Стілтьєса|інтеграла Рімана — Стілтьєса]] і [[Інтеграл Лебега|інтеграла Лебега]] на [[Дійсна пряма|дійсній прямій]]. Він є звичайним інтегралом Лебега щодо так званої міри Лебега — Стілтьєса, асоційованої із якоюсь функцією [[Варіація функції|обмеженої варіації]] на дійсній прямій. Міра Лебега — Стілтьєса є [[Регулярна міра|регулярною]] [[Міра Бореля|мірою Бореля]] і кожна регулярна міра Бореля, що є обмеженою для обмежених множин на дійсній прямій є мірою Лебега — Стілтьєса для деякої неспадної функції.

Іноді також використовуються терміни '''інтеграл Лебега — Радона''' або просто '''інтеграл Радона'''. Названий на честь [[Анрі Леон Лебег|Анрі Лебега]], Томаса Стілтьєса і Йогана Радона. Інтеграл Лебега — Стілтьєса широко застосовується у [[Теорія ймовірностей|теорії ймовірностей]], зокрема [[Випадковий процес|теорії стохастичних процесів]] і в деяких розділах математичного аналізу, наприклад [[Теорія потенціалу|теорії потенціалу]].

==Означення==

=== Міра Лебега — Стілтьєса ===
Нехай {{mvar|g}} є монотонно неспадною і [[Неперервна функція|неперервною справа]] функцією на інтервалі {{math|[''a'', ''b'']}}. Множина інтервалів {{math|(''s'', ''t'']}}, де {{math|''a'' ≤ ''s'' < ''t'' ≤ ''b''}}  разом із [[Синґлетон (математика)|одноточковою множиною]] {{math|{''a''<nowiki>}</nowiki>}} і [[Порожня множина|порожньою множиною]] утворює [[Напівкільце|напівкільце множин]].  Нехай за означенням {{math|''w''((''s'', ''t'']) {{=}} ''g''(''t'') − ''g''(''s'')}} і {{math|''w''({''a''}) {{=}} 0}}. Подібно можна розглядати випадок коли {{mvar|g}} є неперервною зліва, {{math|''w''([''s'',''t'')) {{=}} ''g''(''t'') − ''g''(''s'')}} і {{math|''w''({''b''}) {{=}} 0}}. 

Функція {{math|''w''}} є (''σ''-адитивною) мірою на цьому напівкільці. Справді функція є невід'ємною і адитивною. Нехай <math>(s_n,\ t_n],\quad n \geqslant 1</math> є послідовністю інтервалів перетин кожної пари яких є порожньою множиною і <math>\bigsqcup_{n=1}^\infty (s_n,t_n] = (s,t].</math> Із означення напівкільця для кожного <math>N \geqslant 1</math> для різниці множин виконується рівність <math>(s,t] \setminus \bigsqcup_{n=1}^N (s_n,t_n] =
\bigsqcup_{n=1}^m S_n, </math> де всі <math>S_n</math> теж є напіввідкритими інтервалами із {{math|[''a'', ''b'']}}. Із адитивності {{math|''w''}} тоді: <math>w((s,t]) = \sum_{n=1}^N w((s_n,t_n]) + 
\sum_{n=1}^m w(S_n) \geqslant \sum_{n=1}^N w((s_n,t_n]). </math> Після граничного переходу також <math>w((s,t])  \geqslant \sum_{n=1}^\infty w((s_n,t_n]). </math>

Навпаки із неперервності справа функції {{mvar|g}} випливає, що для довільного <math>\varepsilon > 0</math> існує таке <math>s' \in (s,\ t),</math> що <math>g(s') - g(s) < \varepsilon </math> і тому <math>w((s,\ t]) - w((s',\ t]) = g(s') - g(s) < \varepsilon. </math> 

Якщо <math>t_n = b </math> для деякого <math>n \geqslant 1</math>   то позначимо <math>t'_n = b </math> для кожного <math>n \geqslant 1</math>, для інших інтервалів із неперервності справа функції {{mvar|g}} як і вище випливає для кожного <math>n \geqslant 1</math> існування такого <math>t'_n \in (t_n,\ b) </math>, що <math>g(t') - g(t) < \frac{\varepsilon}{2^n} </math> і тому також <math>w((s_n,\ t'_n]) - w((s_n,\ t_n]) = g(t') - g(t) < \frac{\varepsilon}{2^n}. </math>

