Перегляд вихідного коду сторінки Ізоморфізм

{{Otheruses|Ізоморфізм (значення)}}
'''Ізоморфізм''' ({{lang-el|ἴσος}}&nbsp;— однаковий, рівний, подібний {{lang-el|μορφή}}&nbsp;— форма)&nbsp;— [[бієктивне відображення|бієктивний]] [[гомоморфізм]].

'''Ізоморфізм'''&nbsp;— це дуже загальне поняття, яке використовується в різних розділах [[математика|математики]].
Коротке визначення: якщо задані дві [[математичні структури]] одного виду ([[група (алгебра)|групи]], [[кільце (алгебра)|кільця]], [[модуль над кільцем|модулі]], [[поле (алгебра)|поля]], [[векторний простір|векторні простори]]), то взаємнооднозначне відображення ([[бієкція]]) елементів однієї [[математична структура|математичної структури]] на іншу, що зберігатиме структуру, є ізоморфізмом.

У [[Топологія|топології]], в якій морфізми є [[Неперервна функція|неперервними функціями]], ізоморфізм також називають ''[[гомеоморфізм]]ом'' або ''взаємно-однозначним відображенням''. В [[Математичний аналіз|математичному аналізі]], де морфізми є [[Диференційовна функція|диференційованими функціями]], ізоморфізми називаються ''[[дифеоморфізм]]ами''.

Ізоморфізм можна формалізувати за допомогою [[Теорія категорій|теорії категорій]]. Морфізм <math>f\colon X\to Y</math> у категорії є ізоморфізмом якщо він допускає двостороннє обернення, що означає, що існує інший морфізм <math>g\colon X\to Y</math> у цій категорії, такий що <math>gf=1_X</math> і <math>fg=1_Y</math>, де <math>1_X</math> і <math>1_Y</math> і існує морфізми ідентичності для ''<math>X</math>'' і ''<math>Y</math>'', відповідно.<ref>{{cite book|author=Awodey, Steve|chapter=Isomorphisms|title=Category theory|publisher=Oxford University Press|year=2006|isbn=9780198568612|page=11|url=https://books.google.com/books?id=IK_sIDI2TCwC&pg=PA11|accessdate=14 березня 2019|archive-date=10 липня 2021|archive-url=https://web.archive.org/web/20210710152114/https://books.google.com/books?id=IK_sIDI2TCwC&pg=PA11}}</ref>

== [[Абстрактна алгебра]] ==
{{Вичитати|дата=січень 2017}}

=== Теореми про ізоморфізм ===

[[Теореми про ізоморфізм]] в [[алгебра|алгебрі]]&nbsp;— ряд [[теорема|теорем]], які пов'язують поняття [[Фактор-простір|фактор]], [[гомоморфізм]]а та [[Підмножина|під-об'єкту]]. Твердженням теорем є ізоморфізм деякої пари [[група (математика)|груп]], [[кільце (алгебра)|кілець]], [[модуль над кільцем|модулів]], [[лінійний простір|лінійних просторів]], [[алгебра Лі|алгебр Лі]] або інших алгебраїчних структур (в залежності від області астосування). Зазвичай нараховується три теореми про ізоморфізм, які називаються Першою (також основна теорема про [[гомоморфізм]]), Друга та Третя. Хоча подібні теореми досить легко витікають з визначення чинника і честь їх відкриття нікому не приписується, вважається, що найбільш загальні формулювання дала [[Еммі Нетер]].
Теореми про ізоморфізм [[абелева група|абелевих груп]] і [[лінійний простір|лінійних просторів]] є частковим випадком теорем для [[модуль над кільцем|модулів]].
{{Основна стаття| Теореми про ізоморфізми}}

