Перегляд вихідного коду сторінки Імовірність

{{Основи теорії ймовірностей}}
'''Імові́рність''' ({{lang-la|probabilitas}}, {{lang-en|probability}})&nbsp;— числова характеристика можливості того, що [[випадкова подія]] відбудеться в умовах, які можуть бути відтворені необмежену кількість разів. Імовірність є основним поняттям розділу [[математика|математики]], що називається [[теорія ймовірностей]].

[[Випадкова подія|Випадковою подією]] називається подія, результат якої не може бути відомий наперед. Навіть у тому разі, коли насправді подія детермінована своїми передумовами, вплив цих передумов може бути настільки складним, що вивести з них наслідок логічно й послідовно, неможливо. Наприклад, при підкиданні монети, сторона на яку монета впаде визначається положенням руки і монети в руці, швидкістю, обертовим моментом тощо, однак, відстежити всі ці фактори практично неможливо, тому результат можна вважати випадковим.

Існують два підходи до означення ймовірності: математично-аксіоматичний і Баєсів. Аксіоматичний підхід, строго сформульований [[Колмогоров Андрій Миколайович|Колмогоровим]], будується на припущенні, що ймовірності елементарних випадкових подій задані, і зосереджується на визначенні ймовірностей складних подій, що є сукупністю елементарних. Так, наприклад, при підкиданні шестигранного кубика гральної кості, імовірності випадіння будь-якого числа, вважаються однаковими й рівними 1/6. Виходячи з цього, теорія ймовірності може розрахувати ймовірність того, що сума чисел на двох кубиках становитиме, наприклад, 8.

Баєсів підхід не робить припущень про ймовірності елементарних подій, а намагається отримати їх із аналізу попереднього досвіду, спираючись на [[теорема Баєса|теорему Баєса]] і на попередні [[гіпотеза|гіпотези]]. Баєсів підхід ближчий до того, як визначаються ймовірності випадкових подій у [[природничі науки|природознавстві]]. Оскільки ці ймовірності наперед невідомі, результати серії дослідів розбиваються на сприятливі й несприятливі, й експериментально визначена ймовірність дорівнює відношенню числа сприятливих подій до числа дослідів, тобто [[Частота події|частоті подій]].

== Аксіоматичний підхід ==

=== Означення ===

Нехай Ω = {ω<sub>1</sub>, ω<sub>2</sub> , … , ω<sub>n</sub>}&nbsp;— [[простір елементарних подій]]. Припустімо, що кожній [[елементарна подія|елементарній події]] ω<sub>k</sub> можна поставити у відповідність невід'ємне число p<sub>k</sub> (імовірність події ω<sub>k</sub>), причому <math>\sum_{k=1}^n p_k = 1 </math>.

Якщо <math> A\, </math>&nbsp;— [[випадкова подія]] і <math> A \subset \Omega </math>, то
: <math>p(A) = \sum_{\omega_k \in A} p_k </math>,
де <math>p(A)\,</math> називається ймовірністю події <math> A\, </math>.

=== Визначення термінів ===

* [[Умовна ймовірність]] <math>P_A(B)</math>&nbsp;— імовірність події B, вирахувана в припущенні, що подія А вже відбулася.
* [[Несумісні події]]&nbsp;— дві випадкові події, якщо вони не можуть відбутися одночасно. Якщо події А та В несумісні, то <math>A \cap B = \empty</math>
* [[Повна група подій]]&nbsp;— система випадкових подій така, що в результаті проведеного випадкового експерименту неодмінно станеться одна з них.