Множина <math>[s',\ t] </math> є [[Компактний простір|компактною підмножиною]] <math>(s,\ t]</math>, відповідно вона [[Покриття множини|покривається]] множинами виду <math>(s_n,\ t'_n)</math> (і додатково можливо деякою множиною <math>(s_i,\ b]</math> якщо <math>t'_i = b </math>;  ця множина теж є [[Відкрита множина|відкритою]] у [[Топологічний простір|топології]] на  {{math|[''a'', ''b'']}}), а тому і скінченною кількістю таких множин. Звідси зокрема для деякого <math>N \geqslant 1</math>:

:<math>w((s',\ t]) \leqslant \sum_{n=1}^N w((s_n,\ t'_n]) \leqslant \sum_{n=1}^\infty w((s_n,\ t'_n]). </math>

Із попередніх нерівностей також <math>w((s,\ t]) < w((s',\ t]) + \varepsilon </math> і <math>w((s_n,\ t'_n]) <  w((s_n,\ t_n]) + \frac{\varepsilon}{2^n} </math> тому 

:<math>w((s,\ t]) < w((s',\ t]) + \varepsilon <\sum_{n=1}^\infty  w((s_n,\ t_n]) + \frac{\varepsilon}{2^n} + \varepsilon < \sum_{n=1}^\infty  w((s_n,\ t_n]) + 2\varepsilon. </math>

Оскільки <math>\varepsilon > 0</math> є довільним, то <math>w((s,\ t]) \leqslant \sum_{n=1}^\infty  w((s_n,\ t_n])  </math> і враховуючи доведену вище протилежну нерівність остаточно <math>w((s,\ t]) = \sum_{n=1}^\infty  w((s_n,\ t_n]). </math>

Оскільки {{math|''w''}} є (''σ''-адитивною) мірою на цьому напівкільці то згідно [[Теорема Каратеодорі про продовження міри|теореми Каратеодорі про продовження]], існує єдина міра {{math|''μ<sub>g</sub>''}} на [[Борелівська сигма-алгебра|борелівських підмножинах]] інтервалу {{math|[''a'', ''b'']}}, яка узгоджується із {{mvar|w}} на кожному інтервалі {{mvar|I}}. Міра {{math|''μ<sub>g</sub>''}}  одержується із [[Зовнішня міра|зовнішньої міри]] заданої як

:<math>\mu_g(E) = \inf\left\{\sum_i \mu_g(I_i) \ : \  E\subset \bigcup_i I_i \right\}</math>

де [[інфімум]] береться по всіх [[Покриття множини|покриттях]] множини {{mvar|E}} [[Зліченна множина|зліченною]] кількістю напіввідкритих інтервалів. Обмеження цієї зовнішньої міри на ''σ''-алгебру вимірних множин, яка включає борелівську ''σ''-алгебру є [[Локально скінченна міра|локально скінченною]] і [[Сигма-скінченна міра|''σ''-скінченною]] мірою. Ця міра називається '''мірою Лебега — Стілтьєса''' для функції {{mvar|g}}.

=== Інтеграл Лебега — Стілтьєса ===
Нехай спершу &thinsp;<math>f : \left[a, b\right] \rightarrow \mathbb R</math>&nbsp; є [[вимірна функція|вимірною]] [[міра Бореля|за Борелем]] і [[обмежена функція|обмеженою]], а &thinsp;<math>g : \left[a, b\right] \rightarrow \mathbb R</math>&nbsp; є [[монотонна функція|монотонною]] і [[Неперервна функція|неперервною справа]]. Якщо {{mvar|g}} є неспадною то '''Інтеграл Лебега — Стілтьєса''' 

:<math>\int_a^b f(x)\,dg(x)</math>

за означенням є [[Інтеграл Лебега|інтегралом Лебега]] функції {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} щодо визначеної вище міри Лебега — Стілтьєса {{math|''μ<sub>g</sub>''}}. 

Якщо {{mvar|g}} є незростаючою, тоді за означенням

:<math>\int_a^b f(x)\,dg(x) := -\int_a^b f(x) \,d (-g)(x),</math>

де останній інтеграл визначений як вище.

