Перегляд вихідного коду сторінки Ін'єктивний об'єкт

'''Ін'єктивний об'єкт'''&nbsp;— [[Теорія категорій|теоретико-категорне]] узагальнення поняття [[ін'єктивний модуль|ін'єктивних модулів]]. Двоїстим є поняття проєктивного об'єкта.

== Означення ==
[[Файл:Diagrammadefinizionemoduloiniettivo.png|thumb|Об'єкт {{var|Q}} є ін'єктивним, якщо для мономорфізму {{var|f}} : {{var|X}} → {{var|Y}}, довільний морфізм {{var|g}} : {{var|X}} → {{var|Q}} можна продовжити до {{var|Y}}.]]
Об'єкт <math>Q</math> категорії <math>C</math> називається ''ін'єктивним'', якщо для будь-якого морфізма <math>g: X \to Q</math> і будь-якого [[мономорфізм]]а <math>f: X \to Y</math> існує (не обов'язково єдиний) морфізм <math>h: Y \to Q,</math>для якого <math>h \circ f = g </math>.

У локально малих категоріях, об'єкт <math>Q</math> є ін'єктивним тоді і тільки тоді коли контраваріантний [[функтор Hom]] <math>\operatorname{Hom}_{\mathfrak{C}}(-,Q)</math> переводить мономорфізми у <math>\mathfrak{C}</math> у сюр'єктивні відображення множин.

=== Досить багато ін'єктивних об'єктів ===
Кажуть, що в категорії <math>C</math> ''досить багато ін'єктивних об'єктів'', якщо для будь-якого об'єкта <math>X</math> категорії <math>C</math> існує мономорфізм <math>f: X \to Q</math> в ін'єктивний об'єкт <math>Q</math>.

=== Ін'єктивна оболонка ===
{{Докладніше|Ін'єктивна оболонка}}
Мономорфізм <math>g</math> категорії <math>C</math> називається ''істотним'', якщо для будь-якого морфізма <math>f</math> композиція <math>f \circ g</math> є мономорфізмом, тільки якщо <math>f</math> є мономорфізмом.

Якщо <math>f: X \to G</math>&nbsp;— істотний мономорфізм і об'єкт <math>G</math> є ін'єктивним, то <math>G</math> називається ''ін'єктивною оболонкою'' <math>X </math>. Ін'єктивна оболонка є єдиною з точністю до неканонічного ізоморфізму.

== Випадок абелевих категорій ==
Якщо <math>{\mathcal C}</math>&nbsp;— (локально мала) [[абелева категорія]], то її об'єкт <math>Q</math> називається ''ін'єктивним'' тоді і тільки тоді, коли [[функтор Hom]] <math>\mathrm {Hom}_{\mathcal C} (-, Q)</math> є [[Точний функтор|точним]].

Ще одним еквівалентним еквівалентним означенням є: об'єкт <math>Q</math> є ін'єктивним якщо і тільки якщо кожна послідовність виду
: <math>0 \to Q \to U \to V \to 0</math>
є [[точна послідовність|точною]] у <math>{\mathcal C}</math> тоді і тільки тоді коли вона розщеплюється, тобто <math>U</math> є ізоморфним прямій сумі <math> Q \oplus V</math>.

: Загалом контраваріантний функтор Hom є точним зліва, тобто для [[точна послідовність|короткої точної послідовності]] <math> 0 \to A \to B \to C \to 0 </math> точною є лише послідовність <math> 0 \to \mathrm {Hom} (C, Q) \to \mathrm {Hom} (B, Q) \to \mathrm {Hom} (A, Q).</math> Для того щоб цей функтор був точним необхідно і достатньо щоб відображення <math>\mathrm {Hom} (B, Q) \to \mathrm {Hom} (A, Q)</math> було [[сюр'єктивне відображення|сюр'єктивним]], тобто для кожного морфізма <math>f: A \to Q</math> існував морфізм <math>g: B \to Q,</math> для якого <math>g \circ h = f,</math> де <math>h: A \to B</math>&nbsp;— морфізм із початкової точної послідовності. Оскільки в абелевій категорії мономорфізм <math>h: A \to B</math> завжди можна продовжити до короткої точної послідовності (взявши за ''C'' коядро ''h'') то звідси одержується еквівалентність загального означення із означенням через точність функтора Hom.