=== Властивості ===

* Імовірність достовірної події дорівнює 1.
* Імовірність [[неможлива подія|неможливої події]] дорівнює 0.
* Імовірність випадкової величини є позитивним числом, що міститься між нулем та одиницею.
: <math>0 \le P(A) \le 1</math>

==== Теорема додавання ймовірностей ====

* Імовірність появи однієї з двох [[несумісні події|несумісних подій]] дорівнює сумі ймовірності цих подій
: <math>P(A \cup B) = P(A) + P(B)</math>, якщо А та В несумісні (адитивність)
* Сума ймовірностей подій Ω = {ω<sub>1</sub>, ω<sub>2</sub> , … , ω<sub>n</sub>}, що складають [[повна група подій|повну групу]] (сукупність єдино можливих подій), дорівнює одиниці
: <math>P(\Omega) = 1\,</math>.
* Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці. Протилежними називають дві єдино можливі події, що складають повну групу
: <math>P(A) + P(\bar{A}) = 1 </math>
* Імовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без імовірності їх спільної появи
: <math>P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) \,</math>
* '''Принцип практичної неможливості малоімовірних подій''': якщо випадкова подія має дуже малу ймовірність, то практично можна вважати, що в одиничному випробуванні подія не настане. Цей принцип використовується при розв'язку практичних задач. Достатньо малу ймовірність, при якій (у конкретній задачі) подію можна вважати практично неможливою, називають ''рівнем значущості''.

==== Теорема добутку ймовірностей ====

* Імовірність спільної появи двох [[Незалежність (теорія ймовірностей)|незалежних подій]] дорівнює добутку ймовірностей цих подій
: <math>P(AB) = P(A) P(B) \,</math>
* Імовірність сукупної появи декількох подій, незалежних в сукупності, дорівнює добутку ймовірностей даних подій
: <math>P(A_1A_2...A_n) = P(A_1) P(A_2)...P(A_n) \,</math>
* Імовірність появи хоча б однієї з подій <math>A_1,A_2...A_n</math>, незалежних в сукупності, дорівнює різниці між одиницею та добутком імовірностей протилежних подій <math>\bar{A_1}\bar{A_2}...\bar{A_n}</math>
: <math>P(A)=1 - q_1q_2...q_n \,</math>
* Імовірність спільної появи двох залежних подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої, вирахувану у припущенні, що перша подія вже відбулася.
: <math>P(AB)=P(A) P_A(B) \,</math>

==== Формула повної ймовірності ====
{{main|Формула повної ймовірності}}
Нехай подія А може настати при умові появи однієї з несумісних подій <math>B_1, B_2, ..., B_n</math>, що утворюють повну групу. Нехай відомі ймовірності цих подій та умовні ймовірності <math>P_{B_1}(A), P_{B_2}(A), ..., P_{B_n}(A)</math> події А.

'''Теорема''': Імовірність події А, яка може настати лише за умови появи однієї з несумісних подій <math>B_1, B_2, ..., B_n</math>, що утворюють повну групу, дорівнює сумі добутків імовірностей кожної з цих подій на відповідну умовну ймовірність події А:
: <math>P(A)=P(B_1)P_{B_1}(A) + P(B_2)P_{B_2}(A) + ... + P(B_n)P_{B_n}(A)</math>

== Підхід Баєса ==
{{main|Теорема Баєса}}
Теорема Баєса дозволяє переоцінити ймовірності гіпотез після того, як стає відомим результат випробування, внаслідок якого настала подія А.

Нехай подія&nbsp;А&nbsp;може настати за умови появи однієї з несумісних подій <math>B_1, B_2, ..., B_n</math>, що утворюють повну групу. Оскільки заздалегідь невідомо, яка з цих подій настане, їх називають гіпотезами. Імовірність появи події А визначається за формулою повної ймовірності.
: <math>P(A)=P(B_1)P_{B_1}(A) + P(B_2)P_{B_2}(A) + ... + P(B_n)P_{B_n}(A)</math>

Припустимо, що проведено випробування, внаслідок якого з'явилася подія А. Поставимо своєю задачею визначити, як змінилися (у зв'язку з тим, що подія А вже настала) імовірності гіпотез. Іншими словами, будемо шукати умовні ймовірності <math>P_A(B_1), P_A(B_2), ..., P_A(B_n)</math>

Знайдемо спочатку умовну ймовірність <math>P_A(B_1)</math>. За теоремою множення маємо

