Перегляд вихідного коду сторінки Індуктивна статистика

'''Індуктивна статистика''' ({{lang-en|statistical inference}})&nbsp;— це процес застосування [[Аналіз даних|аналізу даних]] для встановлення властивостей [[Розподіл імовірностей|розподілу ймовірностей]], який лежить в їх основі.<ref name="Oxford">Upton, G., Cook, I. (2008) ''Oxford Dictionary of Statistics'', OUP. {{ISBN|978-0-19-954145-4}} {{ref-en}}</ref> Індуктивна статистика робить висновки про властивості [[Генеральна сукупність|генеральної сукупності]], наприклад, шляхом перевірки гіпотез та отримування оцінок. Він виходить з припущення, що спостережувані дані є [[Відбір вибірки (статистика)|вибіркою]] з більшої сукупності.

Індуктивну статистику<ref>{{cite book|last=Романчиков|first=В.І.|title=Основи наукових досліджень. Навчальний посібник.|location=К.|publisher=Центр учбової літератури|year=2007|page=132|url=http://kist.ntu.edu.ua/textPhD/osnovNauka2.pdf|accessdate=18 серпня 2020|archive-date=29 листопада 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20201129020149/http://kist.ntu.edu.ua/textPhD/osnovNauka2.pdf}}</ref> ({{lang-en|inferential statistics}}) можливо протиставляти [[Описова статистика|описовій статистиці]]. Описова статистика цікавиться виключно властивостями спостережуваних даних, і не спирається на припущення, що ці дані походять із більшої сукупності.

== Передмова ==

Індуктивна статистика створює інформацію про генеральну сукупність, використовуючи дані, вибрані з цієї сукупності за допомогою якогось виду [[Відбір вибірки (статистика)|відбору]]. Для заданої гіпотези про генеральну сукупність, про яку ми хочемо робити висновки, статистичне висновування складається з (по-перше) [[Обирання моделі|обирання]] [[Статистична модель|статистичної моделі]] процесу, що породжує ці дані, та з (по-друге) виведення висловлень з цієї моделі.{{Citation needed|date=травень 2017}}

Конісі та Кітагава стверджують, що «більшість задач індуктивної статистики можливо розглядати як задачі, пов'язані зі статистичним моделюванням».{{sfn|Konishi|Kitagawa|2008|p=75}} Стосовно цього {{Нп|Девід Кокс (статистик)|Девід Кокс||David Cox (statistician)}} сказав, що «як саме здійснюється [цей] переклад із предметної задачі до статистичної моделі, є часто найкритичнішою частиною аналізу.»{{sfn|Cox|2006|p=197}}

[[Умовивід|Висновком]] статистичного висновування є статистичне [[висловлення]].<ref>{{Cite web |url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Statistical_inference |title=Statistical inference - Encyclopedia of Mathematics |website=www.encyclopediaofmath.org |access-date=2019-01-23 |archive-date=2 лютого 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200202113001/https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Statistical_inference }} {{ref-en}}</ref> Деякими з поширених видів статистичних висловлень є наступні:

* [[точкова оцінка]], тобто певне значення, що найкраще наближує деякий досліджуваний параметр;
* {{Нп|інтервальна оцінка||en|Interval estimation}}, наприклад, [[довірчий проміжок|довірчий інтервал]] (або множинна оцінка), тобто інтервал, побудований з використанням набору даних, вибраного з генеральної сукупності, так, що при повторюваному відборі таких наборів даних такі інтервали міститимуть істинне значення параметру з [[Частотницька ймовірність|імовірністю]] на заданому [[Довірчий рівень|довірчому рівні]];
* [[імовірний проміжок|імовірний інтервал]], тобто множина значень, що містить, наприклад, 95% апостеріорного переконання;
* відхилення [[Перевірка статистичних гіпотез|гіпотез]];{{efn|За Пірсом прийняття означає, що запит на це питання припиняється на деякий час. У науці всі наукові теорії можуть підлягати перегляду}}
* [[Кластерний аналіз|кластерування]] або [[Статистична класифікація|класифікація]] точок даних на групи.

== Моделі та гіпотези ==
{{Докладніше1|[[Статистична модель]] та {{Нп|Статистичні припущення|||Statistical assumptions}}}}

Статистичне висновування вимагає деяких припущень. '''Статисти́чна моде́ль''' є набором гіпотез стосовно породження спостережуваних даних, та схожих на них. Описи статистичних моделей зазвичай підкреслюють роль досліджуваних величин генеральних сукупностей, стосовно яких ми хочемо робити висновки.{{sfn|Cox|2006|p=2}} Як підготовчий крок перед отриманням формальніших висновків, як правило, використовують описову статистику.<ref>{{cite book |last=Evans |first=Michael |title=Probability and Statistics: The Science of Uncertainty |year=2004 |publisher=Freeman and Company |page=267 |display-authors=etal |url=https://books.google.com/books?id=hkWK8kFzXWIC&printsec=frontcover#v=onepage&q=%22descriptive%20statistics%22&f=false |isbn=9780716747420 |accessdate=2 лютого 2020 |archive-date=26 січня 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200126130559/https://books.google.com/books?id=hkWK8kFzXWIC&printsec=frontcover#v=onepage&q=%22descriptive%20statistics%22&f=false }} {{ref-en}}</ref>

=== Рівні моделей гіпотез ===

Статистики розрізняють три рівні моделювальних припущень:

* {{Нп|Параметрична модель|'''Повністю параметричний'''||Parametric model}}: Розподіли ймовірностей, що описують процес породження даних, вважають повністю описаними сімейством розподілів імовірності, що включають лише обмежену кількість невідомих параметрів.{{sfn|Cox|2006}} Наприклад, можна припустити, що розподіл значень генеральної сукупності є істинно [[Нормальний розподіл|нормальним]], з невідомими середнім значенням та дисперсією, і що набори даних породжуються {{Нп|Просте випадкове вибирання|«простим» випадковим вибиранням||Simple random sample}}. Широко застосовуваним та гнучким класом параметричних моделей є {{Нп|Узагальнена лінійна модель#Складові моделі|узагальнені лінійні моделі||Generalized linear model#Model components}}.
* {{Нп|Непараметрична статистика#Непараметричні моделі|'''Непараметричний'''||Nonparametric statistics#Non-parametric models}}: Припущення стосовно процесу, що породжує дані, є значно меншими, ніж у параметричній статистиці, й можуть бути мінімальними.<ref>van der Vaart, A.W. (1998) ''Asymptotic Statistics''  Cambridge University Press. {{isbn|0-521-78450-6}} (page 341) {{ref-en}}</ref> Наприклад, кожен безперервний розподіл імовірності має медіану, яку може бути оцінено з використанням медіани вибірки, або {{Нп|Оцінка Ходжеса — Лемана|оцінки Ходжеса&nbsp;— Лемана&nbsp;— Сена||Hodges–Lehmann estimator}}, що має гарні властивості, коли дані походять з простого випадкового відбору.
* {{Нп|Напівпараметрична модель|'''Напівпараметричний'''||Semiparametric model}}: Під цим терміном зазвичай мають на увазі припущення «посередині» між повністю параметричним та непараметричним підходами. Наприклад, можна припустити, що розподіл генеральної сукупності має скінченне середнє значення. Крім того, можна припустити, що рівень чутливості середнього значення в генеральній вибірці залежить істинно лінійним чином від деякої [[Залежна_і_незалежна_змінні#Статистичні_синоніми|коваріати]] (параметричне припущення), але не робити жодного параметричного припущення, що описувало би дисперсію навколо цього середнього значення (тобто, про наявність або можливий вигляд будь-якої [[Гетероскедастичність|гетероскедастичності]]). Загальніше, напівпараметричні моделі часто можливо розділити на «структурну» складову, та складову «випадкової дисперсії». Одну складову обробляють параметрично, а іншу&nbsp;— непараметрично. Добре відома {{Нп|модель Кокса|||Cox model}} є набором напівпараметричних припущень.