: Якщо <math>Q</math> є ін'єктивним об'єктом і <math>\operatorname {Id} : Q \to Q </math>&nbsp;— одиничний морфізм, то з означення ін'єктивності випливає, що для мономорфізма <math>h : Q \to U </math> існує морфізм <math>g : U \to Q, </math> такий що <math>\operatorname {Id}_Q = h \circ g.</math> Але існування такого морфізма є еквівалентним розщепленню точної послідовності <math>0 \to Q \to U \to V \to 0.</math>

: Навпаки, нехай довільна така коротка точна послідовність розщеплюється, <math>h: A \to B</math>&nbsp;— мономорфізм і <math>f: A \to Q</math>&nbsp;— довільний морфізм. В абелевій категорії існують всі [[розшарований кодобуток|розшаровані кодобутки]] і існування морфізму <math>g: B \to Q,</math> для якого <math>g \circ h = f </math> є еквівалентним існуванню морфізма <math>\bar g: B \sqcup_A Q \to Q,</math> для якого <math>\operatorname {Id}_Q = \bar g \circ i_2.</math> У абелевій категорії розшаровані кодобутки зберігають мономорфізми, тому <math>i_2: Q \to  B \sqcup_A Q</math> теж є мономорфізмом і тому частиною точної послідовності :<math>0 \to Q \to B \sqcup_A Q \to \operatorname{Kocer} i_2 \to 0.</math> Оскільки згідно умови ця послідовність розщеплюється то необхідний морфізм <math>\bar g</math> існує.

Як і кожен контраваріантний адитивний функтор <math>\mathrm {Hom}_C (-, Q)</math> є точним справа тоді і тільки тоді, коли переводить [[Ядро (теорія категорій)|ядра]] у [[Коядро (теорія категорій)|коядра]]. Ця умова є ще одною еквівалентною умовою ін'єктивності об'єкта <math>Q.</math>

=== Властивості ===
* Нехай <math>Q = \prod_{i \in I} Q_i</math>&nbsp;— добуток деякої сім'ї об'єктів. Тоді <math>Q</math> є ін'єктивним тоді і тільки тоді, коли всі <math>Q_i</math> є ін'єктивними.
* Будь-який ін'єктивний [[підоб'єкт]] <math>Q</math> об'єкта <math>C</math> є його прямим доданком.
* Якщо <math>{\mathcal C}_1, {\mathcal C}_2</math>&nbsp;— абелеві категорії і <math>G : {\mathcal C}_2 \to {\mathcal C}_1</math>&nbsp;— функтор [[Спряжені функтори|спряжений]] до точного функтора <math>F : {\mathcal C}_1 \to {\mathcal C}_2,</math> то ''G'' переводить ін'єктивні об'єкти категорії <math>{\mathcal C}_2</math> у ін'єктивні об'єкти категорії <math>{\mathcal C}_1.</math>
* Нехай <math>{\mathcal C}_1, {\mathcal C}_2</math>&nbsp;— абелеві категорії і <math>G : {\mathcal C}_2 \to {\mathcal C}_1</math>&nbsp;— функтор [[Спряжені функтори|спряжений справа]] до функтора <math>F : {\mathcal C}_1 \to {\mathcal C}_2.</math> Якщо ''G'' переводить ін'єктивні об'єкти категорії <math>{\mathcal C}_2</math> у ін'єктивні об'єкти категорії <math>{\mathcal C}_1</math> і у <math>{\mathcal C}_2</math> є досить багато ін'єктивних об'єктів, то ''F'' є точним функтором.
* Якщо <math>Q_1,Q_2</math> є ін'єктивними оболонками об'єктів <math>P_1,P_2</math> відповідно, то <math>Q_1 \oplus Q_2</math> є ін'єктивною оболонкою <math>P_1 \oplus P_2.</math>
* Якщо <math>Q_1,Q_2</math> є ін'єктивними оболонками об'єкта <math>P,</math> то вони є ізоморфними.