: <math>P(AB_1)=P(A)P_A(B_1)=P(B_1)P_{B_1}(A)</math>

Звідси
: <math>P_A(B_1) = \tfrac{P(B_1)P_{B_1}(A)}{P(A)}</math>

Розкриваючи P(A) за формулою повної ймовірності, отримаємо:

: <math>P_A(B_1) = \tfrac{P(B_1)P_{B_1}(A)}{P(B_1)P_{B_1}(A) + P(B_2)P_{B_2}(A) + ... + P(B_n)P_{B_n}(A)}</math>

Аналогічно виводяться формули, що визначають умовні ймовірності інших гіпотез, тобто умовна ймовірність будь-якої гіпотези Ві (і=1, 2, …, n) може бути обчислена за формулою
: <math>P_A(B_i) = \tfrac{P(B_i)P_{B_i}(A)}{P(B_1)P_{B_1}(A) + P(B_2)P_{B_2}(A) + ... + P(B_n)P_{B_n}(A)}</math>

== Історія ==
[[Файл:Dice.jpg|thumb|180px|right|[[Гральні кості]].]]

Історично вивчення ймовірності починалося з вивчення стратегій для [[азартні ігри|азартних ігор]]. Науковий підхід до вивчення починався з робіт [[Джироламо Кардано]], [[П'єр Ферма|П'єра Ферма]], [[Блез Паскаль|Блеза Паскаля]] (1654), [[Християн Гюйгенс|Християна Гюйгенса]] (1657), [[Якоб Бернуллі|Якоба Бернуллі]] (1713), [[Абрахам де Муавр|Абрахама де Муавра]] (1718), [[Томас Баєс|Томаса Баєса]] ([[теорема Баєса]]) та ін.

Надалі теорія ймовірності розвивалась для потреб оцінки [[похибка вимірювання|похибок вимірювань]] у фізичних експериментах. [[П'єр-Симон Лаплас]] (1774) першим спробував застосувати закони ймовірності для результатів вимірювань. [[Даніель Бернуллі]] (1778) застосував теорію ймовірностей в економіці для оцінки ризиків. [[Адрієн-Марі Лежандр]] (1805) розробив [[метод найменших квадратів]] для пошуку найкращого наближеного розв'язку надлишково-визначеної системи. [[Карл Фрідріх Гаусс]] 1809 року довів закон про [[нормальний розподіл]] похибок вимірювань.

Також теорія ймовірності розвивалась для потреб [[статистична фізика|статистичної фізики]]: [[Джеймс Клерк Максвелл|Джеймс Максвелл]], [[Людвіг Больцман]], [[Альберт Ейнштейн]] та інші.

[[Марков Андрій Андрійович|Андрій Марков]] ввів поняття [[ланцюги Маркова|ланцюгів Маркова]] для [[випадковий процес|стохастичних процесів]] (1906).

Сучасна теорія ймовірностей, яка базується на теорії міри, була розроблена [[Колмогоров Андрій Миколайович|Андрієм Колмогоровим]] [[1931]] року.

== Математичне трактування ==
{{see also|Аксіоматика теорії ймовірностей}}
Розглянемо експеримент, із множиною можливих результатів. Ця множина всіх можливих результатів називається простором вибірки даного експерименту. [[Булеан]]ом цього простору вибірки є всі можливі різні колекції можливих результатів. Наприклад, при підкиданні гральної кості може бути отримано шість різних результатів. Однією з колекцій можливих результатів, це множина парних чисел нанесених на кістці. Таким чином, підмножина {1,3,5} є елементом булеану для простору вибірки можливих випадків при підкиданні гральної кістки. Ці колекції називаються «[[Випадкова подія|подіями]]». У даному випадку, {1,3,5} означає подію, що при киданні кістки випаде деяке парне число. Якщо результат, що фактично трапився відповідає заданій події, говорять що дана подія трапилася (відбулася).