=== Важливість чинності моделей/припущень ===
{{See also|Затверджування статистичної моделі}}

Якого б рівня припущення не робилися, правильно відкаліброване висновування в цілому вимагає, щоби ці припущення були правильними, тобто, щоби механізми породжування даних дійсно було вказано правильно.

Неправильні припущення про {{Нп|Просте випадкове вибирання|«просте» випадкове вибирання||Simple random sample}} можуть зробити статистичне висновування нечинним. Наприклад, неправильне припущення про модель Кокса може в деяких випадках призвести до хибних висновків.<ref>{{Нп|Девід Фрідмен|Freedman, D.A.||David A. Freedman}} (2008) "Survival analysis: An Epidemiological hazard?". ''The American Statistician'' (2008) 62: 110-119. (Reprinted as Chapter 11 (pages 169–192) of Freedman (2010)). {{ref-en}}</ref> Неправильні припущення про [[Нормальний розподіл|нормальність]] в генеральній сукупності також позбавляють чинності деякі види висновування на основі регресії.<ref>Berk, R. (2003) ''Regression Analysis: A Constructive Critique (Advanced Quantitative Techniques in the Social Sciences) (v. 11)'' Sage Publications. ISBN 0-7619-2904-5 {{ref-en}}</ref> Використання '''будь-якої''' параметричної моделі розглядається скептично більшістю експертів у відборі вибірок з людських сукупностей: «більшість статистиків, що роблять вибірки, коли мають справу з довірчими проміжками взагалі, то обмежують себе твердженнями [про оцінки] на основі дуже великих вибірок, коли [[центральна гранична теорема]] гарантує, що [оцінки] матимуть розподіли, що є майже нормальними».<ref name=Brewer>{{cite book|first=Ken |last=Brewer| title=Combined Survey Sampling Inference: Weighing of Basu's Elephants| publisher=Hodder Arnold|page=6|year= 2002|isbn=978-0340692295}} {{ref-en}}</ref> Зокрема, нормальний розподіл «був би абсолютно нереалістичним та катастрофічно нерозумним припущенням, якщо ми маємо справу з будь-яким типом економічної генеральної сукупності».<ref name=Brewer/> Тут центральна гранична теорема стверджує, що розподіл середнього значення вибірки «для дуже великих вибірок» є розподіленим приблизно нормально, якщо цей розподіл має не {{Нп|Розподіл із повільно спадним хвостом|повільно спадний хвіст||Heavy-tailed distribution}}.

==== Наближені розподіли ====
{{Докладніше1|{{Нп|Статистична відстань|||Statistical distance}}, {{Нп|Асимптотична теорія (статистика)|||Asymptotic theory (statistics)}} та [[Теорія наближень]]}}

Враховуючи труднощі визначення точних розподілів статистик вибірки, було розроблено багато методів їхнього наближення.

При скінченних вибірках [[Теорія наближень|результати наближення]] вимірюють, наскільки близько граничний розподіл наближається до [[Розподіл вибірки|розподілу вибірки]] статистики: наприклад, із 10&nbsp;000 незалежними зразками [[нормальний розподіл]] наближається (з двома цифрами точності) до розподілу [[Вибіркове середнє|вибіркового середнього]] для багатьох популярних розподілів, згідно {{Нп|Теорема Беррі — Ессена|теореми Беррі&nbsp;— Ессена||Berry–Esseen theorem}}.<ref name=JHJ>Jörgen Hoffman-Jörgensen's ''Probability With a View Towards Statistics'', Volume I. Page 399 {{ref-en}}</ref> Тим не менше, для багатьох практичних цілей нормальне наближення дає добре наближення за наявності 10 (або більше) незалежних зразків, згідно із симуляційними дослідженнями та досвідом статистиків.<ref name=JHJ/> Після праці [[Колмогоров Андрій Миколайович|Колмогорова]] в 1950-х роках передова статистика використовує [[Теорія наближень|теорію наближень]] та [[функціональний аналіз]] для кількісного вираження похибки наближення. У цьому підході досліджується [[метрична геометрія]] [[Розподіл ймовірностей|розподілів ймовірностей]]; цей підхід виражає похибку наближення за допомогою, наприклад, [[Розходження Кульбака — Лейблера|розходження Кульбака&nbsp;— Лейблера]], {{Нп|Брегманове розходження|||Bregman divergence}} та {{Нп|Відстань Хеллінгера|відстані Хеллінгера||Hellinger distance}}.{{sfn|Le Cam|1986}}<ref>Erik Torgerson (1991) ''Comparison of Statistical Experiments'', volume 36 of Encyclopedia of Mathematics. Cambridge University Press. {{ref-en}}</ref><ref>{{cite book
  |author1=Liese, Friedrich  |author2=Miescke, Klaus-J. |lastauthoramp=yes
  | title = Statistical Decision Theory: Estimation, Testing, and Selection
  | year = 2008
  | publisher = Springer
  | isbn = 978-0-387-73193-3
  }} {{ref-en}}
</ref>

Для нескінченно великих вибірок граничний розподіл вибіркової статистики, якщо такий існує, описують {{Нп|Асимптотична теорія (статистика)|граничні результати||Asymptotic theory (statistics)}}, такі як [[центральна гранична теорема]]. Граничні результати не є твердженнями про скінченні вибірки, і дійсно є недоречними для них.{{sfn|Kolmogorov|1963|loc=С.&nbsp;369: «Частотницький підхід, що ґрунтується на понятті ''граничної частоти'' при кількості проб, що прямує до нескінченності, не дозволяє обґрунтувати застосовність результатів теорії ймовірностей до практичних задач, в яких ми маємо справу зі скінченним числом проб»}}{{sfn|Le Cam|1986|loc=С.&nbsp;xiv: «Дійсно, граничні теореми „при ''n'', що прямує до нескінченності“, є логічно позбавленими змісту про те, що відбувається за будь-якого конкретного ''n''. Все, що вони можуть,— це запропонувати певні підходи, чия продуктивність повинна підлягати перевірці для випадків, що є під рукою.»}}{{sfn|Pfanzagl|1994|loc=«Вирішальний недолік асимптотичної теорії: Що ми очікуємо від асимптотичної теорії, це результати, які мають силу приблизно… Що асимптотична теорія може запропонувати, це граничні теореми.» (С.&nbsp;ix) «Що має значення для застосувань, це наближення, а не границі.» С.&nbsp;188}} Тим не менш, асимптотичну теорію граничних розподілів часто залучають для роботи зі скінченними вибірками. Наприклад, граничні результати часто залучають для обґрунтування {{Нп|Узагальнений метод моментів|узагальненого методу моментів||Generalized method of moments}} та для використання {{Нп|Узагальнене оцінювальне рівняння|узагальнених оцінювальних рівнянь||Generalized estimating equation}}, що є популярними в [[Економетрія|економетрії]] та [[Біологічна статистика|біологічній статистиці]]. Величину різниці між граничним та істинним розподілами (формально, «похибку» апроксимації) може бути оцінено із застосуванням симуляції.{{sfn|Pfanzagl|1994|loc=«Беручи граничну теорему як приблизно істинну для великих розмірів вибірок, ми привносимо похибку, розмір якої є невідомим. […] Реалістичну інформацію про залишкові похибки можна отримувати з симуляцій.» С.&nbsp;ix}} Евристичне застосування граничних результатів до скінченних вибірок є поширеною практикою в багатьох застосуваннях, особливо з [[Статистична модель|моделями]] невисокої розмірності з [[Логарифмічно угнута функція|логарифмічно угнутими]] [[Функція правдоподібності|правдоподібностями]] (такими як однопараметричні {{Нп|Експоненційне сімейство|експоненційні сімейства||Exponential family}}).

