Перегляд вихідного коду сторінки Інтегральна теорема Коші

{{Комплексний аналіз}}
'''Інтегра́льна теоре́ма Коші́''' (також теорема Коші — Гурса) — одна з основних [[Теорема|теорем]] комплексного аналізу. Перші варіанти теореми сформулював та довів [[Коші Оґюстен-Луї|Оґюстен-Луї Коші]] у 1825 році, при слабших вимогах теорему довів французький математик Едуард Гурса у 1883 році. 

== Формулювання теореми у варіанті Коші ==
Нехай <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\,</math> диференційовна в [[Однозв'язна область|однозв’язній області]] <math>D \subset \mathbb{C}</math> і її [[похідна]] неперервна в цій області (у будь-якій точці цієї області). Тоді [[інтеграл]] від <math>f(z)\,</math> по будь-якій [[замкнена крива|замкненій]] простій кривій <math>\gamma\,</math>, яка лежить в області <math>D\,</math>, дорівнює нулю:
:<math>\int_{\gamma}f(z)dz=0\,</math>

=== Доведення ===
Згідно з властивістю інтегралу:
:<math>\int_{\gamma}f(z)dz=\int_{\gamma}udx-vdy+i\int_{\gamma}udy+vdx\,</math>
Оскільки <math>f(z)</math> має неперервну похідну першого порядку в області <math>D</math>, то частинні похідні від U та V також є неперервними в області <math>D.</math>

Згідно [[Теорема Гріна|теореми Гріна]] тоді інтеграли по контуру можна замінити на інтеграли по області (позначимо її ''R''), яку обмежує цей контур, а саме:
:<math>\int_{\gamma}f(z)dz=\int_{\gamma}udx-vdy+i\int_{\gamma}udy+vdx 
= \iint\limits_R \left( - {\partial v\over \partial x} - {\partial u\over \partial y} \right) dA +
i\iint\limits_R \left( {\partial u\over \partial x} - {\partial v\over \partial y} \right)  dA. </math>
Оскільки <math>f(z)</math> є голоморфною функцією, то виконуються [[Умови Коші — Рімана|умова Коші-Рімана]]:
:<math>\frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial v}{\partial y} </math> і
:<math>\frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x}. </math>

Із цих рівностей випливає рівність нулю двох інтегралів у правій частині інтегральної рівності, а тому також <math>\int_{\gamma}f(z)dz=0.</math>

== Варіант теореми Коші — Гурса для трикутників ==
Якщо функція ''f'' є голоморфною в області <math>D \subset \mathbb{C}</math>, то інтеграл від ''f'' no орієнтованій границі будь-якого трикутника <math>\Delta \subset D</math> є рівним 0:

:<math>\int_{\partial \Delta} f(z) dz=0.</math>
У даному варіанті не вимагається неперервність похідної у області.

=== Доведення ===
Нехай твердження теореми не виконується і існує трикутник <math>\Delta \subset D</math> такий, що
:<math>\left | \int_{\partial \Delta}f(z)dz \right | = M > 0.</math>

Припустимо, що границя <math>\partial \Delta,</math> яка є кусково гладкою кривою) є орієнтована проти годинникової стрілки.

Розіб'ємо трикутник <math>\Delta</math> на чотири трикутники [[середня лінія|середніми лініями]] і введемо на границях цих трикутників орієнтацію проти годинникової стрілки.

Очевидно, що інтеграл від ''f'' по <math>\partial \Delta</math> дорівнює сумі інтегралів по границях малих трикутників, бо інтеграли по середніх лініях беруться двічі в протилежних напрямках і тому взаємно скорочуються, а інші границі утворюють <math>\partial \Delta</math> із відповідною орієнтацією. Тому знайдеться хоча б один малий трикутник <math>\Delta_1</math> для якого

:<math>\left | \int_{\partial \Delta_1}f(z)dz \right | \geqslant {M \over 4}.</math>

Трикутник <math>\Delta_1</math> знову можна розбити середніми лініями на чотири трикутника і, як і вище, серед них є хоча б один <math>\Delta_2</math> такий, що
:<math>\left | \int_{\partial \Delta_2}f(z)dz \right | \geqslant {M \over 4^2}.</math>

