Перегляд вихідного коду сторінки Інтеграл

{{Otheruses}}
{{unibox}}{{Числення|expanded=Інтегральне}}
'''Інтегра́л''' (від {{lang-la|integer}}&nbsp;— цілий)&nbsp;— узагальнення поняття [[сума|суми]] нескінченного числа нескінченно малих доданків. Одне з найважливіших понять [[математичний аналіз|математичного аналізу]], центральне поняття [[інтегральне числення|інтегрального числення]], застосовується для розв'язання задач:
* обчислення [[площа|площі]] під [[крива|кривою]];
* пройденого [[шлях (фізика)|шляху]] за нерівномірного руху;
* [[маса|маси]] неоднорідного тіла, і таке інше;
* відновлення функції за її [[похідна|похідною]] (невизначений інтеграл).
[[Файл:Integral example.svg|thumb|Визначений інтеграл дорівнює площі [[Криволінійна трапеція|криволінійної фігури]], обмеженої кривою]]

'''Ви́значений інтегра́л'''&nbsp;— у [[математичний аналіз|математичному аналізі]] це інтеграл [[Функція (математика)|функції]] з вказаною областю інтегрування. Визначений інтеграл є неперервним [[функціонал]]ом, [[лінійне відображення|лінійним]] по підінтегральних [[функція (математика)|функціях]] і [[Адитивність|адитивним]] по області інтегрування. У найпростішому випадку область інтегрування&nbsp;— це [[відрізок]] [[Числова вісь|числової осі]]. Геометричний зміст визначеного інтеграла&nbsp;— це [[площа]] криволінійної фігури ([[Криволінійна трапеція|криволінійної трапеції]]), обмеженої віссю [[абсциса|абсцис]], двома вертикалями на краях відрізка і кривою [[Графік функції|графіка функції]].

Подальші узагальнення поняття дозволяють розширити його на кратні, поверхневі, об'ємні інтеграли, а також на інтеграли на об'єктах ширшої природи з [[міра множини|мірою]]. Існує кілька різновидів визначених інтегралів: [[інтеграл Рімана]], [[інтеграл Лебега]], [[інтеграл Стілтьєса]], [[інтеграл Даніелла]] тощо.

== Невизначений інтеграл ==
{{main|Невизначений інтеграл}}

Нехай дано функцію <math>f(x)</math>&nbsp;— функцію дійсної змінної. '''Неви́значеним інтегра́лом''' функції <math>f(x)</math>, або [[Первісна|первісною]], називають таку функцію <math>F(x)</math>, [[похідна]] якої дорівнює <math>f(x)</math>, тобто, <math>F'(x)=f(x)</math>. Позначається це так: <math>\int f(x) \,{\rm d}x= F(x)</math>. Слід зазначити, що первісна існує не для будь-якої функції. Легко бачити, що первісна існує для будь-якої неперервної функції. Оскільки похідні двох функцій, які відрізняються лише на [[Стала інтегрування|сталу]], збігаються, під час обчислення невизначеного інтеграла додають невизначену сталу <math>C</math>, наприклад

<math>\int x^2 \,{\rm d}x = \frac{x^3}{3} + C, \qquad \int \cos x \,{\rm d}x = \sin x + C.</math>

Основна теорема диференціального та інтегрального числення, надає відомості про те, як визначені інтеграли можна обчислити за допомогою невизначених інтегралів.

З цього погляду, інтеграція та [[Диференціальне числення|диференціація]], є зворотними одна одній. На відміну від диференціювання, не існує простого алгоритму (чіткої послідовності дій) інтегрування, навіть елементарних функцій і [[Алгоритм|алгоритму]], який охоплює всі можливі випадки. Інтегрування вимагає навченого вгадування, використання особливих перетворень (інтегрування підстановкою, [[інтегрування частинами]]), пошуку [[Інтегральна таблиця|інтегральної таблиці]] або використання певного комп’ютерного [[Програмне забезпечення|програмного забезпечення]]. Інтегрування часто виконується лише приблизно, за допомогою [[Чисельне інтегрування|чисельного інтегрування]].

== Інтегрування ==
[[Файл:Что такое интеграл Анимация.gif|thumb|Що таке інтеграл (анімація)]]
Процес обчислення інтеграла називається '''інтегрува́нням'''. Ця дія, зазвичай використовується під час обчислення таких величин як [[площа]], [[об'єм]], [[маса]], [[зсув]] тощо, коли задана [[швидкість]] або розподіл змін цієї величини до деякої іншої величини (розташування, час тощо).