Ймовірність [[Функція (математика)|співставляє]] кожній події деяке значення між нулем і одиницею, за умови що події, яка складається з усіх можливих результатів (в нашому випадку, подія {1,2,3,4,5,6}) надається значення одиниці. Аби вважатися ймовірністю, надані значення повинні задовольняти вимозі, що для обраної колекції із несумісних подій (події, що не мають спільних результатів, тобто, події як {1,6}, {3}, і {2,4} всі є несумісними), ймовірність, що принаймні одна з подій трапиться буде задаватися як сума ймовірностей кожної індивідуальної події.<ref>Ross, Sheldon. ''A First course in Probability'', 8th Edition. Pages 26–27.</ref>

Імовірність події ''A'' записують як <math>P(A)</math>, <math>p(A)</math>, або <math>\text{Pr}(A)</math>.<ref>Olofsson (2005) Page 8.</ref> Це математичне визначення ймовірності може поширюватися на нескінченні простори подій, і навіть на незліченні простори, використовуючи поняття міри.

''Протилежною подією'' або ''доповненням'' події ''A'' є подія [не ''A''] (що є такою подією, за якої подія ''A'' не відбувається), часто позначається як <math>\overline{A}, A^\complement, \neg A</math>, або <math>{\sim}A</math>; її ймовірність задається як {{nowrap|1= ''P''(not ''A'') = 1 − ''P''(''A'')}}.<ref>Olofsson (2005), page 9</ref> Наприклад, шанс, що при киданні шестигранної гральної кіски не випаде шість становить {{nowrap|1 – (імовірність випадання грані з цифрою шість) }}<math>= 1 - \tfrac{1}{6} = \tfrac{5}{6}</math>. Див. {{нп|доповнювальна подія||en|Complementary event}} для більш повного пояснення.

Якщо при одному виконанні експеримента виникає дві події ''A'' і ''B'', це називають перетином або [[Спільний розподіл|спільною імовірністю]] ''A'' і ''B'', і позначається як <math>P(A \cap B)</math>.

=== Незалежні події ===

Якщо дві події, ''A'' і ''B'' є [[Незалежність (теорія ймовірностей)|незалежними]], тоді їх спільна імовірність буде наступною:
: <math>P(A \mbox{ і }B) =  P(A \cap B) = P(A) P(B),\,</math>
Наприклад, при підкиданні двох монет, шанс що обидві випадуть гербом до гори становить <math>\tfrac{1}{2}\times\tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{4}</math>.<ref>Olofsson (2005) page 35.</ref>

=== Несумісні події ===
Можуть відбутися дві випадкові події ''A'' і ''B'', але вони ніколи не можуть відбутися одночасно при єдиному виконанні експерименту, називаються несумісними подіями.

Якщо дві події є [[Несумісні події|несумісними]], то імовірність виникнення їх '''обох''' позначається як <math>P(A \cap B)</math>.
: <math>P(A \mbox{ і }B) =  P(A \cap B) = 0</math>
Якщо дві події є несумісними, тоді імовірність виникнення '''будь-якої''' з них позначають <math>P(A \cup B)</math>.
: <math>P(A\mbox{ або }B) =  P(A \cup B)= P(A) + P(B) - P(A \cap B) = P(A) + P(B) - 0 = P(A) + P(B)</math>
Наприклад, шанс випадання 1 або 2 при киданні шестигранної гральної кістки становить <math>P(1\mbox{ або }2) = P(1) + P(2) = \tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{3}.</math>

=== Події, що не є несумісними ===

Якщо події не є несумісними, тоді
: <math>P\left(A \hbox{ або } B\right) = P(A \cup B) = P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A \mbox{ і } B\right).</math>
Наприклад, якщо витягнути одну довільну карту із стандартної колоди карт, шанс витягнути чирви або старші карти (Валет, Дама, Король) (або одночасно і те і інше) становить <math>\tfrac{13}{52} + \tfrac{12}{52} - \tfrac{3}{52} = \tfrac{11}{26}</math>, оскільки із 52 карт із колоди 13 є чирвами, 12 є старшими картами, і 3 з них є і тим і іншим одночасно: тут група карт із «3 трьох, що є одночасно і тим і іншим» включені у обидві групи «13 чирв» і «12 старших карт», але повинні рахуватися лише раз.