=== Моделі на основі рандомізації ===
{{Main|Рандомізація}}
{{Докладніше1|[[Випадкова вибірка]] та {{Нп|Випадкове призначення|||Random assignment}}}}

Для заданого набору даних, що було вироблено за [[Планування експерименту|планування]] з рандомізацією, розподіл рандомізації статистики (за [[Нульова гіпотеза|нульової гіпотези]]) визначає оцінка пробної статистики для всіх планів, що може бути породжено цим плануванням з рандомізацією. У [[Частотницьке висновування|частотницькому висновуванні]] рандомізація дозволяє висновуванням ґрунтуватися на розподілі рандомізації, а не на суб'єктивній моделі, і це є особливо важливим у {{Нп|Вибирання для обстеження|вибиранні для обстеження||Survey sampling}} та плануванні експериментів.<ref>[[Єжи Нейман|Neyman, J.]] (1934) "On the two different aspects of the representative method: The method of stratified sampling and the method of purposive selection", ''{{Нп|Journal of the Royal Statistical Society}}'', 97 (4), 557&ndash;625 {{jstor|2342192}} {{ref-en}}</ref>{{sfn|Hinkelmann|Kempthorne|2008}} Статистичне висновування із рандомізованих досліджень є також простішим і в багатьох інших ситуаціях.<ref>ASA Guidelines for a first course in statistics for non-statisticians. (available at the ASA website) {{ref-en}}</ref><ref>{{Нп|Девід Фрідмен|David A. Freedman||David A. Freedman}} et alia's ''Statistics''. {{ref-en}}</ref>{{sfn|Moore|McCabe|Craig|2015}} Рандомізація є важливою і в [[Баєсове висновування|баєсовім висновуванні]]: у {{Нп|Вибирання для обстеження|вибиранні для обстеження||Survey sampling}} застосування {{Нп|вибирання без повертання|||Sampling without replacement}} забезпечує {{Нп|Взаємозамінні випадкові змінні|взаємозамінність||Exchangeable random variables}} вибірки з генеральною сукупністю; в рандомізованих експериментах рандомізація гарантує припущення {{Нп|Випадкова відсутність|випадкової відсутності||Missing at random}} для інформації про [[Залежна_і_незалежна_змінні#Статистичні_синоніми|коваріату]].<ref>{{Нп|Андрій Гельман|Gelman A.||Andrew Gelman}} et al. (2013). ''Bayesian Data Analysis'' ([[Chapman & Hall]]). {{ref-en}}</ref>

Об'єктивна рандомізація дозволяє правильні індуктивні процедури.{{sfn|Peirce|1877-1878}}{{sfn|Peirce|1883}}{{sfn|Freedman|Pisani|Purves|1978}}<ref>{{Нп|Девід Фрідмен|David A. Freedman||David A. Freedman}} ''Statistical Models'' {{ref-en}}</ref><ref>{{Нп|Кальямпуді Радхакрішна Рао|Rao, C.R.||C. R. Rao}} (1997) ''Statistics and Truth: Putting Chance to Work'', World Scientific. {{isbn|981-02-3111-3}} {{ref-en}}</ref> Багато статистиків віддають перевагу аналізу на основі рандомізації для даних, що було породжено чітко визначеними рандомізаційними процедурами.<ref>Peirce; Freedman; Moore et al. (2015).{{Citation needed|date=жовтень 2015}}</ref> (Тим не менше, правдою є й те, що в галузях науки із розвиненими теоретичними знаннями та керуванням експериментами рандомізовані експерименти можуть збільшувати витрати на експериментування без поліпшення якості висновків.<ref>Box, G.E.P. and Friends (2006) ''Improving Almost Anything: Ideas and Essays, Revised Edition'', Wiley. {{isbn|978-0-471-72755-2}} {{ref-en}}</ref>{{sfn|Cox|2006|p=196}}) Так само, результати [[Рандомізований експеримент|рандомізованих експериментів]] рекомендуються провідними статистичними органами як такі, що можуть уможливлювати висновування з більшою надійністю, ніж спостережні дослідження тих самих явищ.<ref>ASA Guidelines for a first course in statistics for non-statisticians. (available at the ASA website)
* David A. Freedman et alia's ''Statistics''.
* Moore et al. (2015).
{{ref-en}}</ref> Тим не менше, добре спостережне дослідження може бути кращим за поганий рандомізований експеримент.

Статистичний аналіз рандомізованого експерименту може ґрунтуватися на схемі рандомізації, визначеній у протоколі експерименту, і не потребує суб'єктивної моделі.<ref>Neyman, Jerzy. 1923 [1990]. "On the Application of Probability Theory to AgriculturalExperiments. Essay on Principles. Section 9." ''Statistical Science'' 5 (4): 465–472. Trans. {{нп|Дорота Домбровська|Dorota M. Dabrowska||Dorota Dabrowska}} and Terence P. Speed. {{ref-en}}</ref>{{sfn|Hinkelmann|Kempthorne|2008}}

Проте, як би там не було, деякі гіпотези неможливо перевіряти із застосуванням об'єктивних статистичних моделей, що точно описують рандомізовані експерименти або випадкові вибірки. В деяких випадках такі рандомізовані дослідження є неекономічними або неетичними.