За індукцією побудуємо послідовність вкладених один в одного трикутників таких, що для інтеграла по границі <math>n</math>-го трикутника виконується нерівність:
:<math>\left | \int_{\partial \Delta_n}f(z)dz \right | \geqslant {M \over 4^n}.</math>

Послідовність вкладених трикутників <math>\Delta_n</math> має спільну точку <math>z_0.</math> Очевидно <math>z_0 \in \Delta \subset D</math> і функція ''f'' є голоморфною в точці <math>z_0.</math> Тому з означення комплексної похідної для будь-якого <math>\varepsilon > 0</math> знайдеться <math>\delta > 0</math> таке, що для всіх точок околу <math>V = \{|z - z_0| < \delta \}</math> у рівності
:<math>f(z) - f(z_0) = f'(z_0) (z - z_0) + g(z) (z - z_0)</math>
для функції ''g'' виконується нерівність <math>|g(z)| < \varepsilon.</math>

Усі трикутники побудованої послідовності починаючи з деякого <math>\Delta_n</math> належать околу ''V''. Тому 
:<math>\int_{\partial \Delta_n} f(z) dz= \int_{\partial \Delta_n} f(z_0) dz + \int_{\partial \Delta_n} f'(z_0) (z - z_0) dz  + \int_{\partial \Delta_n} g(z) (z - z_0) dz.</math>

Але перші два інтеграли справа є рівними нулю оскільки множники <math>f(z_0)</math> і <math>f'(z_0)</math> можна винести за знак інтеграла, а інтеграли від 1 і <math>z - z_0</math> по замкнутому контуру <math>\partial \Delta_n</math> є рівними 0.

Оскільки <math>|g(z)| < \varepsilon</math> для всіх <math>z \in \partial \Delta_n</math> і також для всіх <math>z \in \partial \Delta_n</math> величина <math>z - z_0</math> не перевищує периметра <math>P(\Delta_n)</math> трикутника <math>\Delta_n,</math> то
:<math>\left | \int_{\partial \Delta_n} f(z) dz \right |= \left | \int_{\partial \Delta_n} g(z) (z - z_0) dz \right | < \varepsilon (P(\Delta_n))^2. </math>

Але за побудовою <math>P(\Delta_n) = { P(\Delta) \over 2^n},</math> де <math>P(\Delta)</math> позначає [[Периметр|периметр трикутника]] <math>\Delta,</math> тож також
:<math>\left | \int_{\partial \Delta_n} f(z) dz \right | < \varepsilon  { (P(\Delta))^2  \over 4^n}</math>
 
і враховуючи, що <math>\left | \int_{\partial \Delta_n}f(z)dz \right | \geqslant {M \over 4^n}</math> остаточно
:<math>M < \varepsilon (P(\Delta))^2.</math>

Із довільності числа <math>\varepsilon</math> випливає, що ''M'' = 0 всупереч припущенню.

=== Узагальнення для довільних ламаних ліній ===
Нехай тепер <math>a_0,\ldots a_m \in D</math> є точками у області <math>D \subset \mathbb{C}</math> на якій функція є голоморфною і замкнута [[опукла оболонка]] цих точок є [[Підмножина|підмножиною]] <math>D.</math> Позначимо <math>L_{a_0,\ldots, a_m}</math> орієнтовану замкнуту ламану лінію (можливо із самоперетинами) одержану із відрізків, що сполучають точки <math>a_i</math> і <math>a_{i+1}</math> (із відповідним напрямком) і відрізку із точки <math>a_m</math> до точки <math>a_0.</math> Тоді:
:<math>\int_{L_{a_0,\ldots, a_m}} f(z) dz=0.</math>
Для <math>m =0</math> (коли ламана лінія є точкою) і <math>m =1</math> (коли ламана лінія є відрізком, який проходиться спершу в одному напрямку, а потім в протилежному) твердження є очевидним. Випадок <math>m =2</math> є випадком трикутників, який доведений вище. Нехай тепер <math>m > 2</math> і припустимо за індукцією, що твердження доведено для всіх ламаних ліній для <math>m -1.</math> Тоді можна записати:
:<math>\int_{L_{a_0,\ldots, a_m}} f(z) dz= \int_{L_{a_0,\ldots, a_{m-1}}} f(z) + \int_{L_{a_{m-1},a_{m}, a_0}} f(z)</math>
оскільки відрізок, що з'єднує точки <math>a_0</math> і <math>a_{m-1}</math> у двох інтегралах з правої сторони проходять у різних напрямках і відповідні значення інтегралів скорочуються, а всі інші відрізки у лівій і правій стороні є однаковими із врахуванням напрямку. Але згідно припущення індукції обидва інтеграли з правої сторони є рівними нулю, що й доводить твердження.