=== Умовна ймовірність ===
''[[Умовна ймовірність]]'' це імовірність того, що деяка подія ''A'', відбудеться на умови, що відбулася деяка інша подія ''B''.
Умовна імовірність позначається як <math>P(A \mid B)</math>, і читається: «ймовірність ''A'', за умови ''B''». Вона визначається як<ref>Olofsson (2005) page 29.</ref>
: <math>P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.\,</math>
Якщо <math>P(B)=0</math> тоді відповідно до цього виразу формально <math>P(A \mid B)</math> є невизначеною.

Наприклад, якщо в мішку є 2 червоні кульки і 2 сині кульки (загалом 4 кульки), імовірність витягти червону кульку становить <math>1/2</math>; однак, при витягуванні другої кульки, імовірність того буде це червона чи синя кулька залежить від того, яку кульку було витягнуто з мішка перед тим. Таким чином, якщо було витягнуто червону кульку, імовірність витягнути червону кульку знов буде дорівнювати <math>1/3</math> оскільки лише 1 червона і 2 сині кульки лишаться в мішку.

=== Підсумок ===
{| class="wikitable"
|+Підсумок різних імовірностей
|-
!Подія!!Ймовірність
|-
|align=center|A||<math>P(A)\in[0,1]\,</math>
|-
|align=center|не A||<math>P(A^\complement)=1-P(A)\,</math>
|-
|align=center|A або B
|<math>\begin{align}
P(A\cup B) & = P(A)+P(B)-P(A\cap B) \\
P(A\cup B) & = P(A)+P(B) \qquad\mbox{якщо A і B є несумісними} \\
\end{align}</math>
|-
|align=center|A і B
|<math>\begin{align}
P(A\cap B) & = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)\\
P(A\cap B) &  = P(A)P(B) \qquad\mbox{якщо A і B є незалежними}\\
\end{align}</math>
|-
|align=center|A за умови B
|<math>P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} \,</math>
|}

== Приклад ==
Нехай підкидають симетричний шестигранний [[куб]]ик із нанесеними на гранях цифрами від 1 до 6. Тоді як [[простір елементарних подій]] Ω природно розглянути множину випадіння можливих цифр Ω = {1,2,3,4,5,6}. Якщо кубик симетричний, то кожна елементарна подія ω<sub>і</sub> = і є рівноможливою, тому припишемо їй імовірність 1/6. Тим чином побудовано ймовірнісну модель експерименту, який полягає в підкиданні шестигранного симетричного грального кубика. Якщо А&nbsp;— випадкова подія, яка полягає в тому, що число очок, яке випало, кратне трьом, тобто А = {3,6}, то Р(А) = 1/6 + 1/6 = 1/3.

== Застосування ==
Теорія ймовірностей застосовується у повсякденному житті для оцінки [[Ризик|ризиків]] і [[Статистична модель|статистичного моделювання]]. У галузі страхування і аналізі [[Ринок|ринків]] для визначення розцінок і прийняття торгових рішень використовують [[Актуарна математика|актуарну математику]]. Урядові служби застосовують імовірнісні методи для [[Екологічне право|екологічного регулювання]], аналізу правомірності ([[Теорія надійності старіння та довголіття]]), і [[Фінансове регулювання|фінансового регулювання]].

Одним із прикладів теорії ймовірності з передбачення торгівлі акціями на біржах є очевидний вплив високої ймовірності виникнення конфліктів на Середньому Сході на ціни на нафту, що має широкий вплив на економіку в цілому. Оціночне передчуття товаровиробника, що війна скоріше призведе до зниження чи підняття ціни на цей товар, передається на інших торговців. Відповідно до цього, імовірності не можна оцінити незалежно і не обов'язково вони є дуже раціональними. Теорія [[Поведінкова економіка|поведінкової економіки]] виникла саме з метою описати вплив такого [[Групове мислення|групового мислення]] на утворення цін, політику, на мирний хід розвитку чи конфлікт.<ref>Singh, Laurie (2010) «Whither Efficient Markets? Efficient Market Theory and Behavioral Finance». The Finance Professionals' Post, 2010.</ref>