Якщо функція {{mvar|g}} має [[Варіація функції|обмежену варіацію]] і {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} є [[Обмежена функція|обмеженою]], тоді можна записати

:<math>dg(x)=dg_1(x)-dg_2(x)</math>

де {{math|''g''<sub>1</sub>(''x'') {{=}} ''V''{{su|b=''a''|p=&nbsp;''x''}}''g''}} є [[Варіація функції|повною варіацією]] функції {{mvar|g}} на інтервалі {{math|[''a'', ''x'']}}, а {{math|''g''<sub>2</sub>(''x'') {{=}} ''g''<sub>1</sub>(''x'') − ''g''(''x'')}}. Функції {{math|''g''<sub>1</sub>}} і {{math|''g''<sub>2</sub>}} є монотонно неспадними. У цьому випадку інтеграл Лебега — Стілтьєса щодо {{mvar|g}} за означенням є рівним:

:<math>\int_a^b f(x)\,dg(x) = \int_a^b f(x)\,dg_1(x)-\int_a^b f(x)\,dg_2(x),</math>

де останні два інтеграли визначені, як і вище.

===Інтеграл Деніела===
Альтернативно {{harv|Hewitt|Stromberg|1965}} інтеграл Лебега — Стілтьєса можна розглядати як [[Інтеграл Даніелла|інтеграл Даніела]], що розширює звичайний [[Інтеграл Стілтьєса|інтеграл Рімана — Стілтьєса]].  Нехай {{mvar|g}} є неспадною неперервною справа функцією на {{math|[''a'', ''b'']}}, і {{math|''I''(&thinsp;''f''&thinsp;)}} позначає інтеграл Рімана — Стілтьєса:

:<math>I(f) = \int_a^b f(x)\,dg(x)</math>

для всіх неперервних функцій {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}}. [[функціонал]] {{mvar|I}} задає [[Міра Радона|міру Радона]] на {{math|[''a'', ''b'']}}.  Цей функціонал можна продовжити на клас всіх невід'ємних функцій за правилом:

:<math>\begin{align}
\overline{I}(h) &= \sup \left \{I(f) \ : \ f\in C[a,b], 0\le f\le h \right \} \\
\overline{\overline{I}}(h) &= \inf \left \{I(f) \ : \ f \in C[a,b], h\le f \right \}.
\end{align}</math>

Для вимірних за Борелем функцій:

:<math>\overline{I}(h) = \overline{\overline{I}}(h),</math>

і будь який із цих функціоналів тоді визначає інтеграл Лебега — Стілтьєса функції {{mvar|h}}. Зовнішня міра {{math|''μ<sub>g</sub>''}} тоді визначається як

:<math>\mu_g(A) = \overline{\overline{I}}(\chi_A)</math>

де {{math|''χ<sub>A</sub>''}} є [[Характеристична функція|характеристичною функцією]] множини {{mvar|A}}.

Випадок функцій обмеженої варіації можна, як вище звести до попереднього за допомогою розкладу на додатну і від'ємну варіації.

==Приклад==
Нехай {{math|&thinsp;''γ'' : [''a'', ''b''] → '''R'''<sup>2</sup>}} є [[Довжина кривої|спрямлюваною кривою]] на площині і {{math|&thinsp;''ρ'' : '''R'''<sup>2</sup> → [0, ∞)}} є вимірною за Борелем. Тоді можна розглянути довжину {{mvar|γ}} щодо евклідової метрики зваженої на ρ:

:<math>\int_a^b \rho(\gamma(t))\,d\ell(t),</math>

де <math>\ell(t)</math> є довжиною кривої {{mvar|γ}} обмеженої на {{math|[''a'', ''t'']}}. Іноді це поняття називається {{mvar|ρ}}-довжиною кривої {{mvar|γ}}. Дане поняття має багато застосовань: наприклад на глинистих поверхнях швидкість із якою рухається особа залежить від глибини глинистої поверхні. Якщо {{math|&thinsp;''ρ''(''z'')}} позначає обернене до швидкості у точці {{mvar|z}}, тоді {{mvar|ρ}}-довжина {{mvar|γ}} є часом необхідним щоб пройти {{mvar|γ}}. Також {{mvar|ρ}}-довжина використовується для поняття екстремальної довжини, що застосовується у теорії [[Конформне відображення|конформних відображень]].