=== Первісна і теорема Коші — Гурса у крузі ===
Якщо <math>D(z_0, r)</math> є відкритим [[Круг|кругом]] із центром у точці <math>z_0</math> і радіусом <math>r</math> і функція ''f'' є голоморфною в цьому крузі, то можна ввести функцію <math>F(z) = \int_{[z_0,z]} f(\xi) d\xi.</math> Із теореми Коші — Гурса для трикутників легко можна довести, що <math>F(z)</math> є первісною для <math>f(z),</math>  тобто <math>F'(z) = f(z).</math>

Також із твердження теореми для ламаних ліній випливає, що для будь-яких точок <math>z_1,z_2 \in D(z_0, r)</math> і спрямлюваної кривої <math>\gamma : [0,1] \to D(z_0,r)</math> для якої <math>\gamma(0) = z_1,\ \gamma(1) = z_2</math> виконується рівність <math>\int_{\gamma} f(z) dz = F(z_2) - F(z_1)</math>. 

Зокрема, якщо <math>\gamma_1 : [0,1] \to D(z_0,r)</math> і <math>\gamma_2 : [0,1] \to D(z_0,r)</math> є спрямлюваними кривими із однаковими початковими і кінцевими точками то:
:<math>\int_{\gamma_1} f(z)\ dz = \int_{\gamma_2} f(z)\ dz.</math>
Це твердження є варіантом загальної теореми Коші — Гурса для круга.

== Теорема Коші — Гурса для гомотопних шляхів і контурів ==
Нехай функція ''f'' є голоморфною у області ''U'' і <math>\gamma_0 : [a,b] \rightarrow U</math> і <math>\gamma_1 : [a,b] \rightarrow U</math> є [[Гомотопія|гомотопними]] (із гомотопією, що фіксує кінцеві точки) і спрямлюваними у ''U''. Тоді: 
:<math>\int_{\gamma_0} f(z)\ dz = \int_{\gamma_1} f(z)\ dz.</math>

=== Доведення ===
Нехай <math>\gamma: [0,1] \times [a,b] \rightarrow U</math> є гомотопією із <math>\gamma_0</math> у <math>\gamma_1</math>. Для будь-яких <math>s \in [0,1]</math> і <math>t \in [a,b]</math> точка <math>\gamma(s,t)</math> належить <math>U</math>. Із компактності випливає існування радіуса <math>r>0</math> для якого <math>D(\gamma(s,t),r) \subset U</math> для всіх <math>s \in [0,1]</math> і <math>t \in [a,b]</math>. Оскільки відображення <math>\gamma</math> є неперервним на компактній множині то воно є рівномірно неперервним. Зокрема існує <math>\delta > 0</math> для якого

:<math>|\gamma(s',t') - \gamma(s,t)| \leqslant \frac{r}{4}</math>

для всіх <math>s,s' \in [0,1]</math> і <math>t,t' \in [a,b]</math> для яких <math>|s-s'| \leqslant \delta</math> і <math>|t-t'| \leqslant \delta</math>.
Нехай <math>0 = s_0 < \dots < s_n = 1</math> і <math>a = t_0 < \dots < t_m = b</math> є розбиттями відповідних відрізків для яких <math>{|s_i - s_{i-1}| \leqslant \delta}</math> і <math>{|t_j-t_{j-1}| \leqslant \delta}</math> для всіх <math>1 \leqslant i \leqslant n</math> і <math>1 \leqslant j \leqslant m</math>. Для кожного <math>i</math> і <math>j</math> позначимо <math>C_{i,j}</math> замкнутий контур із точок

:<math>C_{i,j} := \gamma_{\gamma(s_i,t_{j-1}) \rightarrow \gamma(s_i,t_j) \rightarrow \gamma(s_{i-1},t_j) \rightarrow \gamma(s_{i-1},t_{j-1}) \rightarrow \gamma(s_i,t_{j-1})}.</math>