==== Аналіз рандомізованих експериментів на основі моделей ====

Стандартною практикою при аналізі даних з рандомізованих експериментів є посилатися на статистичну модель, наприклад, лінійну або логістичну.<ref name="Dinov Palanimalai Khare Christou 2018">
{{cite journal 
|last1= Dinov | first1=Ivo 
|last2= Palanimalai | first2= Selvam 
|last3= Khare |first3= Ashwini
|last4= Christou |first4= Nicolas 
|date= 2018
|title= Randomization‐based statistical inference: A resampling and simulation infrastructure
|journal= Teaching Statistics
|volume= 40
|issue= 2
|pages= 64–73
|doi= 10.1111/test.12156
|pmc= 6155997
}} {{ref-en}}</ref> Проте схема рандомізації направляє обирання статистичної моделі. Неможливо вибрати підхожу модель, не знаючи схеми рандомізації.{{sfn|Hinkelmann|Kempthorne|2008}} Ігноруючи протокол експерименту при аналізі даних з рандомізованих експериментів, можна отримати небезпечно оманливі результати; поширені помилки включають забування блокування, що використовується в експерименті, та сплутування повторюваних вимірювань на одній і тій же експериментальній одиниці з незалежними повторами обробки, застосовуваної до різних експериментальних одиниць.{{sfn|Hinkelmann|Kempthorne|2008|loc=Chapter 6}}

==== Безмодельне рандомізоване висновування ====

Безмодельні методики забезпечують доповнення до методів на основі моделей, які застосовують редукціоністські стратегії спрощування дійсності. Перші ж поєднують, розвивають, комбінують та тренують алгоритми динамічно, пристосовуючись до контекстних спорідненостей процесу, та навчаючись характеристик, притаманних спостереженням.<ref name="Dinov Palanimalai Khare Christou 2018"/><ref name="Tang model-based Model-Free 2019">
{{cite journal 
|last1= Tang | first1=Ming
|last2= Gao | first2=Chao
|last3= Goutman | first3=Stephen 
|last4= Kalinin | first4=Alexandr
|last5= Mukherjee | first5=Bhramar
|last6= Guan | first6=Yuanfang
|last7= Dinov | first7=Ivo
|date= 2019
|title= Model-Based and Model-Free Techniques for Amyotrophic Lateral Sclerosis Diagnostic Prediction and Patient Clustering
|journal= Neuroinformatics
|volume= 17
| issue=3
|pages= 407–421
|doi= 10.1007/s12021-018-9406-9
}} {{ref-en}}</ref>

Наприклад, безмодельна проста лінійна регресія ґрунтується або на 
* ''випадковім плануванні'', в якому пари спостережень <math>(X_1,Y_1), (X_2,Y_2), \cdots , (X_n,Y_n)</math> є незалежними та однаково розподіленими ([[н. о. р.]]), або на
* ''детермінованім плануванні'', в якому пари спостережень <math>X_1, X_2, \cdots, X_n</math> є детермінованими, але відповідні змінні відгуку <math>Y_1,Y_2, \cdots, Y_n</math> є випадковими та незалежними зі спільним [[Умовний розподіл|умовним розподілом]], тобто, <math>P\left (Y_j \leq y | X_j =x\right ) = D_x(y)</math>, що є незалежним від індексу <math>j</math>.

В кожному з випадків безмодельне рандомізоване висновування для ознак спільного умовного розподілу <math>D_x(.)</math> покладається на певні умови регулярності, наприклад, функційної гладкості. Наприклад, безмодельне рандомізоване висновування для ознаки сукупності ''умовне середнє'', <math>\mu(x)=E(Y | X = x)</math>, може бути послідовно оцінено через локальне усереднювання або локальне [[поліноміальне допасовування]], за припущення, що <math>\mu(x)</math> є гладкою. Також, покладаючись на асимптотичну нормальність або {{нп|Перевибірка (статистика)|перевибірку||Resampling (statistics)}}, ми можемо будувати довірчі проміжки для ознаки сукупності, в цьому випадку, ''умовного середнього'' <math>\mu(x)</math>.<ref name="Politis Model-Free Inference 2019">{{cite journal
|last1= Politis
|first1= D.N.
|date= 2019
|title= Model-free inference in statistics: how and why
|journal= IMS Bulletin
|volume= 48
|url= http://bulletin.imstat.org/2015/11/model-free-inference-in-statistics-how-and-why/
|accessdate= 2 лютого 2020
|archive-date= 30 вересня 2019
|archive-url= https://web.archive.org/web/20190930174454/http://bulletin.imstat.org/2015/11/model-free-inference-in-statistics-how-and-why/
}} {{ref-en}}</ref>

== Парадигми висновування ==

Було засновано різні школи статистичного висновування. Ці школи, або «парадигми», не є взаємовиключними, і методи, що добре працюють за однієї парадигми, часто мають привабливі інтерпретації за інших парадигм.

Бандіопадхай та Форстер{{sfn|Bandyopadhyay|Forster|2011|loc=Цитату взято зі вступу до книги (С.3). Див. також «Section&nbsp;III: Four Paradigms of Statistics».}} описують чотири парадигми: «(I) класичні статистики або статистики похибок, (II) баєсові статистики, (III) статистики на основі правдоподібностей, та (IV) статистики на основі інформаційного критерію Акаіке». Огляд класичної (або [[Частотницьке висновування|частотницької]]) парадигми, [[Баєсове висновування|баєсової]] парадигми, [[Правдоподібництво|правдоподібницької]] парадигми, та парадигми на основі [[Інформаційний критерій Акаіке|інформаційного критерію Акаіке]] наведено нижче.

=== Частотницьке висновування ===
{{Див. також|Частотницьке висновування}}

Ця парадигма калібрує слушність висловлень шляхом розгляду (релевантного) повторюваного відбору з розподілу сукупності для вироблення наборів даних, подібних до наявного. Шляхом розгляду характеристик цього набору даних на повторюваних вибірках може бути отримано кількісну оцінку частотницьких властивостей статистичного висловлення, хоча на практиці таке кількісне оцінювання може бути складним завданням.

==== Приклади частотницького висновування ====

* [[p-значення|''p''-значення]]
* [[Довірчий проміжок]]

==== Частотницьке висновування, об'єктивність та теорія рішень ====

Однією з інтерпретацій [[Частотницьке висновування|частотницького висновування]] (або класичного висновування) є те, що воно є застосовним лише в термінах [[Частотницька ймовірність|частотницької ймовірності]], тобто в термінах повторюваних вибірок із генеральної сукупності. Проте підхід Неймана<ref>{{cite journal | last = Neyman | first = J. | author-link = Єжи Нейман | year = 1937 | title = Outline of a Theory of Statistical Estimation Based on the Classical Theory of Probability | jstor = 91337 | journal = Philosophical Transactions of the Royal Society of London A | volume = 236 | issue = 767| pages = 333–380 | doi=10.1098/rsta.1937.0005 }} {{ref-en}}</ref> розвиває ці процедури в термінах преекспериментальних імовірностей. Тобто, перш ніж приступати до експерименту, ухвалюють рішення про правило, як приходити до висновку, так що ймовірність бути правильними контролюється зручним чином: такій імовірності не потрібно мати частотницьку інтерпретацію, або інтерпретацію повторного відбору. На противагу, баєсове висновування працює в термінах [[Умовна ймовірність|умовних імовірностей]] (тобто ймовірностей, обумовлених спостережуваними даними), порівнюваних із [[Відособлена ймовірність|відособленими]] (але обумовленими невідомими параметрами) ймовірностями, що застосовуються в частотницькому підході.

