Перегляд вихідного коду сторінки Індекс контуру відносно точки

[[Image:Winding Number Around Point.svg|thumb|right|250px|Крива з індексом 2 відносно точки ''p''.]]

У [[математика|математиці]], '''індекс замкнутої кривої (контуру)''' на [[площина|площині]] відносно деякої точки — [[ціле число]], що характеризує кількість обертань кривої навколо точки проти годинникової стрілки .  Це число залежить від [[орієнтація кривої|орієнтації кривої]], і є [[від'ємне число|від'ємним]], якщо напрям кривої визначений за годинниковою стрілкою.

Індекси кривих — фундаментальні об'єкти вивчення в [[алгебраїчна топологія|алгебраїчній топології]], і вони відіграють важливу роль у [[векторне числення|векторному численню]], [[комплексний аналіз|комплексному аналізі]], [[геометрична топологія|геометричній топології]], [[диференціальна геометрія|диференціальній геометрії]], і [[фізика|фізиці]].

==Інтуїтивне визначення==

[[Image:Winding Number Animation Small.gif|right|thumb|300px|Об'єкт, що здійснює рух по кривій здійснює два обертання навколо точки спостереження.]]

Нехай задана деяка замкнута крива у [[площина|площині]] ''xy''.  Цю криву можна уявити, як шлях руху деякого об'єкта, причому напрям руху визначає орієнтацію кривої.  Тоді індекс кривої рівний повному числу обходжень проти годинникової стрілки, які об'єкт робить навколо деякої точки.

Перераховуючи число обертань проти годинникової стрілки , із знаком плюс, тоді як число обертань за годинниковою стрілкою зі знаком мінус одержуємо загальний індекс даної замкнутої кривої. Також це число рівно кількості обертань, що здійснює об'єкт, що знаходиться в даній точці і спостерігає за рухом точки по кривій, як на малюнку справа. 
Індекс може бути рівним будь-якому [[ціле число|цілому числу]].
Нижче зображені замкнуті криві з індексами між &minus;2 і 3:

{| align="center" border=0 cellpadding=0
|-valign="center"
|<math>\cdots</math>
|align="center"|&nbsp;&nbsp;[[Image:Winding Number -2.svg|80px]]&nbsp;&nbsp;
|align="center"|&nbsp;&nbsp;[[Image:Winding Number -1.svg|80px]]&nbsp;&nbsp;
|align="center"|&nbsp;&nbsp;[[Image:Winding Number 0.svg|80px]]&nbsp;&nbsp;
|
|-valign="top" style="height:3em"
|
|align="center"|&minus;2
|align="center"|&minus;1
|align="center"|0
|
|-valign="center"
|
|align="center"|&nbsp;&nbsp;[[Image:Winding Number 1.svg|80px]]&nbsp;&nbsp;
|align="center"|&nbsp;&nbsp;[[Image:Winding Number 2.svg|80px]]&nbsp;&nbsp;
|align="center"|&nbsp;&nbsp;[[Image:Winding Number 3.svg|80px]]&nbsp;&nbsp;
|<math>\cdots</math>
|-valign="top"
|
|align="center"|1
|align="center"|2
|align="center"|3
|
|}

== Формальне визначення ==

Нехай замкнута крива ''C'' на площині у [[полярні координати|полярних координатах]] визначається рівняннями:

: <math>r = r(t)</math> та <math> \theta = \theta(t)</math>, для <math>0 \leqslant t \leqslant 1.</math>

де <math> r(t), \theta(t)</math>&nbsp;— [[неперервна функція|неперервні функції]] і {{nowrap| ''r'' &gt; 0}} тобто початок координат не належить даній кривій.

Оскільки початкова і кінцева точки замкнутої кривої збігаються, то ''&theta;''(0) і ''&theta;''(1) відрізняються на 2''&pi;n'' де ''n''&nbsp;— ціле число, що й називається індексом контуру відносно початку координат. Отже:

: <math>\operatorname{I}(C, 0) = \frac{\theta(1) - \theta(0)}{2\pi}.</math>

Перенесенням початку координат можна визначити індекс контуру відносно довільної точки, що не належить даному контуру.

=== Диференціальна геометрія ===
В [[диференціальна геометрія|диференціальній геометрії]] параметричні рівняння вважаються [[диференційована функція|диференційованими]] чи принаймні кусково-диференційованими і полярні координати можна виразити через [[прямокутна система координат|прямокутні]]:
: <math>d\theta = \frac{1}{r^2} \left( x\,dy - y\,dx \right)\quad r^2 = x^2 + y^2.</math>

Тоді індекс контуру можна визначити за допомогою [[криволінійний інтеграл|криволінійного інтегралу]]:
: <math>\operatorname{I}(C, 0) = \frac{1}{2\pi} \oint_C \,\frac{x}{r^2}\,dy - \frac{y}{r^2}
\,dx.</math>

=== Комплексний аналіз ===
В [[комплексний аналіз|комплексному аналізі]] індекс замкнутої кривої ''C'' на [[комплексна площина|комплексній площині]] можна визначити за допомогою комплексної змінної {{nowrap|1= ''z'' = ''x'' + ''iy''}}. Якщо записати ''z''&nbsp;=&nbsp;''re''<sup>''i&theta;''</sup>, тоді

: <math>dz = e^{i\theta} dr + ire^{i\theta} d\theta\!\,</math>

і тому

: <math>\frac{dz}{z} \;=\; \frac{dr}{r} + i\,d\theta \;=\; d[ \ln r ] + i\,d\theta.</math>

Проінтегрувавши ці рівності і врахувавши, що оскільки крива замкнута то її кінці і, відповідно, значення ln(''r'') на них збігаються можна одержати визначення індексу кривої відносно початку координат:

: <math>\operatorname{I}(C, 0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{dz}{z}.</math>

Більш загально індекс ''C'' відносно [[комплексне число|комплексного числа]] ''a'' можна визначити як

: <math>\operatorname{I}(C, a) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{dz}{z - a}.</math>

== Властивості ==
* Якщо криві ''C'' і ''D'' — [[гомотопія|гомотопні]] у [[множина|множині]] <math>\Complex / \{a\},</math> то <math>\operatorname{I}(C, a) = \operatorname{I}(D, a);</math>
* В кожній компоненті зв'язності множини <math>\Complex / C</math> значення індексу кривої ''C'' визначено однозначно для всіх точок;
* Нехай ''A'' — деяка [[однозв'язна область|однозв'язна множина]] у <math>\Complex</math> і <math>C \subset A</math> — замкнута крива. Тоді якщо <math>x \notin A</math> то <math>\operatorname{I}(C, x) = 0;</math>
* Для довільного контуру ''C'' множина точок <math>x \in \Complex / C</math> для яких <math>\operatorname{I}(C, x) = 0</math> є [[компактна множина|компактною множиною]].

== Посилання ==
*[http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=3291 Winding number] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110513234216/http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=3291 |date=13 травня 2011 }} на сайті [[PlanetMath]].

== Література ==
* Дьедонне Ж. Основы современного анализа, — М. Мир, 1964

{{Топологія}}

[[Категорія:Комплексний аналіз]]