За побудовою довжина цього контура є меншою, ніж <math>\frac{r}{4}+\frac{r}{4}+\frac{r}{4}+\frac{r}{4} = r,</math> тож контур цілком міститься у крузі <math>D( \gamma(s_i,t_i), r).</math> 

Тому із попереднього
:<math>\int_{C_{i,j}} f(z)\ dz = 0</math>

для всіх <math>1 \leqslant i \leqslant n</math> і <math>1 \leqslant j \leqslant m</math>. Просумувавши ці рівності для всіх <math>i</math> і <math>j</math>, враховуючи фіксацію кінцевих точок при гомотопії і здійснивши всі скорочення одержуємо, що 

:<math>\int_{\gamma_{\gamma(0,t_0) \rightarrow \gamma(0, t_1) \rightarrow \dots \rightarrow \gamma(0, t_n)}} f(z)\ dz = \int_{\gamma_{\gamma(1,t_0) \rightarrow \gamma(1, t_1) \rightarrow \dots \rightarrow \gamma(1, t_n)}} f(z)\ dz </math>

Далі можна записати рівність

:<math>\int_{\gamma_{\gamma(0,t_{i-1}) \rightarrow \gamma(0,t_i)}} f(z)\ dz = \int_{\gamma_{0,[t_{i-1},t_i]}} f(z)\ dz</math>

для <math>i=1,\dots,n</math>, де <math>\gamma_{0,[t_{i-1},t_i]}: [t_{i-1},t_i] \rightarrow U</math> є обмеженням <math>\gamma_0: [a,b] \rightarrow U</math> на <math>[t_{i-1},t_i]</math> і так само для <math>\gamma_1</math>. Дана рівність випливає із теореми Коші — Гурса для кругів, оскільки і відрізок, що сполучає точки <math>\gamma(0,t_{i-1})</math> і <math>\gamma(0,t_{i})</math> і крива <math>\gamma_{0,[t_{i-1},t_i]}</math> за побудовою належать кругу <math>D( \gamma(s_0,t_i), r).</math>

Разом із цього отримуємо

:<math>\int_{\gamma_0} f(z)\ dz = \int_{\gamma_1} f(z)\ dz.</math>

=== Твердження для гомотопних контурів ===
Із попереднього твердження випливає, зокрема, що якщо <math>\gamma</math> є стягуваним замкнутим спрямлюваним контуром у ''U'' то
:<math>\int_{\gamma} f(z)\ dz = 0.</math>
Дане твердження є наслідком того факту, що гомотопія із замкнутого контура <math>\gamma = \gamma_0: [a,b] \rightarrow U</math> на точку може завжди бути вибрана так, що вказаною точкою є точка <math>z_0 = \gamma(a) = \gamma(b)</math> і гомотопія є гомотопією, що фіксує кінцеві точки, тобто <math>\gamma_t (a) = \gamma_t (b) = z_0</math> і <math>\gamma_1 (s) = z_0</math> для всіх <math>t \in [a, b]</math> і всіх <math>s \in [a, b].</math> Тоді оскільки інтеграл по контуру виродженому у точку <math>z_0</math> є рівним нулю, то і інтеграл по контуру кінцевими точками якого є <math>z_0</math> і який є стягуваним до <math>z_0</math> за допомогою гомотопії, що фіксує кінцеві точки є рівним нулю.

Більш загально, якщо <math>\gamma_0, \gamma_1: [a,b] \rightarrow U</math> є замкнутими спрямлюваними контурами, що є гомотопними, як замкнуті контури (тобто при гомотопії усі проміжні криві <math>\gamma_t</math> теж є замкнутими контурами), то також 
:<math>\int_{\gamma_0} f(z)\ dz = \int_{\gamma_1} f(z)\ dz.</math>

=== Узагальнення для довільних неперервних шляхів ===
Подані вище варіанти теореми дозволяють ввести поняття комплексного інтегралу для довільних неперервних шляхів <math>\gamma : [a,b] \rightarrow U</math> (не обов'язково спрямлюваних). Для такого шляху із його компактності випливає існування такого розбиття <math>a = t_0 < \dots < t_m = b</math>, що всі відрізки виду <math>[\gamma(t_i),\gamma(t_{i+1})]</math> належать <math>U</math>. Тоді можна розглянути <math>\bar \gamma : [a,b] \rightarrow U</math> — ламану лінію із цих відрізків із необхідною параметризацією. Очевидно <math>\bar \gamma</math> є спрямлюваною кривою. 