Частотницькі процедури [[Перевірка статистичних гіпотез|перевірки значущості]] та довірчих проміжків може бути побудовано без врахування [[Функція корисності|функцій корисності]]. Проте деякі елементи частотницьких статистик, такі як [[статистична теорія рішень]], таки включають [[Функція корисності|функції корисності]].{{Citation needed|дата=жовтень 2015}} Зокрема, частотницькі розвитки оптимального висновування (такі як {{Нп|Мінімально-дисперсійна незміщена оцінка|мінімально-дисперсійні незміщені оцінки||Minimum-variance unbiased estimator}} або {{Нп|Рівномірно найпотужніший критерій|рівномірно найпотужніші критерії||Uniformly most powerful test}}) використовують [[Функція втрат|функції втрат]], що відіграють роль (від'ємних) функцій корисності. Статистикам-теоретикам не потрібне явне вказання функцій втрат для доведення того, що статистична процедура володіє властивістю оптимальності.{{sfn|Pfanzagl|1994|loc=Preface}} Тим не менше, функції втрат часто є корисними для встановлення властивостей оптимальності: наприклад, [[Медіанна незміщена оцінка|медіанні незміщені оцінки]] є оптимальними за [[Модуль (математика)|модульних]] функцій втрат, бо вони мінімізують очікувані втрати, а [[Метод найменших квадратів|мінімально-квадратичні]] оцінки є оптимальними за [[Квадратична функція|квадратичних]] функцій втрат, бо вони мінімізують очікувані втрати.

Хоча статистики, що використовують частотницьке висновування, і повинні обирати для себе параметри, що їх цікавлять, та [[Статистична оцінка|оцінки]]/[[Статистичний критерій|критерії]], які застосовувати, відсутність очевидно явних функцій корисності та [[Апріорний розподіл|апріорних розподілів]] посприяла тому, що частотницькі процедури стали широко розглядатися як «об'єктивні».<ref>{{Cite journal|last=Little|first=Roderick J.|date=2006|title=Calibrated Bayes: A Bayes/Frequentist Roadmap|journal=The American Statistician|volume=60|issue=3|pages=213–223|issn=0003-1305|jstor=27643780|doi=10.1198/000313006X117837}} {{ref-en}}</ref>

=== Баєсове висновування ===
{{Див. також|Баєсове висновування}}

Баєсове числення описує міри переконання із застосуванням «мови» ймовірності; переконання є додатними, [[Інтегрування|інтегруються]] в одиницю, та підкоряються [[Аксіоми теорії ймовірностей|аксіомам імовірності]]. Баєсове висновування використовує доступні апостеріорні переконання як основу для створення статистичних висловлень. Існує [[Баєсова ймовірність#Обґрунтування баєсових імовірностей|декілька різних обґрунтувань]] застосування баєсового підходу.

==== Приклади баєсового висновування ====

* [[Імовірний проміжок]] для {{Нп|Проміжкове оцінювання|проміжкового оцінювання||Interval estimation}}
* [[Коефіцієнт Баєса|Коефіцієнти Баєса]] для порівнювання моделей

==== Баєсове висновування, суб'єктивність та теорія рішень ====

Багато неформальних баєсових висновувань ґрунтуються на «інтуїтивно розумних» [[Зведена статистика|зведеннях]] [[Апостеріорний розподіл|апостеріорного]]. Наприклад, як такі може бути обґрунтовано апостеріорне середнє, [[Медіана (статистика)|медіану]] та [[Мода (статистика)|моду]], проміжки найвищої густини апостеріорного та [[Коефіцієнт Баєса|коефіцієнти Баєса]]. І хоча в цьому типі висновування й не потрібно вказувати користувацьку [[Функція корисності|функцію корисності]], ці зведення всі залежать (певною мірою) від вказаних апріорних переконань, і загалом розглядаються як суб'єктивні висновки. (Було [[Баєсова ймовірність#Особисті ймовірності та об'єктивні методи побудови апріорних|запропоновано]] методи побудови апріорного, що не вимагають зовнішнього введення, але їх ще не було повністю розроблено.)

Формально баєсове висновування калібрується із посиланням на явно вказану функцію корисності, або [[Функція втрат|втрат]]; «правило Баєса» є таким, що максимізує очікувану корисність, усереднену над невизначеністю апостеріорного. Формальне баєсове висновування відтак автоматично пропонує [[Оптимальне рішення|оптимальні рішення]] в розумінні [[Теорія рішень|теорії рішень]]. При заданих припущеннях, даних та корисності баєсове висновування може бути зроблено практично для будь-якої задачі, хоча не кожному статистичному висновуванню потрібно мати баєсову інтерпретацію. Аналізи, що не є формально баєсовими, можуть бути (логічно) {{Нп|Зв'язність (статистика)|незв'язними||Coherence (statistics)}}; особливість баєсових процедур, що використовують коректні апріорні (тобто такі, що інтегруються до одиниці), полягає в тому, що вони гарантовано будуть {{Нп|Зв'язність (статистика)|зв'язними||Coherence (statistics)}}. Деякі прихильники [[Баєсове висновування|баєсового висновування]] стверджують, що висновування ''мусить'' мати місце в цій теоретичній моделі рішень, і що [[баєсове висновування]] не повинне завершуватися оцінкою та узагальненням апостеріорних переконань.

=== Висновування на основі правдоподібності ===
{{Main|Правдоподібництво}}
{{expand section|date=лютий 2020}}

[[Правдоподібництво]] підходить до статистики з використанням [[Функція правдоподібності|функції правдоподібності]]. Деякі правдоподібники відкидають висновування, розглядаючи статистику лише як обчислювання підтримки свідченнями. Інші, проте, пропонують висновування на основі функції правдоподібності, найвідомішим з яких є [[оцінювання максимальною правдоподібністю]].

=== Висновування на основі інформаційного критерію Акаіке ===
{{Main|Інформаційний критерій Акаіке}}
{{Розширити розділ|дата=лютий 2020}}

[[Інформаційний критерій Акаіке]] (ІКА, {{lang-en|Akaike information criterion, AIC}})&nbsp;— це [[Оцінювач (статистика)|оцінювач]] відносної якості [[Статистична модель|статистичних моделей]] для заданого набору даних. Для заданого набору моделей для цих даних ІКА оцінює якість кожної з них, по відношенню до кожної іншої з цих моделей. Таким чином, ІКА забезпечує засоби [[обирання моделі]].

ІКА ґрунтується на [[Теорія інформації|теорії інформації]]: він пропонує оцінку відносних втрат інформації при застосуванні заданої моделі для представлення процесу, що породив дані. (Роблячи це, він працює на компромісом між [[Допасованість (статистика)|допасованістю]] моделі та її простотою.)

=== Інші парадигми для висновування ===

==== Мінімальна довжина опису ====
{{main|Мінімальна довжина опису}}

Принцип мінімальної довжини опису (МДО, {{lang-en|minimum description length, MDL}}) було розроблено з ідей із [[Теорія інформації|теорії інформації]]{{sfn|Soofi|2000}} та теорії [[Колмогоровська складність|колмогоровської складності]].{{sfn|Hansen|Yu|2001}} Принцип МДО обирає статистичні моделі, що максимально стискають дані; висновування відбувається без розгляду «механізмів породження даних» або [[Модель імовірності|моделей ймовірності]], що суперечать даним або є [[Спростовність|неспростовними]], як це може робитися в частотницькому або баєсовому підходах.

