Перегляд вихідного коду сторінки Інтеграли Френеля

'''Інтеграли Френеля''' ''S''(''x'') і ''C''(''x'')&nbsp;— це [[спеціальні функції]], названі на честь [[Огюстен Жан Френель|Огюстена Жана Френеля]], використовуються в [[Оптика|оптиці]]. Вони виникають при розрахунку [[Дифракція Френеля|дифракції Френеля]]. Визначаються як:

: <math>S(x)=\int\limits_0^x \sin(t^2)\,dt,\quad C(x)=\int\limits_0^x \cos(t^2)\,dt.</math>

Параметричний графік ''S''(''x'') і ''C''(''x'') дає криву на площині, що називається '''спіраль Корню''' або '''[[клотоїда]]'''.

== Розкладання у ряд ==
[[Файл:Fresnel Integrals (Normalised).svg|250px|thumb|
Нормализовані інтеграли Френеля, <span style="color: #b30000">''S''(''x'')</span> и <span style="color: #00b300">''C''(''x'')</span>. На цих кривих аргумент підінтегральних тригонометричних функцій дорівнює <math>\pi t^2 /2</math>, а не <math>t^2</math>, як на рисунку вище.]]

Інтеграли Френеля можуть бути представлені [[Ряд Тейлора|степеневими рядами]], що сходяться для всіх ''x'':

: <math>S(x)=\int\limits_0^x \sin(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!},</math>
: <math>C(x)=\int\limits_0^x \cos(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}.</math>

Деякі автори використовують як аргумент тригонометричних підінтегральных функцій <math>\frac{\pi}{2}t^2</math>. Отримані функції отримуються із означених вище, шляхом стискання графіка по осі ''Y'' у <math>\sqrt{\frac{2}{\pi}}</math> разів і розтягненням уздовж осі ''X'' у стільки ж разів.

== Спіраль Корню ==
[[Файл:Cornu Spiral.svg|250px|thumb|
Спіраль Корню (''x'',''y'')=(''C''(''t''), ''S''(''t'')). Спіраль прямує до центрів отворів за <math>t \rightarrow +\infty</math>.]]
{{основна стаття|Клотоїда}}
'''Спіраль Корню''', також відома як '''клотоїда''',&nbsp;— це крива, що є параметричним графіком ''S''(''t'') від ''C''(''t''). Спіраль Корню була придумана [[Марі Альфред Корню|Марі Альфредом Корню]] для полегшення розрахунку дифракції у прикладних задачах.

Оскільки,

: <math>C\,'(t)^2 + S\,'(t)^2 = \sin^2(t^2) + \cos^2(t^2) = 1, </math>

то у такій параметризації [[дотичний вектор]] має одиничну довжину, тому ''t'' є довгою кривою, що вимірюється від точки (0,0). Звідси, дві гілки спіралі мають нескінченну довжину.

[[Кривина]] цієї кривої у будь-якій точці пропорційна довжині дуги, що розміщується між цією точкою та [[Початок координат|початком координат]]. Завдяки цій властивості вона застосовується в будівництві доріг, оскільки [[кутове прискорення]] машини, що рухається по цій кривій з постійною швидкістю, буде залишатися сталим.

== Властивості ==

* ''C''(''x'') и ''S''(''x'')&nbsp;— непарні функції ''x''.

* Використовуючи розкладання в ряд, можна побудувати [[аналітичне продовження]] інтегралів Френеля на всю [[Комплексна площина|комплексну площину]]. Комплексні інтеграли Френеля виражаються через [[Функція помилок|функцію помилок]] як

:: <math>S(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{4} \left( \sqrt{i}\,\mathrm{erf}(\sqrt{i}\,x) + \sqrt{-i}\,\mathrm{erf}(\sqrt{-i}\,x) \right)</math>
:: <math>C(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{4} \left( \sqrt{-i}\,\mathrm{erf}(\sqrt{i}\,x) + \sqrt{i}\,\mathrm{erf}(\sqrt{-i}\,x) \right)</math>.

* Інтегралы Френеля не виражаються через [[елементарні функції]], окрім часткових випадків. [[Границя (математика)|Границя]] цих функцій при <math>x \rightarrow \infty</math> дорівнює

:: <math>\int\limits_{0}^{\infty} \cos t^2\,dt = \int\limits_{0}^{\infty} \sin t^2\,dt = \frac{\sqrt{2\pi}}{4} = \sqrt{\frac{\pi}{8}}.</math>

=== Обчислення ===
[[Файл:Fresnel Integral Contour.svg|right|250px|thumb|Контур, що використовується для обчислення граничного значення інтегралів Френеля.]]
Границі функцій ''C'' и ''S'' за <math>x \rightarrow \infty</math> можуть бути знайдені за допомогою інтегрування по контуру. Для цього обраховується контурний інтеграл функції

: <math>e^{-\frac{1}{2}t^2}</math>

по границі сектору на комплексній площині, що утворений віссю абсцис, променем <math>y=x</math>, <math>x \geqslant 0</math> і колом з радіусом ''R'' з центром на початку координат.

При <math>R \rightarrow \infty</math> інтеграл по дузі прямує до 0, інтеграл по дійсній осі прямує до значення [[інтеграл Пуасона|інтегралу Пуасона]]

: <math> \int\limits_{0}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}t^2}dt = 
\sqrt{\frac {\pi}{2}}, </math>

і, після деяких перетворень, інтеграл уздовж променя, що залишився, може бути виражений через граничне значення інтегралу Френеля.

== Див. також ==
* [[Дифракція Френеля]]
* [[Функція Доусона]]
* [[Узагальнені інтеграли Френеля]]

== Література ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}

== Примітки ==
* ''Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds.'' Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.&nbsp;— New York: Dover, 1972. ''[http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_297.htm (См. часть 7)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090813082800/http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_297.htm |date=13 серпня 2009 }}'' {{ref-en}}
{{Примітки}}

== Посилання ==
* {{MathWorld|title=Fresnel Integrals|urlname=FresnelIntegrals}} {{ref-en}}
* {{MathWorld|title=Cornu Spiral|urlname=CornuSpiral}} {{ref-en}}
* R. Nave, [http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/phyopt/cornu.html#c1 The Cornu spiral] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20091115123923/http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/phyopt/cornu.html#c1 |date=15 листопада 2009 }}, ''Hyperphysics'' (2002) ''(Використовуює πt²/2 замість t².)'' {{ref-en}}
* {{cite web
 |url         = http://fy.chalmers.se/LISEBERG/eng/loop_pe.html
 |title       = Roller Coaster Loop Shapes
 |accessdate  = 2008-08-13
 |deadurl     = yes
 |archiveurl  = https://web.archive.org/web/20080923190052/http://fy.chalmers.se/LISEBERG/eng/loop_pe.html
 |archivedate = 2008-09-23
}} {{ref-en}}

[[Категорія:Оптика]]
[[Категорія:Спеціальні функції]]