Існує декілька різних визначень операції інтегрування, що відрізняються в технічних деталях. Проте всі вони сумісні, тобто будь-які два способи інтегрування, якщо їх можна застосувати до даної функції, дадуть той самий підсумок.

Інтегрування&nbsp;— операція, обернена до [[Похідна|диференціювання]], див. [[Формула Ньютона — Ляйбніца|основна теорема аналізу]]. У результаті невизначеного інтегрування виходить [[функція (математика)|функція]], яка називається '''[[первісна|первісною]]'''. Першим інтегралом є [[число]] (або, принаймні, незалежна від змінної інтегрування частина).

== Історія ==

=== Інтеграл у давнину ===

Інтеграція простежується ще в давньому Єгипті, ''приблизно'' в [[1800 до н.&nbsp;е.]]. Першим відомим способом для розрахунку інтегралів, є [[метод вичерпування]] [[Евдокс Кнідський|Евдокса]] (''приблизно'' 370 до н.&nbsp;е.), який намагався обчислити площі та об'єми, розриваючи їх на нескінченну безліч частин, для яких площа або об'єм уже відомий. Цей метод був підхоплений і розвинутий [[Архімед]]ом, і використовувався для розрахунку площ парабол і наближеного розрахунку площі круга. Подібні способи були розроблені незалежно, в Китаї в 3-му столітті н.&nbsp;е [[Лю Хуей]]єм, який використовував їх для обчислення площі круга. Цей метод був згодом використаний [[Цзу Чунчжи]] для розрахунку об'єму сфери.

=== Ньютон і Лейбніц ===
Основне досягнення в галузі інтегрування відбулося в 17-му столітті з відкриттям [[Формула Ньютона — Ляйбніца|фундаментальної теореми числення]] (відомої як формула Ньютона — Ляйбніца) [[Ісаак Ньютон|Ньютоном]] і [[Готфрід Вільгельм Лейбніц|Ляйбніцом]], незалежно один від одного. Теорема встановлює зв'язок між інтегруванням і диференціюванням. Зокрема, основоположна теорема числення, дозволила розв'язувати ширший клас задач. Ньютон і Ляйбніц створили комплексну математичну теорію, що є не менш важливим. Ця теорія має назву&nbsp;— числення нескінченно малих величин, і дозволила здійснювати точний аналіз безперервних функцій. Ці засадничі роботи, зрештою стали сучасним [[Диференціальне та інтегральне числення|численням]], у якому була використана [[нотація]] для інтегралів, що безпосередньо спирається на роботи Лейбніца.

Знак інтеграла (∫) був уперше використаний [[Готфрід Вільгельм Лейбніц|Ляйбніцом]] наприкінці [[XVII століття]].
Це позначення, утворилося з букви ſ ([[S (латиниця)|«довга s»]])&nbsp;— скорочення слова {{lang-la|ſumma}} (summa, сума).

==Формальні визначення==
{{multiple image
| align             = right
| direction         = vertical
| width             = 200
| image1            = Integral Riemann sum.png
| alt1              = Приклад наближення за допомогою інтеграла Рімана
| caption1          = <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;">Приклад інтеграла з нерівномірним розділенням (найбільша ділянка відмічена червоним)</div>
| image2            = Riemann sum convergence.png
| alt2              = Збіжність ріманової суми
| caption2          = <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;">Збіжність ріманової суми</div>
}}

Існує багато способів формального визначення інтеграла, і не всі з них є еквівалентними один одному. Існують відмінності, що переважно пов'язані з різними особливими випадками, які можуть бути не інтегровані в межах якихось визначень. Найбільш поширеними й загальними визначеннями інтеграла є ітеграл Рімана та [[інтеграл Лебега]].

=== Інтеграл Рімана ===
{{main|Інтеграл Рімана}}
Інтеграл Рімана&nbsp;— найпростіший з визначених інтегралів, є [[границя|границею]] інтегральної [[Сума Рімана|суми]]. Для функції однієї змінної <math>f(x)</math>, визначеній на [[відрізок|відрізку]] <math>[a, b]</math> та певного розбиття <math>R</math> цього відрізка на відрізки <math>[x_i, x_{i+1}]</math> інтегральна сума визнається як
: <math>\sigma _x  = \sum\limits_{i = 1}^n {f(\xi _i )\Delta x_i },</math>
де <math>x_i \le \xi_i \le x_{i+1}</math>&nbsp;— будь-яка точка з відрізка.