Тим не менш, якщо «механізм породження даних» існує в реальності, то згідно [[Клод Шеннон|шеннонівської]] {{Нп|Теорема Шеннона про кодування джерела|теореми про кодування джерела||Shannon's source coding theorem}} він пропонує МДО-опис даних, в середньому та асимптотично.{{sfn|Hansen|Yu|2001|p=747}} В мінімізації довжини опису (або описової складності) оцінка МДО є подібною до [[Метод максимальної правдоподібності|оцінки максимальної правдоподібності]] та [[Оцінка апостеріорного максимуму|оцінки апостеріорного максимуму]] (з використанням [[Баєсова ймовірність|баєсових апріорних]] з {{Нп|Розподіл ймовірностей максимальної ентропії|максимальною ентропією||Maximum entropy probability distribution}}). Хоча МДО й уникає припущення, що ймовірнісна модель, що лежить в основі даних, є відомою, принцип МДО також може застосовуватися й без припущень, наприклад, що дані походять з незалежної вибірки.{{sfn|Hansen|Yu|2001|p=747}}{{sfn|Rissanen|1989|p=84}}

Принцип МДО застосовувався в комунікаційній [[Теорія кодування|теорії кодування]] в [[Теорія інформації|теорії інформації]], в [[Лінійна регресія|лінійній регресії]]{{sfn|Rissanen|1989|p=84}} та [[Добування даних|добуванні даних]].{{sfn|Hansen|Yu|2001}}

Виконання висновувальних процедур на основі МДО часто використовує методики та критерії з [[Теорія складності обчислень|теорії складності обчислень]].<ref>Joseph F. Traub, G. W. Wasilkowski, and H. Wozniakowski. (1988) {{ref-en}}</ref>

==== Фідуційне висновування ====
{{Нп|Фідуційне висновування|||Fiducial inference}} було підходом до статистичного висновування на основі {{Нп|Фідуційна ймовірність|фідуційної ймовірності||Fiducial probability}}, відомої також як «фідуційний розподіл». У подальших працях цей підхід було названо недовизначеним, надзвичайно обмеженим у застосовності та навіть помилковим.{{sfn|Neyman|1956}}{{sfn|Zabell|1992}} Хоча ця аргументація є такою ж, як і та, що показує,{{sfn|Cox|2006|p=66}} що так званий {{Нп|розподіл довіри|||Confidence distribution}} не є чинним [[Розподіл ймовірностей|розподілом імовірності]], та, оскільки це не позбавило чинності застосування [[Довірчий проміжок|довірчих проміжків]], воно не обов'язково позбавляє чинності висновки, отримувані з фідуційної аргументації. Було вчинено спробу повторно інтерпретувати ранні праці з {{Нп|Фідуційна ймовірність|фідуційної аргументації||Fiducial probability}} Фішера як окремий випадок теорії висновування із застосуванням {{нп|Верхні та нижні ймовірності|верхніх та нижніх імовірностей||Upper and lower probabilities}}.{{sfn|Hampel|2003}}

==== Структурне висновування ====

Розвиваючи ідеї Фішера та Пітмана з 1938 по 1939 рік,<ref>Davison,  С.&nbsp;12. {{ref-en}} <!-- {{full|дата=жовтень 2015}} --></ref> {{Нп|Джордж Альфред Барнард|Джордж Барнард||George A. Barnard}} розробив «структурне висновування» ({{lang-en|structural inference}}) або «центральне висновування» ({{lang-en|pivotal inference}}),<ref>Barnard, G.A. (1995) "Pivotal Models and the Fiducial Argument", International Statistical Review, 63 (3), 309–323. {{jstor|1403482}} {{ref-en}}</ref> підхід, що використовує [[Міра Хаара|інваріантні ймовірності]] на {{Нп|Групове сімейство|групових сімействах||Group family}} ({{lang-en|group family}}). Барнард переформулював аргументацію, що стояла за фідуційним висновуванням, на обмеженому класі моделей, на якому «фідуційні» процедури були би добре визначеними та корисними.

== Питання висновування ==

Наведені нижче питання зазвичай включаються до царини статистичного висновування.

# {{Нп|Статистичні припущення|||Statistical assumptions}}
# [[Статистична теорія рішень]]
# [[Теорія оцінювання]]
# [[Перевірка статистичних гіпотез]]
# {{нпні|Перегляд поглядів у статистиці|||Revising opinions in statistics}}
# [[Планування експерименту|Планування експериментів]], [[дисперсійний аналіз]] та [[Регресійний аналіз|регресія]]
# {{Нп|Вибирання для обстеження|||Survey sampling}}
# [[Підсумовування статистичних даних]]

== Історія ==

Найраніше з відомих застосувань статистичного висновування здійснив [[Аль-Кінді]], [[Математика ісламського середньовіччя|арабський математик]] IX сторіччя, у своєму «[[Трактат про дешифрування криптографічних повідомлень|Трактаті про дешифрування криптографічних повідомлень]]», праці про [[криптоаналіз]] та [[Частотний аналіз (криптологія)|частотний аналіз]].<ref name="LB">{{cite journal|last=Broemeling|first=Lyle D.|title=An Account of Early Statistical Inference in Arab Cryptology|journal=The American Statistician|date=1 листопада 2011|volume=65|issue=4|pages=255–257|doi=10.1198/tas.2011.10191}} {{ref-en}}</ref>

== Див. також ==

* {{Нп|Алгоритмічне висновування|||Algorithmic inference}}
* [[Індукція (логіка)]]
* {{нп|Неформальне висновування|||Informal inferential reasoning}}
* {{нп|Пропорція генеральної сукупності|||Population proportion}}
* {{Нп|Філософія статистики|||Philosophy of statistics}}
* {{нп|Інформаційна теорія поля|||Information field theory}}