== Приклади ==
* У [[абелева група|категорії абелевих груп]] ін'єктивними об'єктами є [[Подільна група|подільні групи]].
* Адитивна група раціональних чисел є [[Ін'єктивна оболонка|ін'єктивною оболонкою]] адитивної групи цілих чисел у категорії абелевих груп.
* Нехай ''p''&nbsp;— просте число. Нехай <math>Z_{p^{\infty}}</math>&nbsp;— мультиплікативна підгрупа [[комплексне число|комплексних чисел]], що задовольняють хоча б одному рівнянню виду <math>z^{p^n} = 1, \; n > 0.</math> Тоді у категорії абелевих груп <math>Z_{p^{\infty}}</math> є ін'єктивною оболонкою для всіх груп <math>Z_{p^m}</math>&nbsp;— [[корінь з одиниці|коренів з одиниці]] степеня <math>p^m.</math>
* У [[модуль над кільцем|категорії модулів]] <math>R- \mathrm {Mod}</math> ін'єктивними об'єктами є [[ін'єктивний модуль|ін'єктивні модулі]]. У <math>R- \mathrm {Mod}</math> існують ін'єктивні оболонки, і, як наслідок, досить багато ін'єктивних об'єктів.
* В [[Категорія метричних просторів|категорії метричних просторів]] і [[Коротке відображення|коротких відображень]] ін'єктивними об'єктами є [[Ін'єктивний метричний простір|ін'єктивні метричні простори]].
* Розглядають також ін'єктивні об'єкти в більш загальних категоріях, наприклад в [[функтор|категоріях функторів]] або в категоріях [[Пучок модулів|пучків модулів]].

== Узагальнення ==
[[Файл:Injective object.svg|thumb|об'єкт {{var|Q}} є {{var|H}}-ін'єктивним якщо для {{var|h}} : {{var|A}} → {{var|B}} із класу {{var|H}}, для будь-якого {{var|f}} : {{var|A}} → {{var|Q}} існує комутативна діаграма.]]

Нехай <math>\mathfrak{C}</math> є категорією і <math>\mathcal{H}</math>&nbsp;— [[Клас (теорія множин)|клас]] [[морфізм]]ів у <math>\mathfrak{C}</math>.

Об'єкт <math>Q</math> категорії <math>\mathfrak{C}</math> називається '''''<math>\mathcal{H}</math>''-ін'єктивним''' якщо для будь-якого морфізма <math>f: \to Q</math> і кожного морфізма <math>h: \to B</math> з класу <math>\mathcal{H}</math> існує морфізм <math>g: B \to Q</math> для якого <math> g \circ h = f</math>.

Якщо <math>\mathcal{H}</math> є класом [[мономорфізм]]ів то одержується означення ін'єктивних модулів.

Категорія <math>\mathfrak{C}</math> ''має досить багато <math>\mathcal{H}</math>-ін'єктивних об'єктів'' якщо для кожного об'єкта ''X'' категорії <math>\mathfrak{C}</math>, існує ''<math>\mathcal{H}</math>''-морфізм із ''X'' у ''<math>\mathcal{H}</math>''-ін'єктивний об'єкт.

''<math>\mathcal{H}</math>''-морфізм ''g'' у <math>\mathfrak{C}</math> називається '''''<math>\mathcal{H}</math>''-істотним''' якщо для будь-якого морфізма ''f'', композиція ''fg'' належить класу ''<math>\mathcal{H}</math>'' лише якщо ''f'' належить класу ''<math>\mathcal{H}</math>''.

Якщо ''g'' є ''<math>\mathcal{H}</math>''-істотним морфізмом із ''X'' у ''<math>\mathcal{H}</math>''-ін'єктивний об'єкт ''G'', то ''G'' називається '''''H''-ін'єктивною оболонкою''' об'єкта ''X''.

== Див. також ==
* [[Ін'єктивний модуль]]
* [[Проєктивний об'єкт]]

== Література ==
* И. Букур, А. Деляну ''Введение в теорию категорий и функторов.''&nbsp;— М.: Мир, 1972.
* {{Citation | last1=Tennison | first1=B. R. | title=Sheaf theory | publisher=[[Cambridge University Press]] | mr=0404390  | year=1975}}

[[Категорія:Теорія категорій]]