Крім фінансових оцінок, імовірність можна використовувати для аналізу тенденцій в біології (наприклад, розвитку хвороби), а також в екології (e.g. biological Punnett squares). Так само як із випадком фінансів, в якості статистичного методу може використовуватися аналіз ризиків для розрахунку ймовірності виникнення небажаних подій, що може допомогти створити протоколи які дозволяють уникати таких обставин. Ймовірність використовується для створення [[Гра випадку|азартних ігор]], таких що казино матиме гарантований прибуток з них, але при тому виплачувати призи гравцям досить часто, аби зберігати інтерес до гри, аби ті продовжували грати.<ref>{{cite journal|last1=Gao|first1=J.Z.|last2=Fong|first2=D.|last3=Liu|first3=X.|title=Mathematical analyses of casino rebate systems for VIP gambling|journal=International Gambling Studies|date=April 2011|volume=11|issue=1|pages=93–106|doi=10.1080/14459795.2011.552575}}</ref>

Відкриття строгих методів оцінки в поєднанні із ймовірнісними оцінками внесло свій вклад у зміни суспільства.<ref name=":0">{{Cite web|url=http://archon.educ.kent.edu/Oasis/Resc/Educ/data.html|title=Data: Data Analysis, Probability and Statistics, and Graphing|website=archon.educ.kent.edu|access-date=2017-05-28|archive-date=30 вересня 2018|archive-url=https://web.archive.org/web/20180930011751/http://archon.educ.kent.edu/Oasis/Resc/Educ/data.html}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180930011751/http://archon.educ.kent.edu/Oasis/Resc/Educ/data.html |date=2018-09-30 }}</ref> Для більшості людей важливим є розуміння як виконуються статистичні оцінки, і як вони впливають на рішення.

Іншим важливим застосуванням теорії ймовірності в повсякденному житті є аналіз [[Надійність (статистика)|надійності]]. Для багатьох користувацьких продуктів, таких як [[Автомобіль|автомобілі]] та електронні пристрої, використовують теорію надійності при виробництві продукту, з метою зменшення ймовірності відмови. Ймовірність відмов може впливати на рішення виробника щодо надання [[Гарантія|гарантії]] на продукт.<ref>Gorman, Michael (2011) «Management Insights». ''Management Science''</ref>

== Імовірність і квантова фізика ==

У квантовій механіці стан системи (частинки) характеризується [[Хвильова функція|хвильовою функцією]] (загалом кажучи [[Вектор стану|вектором стану]])&nbsp;— [[Комплекснозначна функція|комплекснозначною функцією]] «координат», квадрат модуля якої інтерпретується як [[густина імовірності]] отримання заданих значень «координат». Відповідно до сучасних уявлень імовірнісне визначення стану є повним і причиною ймовірнісного характеру квантової фізики не є якісь «приховані» чинники&nbsp;— це пов'язано з природою самих процесів. У квантовій фізиці виявляються можливими будь-які взаємоперетворення різних частинок, не заборонені тими чи іншими законами збереження. Ці взаємоперетворення підпорядковуються закономірностям&nbsp;— імовірнісним закономірностям. За сучасними уявленнями принципово неможливо передбачити ні момент взаємоперетворення, ні конкретний результат. Можна лише говорити про ймовірності тих чи інших процесів перетворення. Замість точних класичних величин у квантовій фізиці можлива тільки оцінка середніх значень (математичних сподівань) цих величин, наприклад, середнього [[Час життя|часу життя]] частинки.

== Див. також ==
* [[Історія ймовірності]]
* [[Аксіоматика теорії ймовірностей]]
* [[Частота події]]
* [[Геометрична ймовірність]]
* [[Густина ймовірності]]
* [[Формула повної ймовірності]]
* [[Умовна ймовірність]]
* [[Амплітуда ймовірності]]