== Зауваження ==
{{Notelist}}

== Примітки ==
{{Примітки|3}}

== Джерела ==

* {{Citation |editor1-first=  P. S. |editor1-last = Bandyopadhyay |editor2-first= M. R. |editor2-last = Forster |title = Philosophy of Statistics |year= 2011 |publisher = [[Elsevier]] |ref=harv}} {{ref-en}}
* {{cite book |last1=Bickel |first1=Peter J. |last2 = Doksum |first2 = Kjell A. |title = Mathematical statistics: Basic and selected topics |volume = 1 |edition = Second (updated printing 2007) |year = 2001 |publisher = [[Prentice Hall]] |mr = 443141 |isbn = 978-0-13-850363-5 }} {{ref-en}}
* {{citation|authorlink=Девід Кокс (статистик)|last=Cox|first=D. R.|year=2006|title=Principles of Statistical Inference|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=0-521-68567-2|ref=harv}} {{ref-en}}
* [[Рональд Фішер|Fisher, R. A.]] (1955), "Statistical methods and scientific induction", ''{{Нп|Journal of the Royal Statistical Society}}, Series B'', 17, 69—78. (criticism of statistical theories of [[Єжи Нейман|Jerzy Neyman]] and [[Абрахам Вальд|Abraham Wald]]) {{ref-en}}
* {{cite book |author-link = Девід Фрідмен |last=Freedman |first=D. A. |title = Statistical Models: Theory and practice |edition=revised |year=2009 |publisher=[[Cambridge University Press]] |pages = xiv+442 pp |isbn = 978-0-521-74385-3 |mr = 2489600 }} {{ref-en}}
* {{Нп|Девід Фрідмен|Freedman, D. A.||David A. Freedman}} (2010). ''Statistical Models and Causal Inferences: A Dialogue with the Social Sciences'' (Edited by David Collier, Jasjeet S. Sekhon, and Philip B. Stark), [[Cambridge University Press]]. {{ref-en}}
* {{cite journal |last1=Hampel |first1=Frank |title=The proper fiducial argument |date=Feb 2003 |issue=Research Report No. 114 |url=http://e-collection.library.ethz.ch/eserv/eth:26403/eth-26403-01.pdf |accessdate=29 березня 2016 |ref=harv |journal= |archive-date=10 травня 2017 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170510100351/http://e-collection.library.ethz.ch/eserv/eth:26403/eth-26403-01.pdf }} {{ref-en}}
* {{cite journal |doi=10.1198/016214501753168398 |title=Model Selection and the Principle of Minimum Description Length: Review paper |first1=Mark H. |last1=Hansen |first2=Bin |last2=Yu |author2-link=Бін Ю |journal={{Нп|Journal of the American Statistical Association}} |volume=96 |issue=454 |date=June 2001 |pages=746–774 |jstor=2670311 |mr=1939352 |url = http://www.stat.berkeley.edu/webmastr/users/binyu/ps/mdl.ps |archive-url = https://web.archive.org/web/20041116080440/http://www.stat.berkeley.edu/webmastr/users/binyu/ps/mdl.ps |url-status=dead |archive-date=2004-11-16 |citeseerx=10.1.1.43.6581 |ref=harv}} {{ref-en}}
* {{cite book
|last1 = Hinkelmann |first1=Klaus |last2=Kempthorne |first2=Oscar |authorlink2=Оскар Кемпторн
|year = 2008
|title = Introduction to Experimental Design
|url = https://books.google.com/?id=T3wWj2kVYZgC&printsec=frontcover
|edition = Second
|publisher = Wiley
|isbn = 978-0-471-72756-9
|ref=harv
}} {{ref-en}}
* {{cite journal |author-link=Колмогоров Андрій Миколайович |first=Andrei N.|last=Kolmogorov |year=1963 |title = On tables of random numbers |journal = Sankhyā Ser. A. |volume=25 |pages=369–375 |mr=178484 |ref=harv}}
** {{стаття|authorlink=Колмогоров Андрій Миколайович|first=А.Н.|last=Колмогоров|title=О таблицах случайных чисел|place=Москва|publisher=ВИНИТИ|year=1982|issue=2|pages=3-13|url=https://books.google.com.ua/books?id=IjdiAAAAMAAJ}} {{ref-ru}}
** {{книга|автор=[[Колмогоров Андрій Миколайович|Колмогоров&nbsp;А.Н.]]|заголовок=Теория информации и теория алгоритмов|місце=Москва|видавництво=Наука|рік=1987|сторінки=204-213|посилання=http://nashol.com/2015040383777/teoriya-informacii-i-teoriya-algoritmov-kolmogorov-a-n-1987.html}} {{ref-ru}}
** {{cite journal |first=Andrei N. |last=Kolmogorov |year=1998 |title=On tables of random numbers |journal = {{Нп|Theoretical Computer Science (журнал)|Theoretical Computer Science||Theoretical Computer Science (journal)}} |volume=207 |issue=2 |pages = 387–395 |doi = 10.1016/S0304-3975(98)00075-9 |mr = 1643414 }} {{ref-en}}
* {{citation|last1=Konishi|first1=S.|last2=Kitagawa|first2=G|year=2008|title=Information Criteria and Statistical Modeling|publisher=Springer|ref=harv}} {{ref-en}}
* {{cite journal
|title = Miracles and statistics: the casual assumption of independence (ASA Presidential Address)
|authorlink = Вільям Крускал
|first = William
|last = Kruskal
|journal = {{Нп|Journal of the American Statistical Association}}
|volume = 83
|issue = 404
|date = December 1988
|pages = 929–940
|jstor = 2290117
|doi = 10.2307/2290117
}} {{ref-en}}
* {{citation|authorlink=Люсьєн Ле Кам|last=Le Cam|first=Lucian|year=1986|title=Asymptotic Methods of Statistical Decision Theory|publisher=Springer|isbn=0-387-96307-3|ref=harv}} {{ref-en}}
* {{citation|authorlink1=Девід Мур|last1=Moore|first1=D. S.|last2=McCabe|first2=G. P.|last3=Craig|first3=B. A.|year=2015|title=Introduction to the Practice of Statistics|edition=VIII|publisher=Macmillan|ref=harv}} {{ref-en}}
* {{cite journal
|title = Note on an article by Sir Ronald Fisher
|authorlink=Єжи Нейман
|first=Jerzy
|last=Neyman
|journal={{Нп|Journal of the Royal Statistical Society, Series B}}
|volume=18
|issue=2
|year=1956
|pages=288–294
|jstor=2983716
|ref=harv}} {{ref-en}} (відповідь на працю Фішера 1955 року)
* {{citation|authorlink=Чарлз Сандерс Пірс|last=Peirce|first=C.S.|year=1877-1878|title=Illustrations of the logic of science (series)|publisher=[[Popular Science Monthly]]|volume=12-13|ref=harv}} {{ref-en}} Відповідні окремі праці:
** (1878 March), "The Doctrine of Chances", ''Popular Science Monthly'', v. 12, March issue, pp. [https://books.google.com/books?id=ZKMVAAAAYAAJ&jtp=604 604] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200820040933/https://books.google.com/books?id=ZKMVAAAAYAAJ&jtp=604 |date=20 серпня 2020 }}–615.  ''Internet Archive'' [https://archive.org/stream/popscimonthly12yoummiss#page/612/mode/1up Eprint]. {{ref-en}}
** (1878 April), "The Probability of Induction", ''Popular Science Monthly'', v. 12, pp. [https://books.google.com/books?id=ZKMVAAAAYAAJ&jtp=705 705] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20151205134441/https://books.google.com/books?id=ZKMVAAAAYAAJ&jtp=705 |date=5 грудня 2015 }}–718. ''Internet Archive'' [https://archive.org/stream/popscimonthly12yoummiss#page/715/mode/1up Eprint]. {{ref-en}}
** (1878 June), "The Order of Nature", ''Popular Science Monthly'', v. 13, pp. [https://books.google.com/books?id=u8sWAQAAIAAJ&jtp=203 203] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200819235024/https://books.google.com/books?id=u8sWAQAAIAAJ&jtp=203 |date=19 серпня 2020 }}–217.''Internet Archive'' [https://archive.org/stream/popularsciencemo13newy#page/203/mode/1up Eprint]. {{ref-en}}
** (1878 August), "Deduction, Induction, and Hypothesis", ''Popular Science Monthly'', v. 13, pp. [https://books.google.com/books?id=u8sWAQAAIAAJ&jtp=470 470] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200819235026/https://books.google.com/books?id=u8sWAQAAIAAJ&jtp=470 |date=19 серпня 2020 }}–482. ''Internet Archive'' [https://archive.org/stream/popularsciencemo13newy#page/470/mode/1up Eprint]. {{ref-en}}
* {{cite journal|authorlink=Чарлз Сандерс Пірс|last=Peirce|first=C.S.|year=1883|title=A Theory of probable inference|journal=Studies in Logic|pages=126-181|url=https://archive.org/details/bub_gb_V7oIAAAAQAAJ/page/n134|publisher=Little, Brown, and Company|ref=harv}} (Передруковано 1983 року, {{Нп|John Benjamins Publishing Company}}, {{ISBN|90-272-3271-7}}) {{ref-en}}
* {{cite book |last1=Freedman |first1=D.A |authorlink1=Девід Фрідмен |last2=Pisani |first2=R. |last3=Purves |first3=R.A. |title=Statistics |url=https://archive.org/details/statistics0000free |publisher={{Нп|W. W. Norton & Company|W.W. Norton, Inc.||W. W. Norton & Company}} |place=New York |year=1978 |ref=harv}} {{ref-en}}
* {{cite book |title=Parametric Statistical Theory |last1=Pfanzagl |first1=Johann |author-link= <!-- Johann Pfanzagl --> |last2=with the assistance of R. Hamböker |year=1994 |publisher={{Нп|Walter de Gruyter}} |location=Berlin |isbn = 978-3-11-013863-4 |mr = 1291393 |ref=harv}} {{ref-en}}
* {{cite book |author-link=Йорма Ріссанен |first=Jorma |last=Rissanen |year=1989 |title = Stochastic Complexity in Statistical Inquiry |location=Singapore |publisher=[[World Scientific]] |series = Series in Computer Science |volume=15 |mr=1082556 |isbn = 978-9971-5-0859-3 |ref=harv}} {{ref-en}}
* {{cite journal |title = Principal information-theoretic approaches (Vignettes for the Year 2000: Theory and Methods, ed. by George Casella) |last=Soofi |first=Ehsan S. |journal={{Нп|Journal of the American Statistical Association}} |volume=95 |issue=452 |date=December 2000 |pages=1349–1353 |jstor=2669786 |mr=1825292 |doi = 10.1080/01621459.2000.10474346 |ref=harv}} {{ref-en}}
* {{cite book
|first1 = Joseph F.|last1= Traub|first2=G. W.|last2= Wasilkowski|first3=H. |last3=Wozniakowski
|authorlink1 = Джозеф Троб
|year = 1988
|title = Information-Based Complexity 
|url = https://archive.org/details/informationbased0000trau|publisher=Academic Press
|isbn = 978-0-12-697545-1 }} {{ref-en}}
* {{cite journal |doi = 10.1214/ss/1177011233 |title = R. A. Fisher and Fiducial Argument
|url = https://archive.org/details/sim_statistical-science_1992-08_7_3/page/369 |first=S. L.
|last=Zabell <!-- |authorlink=Sandy L. Zabell -->
|journal=Statistical Science
|volume=7
|issue=3
|date=Aug 1992
|pages=369–387
|jstor=2246073
|ref=harv
}} {{ref-en}}