Якщо існує границя таких сум за прямування найбільшої довжини відрізка <math>[x_i, x_{i+1}]</math> до нуля, то функція <math>f(x)</math> називається ''інтегрованою'', а границя інтегральної суми називається ''інтегралом Рімана функції на відрізку'' <math>[a, b]</math> і позначається
: <math>I = \int_a^b f(x)dx</math>.

Інтеграл Рімана можна також визначити як границю [[Критерій Дарбу|сум Дарбу]].

Інші визначення інтеграла розширюють клас інтегрованих функцій, залучаючи в них функції, для яких границі інтегральних сум не існує.

== Властивості ==

=== Лінійний функціонал ===
На певній області визначення <math>D</math> інтеграл є [[Лінійна форма|лінійним функціоналом]] на просторі функцій:
: <math>~ \int_D af = a\int_D f</math>
: <math>~ \int_D f+g = \int_D f + \int_D g</math>
тут <math>~f</math> і <math>~g</math>&nbsp;— функції, <math>~a</math>&nbsp;— число.

=== Адитивність по області ===
Якщо області <math>D</math> та <math>E</math> не перетинаються (або «перетинаються в точці»), інтеграл по об'єднаній області <math>D \cup E</math> є сумою інтегралів по <math>D</math> та <math>E</math>:
: <math>~ \int_{D \cup E} f = \int_D f + \int_E f</math>

=== Монотонність ===
Якщо <math>h_n(x)</math> незростаюча послідовність (тобто <math>h_1 \ge \cdots \ge h_k \ge \cdots</math>) функцій, які збігаються до нуля для всіх <math>x</math> на області інтегрування, тоді <math>\int h_n \to 0</math>.

=== Нормованість ===
Інтеграл сталої функції-константи <math>~ f(x) = C</math> розраховується «як площа прямокутника»
: <math>~ \int_D C = \mu(D) C</math>
де <math>\mu(D)</math>&nbsp;— це «міра» області інтегрування, у простішому випадку просто довжина інтервалу, або ж «площа» області інтегрування.

== Головна теорема інтегрального числення ==
Якщо у функції <math>f(x)</math> на відрізку <math>[a,b]</math> існує [[первісна]] <math>F(x)</math>, то
: <math>I = \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) </math>

Ця формула називається [[Формула Ньютона — Ляйбніца|формулою Ньютона&nbsp;— Ляйбніца]], або ''основною формулою інтегрального числення''. Вона дає прикладний і зручний спосіб обчислення визначеного інтеграла за значеннями первісної на кінцях відрізка інтегрування. Багатовимірні інтеграли обчислюються за допомогою [[теорема про зведення кратних інтегралів до повторного|теореми про зведення кратних інтегралів до повторного]].

== Узагальнення визначеного інтеграла ==

=== Невласний інтеграл ===
{{main|Невласний інтеграл}}
[[Файл:Improperintegral2.png|thumb|250px|Інтеграл «першого роду» на необмеженій області визначення]]
[[Файл:Improperintegral1.png|thumb|250px|Інтеграл «другого роду» від необмеженої функції]]
''Невласний інтеграл'' є розширенням поняття визначеного інтеграла; він дозволяє в деяких випадках обраховувати «інтеграл на нескінченості» або «інтеграл від необмеженої функції». У [[Математичний аналіз|математичному аналізі]] ''невласним інтегралом'' називають границю послідовності [[Інтеграл|визначених інтегралів]], коли інтервал інтегрування збільшується до нескінченості, або коли інтервал наближається до особливої точки інтегрованої функції, де та йде в нескінченість.

Невласним інтегралом «першого роду» <math>\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx</math> називається границя <math>\lim_{A \to +\infty}\int\limits_{a}^{A} f(x)dx</math>, якщо вона існує.

Невласний інтеграл «другого роду» дозволяє в деяких випадках визначити «інтеграл від функції, необмеженої на інтервалі». А саме, нехай функція <math>f(x)</math> визначена на <math>(a, b]</math>, і для кожного малого <math>\delta > 0</math> існують інтеграли <math>\int \limits_{a + \delta}^{b} f(x)dx = {I} (\delta)</math>. Тоді якщо існує дійсна границя <math>\lim_{\delta \to 0 +0} I (\delta) = I</math>, то вона зветься невласним інтегралом «другого роду».