== Примітки ==
{{reflist|2}}

== Література ==
* {{Колмогоров.Основные понятия теории вероятностей}}
* {{книга |автор = Гмурман В. Е.|заголовок = Теория вероятностей и математическая статистика |видання =Издание четвертое, дополненное |місце = М.|видавництво = Высшая школа| рік = 1972|сторінок =368}}
* {{книга |автор = |заголовок = Теорія ймовірностей, математична статистика та імовірнісні процеси : навч. посіб |відповідальний = Ю. М. Слюсарчук, Й. Я. Хром'як, Л. Л. Джавала, В. М. Цимбал |місце = Львів| видавництво = Вид-во Львів. політехніки | рік = 2015 |сторінок = 364 |isbn = 978-617-607-775-6}}
* {{книга |автор = Сеньо П. С. |заголовок = Теорія ймовірностей та математична статистика |видання = 2-ге вид |місце = К. |видавництво = Знання| рік = 2007| сторінок = 556}}
* {{книга |автор = Барковський В.В.|заголовок = Теорія ймовірностей та математична статистика |видання = 5-те видання| місце = К. |видавництво =Центр учбової літератури| рік = 2010 |сторінок = 424}}
* {{книга| автор = Жлуктенко В. І.|заголовок = Теорія ймовірностей і математична статистика. У  2  ч. | частина = Ч. І.  Теорія  ймовірностей |місце К. |видавництво = КНЕУ| рік = 2000 | сторінок = 304}}
* {{книга |автор = Донченко В. С., Сидоров М. В.-С., Шарапов М. М. |заголовок = Теорія ймовірностей та математична статистика |посилання = http://academia-pc.com.ua/product/183 |видання = Альма-матер |відповідальний =  |місце = К.  |видавництво = Академія |рік = 2009 |том = |сторінок  = 288 |isbn = 978-966-580-297-6|ref = }}
* {{книга| автор = Скороход А. В. |заголовок = Елементи теорії ймовірностей та випадкових процесів| місце = К. |видавництво = Вища школа| рік = 1975| сторінок = 295}}
* {{книга| автор = Скасків О. Б.|заголовок = Теорія ймовірностей |місце = К. |видавництво = І. Е. Чижиков |рік = 2012 |сторінок = 142 |isbn = 978-966-2645-05-7}}
* {{книга| автор = Вентцель Е. С. |заголовок = Теория вероятностей | видання = 10-е изд.| місце = М.|видавництво = Высшая школа| рік = 2006|сторінок = 575|isbn = 5-06-005688-0}}

== Посилання ==
{{Вікіцитати1}}
{{commonscat|Probability|Імовірність}}
* {{СУМ-11|Імовірність}}
* [http://esu.com.ua/search_articles.php?id=12965 Ймові́рностей Тео́рія] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160423172832/http://esu.com.ua/search_articles.php?id=12965 |date=23 квітня 2016 }} // {{ЕСУ}}.
* [http://www.math.uah.edu/stat/ Virtual Laboratories in Probability and Statistics (University of Alabama in Huntsville)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170905000457/http://www.math.uah.edu/stat/ |date=5 вересня 2017 }} (Віртуальна лабораторія імовірності і статистики)
* [http://wiki.stat.ucla.edu/socr/index.php/EBook Probability and Statistics EBook] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20081216153436/http://wiki.stat.ucla.edu/socr/index.php/EBook |date=16 грудня 2008 }} {{ref-en}}
* [http://www.economics.soton.ac.uk/staff/aldrich/Figures.htm Figures from the History of Probability and Statistics (Univ. of Southampton)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20181226045045/http://www.economics.soton.ac.uk/staff/aldrich/Figures.htm%20 |date=26 грудня 2018 }} {{ref-en}}
* ''Charles Grinstead, Laurie Snell'' [http://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/book.html Introduction to Probability] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110727200156/http://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/book.html |date=27 липня 2011 }}&nbsp;— eBook, [http://bitbucket.org/shabbychef/numas_text/ Source] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120325135243/https://bitbucket.org/shabbychef/numas_text/ |date=25 березня 2012 }} ''([[GNU Free Documentation License]])'' {{ref-en}}

{{бібліоінформація}}
[[Категорія:Теорія ймовірностей]]
[[Категорія:Безрозмірнісні параметри]]
[[Категорія:Ймовірність| ]]