== Література ==
<!-- мусить бути додатковою літературою, оскільки її не цитовано в тексті -->

* {{Нп|Джордж Казелла|Casella, G.||George Casella}}, {{нп|Роджер Лі Бергер|Berger, R.L.||Roger Lee Berger}} (2002). ''Statistical Inference''. Duxbury Press. {{isbn|0-534-24312-6}} {{ref-en}}
* {{cite journal | last1 = Freedman | first1 = D.A. | authorlink = Девід Фрідмен | year = 1991 | title = Statistical models and shoe leather | url =https://archive.org/details/sim_sociological-methodology_1991_21/page/291| journal = Sociological Methodology | volume = 21 | issue = | pages = 291–313 | doi = 10.2307/270939 | jstor = 270939 }} {{ref-en}}
* Held L., Bové D.S. (2014). ''Applied Statistical Inference&mdash;Likelihood and Bayes'' (Springer). {{ref-en}}
* {{cite journal | last1 = Lenhard | first1 = Johannes | year = 2006 | title = Models and Statistical Inference: the controversy between Fisher and Neyman&ndash;Pearson | url = http://www.stats.org.uk/statistical-inference/Lenhard2006.pdf | journal = {{Нп|British Journal for the Philosophy of Science}} | volume = 57 | issue =  | pages = 69–91 | doi = 10.1093/bjps/axi152 | accessdate = 2 лютого 2020 | archive-date = 3 березня 2021 | archive-url = https://web.archive.org/web/20210303231245/http://www.stats.org.uk/statistical-inference/Lenhard2006.pdf }} {{ref-en}}
* {{cite journal | last1 = Lindley | first1 = D | year = 1958 | title = Fiducial distribution and Bayes' theorem | url = | journal = Journal of the Royal Statistical Society, Series B | volume = 20 | issue = | pages = 102–7 }} {{ref-en}}
* Rahlf, Thomas (2014). "Statistical Inference", in Claude Diebolt, and Michael Haupert (eds.), "Handbook of Cliometrics ( Springer Reference Series)", Berlin/Heidelberg: Springer. http://www.springerreference.com/docs/html/chapterdbid/372458.html {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140714181530/http://www.springerreference.com/docs/html/chapterdbid/372458.html |date=14 липня 2014 }} {{ref-en}}
* {{Cite journal | doi = 10.1111/insr.12067| title = On Some Principles of Statistical Inference| journal = International Statistical Review| volume = 83| issue = 2| pages = 293–308| year = 2014| last1 = Reid | first1 = N. | last2 = Cox | first2 = D. R. }} {{ref-en}}
* Young, G.A., Smith, R.L. (2005). ''Essentials of Statistical Inference'', CUP. {{isbn|0-521-83971-8}} {{ref-en}}

== Посилання ==
{{Commons category|Statistical inference}}
<!-- {{Wikiversity}} -->

* MIT [http://dspace.mit.edu/handle/1721.1/45587 OpenCourseWare] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210224213339/http://dspace.mit.edu/handle/1721.1/45587 |date=24 лютого 2021 }}: Statistical Inference {{ref-en}}
* [http://www.nptel.ac.in/courses/111105043/ NPTEL Statistical Inference] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190611165744/https://nptel.ac.in/courses/111105043/ |date=11 червня 2019 }}, [https://www.youtube.com/playlist?list=PLbMVogVj5nJRkNUH5v9qNEJvW7r2A7rEY посилання на YouTube] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210308204437/https://www.youtube.com/playlist?list=PLbMVogVj5nJRkNUH5v9qNEJvW7r2A7rEY |date=8 березня 2021 }} {{ref-en}}
* [https://www.academia.edu/3247833/ Statistical induction and prediction] {{ref-en}}

{{Перекласти|en|дата=липень 2022}}


{{Статистика|висновування}}
{{ВП-портали|Математика}}

{{Бібліоінформація}}

{{DEFAULTSORT:Статистичне висновування}}
[[Категорія:Статистичне висновування| ]]
[[Категорія:Індуктивний умовивід]]
[[Категорія:Дедуктивна логіка]]
[[Категорія:Логіка та статистика]]
[[Категорія:Філософія науки]]
[[Категорія:Психометрія]]