Перегляд вихідного коду сторінки Єгипетський математичний шкіряний сувій

'''Єгипетський математичний шкіряний сувій (ЄМШС)''' — 25 &#xD7; 43 &nbsp;см шкіряний сувій, придбаний {{не перекладено|Олександр Райнд|Олександром Райндом|en|Alexander_Henry_Rhind}} у 1858 році. Він був надісланий до [[Британський музей|Британського музею]] в 1864 році разом з [[Папірус Райнда|математичним папірусом Райнда]], але він не був хімічно розм’якшеним і розгорнутим до 1927 року. 

Зберігається у [[Британський музей|Британському музеї]] в Лондоні. Датований близько 1650 р. до н. е. Походить з [[Фіви (Єгипет)|Фів]]. Написаний [[Ієратичне письмо|ієратичним письмом]]. Довжина — 25 см, ширина — 43 см.

Написаний цей сувій справа наліво [[Ієратичне письмо|ієратичними]] знаками [[Середнє царство (Стародавній Єгипет)|Середнього царства]]. Його датують до 17 століття до н. e. <ref name="Clagett">Clagett, Marshall. Ancient Egyptian Science: A Source Book. Volume 3: Ancient Egyptian Mathematics. Memoirs of the American Philosophical Society 232. Philadelphia: American Philosophical Society, 1999, pp. 17&#x2013;18, 25, 37&#x2013;38, 255&#x2013;257</ref>