Тоді можна взяти за означенням <math>\int_{\gamma} f(z)\ dz := \int_{\bar \gamma} f(z)\ dz.</math> Із теореми Коші — Гурса випливає незалежність значення інтегралу від вибору ламаної лінії  <math>\bar \gamma</math>.

Якщо тепер  <math>\gamma_0 : [a,b] \rightarrow U</math> і <math>\gamma_1 : [a,b] \rightarrow U</math> є [[Гомотопія|гомотопними]] (із гомотопією, що фіксує кінцеві точки) і неперервними, то із таким означенням інтегралу:
:<math>\int_{\gamma_0} f(z)\ dz = \int_{\gamma_1} f(z)\ dz.</math>

== Гомологічне формулювання теореми ==
Нехай <math>U</math> є областю і <math>\gamma_i</math> є замкнутими контурами, що належать <math>U</math>. Циклом називається формальна лінійна комбінація:

:<math>\Gamma = n_1\gamma_1 + n_2\gamma_2 + \ldots + n_r \gamma_r</math>

коефіцієнти якої <math>n_i</math> є [[Цілі числа|цілими числами]]. Множина усіх таких лінійних комбінацій для всіх можливих замкнутих контурів у <math>U</math> із очевидною операцією додавання утворює [[Абелева група|абелеву групу]].

На множині циклів можна ввести операцію інтегрування. А саме, якщо функція <math>f</math> є визначена на всіх контурах <math>\gamma_i</math>, що входять у цикл <math>\Gamma = n_1\gamma_1 + n_2\gamma_2 + \ldots + n_r \gamma_r</math> то за означенням:

:<math>\int_{\Gamma} f(z)\ dz = n_1\int_{\gamma_1} f(z)\ dz +\ldots + n_r\int_{\gamma_r} f(z)\ dz.</math>

Для довільної точки <math>z_0,</math>  що не лежить на контурі <math>\gamma</math> можна ввести [[індекс контуру відносно точки]], як 

:<math>I(\gamma,z_0) = {1 \over 2\pi i }\int_{\gamma} {1 \over z-z_0 } dz.</math> 

Цей індекс завжди є [[Цілі числа|цілим числом]]. Аналогічно як для інтеграла можна ввести індекс цикла відносно точки, що не належить жодному із контурів, що входять у цикл:

:<math>I(\Gamma,z_0) = {1 \over 2\pi i } \sum_{i=1}^r \int_{\gamma_i} {1 \over z-z_0 } dz.</math>

Нехай функція <math>f</math> є голоморфною на області <math>U</math>. Згідно гомологічного варіанту теореми Коші, якщо для деякого цикла  <math>\Gamma</math> і кожної точки <math>z_0,</math> що не належить <math>U</math> виконується рівність <math>I(\Gamma,z_0) = 0,</math> то також <math>\int_{\Gamma} f(z)\ dz = 0.</math>

== Наслідки ==
За допомогою теореми Коші доводиться справедливість [[Інтегральна формула Коші|інтегральної формули Коші]] та [[Основна теорема про лишки|основної теореми про лишки]].

== Див. також ==
* [[Теорема Морери]]
* [[Теорема Монтеля]]
* [[Інтегральна формула Коші]]
* [[Лишок]]
* [[Список об'єктів, названих на честь Оґюстена-Луї Коші]]

== Джерела ==
* {{Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч2}}
* {{Грищенко.ТФКЗ}}
*''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ. — Москва: Наука, 1969. — 577 с.
* Terry Tao. [https://terrytao.wordpress.com/2016/10/02/math-246a-notes-3-cauchys-theorem-and-its-consequences/ Math 246A, Notes 3: Cauchy’s theorem and its consequences] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210210075337/https://terrytao.wordpress.com/2016/10/02/math-246a-notes-3-cauchys-theorem-and-its-consequences/ |date=10 лютого 2021 }}

[[Категорія:Теореми в комплексному аналізі]]