==Інтегрування частинами==
Функція {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} називається "регулярною" у точці {{mvar|a}} якщо у цій точці існують границі справа і зліва {{math|''f''&thinsp;(''a''+)}} і {{math|''f''&thinsp;(''a''−)}}  і також:

:<math>f(a)=\frac{f(a-)+f(a+)}{2}.</math>

Для двох функцій {{mvar|U}} і {{mvar|V}}, що мають обмежену варіацію, якщо у кожній точці або хоча б одна з функцій {{mvar|U}} і {{mvar|V}} є неперервною або {{mvar|U}} і {{mvar|V}} обидві є регулярними, тоді справедливою є формула [[інтегрування частинами]] для інтеграла Лебега — Стілтьєса:<ref>{{cite journal |last=Hewitt |first=Edwin |date=May 1960  |title=Integration by Parts for Stieltjes Integrals |url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1960-05_67_5/page/419 |journal=The American Mathematical Monthly |volume=67 |issue=5 |pages=419–423  |jstor=2309287 |doi=10.2307/2309287 }}</ref>

:<math>\int_a^b U\,dV+\int_a^b V\,dU = U(b+)V(b+)-U(a-)V(a-), \qquad -\infty < < b < \infty.</math>

Тут міра Лебега — Стілтьєса є асоційованою із неперервними справа версіями функцій {{mvar|U}} і {{mvar|V}}; тобто із функціями <math display="inline">\tilde U(x) = \lim_{t\to x^+} U(t)</math> і аналогічно для <math>\tilde V(x).</math> Обмежений інтервал (''a, b'') можна замінити необмеженими інтервалами (-∞, ''b''), (''a'', ∞) або (-∞, ∞) якщо {{mvar|U}} і {{mvar|V}} мають обмежену варіацію на відповідному інтервалі. Також можна розглядати [[Комплекснозначна функція|комплекснозначні функції]].

Згідно альтернативного результату, що має важливе значення у теорії стохастичного інтегріування для двох функцій {{mvar|U}} і {{mvar|V}} із обмеженою варіацією, які є [[Неперервна справа функція з лівосторонніми границями|неперервними справа і мають ліві границі]] (тобто є càdlàg-функціями):

:<math>U(t)V(t) = U(0)V(0) + \int_{(0,t]} U(s-)\,dV(s)+\int_{(0,t]} V(s-)\,dU(s)+\sum_{u\in (0,t]} \Delta U_u \Delta V_u,</math>

де {{math|1=Δ''U<sub>t</sub>'' = ''U''(''t'') − ''U''(''t''−)}}. 

==Пов'язані поняття==

===Інтеграл Лебега===
Якщо {{math|''g''(''x'') {{=}} ''x''}} для всіх дійсних {{mvar|x}}, тоді {{math|''μ<sub>g</sub>''}} є [[Міра Лебега|мірою Лебега]] і інтеграл Лебега — Стілтьєса {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} щодо {{mvar|g}} є еквівалентним [[Інтеграл Лебега|інтегралу Лебега]] {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}}.

===Іінтеграл Рімана — Стілтьєса і теорія ймовірностей===
Якщо {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} є [[неперервна функція|неперервною]] дійснозначною функцією дійсної змінної і {{mvar|v}} є неспадною дійсною функцією, інтеграл Лебега — Стілтьєса є еквівалентним [[Інтеграл Стілтьєса|інтегралу Стілтьєса]].

Інтеграл Стілтьєса найчастіше використовується у [[Теорія ймовірностей|теорії ймовірностей]] де {{mvar|v}} є [[Функція розподілу ймовірностей|функцією розподілу ймовірностей]] [[Випадкова величина|випадкової змінної]] {{mvar|X}}. Тоді зокрема:
:<math>\int_{-\infty}^\infty f(x) \, dv(x) = \mathrm{E}[f(X)].</math>

== Багатовимірний інтеграл Лебега — Стілтьєса ==

Найчастіше на практиці розглядають одновимірний випадок але можна також дати означення і для вимірних випадків.

Нехай функція {{mvar|g (''x'', ''y'')}} від двох змінних задовольняє властивості:

*Якщо <math>x_1\leqslant y_1</math> і <math>x_2\leqslant y_2</math> тоді <math>g(y_1,y_2)-g(x_1,y_2)-g(y_1,x_2)+g(x_1,x_2)\geqslant 0.</math>
* {{mvar|g (''x'', ''y'')}} є неперервною справа по кожній окремій змінній.

Тоді для напіввідкритих [[прямокутник]]ів можна визначити:

:<math>\mu_g((x_1,x_2]\times (y_1,y_2])=g(y_1,y_2)-g(x_1,y_2)-g(y_1,x_2)+g(x_1,x_2).</math>

Напіввідкриті прямокутники <math>(x_1,x_2]\times (y_1,y_2]</math> разом із порожньою множиною утворюють напівкільце множин і <math>\mu_g</math> є σ—адитивною мірою на ньому. Відповідно аналогічно до одновимірного випадку згідно теореми Каратеодорі цю міру можна продовжити на σ—алгебру, що містить σ—алгебру Бореля. Інтеграл Лебега по цій мірі і називається '''двовимірним інтегралом Лебега — Стілтьєса.'''

