Перегляд вихідного коду сторінки Інтегральна ознака Маклорена — Коші

{{Числення|expanded=Рядів}}
'''Інтегральна ознака Коші&nbsp;— Маклорена'''&nbsp;— [[ознаки збіжності|ознака збіжності]] спадного додатного [[Ряд (математика)|числового ряду]]. Ознака дає можливість звести перевірку збіжності ряду до перевірки збіжності [[Невласний інтеграл|невласного інтеграла]] відповідної функції на <math>[1,\infty)</math>. Останній часто може бути знайдений в явному вигляді.

== Формулювання теореми ==
{{теорема|Нехай для функції f(x) виконується:
# <math>\forall x: f(x)\geqslant 0</math> (функція набуває невід'ємних значень)
# <math>\forall x_1  \forall x_2:  f(x_1)>f(x_2) \Leftrightarrow x_1 < x_2</math> (функція монотонно спадає)
# <math>\forall n \in \N: f(n) = a_n</math> (відповідність функції члену ряду)
Тоді ряд <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> і невласний інтеграл <math>\int\limits_1^\infty\!f(x)\,dx</math> збігаються або розбігаються одночасно.}}

== Начерк доведення ==
[[Файл:Инт_признак_Коши.png|праворуч|300x300пкс]]
# Побудуємо на графіку f (x) східчасті фігури як показано на малюнку
# Площа більшої фігури дорівнює <math>S_b=f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n-1)</math>
# Площа меншої фігури дорівнює <math>S_s=f(2)+f(3)+f(4)+...+f(n)</math>
# Площа криволінійної трапеції під графіком функції дорівнює <math>S_{tr}=\int\limits_1^n f(x)\,dx</math>
# Отримуємо <math>S_s \leqslant S_{tr} \leqslant S_b \; \Rightarrow \; S_n - a_1 \leqslant \int\limits_1^n f(x)\,dx \leqslant S_{n-1}</math>
# Далі доводиться за допомогою [[Критерій збіжності знакододатних рядів|критерію збіжності знакододатних рядів]] .

== Повне доведення ==
<math>\forall b > 1</math><math>f(x)</math> [[Монотонна функція|монотонна]] на <math>[1, b]</math>

отже <math>\int\limits_1^b f(x) dx</math> збігається

<math>\forall x \in [n, n+1]</math> <math>f(n) \geqslant f(x) \geqslant f(n+1)</math>

<math>\forall n \in \N</math> <math>\int\limits_n^{n+1} f(n) dx = f(n) \geqslant \int\limits_n^{n+1} f(x) dx \geqslant f(n+1)</math>

<math>S_n = f(1) + ... + f(n) \geqslant \int\limits_1^{n+1} f(x) dx \geqslant S_{n+1}-f(1)</math>

<math>S_n</math> нестрого монотонно зростає

Позначимо <math>F(x) = \int\limits_1^x f(t) dt</math>

границі <math>S_n</math> і <math>F(x)</math>&nbsp;— скінченні числа, отже <math>S_n</math> і <math>F(x)</math> обмежені (ідея)

Нехай збігається інтеграл <math>\int\limits_1^\infty f(x) dx</math><math>\Rightarrow</math><math>F(x)</math> обмежена <math>\Rightarrow</math><math>S_n</math> обмежена <math>\Rightarrow</math><math>\exists \lim\limits_{n \to \infty} S_n</math>

Нехай тепер збігається сума <math>S_n</math><math>\Rightarrow</math><math>\forall n</math><math>\exists S \geqslant S_n</math><math>\Rightarrow</math><math>\forall n</math><math>S \geqslant \int\limits_1^{n+1} f(x) dx \geqslant \int\limits_1^b f(x) dx</math><math>\Rightarrow</math><math>F(b)</math> обмежена <math>\Rightarrow</math><math>\exists \lim\limits_{b \to +\infty} \int\limits_1^b f(x) dx</math>, оскільки якщо функція <math>f(x)</math> невід'ємна на деякому півінтервалі <math>[a,b)</math>, то для збіжності інтеграла <math>\int\limits_a^b f(x) dx </math> необхідно і достатньо, щоб усі інтеграли <math>\int\limits_a^c f(x) dx</math>, де <math>c \in [a, b)</math> були обмеженими. Теорему доведено.

== Приклади ==
* <math>\sum\frac1n</math> розбіжний, оскільки <math>\int\limits_1^\infty\frac1xdx=\ln x|_1^\infty=\infty</math> .
* <math>\sum\frac1{n^2}</math> збіжний, оскільки <math>\int\limits_1^\infty\frac1{x^2}dx=-\left.\frac1x\right|_1^\infty=1</math> .

== Оцінка залишку ряду ==
Інтегральна ознака Коші дозволяє оцінити [[Залишок ряду|залишок]] <math>r_n</math> знакододатного ряду. З отриманого в доведенні виразу

: <math>S_n - a_1 \leqslant \int\limits_1^n f(x)\,dx \leqslant S_{n-1}</math>

за допомогою нескладних перетворень отримуємо:

: <math>\int\limits_{n+1}^\infty f(x)\,dx \leqslant r_n \leqslant \int\limits_n^\infty f(x)\,dx \leqslant a_n + \int\limits_{n+1}^\infty f(x)\,dx</math> .

== Джерела ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}

{{Ознаки збіжності рядів}}
[[Категорія:Ознаки збіжності]]