== Математичний зміст ==
Шкіряний сувій є невеликим довідником з обчислення [[Єгипетський дріб|єгипетських дробів]]. Він містить 26 сум одиничних дробів, які дорівнюють іншому одиничному дробу. Суми дробів подано у чотирьох стовпцях, причому зміст 3-й та 4-й стовпців дублює зміст 1-го та 2-го. <ref name="Imhausen">[[Annette Imhausen]], in The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam:
A Sourcebook, Edited by Victor J. Katz, 2007, pp. 21&#x2013;22</ref> 
{| class="wikitable" align="center" style="margin: 1em auto 1em auto; width: 75%"
|+Єгипетський математичний шкіряний сувій
!Column 1
!Column 2
! align="center" |Column 3
!Column 4
|-
|<math>\frac{1}{10} + \frac{1}{40} = \frac{1}{8}</math>
|<math>\frac{1}{30} + \frac{1}{45} + \frac{1}{90}= \frac{1}{15}</math>
|<math>\frac{1}{10} + \frac{1}{40} = \frac{1}{8}</math>
|<math>\frac{1}{18} + \frac{1}{36} = \frac{1}{12}</math>
|-
|<math>\frac{1}{5} + \frac{1}{20} = \frac{1}{4}</math>
|<math>\frac{1}{24} + \frac{1}{48} = \frac{1}{16}</math>
|<math>\frac{1}{5} + \frac{1}{20} = \frac{1}{4}</math>
|<math>\frac{1}{21} + \frac{1}{42} = \frac{1}{14}</math>
|-
|<math>\frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{1}{3}</math>
|<math>\frac{1}{18} + \frac{1}{36} = \frac{1}{12}</math>
|<math>\frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{1}{3}</math>
|<math>\frac{1}{45} + \frac{1}{90} = \frac{1}{30}</math>
|-
|<math>\frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{1}{5}</math>
|<math>\frac{1}{21} + \frac{1}{42} = \frac{1}{14}</math>
|<math>\frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{1}{5}</math>
|<math>\frac{1}{30} + \frac{1}{60} = \frac{1}{20}</math>
|-
|<math>\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}</math>
|<math>\frac{1}{45} + \frac{1}{90} = \frac{1}{30}</math>
|<math>\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}</math>
|<math>\frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{1}{10}</math>
|-
|<math>\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}</math>
|<math>\frac{1}{30} + \frac{1}{60} = \frac{1}{20}</math>
|<math>\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}</math>
|<math>\frac{1}{48} + \frac{1}{96} = \frac{1}{32}</math>
|-
|<math>\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}</math>
|<math>\frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{1}{10}</math>
|<math>\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}</math>
|<math>\frac{1}{96} + \frac{1}{192} = \frac{1}{64}</math>
|-
|<math>\frac{1}{25} + \frac{1}{15} + \frac{1}{75} + \frac{1}{200} = \frac{1}{8}</math>
|<math>\frac{1}{48} + \frac{1}{96} = \frac{1}{32}</math>
|<math>\frac{1}{25} + \frac{1}{15} + \frac{1}{75} + \frac{1}{200} = \frac{1}{8}</math>
|
|-
|<math>\frac{1}{50} + \frac{1}{30} + \frac{1}{150} + \frac{1}{400} = \frac{1}{16}</math>
|<math>\frac{1}{96} + \frac{1}{192} = \frac{1}{64}</math>
|<math>\frac{1}{50} + \frac{1}{30} + \frac{1}{150} + \frac{1}{400} = \frac{1}{16}</math>
|
|-
|<math>\frac{1}{25} + \frac{1}{50} + \frac{1}{150}  = \frac{1}{6}</math>
|
|<math>\frac{1}{25} + \frac{1}{50} + \frac{1}{150}  = \frac{1}{6}</math>
|
|-
|<math>\frac{1}{9} + \frac{1}{18}   = \frac{1}{6}</math>
|
|<math>\frac{1}{9} + \frac{1}{18}   = \frac{1}{6}</math>
|
|-
|<math>\frac{1}{7} + \frac{1}{14} + \frac{1}{28}  = \frac{1}{4}</math>
|
|<math>\frac{1}{7} + \frac{1}{14} + \frac{1}{28}  = \frac{1}{4}</math>
|
|-
|<math>\frac{1}{12} + \frac{1}{24}   = \frac{1}{8}</math>
|
|<math>\frac{1}{12} + \frac{1}{24}   = \frac{1}{8}</math>
|
|-
|<math>\frac{1}{14} + \frac{1}{21} + \frac{1}{42}  = \frac{1}{7}</math>
|
|<math>\frac{1}{14} + \frac{1}{21} + \frac{1}{42}  = \frac{1}{7}</math>
|
|-
|<math>\frac{1}{18} + \frac{1}{27} + \frac{1}{54}  = \frac{1}{9}</math>
|
|<math>\frac{1}{18} + \frac{1}{27} + \frac{1}{54}  = \frac{1}{9}</math>
|
|-
|<math>\frac{1}{22} + \frac{1}{33} + \frac{1}{66}  = \frac{1}{11}</math>
|
|<math>\frac{1}{22} + \frac{1}{33} + \frac{1}{66}  = \frac{1}{11}</math>
|
|-
|<math>\frac{1}{28} + \frac{1}{49} + \frac{1}{196}  = \frac{1}{13}</math>
|
|<math>\frac{1}{28} + \frac{1}{49} + \frac{1}{196}  = \frac{1}{13}</math>
|
|-
|
|
|<math>\frac{1}{30} + \frac{1}{45} + \frac{1}{90}  = \frac{1}{15}</math>
|
|-
|
|
|<math>\frac{1}{24} + \frac{1}{48}   = \frac{1}{16}</math>
|
|}
З 26 перерахованих сум десять виражають числа «<nowiki/>[[Око Гора|Ока Гора»]] : 1/2, 1/4 (двічі), 1/8 (тричі), 1/16 (двічі), 1/32, 1/64, перетворені з єгипетських дробів. Сім інших сум виражають одиничні дроби з парними знаменниками: 1/6 (перераховані двічі, але неправильно один раз), 1/10, 1/12, 1/14, 1/20 та 1/30. Як приклад, три перетворення 1/8  йшли одне за одним з одним або двома масштабними коефіцієнтами:  

1. <math>\frac{1}{8}=\frac{1}{8}\cdot\frac{3}{3}=\frac{3}{24}=\frac{2+1}{24}=\frac{1}{12} + \frac{1}{24}. </math> 

2. <math>\frac{1}{8}=\frac{1}{8}\cdot\frac{5}{5}=\frac{5}{40}=\frac{4+1}{40}=\frac{1}{10} + \frac{1}{40}. </math> 

3. <math>\frac{1}{8}=\frac{1}{8}\cdot\frac{25}{25}=\frac{25}{200}=\frac{8+17}{200}=\frac{1}{25} + \frac{17}{200}\cdot\frac{6}{6}=\frac{1}{25} + \frac{102}{1200} = \frac{1}{25} + \frac{80+16+6}{1200} = \frac{1}{25} + \frac{1}{15} + \frac{1}{75} +\frac{1}{200}. </math> 

Нарешті, дев'ять сум виражають одиничні дроби з непарними знаменниками: 2/3, 1/3 (двічі), 1/5, 1/7, 1/9, 1/11, 1/13 та 1/15. 