=== Групи ===
[[Ізоморфізм груп]]&nbsp;— [[бієктивне відображення|бієктивний]] [[гомоморфізм груп]].
Нехай <math>G</math> та <math>H</math>&nbsp;— дві групи.
Бієкція <math>f\colon G\to H</math> називається ''' ізоморфізмом''', якщо для довільних <math>a,b\in G</math>
: <math>f(a) f(b)=f(ab)</math>.
Якщо група є [[Топологічна група|топологічною]], додається умова [[гомеоморфізм|гомеоморфності]] відповідних топологічних просторів<ref name="Pontr 392">Л.&nbsp;С.&nbsp;Понтрягин ''Непрерывные группы'' стр. 392</ref>
{{Основна стаття| Ізоморфізм груп}}

=== [[Поле (математика)|Поля]] ===
Нехай <math>F_1</math> та <math>F_2</math>&nbsp;— поля.
Бієкція <math>f\colon F_1\to F_2</math> називається ''' ізоморфізмом''', якщо для <math>a,b\in F_1</math> виконується
# <math>f(a) + f(b)=f(a + b)</math>,
# <math>f(a) \cdot f(b)= f(a\cdot b)</math>.

=== [[Лінійне відображення|Ізоморфізм векторних просторів]] ===
Нехай <math>V</math> і <math>W</math>&nbsp;— довільні векторні простори над полем <math>K</math>. [[Гомоморфізм]]ом називають [[ізоморфізм (математика)|ізоморфізмом]] векторного простору <math>V</math> у векторний простір <math>W</math>, якщо відображення <math>f</math> є [[бієкція|бієкцією]] (тобто взаємно однозначною відповідністю).

== [[Теорія категорій]] ==
Ізоморфізм в довільній категорії є обернений [[морфізм]], тобто морфізм j, для якого існує такий морфізм j<sup>−1</sup>, що добуток<br/>
 j<sup>-1</sup>j =  jj<sup>-1</sup> = e - одиничний морфізм.

== [[Теорія графів]] ==
{{Основна стаття | Ізоморфізм графів}}
Граф <math>G</math> називається ізоморфним графу <math>H</math>, якщо існує [[бієкція]] <math>f</math> із множини вершин графу <math>G</math> в множину вершин графу <math>H</math>, що має наступну властивість: якщо в графу <math>G</math> є ребро із вершини <math>A</math> в вершину <math>B</math>, то в графу <math>H</math> повинно бути ребро із вершини <math>f(A)</math> в вершину <math>f(B)</math> і навпаки&nbsp;— якщо в графу <math>H</math> є ребро із вершини <math>A</math> в вершину <math>B</math>, то в графу <math>G</math> повинно бути ребро із вершини <math>f^{-1}(A)</math> в вершину <math>f^{-1}(B)</math>.
У випадку [[Орієнтований граф|орієнтованого графу]] ця бієкція також повинна зберігати орієнтацію ребра. У випадку [[Словник термінів теорії графів|зваженого графу]] бієкція також повинна зберігати вагу ребра.
В [[Теорія складності обчислень|теорії складності обчислень]] до цього часу залишається відкритим питання про складність [[Ізоморфізм графів|задачі ізоморфності графів]]. На даний момент не доведена ні її належність класу <math>P</math>, ні її [[NP-повна задача|<math>NP</math>&nbsp;— повнота]].

== Ізоморфні об'єкти ==
Об'єкти, між якими існує ізоморфізм називаються '''ізоморфними'''.
Класичним прикладом ізоморфних систем можуть служити множина <math>\mathbb R</math> всіх [[Дійсне число|дійсних чисел]] з певною на ньому операцією додавання і множина <math>\mathbb R_+</math> позитивних дійсних чисел із заданою на ньому операцією множення. Відображення <math>x\mapsto \exp(x)</math> в цьому випадку є ізоморфізмом.

== [[Теорія операторів]]/[[Функціональний аналіз]] ==
Обмежений лінійний оператор <math>T</math> між [[Нормований простір|нормованими просторами]] називається ізоморфізмом, якщо існує позитивне дійсне число <math>c</math> таке, що <math>\lVert Tx\rVert\geqslant c\lVert x\rVert</math> для всіх векторів <math>x</math>. Будь-який ізоморфізм є взаємно-однозначним. Говорять, що два нормовані простори є ізоморфними, якщо знайдеться [[Сюр'єкція|сюр'єктивний]] ізоморфізм з одного з них на друге.