=== Кратний інтеграл ===
{{main|Багатократний інтеграл}}
[[Файл:Volume under surface.png|thumb|200px|Подвійний інтеграл як об'єм під поверхнею <math>z = x^2 - y^2</math>. Прямокутна ділянка в основі тіла є областю інтегрування, а поверхня графіка функції двох змінних, буде інтегруватися]]
''Кратний інтеграл'' або ж ''багатократний інтеграл'' [[Піднесення до степеня|степеня]] ''n'', це визначений інтеграл по ''n'' [[Змінна|змінних]] з [[Функція (математика)|функції]] ''n'' змінних:
: <math>\int \int \int \cdots \int f(x_1,x_2,x_3,\cdots x_n ) \;dx_1 \;dx_2 \;dx_3 \cdots \;dx_n</math>.
Кратний інтеграл&nbsp;— це саме визначений інтеграл, під час його обчислення завжди виходить число.

Окремі випадки багатократного інтеграла це:
* [[Багатократний інтеграл|подвійний інтеграл]]:
*: <math>\int \int f(x,y) \;dx \;dy</math>
* [[Багатократний інтеграл|потрійний інтеграл]]:
*: <math>\int \int \int f(x,y,z) \;dx \;dy \;dz</math>

Для геометричної інтерпретації розглянемо випадок <math>n = 2</math>. Нехай функція <math>f\left( x,y \right)</math> приймає в області <math>D</math> тільки додатні значення. Тоді подвійний інтеграл <math>\iint\limits_{D}{f\left( x,y \right)d\sigma }</math> чисельно дорівнює об'єму <math>V</math> вертикального циліндрового тіла, побудованого на основі <math>D</math> і обмеженого зверху відповідним шматком поверхні <math>z=f\left( x,y \right)</math>.

Головним методом для розрахунку кратного інтеграла є зведення кратного інтеграла до повторних.

Хай <math>D\subset {{\mathbb{R}}^{d-1}}</math>&nbsp;— вимірна множина, <math>G=\left\{ \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right):\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right)\in D;\varphi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right)\le {{x}_{d}}\le \psi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right) \right\}</math>&nbsp;— також вимірна множина, <math>f\left( X \right)</math> визначена й інтегрована на <math>G</math>. Тоді
: <math>\int\limits_{G}{f\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right)d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d}}}=\int\limits_{D}{\left[ \int\limits_{\varphi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right)}^{\psi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right)}{f\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right)d{{x}_{d}}} \right]d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d-1}}}</math>.

Будь-який d-вимірний інтеграл можна звести до d одномірних.

=== Лінійний інтеграл ===
{{main|Лінійний інтеграл}}

=== Поверхневий інтеграл ===
{{main|Поверхневий інтеграл}}

== Ширші узагальнення ==

=== Інтеграл Лебега ===
{{main|Інтеграл Лебега}}
Інтеграл Лебега&nbsp;— це узагальнення інтеграла Рімана на ширший клас функцій. Всі функції, визначені на скінченному відрізку числової прямої та інтегровні за Ріманом, є також інтегровні за Лебегом, водночас в такому разі, обидва інтеграли однакові. Однак, існує великий клас функцій, визначених на відрізку й інтегровних за Лебегом, але не інтегровних за Ріманом. Також, інтеграл Лебега може застосовуватися до функцій, заданих на довільних множинах.

Задум побудови інтеграла Лебега полягає в тому, що замість розбиття [[Область визначення|області визначення]] підінтегральної функції на частини і написання потім інтегральної суми зі значень функції на цих частинах, на інтервали розбивають її [[область значень]], а потім сумують з відповідними мірами, міри прообразів цих інтервалів. Важливо зазначити, що побудова інтеграла Лебега спирається на теорію [[міра Лебега|міри Лебега]].

Як узвичаєний приклад, розглянемо [[функція Діріхле|функцію Діріхле]] <math>f(x) \equiv \mathbf{1}_{\mathbb{Q}_{[0,1]}}(x)</math>, задану на <math>([0,1],\mathcal{B}([0,1]),m)</math>, де <math>\mathcal{B}([0,1])</math>&nbsp;— [[борелівська сигма-алгебра|борелівська σ-алгебра]] на <math>[0,1]</math>, а <math>m</math>&nbsp;— [[міра Лебега]]. Ця функція прибирає значення <math>1</math> в [[Раціональне число|раціональних точках]] і <math>0</math> в [[Ірраціональні числа|ірраціональних]]. Легко побачити, що <math>f</math> не інтегровна в сенсі Рімана. Однак, вона є простою функцією на просторі зі скінченною мірою, бо приймає тільки два значення, а тому її інтеграл Лебега визначений і дорівнює:
: <math>\int\limits_{[0,1]}f(x)\, m(dx) = 1 \cdot m(\mathbb{Q}_{[0,1]}) + 0 \cdot m( [0,1] \setminus \mathbb{Q}_{[0,1]} ) = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0.</math>

Дійсно, міра відрізка <math>[0,1]</math> дорівнює 1, і оскільки множина раціональних чисел [[Зліченна множина|зліченна]], то його міра дорівнює 0, отже міра ірраціональних чисел дорівнює <math>1 - 0 = 1</math>.