Експерти Британського музею не знайшли вступу та опису того, як або чому було обчислено низку еквівалентних одиничних дробів. <ref>Gillings, Richard J. “The Egyptian Mathematical Leather Role–Line 8. How Did the Scribe Do it?” (Historia Mathematica 1981), 456–457.</ref> Еквівалентні єгипетські дроби виражають дроби 1/3, 1/4, 1/8 та 1/16. Сума дробів, які виражають 1/15 була помилково зазначена як рівна 1/6. Ще одна серйозна помилка була пов'язана з 1/13, проблемою, яку експерти 1927 року не намагалися розв'язати. 

== Сучасний аналіз ==
Оригінальні математичні тексти ніколи не містять пояснень, звідки взялися процедури та формули. Це правдиво і для ЄМШС. Науковці намагалися визначити, якими методами стародавні єгиптяни могли скористатися як таблиці одиничних дробів ЄМШС, так і 2 / n таблиць, відомих з  [[Папірус Райнда|математичного папіруса Райнда]] та {{не перекладено|Лахунський математичний папірус|Лахунського математичного папіруса|en|Lahun_Mathematical_Papyri}}. Обидва типи таблиць використовувались для обчислень з дробами та для перетворення вимірювальних одиниць. <ref name="Imhausen"/> 

Було помічено, що в ЄМШС є групи дуже схожих сум одиничних дробів. Наприклад, 5-й та 6-й рядки легко поєднуються в рівняння 1/3 &nbsp; + &nbsp; 1/6 &nbsp; = &nbsp; 1/2. Вивести рядки 11, 13, 24, 20, 21, 19, 23, 22, 25 і 26 легко, поділивши це рівняння на 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 16 і 32 відповідно. <ref>Gillings, Richard J., Mathematics in the Time of the Pharaohs, Dover Publications, 1982 reprint (1972) {{ISBN|0-486-24315-X}}</ref> 

Деякі задачі можна розв'язати за допомогою алгоритму, який передбачає множення чисельника і знаменника дробу на одне й те саме число 

:<math>\frac{1}{pq} = \frac{1}{N}\cdot\frac{N}{pq}, </math>
: розкладу 2-го множника на суму одиничних дробів та подальшого домноження кожного дробу на 1-й множник

Скажімо, за цим методом можна розкласти дріб 1/8, як показано в ЄМШС, для N = 25 (з використанням сучасних математичних позначень): 

: <math>1/8 = 1/25 \times 25/8 = 1/5 \times 25/40 = 1/5 \times (3/5 + 1/40) </math> 
: <math>= 1/5 \times (1/5 + 2/5 + 1/40) = 1/5 \times (1/5 + 1/3 + 1/15 + 1/40) = 1/25 + 1/15 + 1/75 + 1/200</math> <ref name="MG">Gardner, Milo. “The Egyptian Mathematical Leather Roll, Attested Short Term and Long Term” History of the Mathematical Sciences”, Ivor Grattan-Guinness, B.C. Yadav (eds), New Delhi, Hindustan Book Agency, 2002:119&#x2013;134.</ref> 

== Сучасні висновки ==
ЄМШС уважають навчальним посібником для майбутні писарів. Писар практикував перетворення раціональних чисел 1 / p та 1 / pq на суму одиничних дробів. 

== Хронологія ==
Наступна хронологія показує етапи чіткішого розуміння вмісту ЄМШС, пов'язаного з таблицею <math>2 / n </math> [[Папірус Райнда|математичного папіруса Райнда]]. 