== Ізоморфізм в інформатиці ==
Поняття ізоморфізм має важливе значення при аналізі інформаційних процесів. Це обумовлено тим, що сигнал є множиною станів свого носія, ізоморфній множині станів джерел. Ізоморфне відношення множини станів носія інформації до множини джерел, що визначає лише загальну упорядкованість двох множин, робить сигнал кодом джерела інформації. Завдяки кодуванню здійснюється переклад упорядкованості станів джерела у певну впорядкованість носія. Наприклад, множина точок звукової доріжки на платівці, впорядкована в просторі, є кодом множини станів звукового тиску, упорядкованого у часі. Таким чином, завдяки ізоморфізму, інформація несе відомості про своє джерело.

== Проблема ізоморфізму ==
Проблема ізоморфізму&nbsp;— задача пошуку алгоритму, що дозволяє по будь-якій парі ефективно заданих алгебраїчних систем з даного класу встановити, ізоморфні вони чи ні. Часткова проблема ізоморфізму для фіксованої алгебраїчної системи ''А'' полягає у відшуканні алгоритму, який розпізнає за ефективнийм заданням алгебраїчної системи з розглянутого класу, ізоморфна вона системі ''А'' чи ні. Позитивне рішення (часткової) проблему ізоморфізму полягає у вказанні шуканого алгоритму (проблема ізоморфізму має розв′язок), негативне&nbsp;— у доведенні того, що шуканого алгоритму не існує (проблема ізоморфізму немає розв′язку). Звичайно проблема ізоморфізму ставиться для алгебр, що задаються твірними і визначальними співвідношеннями. Для багатьох важливих класів алгебр проблема ізоморфізму нерозв′язна.

== Пов'язані визначення ==
Ізоморфізм алгебраїчної системи на себе називається [[автоморфізм]]ом.

== Історія ==
Поняття ізоморфізм виникло в математиці стосовно до конкретних [[Алгебраїчна система|алгебраїчних систем]] і було поширене на більш широкий клас математичних структур.

== Варіації і узагальнення ==
* Деяка загальна теорія, уточнююча поняття ізоморфізму (і інших близьких понять) була запропонована групою [[Ніколя Бурбакі|Бурбаки]] в їх книзі «Теорія множин» (Глава 4. Структури).

== Див. також ==
* [[Гомоморфізм]]
* [[Макромолекулярний ізоморфізм]]
* [[Ендокриптія]]

== Примітки ==
{{примітки}}

== Джерела ==
=== Українською ===
* {{ref-uk}} {{книга
|автор        = [[Гаврилків Володимир Михайлович|Гаврилків В. М.]]
|назва        = Елементи теорії груп та теорії кілець
|рік          = 2023
|видавництво  = Голіней
|місто        = {{Comment|І.-Ф. |Івано-Франківськ}}
|сторінок     = 153
}}

=== Іншими мовами ===
* {{Ленг.Алгебра}}
* {{Ван.дер.Варден.Алгебра}}
* {{Курош.Общая алгебра}}
* {{Кон.Универсальная алгебра}}
* [http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/b01c5ac1998137ac2817256edc019df9.djvu Алгебра.]{{Недоступне посилання|date=лютий 2019 |bot=InternetArchiveBot }} СПб.: Лань, 2004, 624 стр., ISBN 5-8114-0552-9.
* Понтрягин Л. С. ''Непрерывные группы''.&nbsp;— 2004.&nbsp;— 520с.&nbsp;— ISBN 5-354-00957-X.

{{Математика-доробити}}

[[Категорія:Абстрактна алгебра]]
[[Категорія:Морфізми]]
[[Категорія:Еквівалентність (математика)]]