=== Інтеграл Даніелла ===
{{main|Інтеграл Даніелла}}
Одне з основних ускладнень у використанні відомого [[інтеграл Лебега|інтеграла Лебега]] полягає в тому, що його застосування вимагає попередньої розробки відповідної [[Міра Лебега|теорії міри]].

Існує інший підхід, викладений [[Персі Джон Даніелл|Даніеллем]] у [[1918]] році в його статті «Загальний вигляд інтеграла» («Annals of Mathematics», 19, 279), що не має цього недоліку і що має значні переваги під час узагальнення на простори вищих розмірностей і подальших узагальненнях (наприклад, у формі [[інтеграл Стілтьєса|інтеграла Стілтьєса]]).

Основний задум полягає в [[Аксіоматичний метод|аксіоматизуванні]] поняття [[інтеграл]]а. Розглянемо сімейство <math>H</math> обмежених дійснозначних функцій (названих ''елементарними функціями''), визначених на множині <math>X</math>, що задовольняє таким [[аксіома]]м:

1. <math>H</math>&nbsp;— [[Векторний простір|лінійний простір]] зі звичайними операціями [[додавання]] і [[Скалярний добуток|скалярного множення]].

2. <math>h(x) \in H \Rightarrow |h(x)| \in H</math>: якщо функція належить <math>H</math>, то її модуль також належить <math>H</math>

Крім того, на просторі елементарних функцій визначається додатно визначений [[Неперервна функція|неперервний]] [[Лінійна форма|лінійний функціонал]] <math>I</math>, названий ''елементарним інтегралом''.
# '''Лінійність''': якщо ''h'' і ''k'' обидва належать H, і <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>&nbsp;— довільні [[Дійсне число|дійсні числа]], тоді <math>I(\alpha h + \beta k) = \alpha Ih + \beta Ik</math>.
# '''Невід'ємність''': якщо <math>h(x) \ge 0</math>, тоді <math>Ih \ge 0</math>.
# '''Неперервність''': якщо <math>h_n(x)</math> незростаюча послідовність (тобто <math>h_1 \ge \cdots \ge h_k \ge \cdots</math>) функцій з <math>H</math>, які збігаються до нуля для всіх <math>x</math> в <math>X</math>, тоді <math>Ih_n \to 0</math>.

Така побудова узагальненого інтеграла має деякі переваги перед методом Лебега, особливо у [[функціональний аналіз|функціональному аналізі]]. Конструкції Лебега і Даніелла еквівалентні, якщо розглядати як елементарні східчасті функції, проте під час узагальнення поняття інтеграла на складніші об'єкти (наприклад, лінійні функціонали) виникають істотні складнощі в побудові інтеграла за Лебегом. За Даніеллем, інтеграл будується простіше.

== Див. також ==
{{div col|4}}
* [[Інтегральне рівняння]]
* [[Невизначений інтеграл]]
* [[Первісна]]
* [[Методи інтегрування]]
* [[Таблиця інтегралів]]
* [[Чисельне інтегрування]]
* [[Інтеграл Борвейна]]
* [[Інтеграл Даніелла]]
* [[Інтеграл Лебега]]
* [[Інтеграл Рімана]]
* [[Формула Ньютона — Ляйбніца|Основна теорема аналізу]]
* [[Знак інтеграла]]
* [[Чисельне інтегрування]]
* [[Стала інтегрування]]
* [[Залежний від параметра інтеграл]]
{{div col end}}

== Джерела ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Банах.Диференціальне та інтегральне числення}}
* {{Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1}}
* {{Дороговцев.Математичний аналіз.ч1}}
* {{Клепко_ВМ|частина=Визначений інтеграл|сторінки= 412}}
* [http://fizma.net/index.php?idi=alg/int Динамічні моделі FIZMA.neT] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210515024257/http://fizma.net/index.php?idi=alg%2Fint |date=15 травня 2021 }}

{{Математичний аналіз}}
{{Бібліоінформація}}

[[Категорія:Інтеграли]]
[[Категорія:Математичний аналіз]]
[[Категорія:Лінійні оператори в численні]]
[[Категорія:Математична термінологія]]