Як частковий випадок, якщо {{mvar|g, f}} є неспадними неперервними справа функціями однієї дійсної змінної, то можна взяти
:<math>\mu((x_1,x_2]\times (y_1,y_2])=(g(y_2) - g(y_1)) \cdot (f(x_2)-f(x_1)).</math> 
Цей випадок також дає зрозуміти першу умову на функції для двовимірного випадку.

Для вищих розмірностей розглядаються напіввідкриті [[паралелепіпед]]и 

:<math>(x'_1,x''_1] \times (x'_2,x''_2] \times \ldots \times (x'_n,x''_n].</math> 
Вони із порожньою множиною теж утворюю напівкільце. 

Функція <math>g(x_1,\ldots,x_n)</math>, що визначає міру Лебега — Стілтьєса має бути неперервною справа по всіх аргументах. Додатково вона повинна задовольняти умову подібну до двовимірного випадку, яку теж найпростіше отримати із часткового випадку неспадних і неперервних справа функцій <math>g(x_1),\ldots,g(x_n)</math> і визначення міри як 

:<math>\mu_g((x'_1,x''_1]\times \ldots \times (x'_n,x''_n])=(g_1(x''_1) - g_1(x'_1)) \cdot \ldots \cdot (g_n(x''_n) - g_n(x'_n)).</math>

Явно умови для функції <math>g(x_1,\ldots,x_n)</math> можна записати так:

*Якщо <math>x'_i\leqslant x''_i</math> для всіх <math>i \in \{1,\ldots,n\}</math> то <math>\sum_{j=1}^{2^n} (-1)^{\lambda(j)} g(X_j) \geqslant 0.</math> У цій формулі <math>X_j</math> позначає вершини паралелепіпеда <math>[x'_1,x''_1] \times [x'_2,x''_2] \times \ldots \times [x'_n,x''_n]</math> (загальна кількість яких є рівною <math>2^n</math>). У загальному кожна така вершина має вигляд <math>X_j = (y_1,y_2,\ldots,y_n)</math> де кожна <math>y_i</math> є рівною <math>x'_i</math> або <math>x''_i</math>. <math>\lambda(j)</math> у формулі позначає кількість тих <math>y_i</math> у такому записі точки <math>X_j</math> для яких <math>y_i = x'_i,</math> тобто кількість тих координат які на відповідній вершині мають найменше значення на паралелепіпеді.
* <math>g(x_1,\ldots,x_n)</math> є неперервною справа по кожній окремій змінній.

Використовуючи позначення як і вище можна ввести міру:

:<math>\mu_g((x'_1,x''_1]\times \ldots \times (x'_n,x''_n])= \sum_{j=1}^{2^n} (-1)^{\lambda(j)} g(X_j) .</math>

<math>\mu_g</math> є σ—адитивною мірою і, знову ж,  згідно теореми Каратеодорі цю міру можна продовжити на σ—алгебру, що містить σ—алгебру Бореля. Інтеграл Лебега по цій мірі називається '''''n''-вимірним інтегралом Лебега — Стілтьєса.'''

== Примітки ==
{{reflist}}

== Див. також ==
* [[Інтеграл Даніелла]]
* [[Інтеграл Лебега]]
* [[Інтеграл Стілтьєса]]

== Література ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Банах.Диференціальне та інтегральне числення}}
* {{Банах. КФА Лінійні операції}}
* {{Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1}}
* {{Дороговцев.Теорія міри}}
*{{Citation|last1=Halmos|first1=Paul R.|title=Measure Theory|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|isbn=978-0-387-90088-9|year=1974|url-access=registration|url=https://archive.org/details/measuretheory00halm}}
*{{citation|title=Real and abstract analysis|publisher=Springer-Verlag|first1=Edwin| last1=Hewitt| first2=Karl| last2=Stromberg |year=1965}}.
*Saks, Stanislaw (1937) ''[http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=7&wyd=10 {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120204043115/http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=7&wyd=10 |date=4 лютого 2012 }} Theory of the Integral.]''
*Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. ''Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach'', Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. {{isbn|0-486-63519-8}}.
*{{cite book|author = S. J. Taylor|year=1973|title=Introduction to measure and integration|url = https://archive.org/details/introductiontome0000tayl_s0m4|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=9780521098045}}

[[Категорія:Інтеграли]]
[[Категорія:Математичний аналіз]]