* 1895 &#x2013; Hultsch припустив, що всі серії таблиці <math>2 / n </math> кодуються аликвотними частинами. <ref>Hultsch, F. "Die Elemente der Aegyptischen Theilungsrechnung 8, Übersicht über die Lehre von den Zerlegungen". (1895):167&#x2013;71.</ref> 
* 1927 р. &#x2013; Glanville дійшов висновку, що арифметика ЄМШС суто адитивна. <ref>Glanville, S. R. K. "The Mathematical Leather Roll in the British Museum”. Journal of Egyptian Archaeology 13, London (1927): 232–8.</ref> 
* 1929 &#x2013; Vogel повідомив, що ЄМШС є важливішим (ніж RMP), хоча він містить лише 25 сум одиничних дробів. <ref>Vogel, Kurt. “Erweitert die Lederolle unsere Kenntniss ägyptischer Mathematik". Archiv für Geschichte der Mathematik, V 2, Julius Schuster, Berlin (1929): 386&#x2013;407.</ref> 
* 1950 &#x2013; Bruins незалежно підтверджує аналіз Hultsch <math>2 / n </math> (Bruins 1950) 
* 1972 р. &#x2013; Gillings простіші задачі, серії <math>2 / (pq) </math> (Gillings 1972: 95 &#x2013; 96). 
* 1982 рік &#x2013; Knorr визначає дроби 2/35, 2/91 та 2/95 як винятки із задачі <math>2 / (pq) </math>. <ref>[[Wilbur Knorr|Knorr, Wilbur R.]] “Techniques of Fractions in Ancient Egypt and Greece”. Historia Mathematica 9, Berlin (1982): 133–171.</ref> 
* 2002 &#x2013; Gardner виділяє п'ять моделей для ЄМШС. <ref name="MG"/> 

== Див. також ==

* [[Московський математичний папірус]] 
* {{не перекладено|Лахунські математичні папіруси|Лахунські математичні папіруси|en|Lahun_Mathematical_Papyri}} 
* {{не перекладено|Берлінський папірус 6619|Берлінський папірус 6619|en|Berlin_Papyrus_6619}}Берлінський папірус 6619 
* {{не перекладено|Дерев'яні таблички Ахміма|Дерев'яні таблички Ахміма|en|Akhmim_Wooden_Tablet}}
* {{не перекладено|Папірус Рейснера|Папірус Рейснера|en|Reisner_Papyrus}}
* [[Папірус Райнда]] 

== Список літератури ==
<references />

== Подальше читання ==

* Bruckheimer, M., & Salomon, Y. (1977). Some comments on R. J. Gillings’ analysis of the 2/n Table in the Rhind papyrus. ''Historia Mathematica, 4'', 445–452.
* Bruins, E. M. (1957). Platon et la table égyptienne 2/n. ''Janus, 46'', 253–263.
* Bruins, E. M. (1981). Egyptian arithmetic. ''Janus, 68'', 33–52.
* Bruins, E. M. (1981). Reducible and trivial decompositions concerning Egyptian arithmetics”. ''Janus, 68'', 281–297.
* Gardner, M. (2005). Mathematical roll of Egypt. In ''Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures''. Springer.
* Gillings, R. J. (1962). The Egyptian Mathematical Leather Roll. ''Australian Journal of Science, 24'', 339–344.
* Gillings, R. J. (1974). The Recto of the Rhind Mathematical Papyrus: How did the Ancient Egyptian scribe prepare it? ''Archive for History of Exact Sciences, 12'', 291–298.
* Gillings, R. J. (1979). The recto of the RMP and the EMLR. ''Historia Mathematica, 6'' (1979), 442–447.
* Gillings, R. J. (1981). The Egyptian Mathematical Leather Role–Line 8. How did the scribe do it? Historia Mathematica, 456–457.
* Imhausen, A. (2003). Egyptian mathematical texts and their contexts. ''Science in Context, 16'', 367–389.
* Rees, C. S. (1981). Egyptian fractions. ''Mathematical Chronicle, 10'', 13–33.
* Roero, C. S. (1994). Egyptian mathematics. In I. Grattan-Guinness (Ed.) ''Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences'', (pp. 30–45). London.
* Scott, A., & Hall, H.R. (1927). Laboratory notes: Egyptian Mathematical Leather Roll of the Seventeenth Century BC. ''British Museum Quarterly, 2'', 56.
** 

== Зовнішні посилання ==

* [https://www.academia.edu/517467/Egyptian_Mathematical_Leather_Roll EMLR] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200627121155/https://www.academia.edu/517467/Egyptian_Mathematical_Leather_Roll |date=27 червня 2020 }} 
* [https://mathworld.wolfram.com/EgyptianMathematicalLeatherRoll.html EMLR] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200627192612/https://mathworld.wolfram.com/EgyptianMathematicalLeatherRoll.html |date=27 червня 2020 }}
* [https://planetmath.org/egyptianmathematicalleatherroll EMLR] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210123182327/https://planetmath.org/EgyptianMathematicalLeatherRoll |date=23 січня 2021 }}

[[Категорія:Література Стародавнього Єгипту]]
[[Категорія:Єгипетська математика]]
[[Категорія:Сторінки з неперевіреними перекладами]]